固體物理晶格振動(dòng)chap3PPT優(yōu)秀課件

1、一維雙原子鏈的模型一維雙原子鏈的模型一維復(fù)式格子的情形一維復(fù)式格子的情形 一維無(wú)限長(zhǎng)鏈一維無(wú)限長(zhǎng)鏈 兩種原子兩種原子m和和M _( M m) _ 構(gòu)成一維復(fù)式格子構(gòu)成一維復(fù)式格子 M原子位于原子位于2n-1， 2n+1， 2n+3 m原子位于原子位于2n， 2n+2， 2n+4 同種原子間的距離同種原子間的距離2a_晶格常數(shù)晶格常數(shù) 系統(tǒng)有系統(tǒng)有N個(gè)原胞個(gè)原胞包含個(gè)自由度包含個(gè)自由度01/202121222(2)nnnnM (2) (21)221itna qitnaqnnAeandBe N個(gè)原胞，有個(gè)原胞，有2N個(gè)獨(dú)立的方程個(gè)獨(dú)立的方程 兩種原子兩種原子振動(dòng)的振幅振動(dòng)的振幅A和和B一般來(lái)說(shuō)一般

2、來(lái)說(shuō)是不同的是不同的 第第2n+1個(gè)個(gè)M原子的方程原子的方程222121(2)nnnnm 第第2n個(gè)個(gè)m原子的方程原子的方程方程解的形式方程解的形式22()2()2iaqiaqiaqiaqmAeeBAMBeeAB A、B有非零的解，系數(shù)行列式為零有非零的解，系數(shù)行列式為零2121222222121(2)(2)nnnnnnnnMm 第第2n+1個(gè)個(gè)M原子原子 第第2n個(gè)個(gè)m原子原子方程的解方程的解)12(12)2(2aqntinqnatinBeAe0)2(cos20cos2)2(22BMaqAaqBAm2222cos02cos2maqaqMsin)(41 1)(21222aqMmmMmMMm 一

3、維復(fù)式晶格中存在一維復(fù)式晶格中存在兩種獨(dú)立的格波兩種獨(dú)立的格波sin)(41 1)(21222aqMmmMmMMmsin)(41 1)(21222aqMmmMmMMmsin)(41 1)(21222aqMmmMmMMmsin)(41 1)(21222aqMmmMmMMm 與與q之間存在著兩之間存在著兩種不同的色散關(guān)系種不同的色散關(guān)系 一維復(fù)式格子存在一維復(fù)式格子存在兩種獨(dú)立的格波兩種獨(dú)立的格波 光學(xué)波光學(xué)波 聲學(xué)波聲學(xué)波05/20兩種格波的振幅兩種格波的振幅0)2()cos2(0)cos2()2(22BMAaqBaqAmaqmABcos22)(2aqmABcos22)(212222()411s

4、in ()mMmMaqmMmM 光學(xué)波光學(xué)波 聲學(xué)波聲學(xué)波相鄰原胞之間位相差相鄰原胞之間位相差 aq2)12(12)2(2aqntinqnatinBeAeM和和m原子振動(dòng)方程原子振動(dòng)方程1. q的取值的取值波矢波矢q的值的值aqa22采用周期性邊界條件采用周期性邊界條件nnNhaqN2)2(22qhaN2aq一維雙原子鏈的布里淵區(qū)22qhaNNaq h為整數(shù)為整數(shù)每個(gè)波矢的線度每個(gè)波矢的線度允許的允許的q值的數(shù)目值的數(shù)目NNaa/ 晶體中的原胞數(shù)目晶體中的原胞數(shù)目a. 描寫(xiě)晶格振動(dòng)的波矢描寫(xiě)晶格振動(dòng)的波矢q只能取分立的值。只能取分立的值。 對(duì)應(yīng)一個(gè)對(duì)應(yīng)一個(gè)q有兩支格波：一支聲學(xué)波和一支光學(xué)波有

5、兩支格波：一支聲學(xué)波和一支光學(xué)波b. 總的格波數(shù)目為總的格波數(shù)目為2N q的取值的取值重要結(jié)論n晶體中的格波的支數(shù)原胞內(nèi)原子的自由度J一種色散關(guān)系，即q，對(duì)應(yīng)一支格波n晶格振動(dòng)的模式數(shù)晶體中原子的總自由度J一種振動(dòng)模式對(duì)應(yīng)一個(gè)（ ， q ）2. 色散關(guān)系的特點(diǎn)色散關(guān)系的特點(diǎn) 2.1 短波極限短波極限2qa 兩種格波的頻率兩種格波的頻率212121min212121max)2()()()()()2()()()()(mmMMmmMMmMMmmM因?yàn)橐驗(yàn)?Mmmaxmin)()(出現(xiàn)出現(xiàn)“頻率的禁帶區(qū)頻率的禁帶區(qū)”maxmin)()(minmax()() 不存在格波不存在格波頻率間隙頻率間隙10/2

6、02.2 長(zhǎng)波極限長(zhǎng)波極限0qA 聲學(xué)波聲學(xué)波應(yīng)用應(yīng)用11/2xx 聲學(xué)波的色散關(guān)系聲學(xué)波的色散關(guān)系就是把一維鏈看作連續(xù)介質(zhì)就是把一維鏈看作連續(xù)介質(zhì)時(shí)的彈性波時(shí)的彈性波長(zhǎng)聲學(xué)波中相鄰原子的振動(dòng)長(zhǎng)聲學(xué)波中相鄰原子的振動(dòng)0, 0qaqmABcos22)(2 原胞中的兩個(gè)原子振動(dòng)的振幅相同，振動(dòng)方向一致原胞中的兩個(gè)原子振動(dòng)的振幅相同，振動(dòng)方向一致 代表原胞質(zhì)心的振動(dòng)代表原胞質(zhì)心的振動(dòng)2()aqmMB光學(xué)波光學(xué)波 長(zhǎng)波極限長(zhǎng)波極限0qsin)(41 1)(21222aqMmmMmMMm1)(sin)(422aqMmmM2,mMmMaqmABcos22)(2MmAB)( 長(zhǎng)光學(xué)波同種原子振動(dòng)位相一致，相

