高等代數(shù)上題庫.DOC

1、高等代數(shù)題庫第一章 多項式一填空題1、設(shè)用 x-1 除 f(x) 余數(shù)為 5，用x+1 除 f(x) 余數(shù)為 7，則用 x 2-1 除f(x) 余數(shù)是 。2、當(dāng) p(x)是 多項式時，由 p(x)| f(x)g(x) 可推出 p(x)|f(x) 或 p(x)|g(x)。3、當(dāng) f(x) 與 g(x) 時，由 f(x)|g(x)h(x) 可推出 f(x)|h(x)。4、設(shè) f(x)=x3+3x2+ax+b 用 x+1 除余數(shù)為 3，用 x-1 除余數(shù)為 5，那么 a= b。5、設(shè) f(x)=x4 2+3x -kx+2 用 x-1 除余數(shù)為 3，則 k= 。6、如果(x 2-1)2|x4-3x3+

2、6x2+ax+b，則 a= b= 。7、如果 f(x)=x3-3x+k 有重根，那么 k= 。8、以 l 為二重根， 2，1+i 為單根的次數(shù)最低的實系數(shù)多項式為 f(x)= 。9、已知 1-i 是 f(x)=x4-4x3+5x2-2x-2 的一個根，則 f(x) 的全部根是 。10、如果（f(x),g(x) ）=1，（h(x),g(x)）=1 則 。1 1、設(shè) p(x)是不可約多項式， p(x)|f(x)g(x), 則 。12、如果 f(x)|g(x),g(x)|h(x) ，則 。13、設(shè) p(x)是不可約多項式， f(x) 是任一多項式，則 。14、若 f(x)|g(x)+h(x),f(x

3、)|g(x) ，則 。15、若 f(x)|g(x),f(x)| h(x) ，則 。16、若 g(x)|f(x),h(x)|f(x) ，且(g(x),h(x)=1 ，則 。17、若 p(x) |g(x)h(x), 且 則 p(x)|g(x)或 p(x)|h(x)。18、若 f(x)|g(x)+h(x) 且 f(x)|g(x)-h(x), 則 。19、是 f(x) 的根的充分必要條件是 。20、f(x) 沒有重根的充分必要條件是 。答案1、-x+6 2、不可約 3、互素 4、a=0,b=1 5、k=3 6、a=3,b=-7 7、k=28、x 5-6x4+15x3-20x2+14x-4 9、1-i,

4、1+i 1+ 2 ,1- 2 10、(f(x)h(x),g(x)=1 11、p(x)|f(x) 或 p(x)|g(x) 12、f(x)|h(x) 13、p(x)|f(x) 或(p(x),f(x)=1 14、f(x)|h(x) 15、f(x)|g(x)+h(x) 16、g(x)h(x)|f(x) 17、p(x)是不可約多項式 18、f(x)|g(x) 且f(x)|h(x) 19、x- |f(x) 20、(f(x),f (x)=11二判斷并說明理由21、數(shù)集 a bi | a,b是有理數(shù),i 1 是數(shù)域（ ）22、數(shù)集 a bi | a,b是整數(shù),i 1 是數(shù)域 （ ）3、若 f(x)|g(x)h

5、(x),f(x)|g(x), 則f(x)|h(x) ( )4、若 f(x)|g(x)+h(x),f(x)|g(x), 則 f(x)|h(x) （ ） 5、若 g(x)|f(x),h(x)|f(x) ，則 g(x)h(x)|f(x) （ ）6、若（f(x)g(x),h(x) ）=1,則（f(x),h(x) ）=1 (g(x),h(x)=1 ( )7、若 f(x)|g(x)h(x), 且 f(x)|g(x), 則(f(x),h(x)=1 ( )8、設(shè) p(x)是數(shù)域 p 上不可約多項式，那么如果 p(x)是 f(x) 的 k 重因式，則 p(x)是 f(x)的k-1 重因式。 （ ）9、如果 f(

