橢圓軌跡方程考查的追本溯源

1、橢圓軌跡方程考查的追本溯源【內(nèi)容摘要】圓錐曲線(xiàn)軌跡方程的考查是各類(lèi)考試中的熱點(diǎn)問(wèn)題，其考查基本上都是從圓錐曲線(xiàn)的怎樣產(chǎn)生來(lái)命題，本文以橢圓為例，從橢圓的定義，作法，變換，包絡(luò)線(xiàn)等橢圓的產(chǎn)生途徑，對(duì)橢圓軌跡方程的考查作一簡(jiǎn)單的探索。【關(guān)鍵字】橢圓 軌跡方程 溯源【正文】解析幾何中對(duì)圓錐曲線(xiàn)軌跡方程的考查較為普遍，筆者在教學(xué)中對(duì)其考查作了進(jìn)一步探索，其考查基本上都是從橢圓的怎么產(chǎn)生來(lái)命題，圓錐曲線(xiàn)最基本來(lái)源是從圓錐中截取的，基本來(lái)源考查不多，筆者對(duì)圓錐曲線(xiàn)中橢圓的考查作以下探索.一.待定系數(shù)法考查軌跡方程例1.(08年江蘇)已知三點(diǎn)P(5,2),求以為焦點(diǎn)且過(guò)點(diǎn)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.解:設(shè)橢圓方程為,由

2、已知, (1)又點(diǎn)在橢圓上,故 (2)由(1)、（2）得：.故橢圓方程為例2.已知中心在原點(diǎn),焦點(diǎn)在x軸上的橢圓與圓交于兩點(diǎn), 恰是該圓的直徑,是的斜率為,求此橢圓方程.解:設(shè)橢圓方程為,.圓的方程可化為,圓心(2,1),直徑|=.則而在橢圓上,故有相減得:故橢圓方程可化為.的方程為代入橢圓方程得:由得故所求橢圓方程為評(píng)析: 待定系數(shù)法求軌跡方程是高考的一熱點(diǎn).題目可以具有較高的綜合性,對(duì)于直線(xiàn)和曲線(xiàn)的位置關(guān)系有關(guān)的問(wèn)題中,常用”點(diǎn)差法”及韋達(dá)定理簡(jiǎn)化運(yùn)算.二.由橢圓第一定義考查軌跡方程例3.已知,A(3,0),B(-3,0),且三邊長(zhǎng)|AC|、|AB|、|BC|依次成等差數(shù)列，求頂點(diǎn)C的軌跡

3、方程.如圖,已知圓B：(x+1)2+y2=16及點(diǎn)A(1,0),C為圓B上任意一點(diǎn)，求線(xiàn)段AC的垂直平分l 與線(xiàn)段CB的交點(diǎn)P的軌跡方程.一動(dòng)圓與圓x2+y2+6x+5=0外切，同時(shí)與圓x2+y2-6x-91=0內(nèi)切，求動(dòng)圓圓心的軌跡方程.lABPxyoC解:由題意,故C點(diǎn)的軌跡為以A,B為焦點(diǎn),長(zhǎng)軸長(zhǎng)為12cm的橢圓.故所求軌跡方程為故P點(diǎn)的軌跡為以A,B為焦點(diǎn),長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4cm的橢圓.ABCPxyo故P點(diǎn)的軌跡方程為圓A:,圓B: ,如圖所示.設(shè)動(dòng)圓半徑為r,則由平面幾何得知:故P點(diǎn)的軌跡為A,B為焦點(diǎn),長(zhǎng)軸長(zhǎng)為12cm的橢圓.故所求軌跡方程為評(píng)析:此類(lèi)問(wèn)題常用平面幾何知識(shí)結(jié)合橢圓定義,判定

4、動(dòng)點(diǎn)的軌跡為橢圓,然后通過(guò)a,b,c的計(jì)算而寫(xiě)出方程,在雙曲線(xiàn)、拋物線(xiàn)中同樣如此.三.由橢圓第二定義考查軌跡方程例4. 點(diǎn)P與定點(diǎn)F(2,0)的距離和它到直線(xiàn)x=8的距離的比是1:2,求點(diǎn)P的軌跡方程.AxlFBdo一動(dòng)橢圓C1的左焦點(diǎn)F(1,0),左準(zhǔn)線(xiàn)為l :x=-1,點(diǎn)P在橢圓C1的短軸的一個(gè)端點(diǎn)B與焦點(diǎn)F的連線(xiàn)上，且P分所成的比為2:1，求點(diǎn)P的軌跡方程.解:設(shè)由已知:化簡(jiǎn)得: :如圖: 設(shè)由即:評(píng)析:1.這兩題用到的是軌跡方程中的兩種常用方法, 是直接法; 的解法本質(zhì)上是轉(zhuǎn)移法.ABM(x,y)xyo2.在與第二定義有關(guān)的軌跡方程求法中,靈活運(yùn)用離心率的等價(jià)表達(dá)是關(guān)鍵.四. 橢圓的另