7、鄰原子振動(dòng)相反長(zhǎng)光學(xué)波同種原子振動(dòng)位相一致，相鄰原子振動(dòng)相反 原胞質(zhì)心保持不變的振動(dòng)，原胞中原子之間相對(duì)運(yùn)動(dòng)原胞質(zhì)心保持不變的振動(dòng)，原胞中原子之間相對(duì)運(yùn)動(dòng)習(xí)題n對(duì)于NaCl晶體，已知其恢復(fù)力常數(shù) 1.510-1N/cm。試求NaCl晶體中格波光學(xué)支的最高頻率和最低頻率；聲學(xué)支的最高頻率。n對(duì)于NaCl晶體，其密度2.18g/cm3,正負(fù)離子的平衡距離a2.8110-10m，光學(xué)支格波的最高頻率是3.6010-13rad/s 。試以一維雙原子鏈模型計(jì)算：nNaCl的恢復(fù)力常數(shù)；n長(zhǎng)聲學(xué)波的波速；nNaCl的體積模量。nCl和Na的原子量分別為35.5和23.0。例題例題 一維復(fù)式格子中，如果一維

8、復(fù)式格子中，如果計(jì)算計(jì)算1) 光學(xué)波頻率的最大值光學(xué)波頻率的最大值 和最小值和最小值 ，聲學(xué)波頻率，聲學(xué)波頻率的最大值的最大值 ；2) 相應(yīng)聲子的能量相應(yīng)聲子的能量 , 和和 ；3) 如果用電磁波激發(fā)光學(xué)波，要激發(fā)的聲子所用的電磁波如果用電磁波激發(fā)光學(xué)波，要激發(fā)的聲子所用的電磁波波長(zhǎng)在什么波段？波長(zhǎng)在什么波段？ 4) 在在 下，三種聲子數(shù)目各為多少？下，三種聲子數(shù)目各為多少？g1067. 1527km4mMmN /15OminAmaxOmaxKT300OEmaxOEminAEmax 1) 聲學(xué)波的最大頻率聲學(xué)波的最大頻率MA2maxsradA/10313max光學(xué)波的最大頻率光學(xué)波的最大頻率2

9、maxOMMmmM2 . 0光學(xué)波的最小頻率光學(xué)波的最小頻率15/204mMmN /15sradMO/107 . 62513maxsradmO/106213minOOEmaxmaxeVEO0442. 0maxOOEminmineVEO0396. 0minAAEmaxmaxeVEA0198. 0max2）相應(yīng)聲子的能量）相應(yīng)聲子的能量MA2max2maxOmO2mineVEO0442. 0maxm283）如果用電磁波激發(fā)光學(xué)波，要激發(fā)）如果用電磁波激發(fā)光學(xué)波，要激發(fā) 的聲子所用的電磁的聲子所用的電磁波波長(zhǎng)在什么波段？波波長(zhǎng)在什么波段？OmaxOmax對(duì)應(yīng)電磁波的能量和波長(zhǎng)對(duì)應(yīng)電磁波的能量和波長(zhǎng)

10、要激發(fā)的聲子所用的電磁波波長(zhǎng)在紅外波段要激發(fā)的聲子所用的電磁波波長(zhǎng)在紅外波段20/20sradO/107 . 613maxKT300)4光學(xué)波頻率的聲子數(shù)目光學(xué)波頻率的聲子數(shù)目11)(/maxmaxmaxTkOOBOeneVTkB026. 0eVEO442. 0max-8maxmax1014. 4)(OOn11)(/minminminTkOOBOen-7minmin1042. 2)(OOneVEO396. 0min聲學(xué)波頻率的聲子數(shù)目聲學(xué)波頻率的聲子數(shù)目11)(/maxmaxmaxTkAABAen-4maxmax1093. 4)(AAneVEA198. 0max3) 某一特定諧振子具有激發(fā)能某

11、一特定諧振子具有激發(fā)能的幾率的幾率)21( nnTknBnCeP/1/nTknnBnCePnTkTknBnBneeP/nTkBneC/1nTknTknnBBeeP/根據(jù)歸一化條件根據(jù)歸一化條件歸一化常數(shù)歸一化常數(shù))1 (/TkTknnBBeePnnnP1()2nnnP/(1)2BBk Tnk Tnene1)1 (xxnnnTknTknnBBeeP/頻率為頻率為 諧振子的平均能量諧振子的平均能量2)1 (xxnxnn)2111(/TkBe)(21)(qqnii頻率為頻率為 諧振子的能量諧振子的能量11)(/TkiBieqn第第i個(gè)個(gè)q態(tài)的平均數(shù)聲子態(tài)的平均數(shù)聲子/Bk Txe/Bk TxeKT3

12、00光學(xué)波頻率的聲子數(shù)目光學(xué)波頻率的聲子數(shù)目11)(/maxmaxmaxTkOOBOeneVTkB026. 0eVEO442. 0max-8maxmax1014. 4)(OOn11)(/minminminTkOOBOen-7minmin1042. 2)(OOneVEO396. 0min聲學(xué)波頻率的聲子數(shù)目聲學(xué)波頻率的聲子數(shù)目11)(/maxmaxmaxTkAABAen-4maxmax1093. 4)(AAneVEA198. 0max三維晶格的振動(dòng)n三維晶格振動(dòng)的動(dòng)力學(xué)方程組三維晶格振動(dòng)的動(dòng)力學(xué)方程組nq q取值與倒格子空間取值與倒格子空間n布里淵區(qū)布里淵區(qū)n例題例題三維復(fù)式格子三維復(fù)式格子各原

