微積分課件：2-2函數(shù)的極限

1、一、一、自變量趨于無窮大時函數(shù)的極限自變量趨于無窮大時函數(shù)的極限 二、二、自變量趨于有限值時函數(shù)的極限自變量趨于有限值時函數(shù)的極限 第二節(jié)第二節(jié) 函數(shù)的極限函數(shù)的極限 在自變量的某個變化過程中，如果對應(yīng)的函在自變量的某個變化過程中，如果對應(yīng)的函數(shù)值無限接近于某個確定的常數(shù)，那么這個確定數(shù)值無限接近于某個確定的常數(shù)，那么這個確定的數(shù)叫做自變量在這一變化過程中的數(shù)叫做自變量在這一變化過程中函數(shù)的極限函數(shù)的極限。 下面，我們將主要研究以下兩種情形：下面，我們將主要研究以下兩種情形：；的變化情形的變化情形對應(yīng)的函數(shù)值對應(yīng)的函數(shù)值無限增大無限增大的絕對值的絕對值自變量自變量)(, )()2(xfxxx

2、(1)；的變化情形的變化情形對應(yīng)的函數(shù)值對應(yīng)的函數(shù)值任意接近于有限值任意接近于有限值自變量自變量)(, )()1(00 xfxxxx(2).sin時的變化趨勢時的變化趨勢當(dāng)當(dāng)觀察函數(shù)觀察函數(shù) xxx播放播放一、一、 自變量趨向無窮大時函數(shù)的極限自變量趨向無窮大時函數(shù)的極限問問題題: :函函數(shù)數(shù))(xfy 在在 x的的過過程程中中, 對對應(yīng)應(yīng)函函數(shù)數(shù)值值)(xf無無限限趨趨近近于于確確定定值值 A.;)()(任意小任意小表示表示AxfAxf .的過程的過程表示表示 xXx. 0sin)(,無限接近于無限接近于無限增大時無限增大時當(dāng)當(dāng)xxxfx 通過上面演示實驗的觀察通過上面演示實驗的觀察:問題問

3、題: 如何用數(shù)學(xué)語言刻劃函數(shù)如何用數(shù)學(xué)語言刻劃函數(shù)“無限接近無限接近”.定義定義X .)(, 0, 0 AxfXxX恒恒有有時時使使當(dāng)當(dāng) Axfx)(limxxysin 例例1. 0sinlim xxx證明證明證證xxxxsin0sin 1x , 0 ,1 X取取時恒有時恒有則當(dāng)則當(dāng)Xx ,0sin xx. 0sinlim xxx故故.)(,)(lim:的圖形的水平漸近線的圖形的水平漸近線是函數(shù)是函數(shù)則直線則直線如果如果定義定義xfycycxfx (horizontal asymptote):.10情形情形x.)(, 0, 0 AxfXxX恒有恒有時時使當(dāng)使當(dāng):.20情形情形x Axfx)(l

4、im.)(, 0, 0 AxfXxX恒有恒有時時使當(dāng)使當(dāng) Axfx)(lim2. 另兩種情形另兩種情形: Axfx)(lim:定定理理.)(lim)(limAxfAxfxx 且且xxysin 3. 幾何解釋幾何解釋: A AX X.2,)(,的的帶帶形形區(qū)區(qū)域域內(nèi)內(nèi)寬寬為為為為中中心心線線直直線線圖圖形形完完全全落落在在以以函函數(shù)數(shù)時時或或當(dāng)當(dāng) AyxfyXxXxA二、二、自變量趨于有限值時函數(shù)的極限自變量趨于有限值時函數(shù)的極限問問題題: :函函數(shù)數(shù))(xfy 在在0 xx 的的過過程程中中,對對應(yīng)應(yīng)函函數(shù)數(shù)值值)(xf無無限限趨趨近近于于確確定定值值 A.;)()(任意小任意小表示表示Axf