5、類(lèi)作法考查軌跡方程1.定長(zhǎng)線(xiàn)段的規(guī)則移動(dòng)考查軌跡方程.例5.如圖,線(xiàn)段的兩個(gè)端點(diǎn)分別在x軸、y軸上滑動(dòng)，點(diǎn)M是上一點(diǎn)，且，求點(diǎn)M的軌跡方程.PyP1Mxo解：設(shè)則由得得2由圓上點(diǎn)的比例點(diǎn)考查軌跡方程。oxyABMN例6從圓上任意一點(diǎn)向軸作垂線(xiàn)段且線(xiàn)段上一點(diǎn)，滿(mǎn)足關(guān)系式,求點(diǎn)M的軌跡方程.解：設(shè)則代入,得3.由橢圓的幾何作法考查軌跡方程.例7. 如圖，以原點(diǎn)為圓心，分別以a、b(ab0)為半徑作兩個(gè)圓，點(diǎn)B是大圓半徑OA與小圓的交點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A作ANOx,垂足為N，過(guò)點(diǎn)B作BMAN，垂足為M.求當(dāng)半徑OA繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)時(shí)點(diǎn)M的軌跡方程。解:設(shè)則消去得: 評(píng)析: 第一類(lèi)即橢圓規(guī)的理論依據(jù).第二類(lèi)很好地反映

6、了橢圓經(jīng)過(guò)伸縮變換轉(zhuǎn)化為圓,反之亦然,以此為思路,可轉(zhuǎn)化橢圓問(wèn)題為圓的相關(guān)問(wèn)題解決.第三類(lèi)也是橢圓的參數(shù)方程的推導(dǎo)方法.五. 由動(dòng)弦的中點(diǎn)軌跡考查橢圓的軌跡方程例8.(06江西)如圖:橢圓右焦點(diǎn)為,過(guò)點(diǎn)的一動(dòng)直線(xiàn)繞點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng),并且交橢圓于兩點(diǎn),為線(xiàn)段中點(diǎn),求點(diǎn)的軌跡方程.mXyoFp解:設(shè).則相減得:(1) 當(dāng)時(shí),則得(2) 當(dāng)時(shí),點(diǎn)即為,滿(mǎn)足上式.故所求軌跡方程為評(píng)析:中點(diǎn)軌跡問(wèn)題是高考中的常見(jiàn)題型,常用”點(diǎn)差法”(如本例)及用韋達(dá)定理,得軌跡的參數(shù)方程來(lái)求解,有一定的技巧性.六.斜率之積為常數(shù)考查軌跡方程例9. 的兩個(gè)頂點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別是(-6,0)、(6,0),邊AC、BC所在直線(xiàn)的斜率之積等于,求頂點(diǎn)C的軌跡方程.解:設(shè)則而七.由直線(xiàn)系的包絡(luò)線(xiàn)考查軌跡方程例10:一張紙上畫(huà)有半徑為4的圓O和圓內(nèi)一定點(diǎn)A,且OA=2,折疊紙片,使圓周上某點(diǎn)剛好與A點(diǎn)重合,這樣折法,都留下一條直線(xiàn)折痕,為取遍圓周上所有點(diǎn)時(shí),求所有折痕在直線(xiàn)上的集合.解法1:如圖建立直角坐標(biāo)系.則有,折痕為.設(shè)為昂任一點(diǎn).則即xyoAAMN可得:即即即所求點(diǎn)的集合為橢圓外(含邊界)部分.解法2: 如圖一建立直角坐標(biāo)系.則所求點(diǎn)的集合即直線(xiàn)系的包路線(xiàn)及其外部.設(shè),則方程為即 (1)由(1)兩邊對(duì)求導(dǎo)得: (2)由(1),(2)得兩式平方相加得:即即所求點(diǎn)的集