13、子偏離格點(diǎn)的位移各原子偏離格點(diǎn)的位移晶體的原胞數(shù)目晶體的原胞數(shù)目321NNNN 原子的質(zhì)量原子的質(zhì)量nmmmm,321第第l個(gè)原胞的位置個(gè)原胞的位置332211)(alalallR原胞中各原子的位置原胞中各原子的位置nlRlRlRlR,3,2,1nllll,3,2,1 一個(gè)原胞中有一個(gè)原胞中有n個(gè)原子個(gè)原子01/19三維晶格振動(dòng)的動(dòng)力學(xué)方程組三維晶格振動(dòng)的動(dòng)力學(xué)方程組 第第k個(gè)原子運(yùn)動(dòng)方程個(gè)原子運(yùn)動(dòng)方程 klklmk23, 2, 1 原子在三個(gè)方向上的位移分量原子在三個(gè)方向上的位移分量 一個(gè)原胞中有一個(gè)原胞中有3n個(gè)類(lèi)似的方程個(gè)類(lèi)似的方程方程右邊是原子位移的線性齊次函數(shù)，其方程的解方程右邊是原

14、子位移的線性齊次函數(shù)，其方程的解qklRtikeAkl將方程解代回將方程解代回3n個(gè)運(yùn)動(dòng)方程個(gè)運(yùn)動(dòng)方程2,kkkkAkkqCAm;,;,;,222111nznynxzyxzyxAAAAAAAAA 3n個(gè)線性齊次方程個(gè)線性齊次方程 系數(shù)行列式為零條件，得到系數(shù)行列式為零條件，得到3n個(gè)個(gè))3, 3, 2, 1(njj長(zhǎng)波極限長(zhǎng)波極限0q存在存在3個(gè)解個(gè)解qj 趨于一致趨于一致nAAAA,321 三個(gè)頻率對(duì)應(yīng)的格波描述不同原胞之間的相對(duì)運(yùn)動(dòng)三個(gè)頻率對(duì)應(yīng)的格波描述不同原胞之間的相對(duì)運(yùn)動(dòng) 3支聲學(xué)波支聲學(xué)波1, 2,3;1, 2, 3;1, 2,knk 3n3支長(zhǎng)波極限的格波描述一個(gè)原胞中各原子間的相

15、支長(zhǎng)波極限的格波描述一個(gè)原胞中各原子間的相對(duì)運(yùn)動(dòng)對(duì)運(yùn)動(dòng) 3n3支光學(xué)波支光學(xué)波即：1.晶體中的格波的支數(shù)原胞內(nèi)的自由度數(shù)。2.若晶體中一個(gè)原胞中有n個(gè)原子組成，則有3n支格波，其中3支聲學(xué)波、3n3支光學(xué)波。3.若晶體為二維結(jié)構(gòu)，則有2n支格波，相應(yīng)的有2支是聲學(xué)波，2n-2支光學(xué)波。4.若晶體為一維結(jié)構(gòu)，則有n支格波，相應(yīng)的有1支聲學(xué)波，n-1支光學(xué)波。 金剛石有幾支聲學(xué)波，幾支光學(xué)波？q取值與倒格子空間波矢波矢332211bxbxbxq 波矢空間的波矢空間的3個(gè)基矢?jìng)€(gè)基矢321,bbb 倒格子基矢倒格子基矢123,x xx 3個(gè)系數(shù)個(gè)系數(shù)qklRtikeAkl1 12233llllllRN

16、 aRRN aRRN aR)()()(333333222222111111bxklRaNtikzbxklRtikzzbxklRaNtikybxklRtikyybxklRaNtikxbxklRtikxxzzyyxxeAeAkleAeAkleAeAkl采用波恩卡曼邊界條件采用波恩卡曼邊界條件1 1 1 1122222333 332,2,2N a x bhN a x bhN a x bh333222111bNhbNhbNhq波矢波矢波矢空間一個(gè)點(diǎn)占據(jù)的體積波矢空間一個(gè)點(diǎn)占據(jù)的體積123123*()bbbVNNN0*vN 倒格子原胞體積倒格子原胞體積)(*3210bbbv狀態(tài)密度狀態(tài)密度0123*()

17、NNvbbb033(2 )(2 )NvV333333332222222211111111222NhxbaNhxNhxbaNhxNhxbaNhx波矢的取值波矢的取值_ h1 h2 h3 原子振動(dòng)波函數(shù)原子振動(dòng)波函數(shù)qlRie)(波矢改變一個(gè)倒格矢波矢改變一個(gè)倒格矢332211bnbnbnGnnGqqqlRiqGlRieen)()()(1 12233( )2 ()nR lGl nl nl nqklRtikeAkl 不同原胞之間位相聯(lián)系不同原胞之間位相聯(lián)系 原子振動(dòng)狀態(tài)一樣原子振動(dòng)狀態(tài)一樣從原子振動(dòng)考查，q的作用只在于確定不同原胞之間振動(dòng)位相的聯(lián)系為了得到所有不同的格波，也只需考慮一定范圍的為了得到