5、Axf .000的過程的過程表示表示xxxx x0 x 0 x 0 x ,0鄰域鄰域的去心的去心點點 x.0程度程度接近接近體現(xiàn)體現(xiàn)xx 定義定義 .)(,0, 0, 00 Axfxx恒有恒有時時使當(dāng)使當(dāng)幾何解釋幾何解釋:)(xfy AAA0 x0 x0 xxyo.2,)(,0的帶形區(qū)域內(nèi)的帶形區(qū)域內(nèi)寬為寬為為中心線為中心線線線圖形完全落在以直圖形完全落在以直函數(shù)函數(shù)域時域時鄰鄰的去心的去心在在當(dāng)當(dāng) Ayxfyxx 注意：注意：;)(. 10是是否否有有定定義義無無關(guān)關(guān)在在點點函函數(shù)數(shù)極極限限與與xxf. 2有有關(guān)關(guān)與與任任意意給給定定的的正正數(shù)數(shù) ., 也也不不需需要要取取到到最最大大的的并

6、并不不唯唯一一顯顯然然例例2).( ,lim0為常數(shù)為常數(shù)證明證明CCCxx 證證Axf )(CC ,成立成立 , 0 任給任給0 .lim0CCxx , 0 任取任取,00時時當(dāng)當(dāng) xx例例3.lim00 xxxx 證明證明證證,)(0 xxAxf , 0 任給任給, 取取,00時時當(dāng)當(dāng) xx0)(xxAxf ,成立成立 .lim00 xxxx 例例4. 211lim21 xxx證明證明證證211)(2 xxAxf, 0 任給任給, 只只要要取取0-1,當(dāng)時x函數(shù)在點函數(shù)在點x=1處沒有定義處沒有定義.1 x,)( Axf要使要使,2112 xx就有就有. 211lim21 xxx例例5.l

7、im00 xxxx 證證0)(xxAxf , 0 任給任給min,取00 xx ,00時時當(dāng)當(dāng) xx00 xxxx ,)( Axf要使要使,0 xx就有就有,00 xxx .00只要 xxx .lim,0:000 xxxxx 時時當(dāng)當(dāng)證明證明3.單側(cè)極限單側(cè)極限(one-sided limit):例如例如,. 1)(lim0, 10,1)(02 xfxxxxxfx證明證明設(shè)設(shè)兩種情況分別討論兩種情況分別討論和和分分00 xx,0 xx從從左左側(cè)側(cè)無無限限趨趨近近;0 xx記作記作,0 xx從從右右側(cè)側(cè)無無限限趨趨近近;0 xx記作記作yox1xy 112 xy左極限左極限.)(, 0, 000

8、 Axfxxx恒有恒有時時使當(dāng)使當(dāng)右極限右極限.)(, 0, 000 Axfxxx恒有恒有時時使當(dāng)使當(dāng)000000:xxxxxxxxx注意0000lim( )()(- ).xxf xAf xAf xA記作或或0000lim ( )()(+ ).xxf xAf xAf xA記作或或(right-hand limit)(left-hand limit).)()()(lim:000AxfxfAxfxx 定理定理.lim0不存在不存在驗證驗證xxxyx11 oxxxxxx 00limlim左右極限存在但不相等左右極限存在但不相等,.)(lim0不存在不存在xfx例例6證證1)1(lim0 xxxxxx

9、x 00limlim11lim0 x三、函數(shù)極限的性質(zhì)三、函數(shù)極限的性質(zhì)定理定理2（函數(shù)極限的局部有界性函數(shù)極限的局部有界性）定理定理1（函數(shù)極限的唯一性函數(shù)極限的唯一性）如如果果)(lim0 xfxx存存在在,則則這這個個極極限限唯唯一一. 如如 果果)(lim0 xfxx存存 在在 , 那那 么么 存存 在在 常常 數(shù)數(shù)00 和和M，使使得得當(dāng)當(dāng) 00 xx時時，有有Mxf )(. .2)(,),(),(, 0)(lim0000AxfxUxxUxAxfxx 就有就有時時當(dāng)當(dāng)鄰域鄰域的某一去心的某一去心則存在則存在若若 ).0)(0)(,0, 0),0(0,)(lim00 xfxfxxAAA

