橢圓軌跡方程考查的追本溯源

1、橢圓軌跡方程考查的追本溯源【內(nèi)容摘要】圓錐曲線軌跡方程的考查是各類考試中的熱點問題，其考查基本上都是從圓錐曲線的怎樣產(chǎn)生來命題，本文以橢圓為例，從橢圓的定義，作法，變換，包絡(luò)線等橢圓的產(chǎn)生途徑，對橢圓軌跡方程的考查作一簡單的探索。【關(guān)鍵字】橢圓 軌跡方程 溯源【正文】解析幾何中對圓錐曲線軌跡方程的考查較為普遍，筆者在教學(xué)中對其考查作了進(jìn)一步探索，其考查基本上都是從橢圓的怎么產(chǎn)生來命題，圓錐曲線最基本來源是從圓錐中截取的，基本來源考查不多，筆者對圓錐曲線中橢圓的考查作以下探索.一.待定系數(shù)法考查軌跡方程例1.(08年江蘇)已知三點P(5,2),求以為焦點且過點橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.解:設(shè)橢圓方程為,由

2、已知, (1)又點在橢圓上,故 (2)由(1)、（2）得：.故橢圓方程為例2.已知中心在原點,焦點在x軸上的橢圓與圓交于兩點, 恰是該圓的直徑,是的斜率為,求此橢圓方程.解:設(shè)橢圓方程為,.圓的方程可化為,圓心(2,1),直徑|=.則而在橢圓上,故有相減得:故橢圓方程可化為.的方程為代入橢圓方程得:由得故所求橢圓方程為評析: 待定系數(shù)法求軌跡方程是高考的一熱點.題目可以具有較高的綜合性,對于直線和曲線的位置關(guān)系有關(guān)的問題中,常用”點差法”及韋達(dá)定理簡化運算.二.由橢圓第一定義考查軌跡方程例3.已知,A(3,0),B(-3,0),且三邊長|AC|、|AB|、|BC|依次成等差數(shù)列，求頂點C的軌跡

3、方程.如圖,已知圓B：(x+1)2+y2=16及點A(1,0),C為圓B上任意一點，求線段AC的垂直平分l 與線段CB的交點P的軌跡方程.一動圓與圓x2+y2+6x+5=0外切，同時與圓x2+y2-6x-91=0內(nèi)切，求動圓圓心的軌跡方程.lABPxyoC解:由題意,故C點的軌跡為以A,B為焦點,長軸長為12cm的橢圓.故所求軌跡方程為故P點的軌跡為以A,B為焦點,長軸長為4cm的橢圓.ABCPxyo故P點的軌跡方程為圓A:,圓B: ,如圖所示.設(shè)動圓半徑為r,則由平面幾何得知:故P點的軌跡為A,B為焦點,長軸長為12cm的橢圓.故所求軌跡方程為評析:此類問題常用平面幾何知識結(jié)合橢圓定義,判定

4、動點的軌跡為橢圓,然后通過a,b,c的計算而寫出方程,在雙曲線、拋物線中同樣如此.三.由橢圓第二定義考查軌跡方程例4. 點P與定點F(2,0)的距離和它到直線x=8的距離的比是1:2,求點P的軌跡方程.AxlFBdo一動橢圓C1的左焦點F(1,0),左準(zhǔn)線為l :x=-1,點P在橢圓C1的短軸的一個端點B與焦點F的連線上，且P分所成的比為2:1，求點P的軌跡方程.解:設(shè)由已知:化簡得: :如圖: 設(shè)由即:評析:1.這兩題用到的是軌跡方程中的兩種常用方法, 是直接法; 的解法本質(zhì)上是轉(zhuǎn)移法.ABM(x,y)xyo2.在與第二定義有關(guān)的軌跡方程求法中,靈活運用離心率的等價表達(dá)是關(guān)鍵.四. 橢圓的另

5、類作法考查軌跡方程1.定長線段的規(guī)則移動考查軌跡方程.例5.如圖,線段的兩個端點分別在x軸、y軸上滑動，點M是上一點，且，求點M的軌跡方程.PyP1Mxo解：設(shè)則由得得2由圓上點的比例點考查軌跡方程。oxyABMN例6從圓上任意一點向軸作垂線段且線段上一點，滿足關(guān)系式,求點M的軌跡方程.解：設(shè)則代入,得3.由橢圓的幾何作法考查軌跡方程.例7. 如圖，以原點為圓心，分別以a、b(ab0)為半徑作兩個圓，點B是大圓半徑OA與小圓的交點，過點A作ANOx,垂足為N，過點B作BMAN，垂足為M.求當(dāng)半徑OA繞點O旋轉(zhuǎn)時點M的軌跡方程。解:設(shè)則消去得: 評析: 第一類即橢圓規(guī)的理論依據(jù).第二類很好地反映

6、了橢圓經(jīng)過伸縮變換轉(zhuǎn)化為圓,反之亦然,以此為思路,可轉(zhuǎn)化橢圓問題為圓的相關(guān)問題解決.第三類也是橢圓的參數(shù)方程的推導(dǎo)方法.五. 由動弦的中點軌跡考查橢圓的軌跡方程例8.(06江西)如圖:橢圓右焦點為,過點的一動直線繞點轉(zhuǎn)動,并且交橢圓于兩點,為線段中點,求點的軌跡方程.mXyoFp解:設(shè).則相減得:(1) 當(dāng)時,則得(2) 當(dāng)時,點即為,滿足上式.故所求軌跡方程為評析:中點軌跡問題是高考中的常見題型,常用”點差法”(如本例)及用韋達(dá)定理,得軌跡的參數(shù)方程來求解,有一定的技巧性.六.斜率之積為常數(shù)考查軌跡方程例9. 的兩個頂點A、B的坐標(biāo)分別是(-6,0)、(6,0),邊AC、BC所在直線的斜率之積等于,求頂點C的軌跡方程.解:設(shè)則而七.由直線系的包絡(luò)線考查軌跡方程例10:一張紙上畫有半徑為4的圓O和圓內(nèi)一定點A,且OA=2,折疊紙片,使圓周上某點剛好與A點重合,這樣折法,都留下一條直線折痕,為取遍圓周上所有點時,求所有折痕在直線上的集合.解法1:如圖建立直角坐標(biāo)系.則有,折痕為.設(shè)為昂任一點.則即xyoAAMN可得:即即即所求點的集合為橢圓外(含邊界)部分.解法2: 如圖一建立直角坐標(biāo)系.則所求點的集合即直線系的包路線及其外部.設(shè),則方程為即 (1)由(1)兩邊對求導(dǎo)得: (2)由(1),(2)得兩式平方相加得:即即所求點的集