18、所有不同的格波，也只需考慮一定范圍的q值值q的取值限制在一個(gè)倒格子原胞中的取值限制在一個(gè)倒格子原胞中 第一布里淵區(qū)第一布里淵區(qū)2211bqbx2222bqby2233bqbz333222111bNhbNhbNhq11122NNh22222NhN22333NhN 個(gè)取值個(gè)取值321NNNN 111222333xyzhqbNhqbNhqbN由于邊界條件允許的q的分布密度為3/ 2V因此不同q的總數(shù)為倒格子原胞的體積3/ 2VN3*0033*0002/ 2/ 2vvvVvvNN對(duì)應(yīng)于一個(gè)波矢對(duì)應(yīng)于一個(gè)波矢q 3支聲學(xué)波和支聲學(xué)波和3n3支光學(xué)波支光學(xué)波總的格波數(shù)目總的格波數(shù)目nNnN3) 333(結(jié)

19、論：1. 在簡(jiǎn)約布里淵區(qū)范圍內(nèi)，晶格中振動(dòng)波矢q數(shù)晶格的原胞數(shù)，即存在N個(gè)波矢。2.晶格振動(dòng)的模式數(shù)（振動(dòng)狀態(tài)數(shù)）晶體的總自由度數(shù)3nN正好等于晶體Nn個(gè)原子的自由度上述的格波已概括了晶體的全部振動(dòng)模例1：若晶體A為簡(jiǎn)單立方結(jié)構(gòu)，B為閃鋅礦結(jié)構(gòu)，它們立方單胞的邊長(zhǎng)均為4埃，晶體均為4*4*4cm3，試求：a)原胞體積；b)布里淵區(qū)體積；c)每個(gè)原胞中原子數(shù)；d)晶格中原子數(shù)；e)格波總數(shù)；f)光學(xué)波支數(shù)；g)聲學(xué)波支數(shù)；h)q空間代表點(diǎn)密度；i)格波波矢取分立值的個(gè)數(shù)。布里淵區(qū)Brillouin Zone n簡(jiǎn)約布里淵區(qū)/第一布里淵區(qū)：由原點(diǎn)出發(fā)的各倒格子矢量的垂直平分面，由這些平面所圍成的最

20、小體積。n其體積倒格子原胞體積n環(huán)繞原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)；是單連通區(qū)域n第一布里淵區(qū)界面與次遠(yuǎn)垂直平分面所圍成的區(qū)域?yàn)榈诙诙祭餃Y區(qū)布里淵區(qū)；第一、第二布里淵區(qū)與再次遠(yuǎn)垂直平分面所圍成的區(qū)域?yàn)榈谌祭餃Y區(qū)第三布里淵區(qū)。n各布里淵區(qū)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)。n除第一布里淵區(qū)外，其它區(qū)并不是但連通區(qū)域。n任一布里淵區(qū)的面積（二維）/體積（三維）之和倒易空間中原胞的體積。n布里淵區(qū)的形狀取決于晶體的布拉伐格子。第一布里淵區(qū)實(shí)際是倒易點(diǎn)陣的維格納賽茨原胞。二維布里淵區(qū)二維布里淵區(qū) 正方格子的布里淵區(qū)正方格子的布里淵區(qū) 正方格子的基矢正方格子的基矢12aaiaaj倒格子原胞基矢倒格子原胞基矢jabiab222110/19維格

21、納賽茨原胞Wigner-Seitz 簡(jiǎn)化版作法n為了確定WS原胞，實(shí)際上往往只需作出由原點(diǎn)到最近鄰及次近鄰的連接直線，再檢查它們的垂直平分面在原點(diǎn)附近所圍成的凸多面體的體積是否與原胞體積相等而決定是否需要作更多的連接直線。n最近鄰、次近鄰是否圍成閉合多面體n檢查圍成的多面體體積？=原胞體積n點(diǎn)陣的格點(diǎn)處于原胞的中心nWS原胞只含一個(gè)格點(diǎn)，其體積=原胞體積 第一布里淵區(qū)第一布里淵區(qū)倒格子空間離原點(diǎn)最近的四個(gè)倒格點(diǎn)倒格子空間離原點(diǎn)最近的四個(gè)倒格點(diǎn)1122,bbbb垂直平分線方程垂直平分線方程xyqaqa 第一布里淵區(qū)第一布里淵區(qū)大小大小2)2(a 第二布里淵區(qū)：第二布里淵區(qū)：第一布里淵區(qū)界面與次遠(yuǎn)

22、垂直平分面所圍第一布里淵區(qū)界面與次遠(yuǎn)垂直平分面所圍成的區(qū)域成的區(qū)域由由4個(gè)倒格點(diǎn)個(gè)倒格點(diǎn)12121212()()()()bbbbbbbb2)2(a 第二布里淵區(qū)大第二布里淵區(qū)大小小的垂直平分線和第一的垂直平分線和第一布里淵區(qū)邊界所圍成布里淵區(qū)邊界所圍成由由4個(gè)倒格點(diǎn)個(gè)倒格點(diǎn)12122 ,22 ,2bbbb 第三布里淵區(qū)：第一、第三布里淵區(qū)：第一、第二布里淵區(qū)邊界與再次遠(yuǎn)垂直平第二布里淵區(qū)邊界與再次遠(yuǎn)垂直平分面所圍成的區(qū)域分面所圍成的區(qū)域2)2(a第三布里淵區(qū)大小第三布里淵區(qū)大小的垂直平分線和第二布的垂直平分線和第二布里淵區(qū)邊界邊界所圍成里淵區(qū)邊界邊界所圍成第一、第二和第三布里淵區(qū)第一、第二和第