10、xfxx或或時時使得當(dāng)使得當(dāng)則存在常數(shù)則存在常數(shù)或或且且若若 定理定理3 (函數(shù)極限的局部保號性函數(shù)極限的局部保號性).0(0),0)(0)(,),(, 0,)(lim000 AAxfxfxUxAxfxx或或則則或或時時當(dāng)當(dāng)且且若若 推論推論定理定理30lim()xxfxA 若若定理定理4對于任意的對于任意的 且且 ，恒有，恒有 0nxxlim()nnfxA 0nxx xy1sin 例例7.1sinlim0不存在不存在證明證明xx證證 ,1 nxn取取, 0lim nnx; 0 nx且且 ,2141 nxn取取, 0lim nnx; 0 nx且且 nxnnnsinlim1sinlim 而而,

11、1 214sinlim1sinlim nxnnn而而1lim n二者不相等二者不相等,.1sinlim0不存在不存在故故xx, 0 四、小結(jié)四、小結(jié) 思考題思考題函數(shù)極限的統(tǒng)一定義函數(shù)極限的統(tǒng)一定義;)(limAnfn ;)(limAxfx ;)(limAxfx ;)(limAxfx ;)(lim0Axfxx ;)(lim0Axfxx .)(lim0Axfxx .)(, 0)(lim AxfAxf恒有恒有從此時刻以后從此時刻以后時刻時刻(見下表見下表)過過 程程時時 刻刻從此時刻以后從此時刻以后 n xxxNNn Nx Nx Nx )(xf Axf)(0 xx 00 xx 0 xx 0 xx

12、00 xx00 xx過過 程程時時 刻刻從此時刻以后從此時刻以后 )(xf Axf)(思考題思考題試試問問函函數(shù)數(shù) 0,50,100,1sin)(2xxxxxxxf在在0 x處處的的左左、右右極極限限是是否否存存在在？當(dāng)當(dāng)0 x時時，)(xf的的極極限限是是否否存存在在？思考題解答思考題解答 )(lim0 xfx, 5)5(lim20 xx左極限存在左極限存在, )(lim0 xfx, 01sinlim0 xxx右極限存在右極限存在, )(lim0 xfx)(lim0 xfx )(lim0 xfx不存在不存在.01. 01_131. 222yzxzxxyx，必有時，只要取，問當(dāng)時，當(dāng).001.

13、 0420_42. 12yxxyx，必有只要時，取，問當(dāng)時，當(dāng)證明：證明：二、用函數(shù)極限的定義二、用函數(shù)極限的定義一、填空題一、填空題:0sinlim. 221241lim. 1221xxxxxx練練 習(xí)習(xí) 題題.)(:0極限各自存在并且相等極限各自存在并且相等必要條件是左極限、右必要條件是左極限、右時極限存在的充分時極限存在的充分當(dāng)當(dāng)函數(shù)函數(shù)三、試證三、試證xxxf?0)(存存在在時時的的極極限限是是否否在在四四、討討論論：函函數(shù)數(shù) xxxx 練習(xí)題答案練習(xí)題答案.sin時的變化趨勢時的變化趨勢當(dāng)當(dāng)觀察函數(shù)觀察函數(shù) xxx2. 自變量趨向無窮大時函數(shù)的極限.sin時的變化趨勢時的變化趨勢當(dāng)當(dāng)觀察函數(shù)觀察函數(shù) xxx2. 自變量趨向無窮大時函數(shù)的極限.sin時的變化趨勢時的變化趨勢當(dāng)當(dāng)觀察函數(shù)觀察函數(shù) xxx2. 自變量趨向無窮大時函數(shù)的極限.sin時的變化趨勢時的變化趨勢當(dāng)當(dāng)觀察函數(shù)觀察函數(shù) xxx2. 自變量趨向無窮大時函數(shù)的極限.sin時的變化趨勢時的變化趨勢當(dāng)當(dāng)觀察函數(shù)觀