23、三布里淵區(qū) 正方格子其它布里淵區(qū)的形成正方格子其它布里淵區(qū)的形成 15/19 正方格子其它布里淵區(qū)的形狀正方格子其它布里淵區(qū)的形狀 每個(gè)布每個(gè)布里淵區(qū)經(jīng)過(guò)適里淵區(qū)經(jīng)過(guò)適當(dāng)?shù)钠揭浦螽?dāng)?shù)钠揭浦蠛偷谝徊祭餃Y和第一布里淵區(qū)重合區(qū)重合 二維六角格子其它布里淵區(qū)的形成二維六角格子其它布里淵區(qū)的形成 二維六角格子其它布里淵區(qū)的形狀二維六角格子其它布里淵區(qū)的形狀 每個(gè)布里每個(gè)布里淵區(qū)經(jīng)過(guò)適當(dāng)淵區(qū)經(jīng)過(guò)適當(dāng)?shù)钠揭浦蠛偷钠揭浦蠛偷谝徊祭餃Y區(qū)第一布里淵區(qū)重合重合 二維斜格子的第一布里淵區(qū)二維斜格子的第一布里淵區(qū) 三維三維簡(jiǎn)單立方簡(jiǎn)單立方結(jié)構(gòu)晶格點(diǎn)陣的簡(jiǎn)約布里淵區(qū)結(jié)構(gòu)晶格點(diǎn)陣的簡(jiǎn)約布里淵區(qū) 倒格子為簡(jiǎn)單立方 原

24、點(diǎn)和六個(gè)近鄰格點(diǎn)連線的垂直平分面，簡(jiǎn)單立方 三維三維體心立方體心立方結(jié)構(gòu)晶格點(diǎn)陣的簡(jiǎn)約布里淵區(qū)結(jié)構(gòu)晶格點(diǎn)陣的簡(jiǎn)約布里淵區(qū) 倒格子為面心立方 原點(diǎn)和十二個(gè)近鄰格點(diǎn)連線的垂直平分面，正十二面體 三維三維面心立方面心立方結(jié)構(gòu)晶格點(diǎn)陣的簡(jiǎn)約布里淵區(qū)結(jié)構(gòu)晶格點(diǎn)陣的簡(jiǎn)約布里淵區(qū) 倒格子為體心立方 截角八面體 例例2：金剛石的色散關(guān)系。沿100與111的兩支橫波發(fā)生簡(jiǎn)并 Si的聲子色散關(guān)系。圓與三角點(diǎn)為測(cè)量值，實(shí)線為計(jì)算值。人們常用約化波矢q(2/a)。沿100及111方向，兩支橫波發(fā)生簡(jiǎn)并；在點(diǎn)處，縱向光學(xué)支與橫向光學(xué)支發(fā)生簡(jiǎn)并b) 兩相鄰的布里淵區(qū)。 3 .8 3 .8 晶格熱容的量子理論n晶格熱容-定

25、義，經(jīng)典理論，實(shí)驗(yàn)相關(guān)n晶格熱容的量子理論 n總能量和總熱容n能譜分布函數(shù)n愛(ài)因斯坦模型n徳拜模型熱容熱容 heat capacity 熱容：一個(gè)系統(tǒng)在某一過(guò)程中溫度升高1k所吸收的熱量。以Q表示系統(tǒng)在某一過(guò)程中溫度升高T所吸收的熱量，則系統(tǒng)在該過(guò)程的熱容量C為：0lim( / )TQCJ kT 在等容過(guò)程中，系統(tǒng)的體積不變，外界對(duì)系統(tǒng)不作功，W=0.的函數(shù)。、也是的函數(shù)，因而、是對(duì)于一般的簡(jiǎn)單系統(tǒng)，率。下，內(nèi)能隨溫度的變化表示在體積不變的條件VTCVTUTUTUTUTQCQWUUVVVVTVTVAB)()()(lim)(lim00的函數(shù)。、也是的函數(shù)，因而、是對(duì)于一般的簡(jiǎn)單系統(tǒng)，率。下，內(nèi)能

26、隨溫度的變化表示在體積不變的條件VTCVTUTUTUTUTQCQWUUVVVVTVTVAB)()()(lim)(lim00的函數(shù)。、也是的函數(shù)，因而、是對(duì)于一般的簡(jiǎn)單系統(tǒng)，率。下，內(nèi)能隨溫度的變化表示在體積不變的條件VTCVTUTUTUTUTQCQWUUVVVVTVTVAB)()()(lim)(lim00晶格振動(dòng)對(duì)熱容的貢獻(xiàn)晶格振動(dòng)對(duì)熱容的貢獻(xiàn) 經(jīng)典理論經(jīng)典理論n玻耳茲曼分布導(dǎo)出能量均分定理：對(duì)于處在溫度為T(mén)的平衡狀態(tài)的經(jīng)典系統(tǒng)，粒子能量中的每個(gè)平方項(xiàng)的平均值n固體中的原子在其平衡位置附近作微小振動(dòng)，假設(shè)各原子的振動(dòng)是相互獨(dú)立的簡(jiǎn)諧振動(dòng)。原子在一個(gè)自由度上的能量為： 有兩個(gè)平方項(xiàng)。由于每個(gè)原子

27、有3個(gè)自由度，根據(jù)能量均分定理，在溫度為T(mén)時(shí)，一個(gè)原子的平均能量為nN N個(gè)原子總的內(nèi)能為個(gè)原子總的內(nèi)能為 E=3NkE=3NkB BT T，熱容，熱容Cv=3NkCv=3NkB B=3R=3R是一個(gè)是一個(gè)與溫度和材料性質(zhì)無(wú)關(guān)的常數(shù)與溫度和材料性質(zhì)無(wú)關(guān)的常數(shù)TkB212222121qmpmTkB3 杜隆杜隆 珀替定律珀替定律實(shí)驗(yàn)相關(guān)實(shí)驗(yàn)相關(guān)：固體的定容熱容固體的定容熱容VVTEC)(E 固體的平均內(nèi)能固體的平均內(nèi)能 固體內(nèi)能包括固體內(nèi)能包括晶格振動(dòng)的能量晶格振動(dòng)的能量和和電子熱運(yùn)動(dòng)的能量電子熱運(yùn)動(dòng)的能量實(shí)驗(yàn)結(jié)果：低溫下，金屬的熱容實(shí)驗(yàn)結(jié)果：低溫下，金屬的熱容3ATTCV 溫度不是太低的情況，忽

28、略電子對(duì)比熱的貢獻(xiàn)溫度不是太低的情況，忽略電子對(duì)比熱的貢獻(xiàn)T 電子對(duì)比熱的貢獻(xiàn)電子對(duì)比熱的貢獻(xiàn)3AT 晶格振動(dòng)對(duì)比熱的貢獻(xiàn)晶格振動(dòng)對(duì)比熱的貢獻(xiàn)01/20 在高溫下，這條定律與實(shí)驗(yàn)符合的很好。在高溫下，這條定律與實(shí)驗(yàn)符合的很好。 實(shí)驗(yàn)表明在低溫時(shí)，熱容量隨溫度迅速趨于零實(shí)驗(yàn)表明在低溫時(shí)，熱容量隨溫度迅速趨于零 !實(shí)驗(yàn)結(jié)論：實(shí)驗(yàn)結(jié)論：固體的定容熱容固體的定容熱容VVTEC)(E 固體的平均內(nèi)能固體的平均內(nèi)能 固體內(nèi)能包括固體內(nèi)能包括晶格振動(dòng)的能量晶格振動(dòng)的能量和和電子熱運(yùn)動(dòng)的能量電子熱運(yùn)動(dòng)的能量01/20 在高溫下，熱容在高溫下，熱容=3R，與理論結(jié)果一致。，與理論結(jié)果一致。 在低溫下，熱容量隨溫

29、度迅速趨于零在低溫下，熱容量隨溫度迅速趨于零 !為了解決這一矛盾，愛(ài)因斯坦發(fā)展了普朗克的量子假說(shuō)，第一次提出了量子的熱容量理論，這項(xiàng)成就在量子理論發(fā)展中占有重要地位n低溫下：n絕緣體熱容與溫度的關(guān)系為：CV=bT3n金屬熱容與溫度的關(guān)系為： CV=bT3+T bT3是晶格熱容，在低溫下遵從徳拜T3定律。T 是自由電子熱容。低溫情況下，晶格熱容不占絕對(duì)優(yōu)勢(shì)，因而不能忽略電子對(duì)熱容的貢獻(xiàn)。n高溫下，金屬和絕緣體熱容=3R，可用經(jīng)典熱容理論描述。晶格熱容的量子理論晶格熱容的量子理論根據(jù)量子理論，各個(gè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)的能量是量子化的，為1()2jjjEn把晶體視作一個(gè)熱力學(xué)系統(tǒng)，在簡(jiǎn)諧近似下各簡(jiǎn)正坐標(biāo)1,2,

30、3jQiN所代表的振動(dòng)是相互獨(dú)立的，因而可以認(rèn)為這些振子構(gòu)成近獨(dú)立的子系，可直接寫(xiě)出它們的統(tǒng)計(jì)平均能量晶格熱容的量子理論晶格熱容的量子理論 一個(gè)頻率為一個(gè)頻率為 j的的振動(dòng)模對(duì)熱容的貢獻(xiàn)振動(dòng)模對(duì)熱容的貢獻(xiàn)/jjBjjjBjnk Tnnk TnePe1()2jjjEn頻率為頻率為 j的的振動(dòng)模由一系列量子能級(jí)為振動(dòng)模由一系列量子能級(jí)為 組成組成 子體系子體系/jBjEk TnPCe子體系處于量子態(tài)子體系處于量子態(tài) 的概率的概率1()2jjjEn/(1)jjBjBjnk Tk TnPee1)1 (xxnn頻率頻率 j格波的平均聲子數(shù)格波的平均聲子數(shù)一個(gè)振動(dòng)模的平均能量一個(gè)振動(dòng)模的平均能量 與晶格振

31、動(dòng)頻率和溫度有關(guān)系與晶格振動(dòng)頻率和溫度有關(guān)系 VjVdTEdC)(/2/2()(1)jBjBk TjVBk TBeCkk Te 一個(gè)振動(dòng)模對(duì)熱容貢獻(xiàn)一個(gè)振動(dòng)模對(duì)熱容貢獻(xiàn)/1( )21jBjjjk TE TejjjnjnEP E振動(dòng)模的平均能量振動(dòng)模的平均能量222(1)()1()2jjBVBjjBBBk TCkk Tk Tk T1/,TkTkBjjB即BVkC 1. 高溫極限高溫極限/2/2()(1)jBjBk TjVBk TBeCkk Te 與杜隆與杜隆 珀替定律相符珀替定律相符/211()2jBk TjjBBek Tk T 一個(gè)振動(dòng)模對(duì)熱容貢獻(xiàn)一個(gè)振動(dòng)模對(duì)熱容貢獻(xiàn) 忽略不計(jì)忽略不計(jì)Rema

32、rks:當(dāng)振子能量遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于能量的量子時(shí)，量子化的效應(yīng)可能忽略jBTk2/1()jBjVBk TBCkk Te0T0VC2. 低溫極限低溫極限1/TkBje 與實(shí)驗(yàn)結(jié)果相符與實(shí)驗(yàn)結(jié)果相符/2/2()(1)jBjBk TjVBk TBeCkk Te 一個(gè)振動(dòng)模對(duì)熱容貢獻(xiàn)一個(gè)振動(dòng)模對(duì)熱容貢獻(xiàn)Remarks:此時(shí)，振動(dòng)被“凍結(jié)”在基態(tài)，很難被熱激發(fā)，因而對(duì)熱容的貢獻(xiàn)趨于零B. 晶體中有晶體中有3N個(gè)振動(dòng)模，總的能量個(gè)振動(dòng)模，總的能量NjjTETE31)()(NjjVVCC31NjjVdTTEdC31)(晶體總的熱容晶體總的熱容/32/21()(1)jBjBk TNjVBk TjBeCkk Te愛(ài)因斯坦

33、模型愛(ài)因斯坦模型 N個(gè)原子構(gòu)成的晶體，個(gè)原子構(gòu)成的晶體，假設(shè)所有的原子以相同的頻率假設(shè)所有的原子以相同的頻率 0振動(dòng)振動(dòng) VVTEC)(000/3321Bk TNNe3/11()21jBNjjk TjEe2/20) 1()(300TkTkBBBBeeTkNk/1( )21jBjjjk TE Te一個(gè)振動(dòng)模式的平均能量一個(gè)振動(dòng)模式的平均能量晶體熱容晶體熱容總能量總能量)(30TkfNkCBBBV愛(ài)因斯坦溫度愛(ài)因斯坦溫度EBk0BEk02/2) 1()(3TTEBVEEeeTNkC 選取合適的選取合適的 E值，在較大溫度變化的范圍內(nèi)，理論計(jì)值，在較大溫度變化的范圍內(nèi)，理論計(jì)算的結(jié)果和實(shí)驗(yàn)結(jié)果相當(dāng)好

34、地符合算的結(jié)果和實(shí)驗(yàn)結(jié)果相當(dāng)好地符合 大多數(shù)固體大多數(shù)固體KKE3001002/200) 1()()(00TkTkBBBBBeeTkTkf 愛(ài)因斯坦熱容函數(shù)愛(ài)因斯坦熱容函數(shù)金剛石金剛石KE1320理論計(jì)算和實(shí)驗(yàn)結(jié)果比較理論計(jì)算和實(shí)驗(yàn)結(jié)果比較 22/2/2/)(1) 1(TTTTEEEEeeee22)()22(1EEETTTBVNkC31. 溫度較高時(shí)溫度較高時(shí) 10TkB2/2) 1()(3TTEBVEEeeTNkCTE 與杜隆與杜隆 珀替定律相符珀替定律相符0BEk 晶體熱容晶體熱容2. 溫度非常低時(shí)溫度非常低時(shí)10TkBTETkBBVBeTkNkC020)(31/TEe 按溫度的指數(shù)形式降

35、低按溫度的指數(shù)形式降低實(shí)驗(yàn)測(cè)得結(jié)果實(shí)驗(yàn)測(cè)得結(jié)果3ATCV 愛(ài)因斯坦模型忽略了各格波的頻率差別愛(ài)因斯坦模型忽略了各格波的頻率差別0BEk 2/2) 1()(3TTEBVEEeeTNkC晶體熱容晶體熱容德拜模型德拜模型 Debye model1912年德拜提出以連續(xù)介質(zhì)的彈性波來(lái)代表格波，將布拉年德拜提出以連續(xù)介質(zhì)的彈性波來(lái)代表格波，將布拉伐晶格看作是各向同性的連續(xù)介質(zhì)伐晶格看作是各向同性的連續(xù)介質(zhì) 有有1個(gè)縱波和個(gè)縱波和2個(gè)獨(dú)立的橫波個(gè)獨(dú)立的橫波ltC qFor LognitudinalWaveC qFor TransverseWave 不同不同q的縱波和橫波，構(gòu)成了晶格的全部振動(dòng)模的縱波和橫波

36、，構(gòu)成了晶格的全部振動(dòng)模 不同的振動(dòng)模，能量不同不同的振動(dòng)模，能量不同色散關(guān)系色散關(guān)系考慮了頻率分布考慮了頻率分布三維晶格，態(tài)密度三維晶格，態(tài)密度 V: 晶體體積晶體體積3)2(V 受邊界條件限制波矢受邊界條件限制波矢q分立取值，允許的取值在分立取值，允許的取值在q空間空間形成了均勻分布的點(diǎn)子形成了均勻分布的點(diǎn)子體積元體積元zyxdqdqdqqdqdV3)2(態(tài)的數(shù)目態(tài)的數(shù)目 q是近連續(xù)變化的是近連續(xù)變化的dqqV234)2(dqqq振動(dòng)數(shù)目振動(dòng)數(shù)目頻率在頻率在 之間振動(dòng)模式的數(shù)目之間振動(dòng)模式的數(shù)目 ddgdn)(pqv各向同性的介質(zhì)各向同性的介質(zhì) 頻率也近似于連續(xù)取值頻率也近似于連續(xù)取值 振

37、動(dòng)頻率分布函數(shù)，或者振動(dòng)模的態(tài)密度函數(shù)振動(dòng)頻率分布函數(shù)，或者振動(dòng)模的態(tài)密度函數(shù) )(g一個(gè)振動(dòng)模的熱容一個(gè)振動(dòng)模的熱容 /2/2()(1)jBjBk TjjBk TBeCkk Te晶體總的熱容晶體總的熱容 /2/20()( )(1)mBBk TVBk TBeCkgdk Te 振動(dòng)頻率分布函數(shù)振動(dòng)頻率分布函數(shù) 和和 m的計(jì)算的計(jì)算)(g頻率在頻率在 之間，縱波數(shù)目之間，縱波數(shù)目ddqqV234)2(lCqdCVl2322頻率在頻率在 之間，格波數(shù)目之間，格波數(shù)目d22322tVdC頻率在頻率在 之間，橫波數(shù)目之間，橫波數(shù)目d233212()2ltVdCC波矢的數(shù)值在波矢的數(shù)值在 之間的振動(dòng)方式的

38、數(shù)目之間的振動(dòng)方式的數(shù)目dqqqlCddq頻率分布函數(shù)頻率分布函數(shù)2233( )2VgC333213tlCCC格波總的數(shù)目格波總的數(shù)目dVCCtl22332)21(頻率在頻率在 間，格波數(shù)目間，格波數(shù)目dmdgN0)(321/36()mNCVdeeTkkCVTkTkBBBBm22/2032) 1()(23晶體總的熱容晶體總的熱容 /2/20()( )(1)mBBk TVBk TBeCkgdk TedeeTkkCVCTkTkBBVBBm22/2032) 1()(23德拜溫度德拜溫度BmDkTDDVDdeeTRTC/0243) 1()(9)/(晶體總的熱容晶體總的熱容 TkB令令)(3)/(TRf

39、TCDDDVTDDDDdeeTTf/0243) 1()( 3)(德拜熱容函數(shù)德拜熱容函數(shù)DT1TkB1eTDDDDdTTf/023) 1()( 3)(1RCV3在高溫極限下在高溫極限下)(3)/(TRfTCDDDV晶體總的熱容晶體總的熱容 與杜隆珀替定律一致與杜隆珀替定律一致TDDDDdeeTTf/0243) 1()( 3)(德拜熱容函數(shù)德拜熱容函數(shù)BDmk 低溫極限低溫極限D(zhuǎn)T TDDVDdeeTRTC/0243) 1()(9)/(4312(/)()15VDDTCTR T3成正比成正比 德拜定律德拜定律 溫度愈低時(shí)，德拜模型近似計(jì)算結(jié)果愈好溫度愈低時(shí)，德拜模型近似計(jì)算結(jié)果愈好 溫度很低時(shí)，主

40、要的只有長(zhǎng)波格波的激發(fā)溫度很低時(shí)，主要的只有長(zhǎng)波格波的激發(fā)0243) 1()(9deeTRD1Bk TBDmk 晶體熱容晶體熱容 晶體熱容晶體熱容 01/10晶體中同時(shí)可以存在不同頻率的簡(jiǎn)諧振動(dòng)晶體中同時(shí)可以存在不同頻率的簡(jiǎn)諧振動(dòng) 不同頻率的振動(dòng)模對(duì)應(yīng)不同的能量不同頻率的振動(dòng)模對(duì)應(yīng)不同的能量給定晶體，總的振動(dòng)模數(shù)目是一定的給定晶體，總的振動(dòng)模數(shù)目是一定的按振動(dòng)頻率分布按振動(dòng)頻率分布 g() 用晶格振動(dòng)模式密度來(lái)描述用晶格振動(dòng)模式密度來(lái)描述3 .3 .振動(dòng)模式密度函數(shù)振動(dòng)模式密度函數(shù)2233( )2VgC 鉀的模式密度與德拜近似模式密度的比較01/10 從振動(dòng)模式密度，研究晶格熱容、晶體電學(xué)、光

41、學(xué)性質(zhì)從振動(dòng)模式密度，研究晶格熱容、晶體電學(xué)、光學(xué)性質(zhì)晶格振動(dòng)模式密度晶格振動(dòng)模式密度 單位頻率間隔，振動(dòng)模式的數(shù)目單位頻率間隔，振動(dòng)模式的數(shù)目 0( )limng 在在q空間，晶格振動(dòng)模是均勻分布的，狀態(tài)密度空間，晶格振動(dòng)模是均勻分布的，狀態(tài)密度兩個(gè)等頻率面兩個(gè)等頻率面 和和之間的振動(dòng)模式數(shù)目之間的振動(dòng)模式數(shù)目根據(jù)根據(jù)做出一個(gè)等頻率面做出一個(gè)等頻率面常數(shù))(q)(*)2(3的等頻率面間的體積和頻率為Vn 2,)2(,)2(23LSV3(2 )Vndsdq 頻率是頻率是q的連續(xù)函數(shù)的連續(xù)函數(shù)( )qq dq )(*)2(3的等頻率面間的體積和頻率為Vn( )qdqq3(2 )( )qVndsq

42、 3(2 )( )qVndsq 3(2 )( )qVdsnq 振動(dòng)模式密度函數(shù)振動(dòng)模式密度函數(shù)3( )(2 )( )qVdsgq0( )limng 簡(jiǎn)單幾種情況下振動(dòng)模式密度的表示簡(jiǎn)單幾種情況下振動(dòng)模式密度的表示 例例1 一維單原子鏈一維單原子鏈 LNa色散關(guān)系色散關(guān)系 最大頻率最大頻率sin()2maq4mm3( )(2 )( )qVdsgq4sin()2aqm振動(dòng)模式密度振動(dòng)模式密度1( )2( )qLgq一維情況下一維情況下考慮到一個(gè)頻率可以有考慮到一個(gè)頻率可以有 兩個(gè)值兩個(gè)值q1( )22( )qLgq( )cos()22mqaaqq2( )1sin ()22mqaaqq222ma2221( )mNg振動(dòng)模式密度振動(dòng)模式密度sin()2maq05/10也可以直接由也可以直接由q空間的狀態(tài)密度來(lái)計(jì)算空間的狀態(tài)密度來(lái)計(jì)算2L22Ldndq22L dqdndd( )L dqgd2221( )mNg狀態(tài)密度狀態(tài)密度sin()2maq振動(dòng)模式密度振動(dòng)模式密度例例2 德拜近似下的振動(dòng)模式密度德拜近似下的振動(dòng)模式密度 振動(dòng)頻率與波矢成正比振動(dòng)頻率與波矢成正比cq( )qqc3( )(2 )( )qVdsgq231( )4 ()(2 )Vgcc223( )2Vgc24dsq例例3 色