6、x) 在有理數(shù)域上是可約的，則 f(x) 必有有理根。（ ）10、f(x)=x4-2x3+8x-10 在有理數(shù)域上不可約。 （ ）1 1、數(shù)集 a b 2 | a,b是有理數(shù) 是數(shù)域 （ ）12、數(shù)集 n 2 |n為整數(shù) 是數(shù)域 （ ）13、若 f(x)|g(x)h(x) ，則 f(x)|g(x) 或 f(x)|h(x) ( )14、若 f(x)|g(x),f(x)|h(x) ，則 f(x)|g(x)h(x) ( )15、若 f(x)|g(x)+h(x),f(x)|g(x)-h(x) ，則 f(x)|g(x)且 f(x)|h(x) ( )16、若有 d(x)=f(x)u(x)+g(x)v(x)

7、, 則 d(x)是 f(x),g(x) 的最大公因式 （ ）17、若 p(x)是 f (x內(nèi)) 的 k 重因式，則 p(x)是 f(x) 的 k+1 重因式（ ）18、如果 f(x) 沒有有理根，則它在有理數(shù)域上不可約。 （ ）19、奇次數(shù)的實系數(shù)多項式必有實根。 （ ）6 320、 f(x)=x +x +1 在有理數(shù)域上可約。 （ ）答案：1、 2、 3、 4、 5、 6、 7、 8、 9、 10、11、 12、 除法不封閉 13、 當(dāng) f(x) 是不可約時才成立 14、 如f(x)=x2，g(x)=h(x)=x 時 不成立 15、 16、 17、如 f(x)=xk+1+1 18、19、虛根

8、成對 20、 變形后用判別法知 不可約三選擇題1、以下數(shù)集不是數(shù)域的是（ ）A、 a bi | a,b是有理數(shù) ，i2= -1B、 a bi | a,b是整數(shù) ，i2= -1C、 a b 2 | a,b是有理數(shù)D、 全體有理數(shù)2、關(guān)于多項式的整除，以下命題正確的是 （ ）A、若 f(x)|g(x)h(x), 且 f(x)|g(x)則 f(x)|h(x)B、若 g(x)|f(x),h(x)|f(x), 則 g(x)h(x)|f(x)2 C、若 f(x)|g(x)+h(x) ，且 f(x)|g(x) ，則/ f(x)|h(x)D、若 f(x)|g(x) ，f(x)|h(x) ，則 f(x)|g(x

9、)h(x)3、關(guān)于多項式的最大公因式，以下結(jié)論正確的是 （ ）A、若 f(x)|g(x)h(x) 且 f(x)|g(x) , 則（f(x),h(x) ）=1B、若存在 u(x)，v(x)，使得 f(x)u(x)+g(x)v(x)=d(x) ，則d(x)是 f(x) 和 g(x)的最大公因式C、若 d(x)|f(x), 且有 f(x)u(x)+g(x)v(x) =d(x) ，則 d(x)是f(x) 和 g(x)的最大公因式D、若(f(x)g(x),h(x)=1 ，則(f(x),h(x)=1 且(g(x),h(x)=1（ ）4、關(guān)于多項式的根，以下結(jié)論正確的是 （ ）A、如果 f(x) 在有理數(shù)域

10、上可約，則它必有理根。B、如果 f(x) 在實數(shù)域上可約，則它必有實根。C、如果 f(x) 沒有有理根，則 f(x) 在有理數(shù)域上不可約。D、一個三次實系數(shù)多項式必有實根。5、關(guān)于多項式的重因式，以下結(jié)論正確的是（ ）A、若 f(x) 是 f (x的) k 重因式，則 p(x) 是f(x) 的 k+1 重因式B、若 p(x)是 f(x) 的 k 重因式，則 p(x) 是 f(x) ，f (x的) 公因式C、若 p(x)是f (x的) 因式，則 p(x)是f(x) 的重因式D、若 p(x)是 f(x) 的重因式，則 p(x)是( ff( x),x)f(x)的單因式6、關(guān)于多項式的根，以下結(jié)論不正

11、確的是 （ ）A、是 f(x) 的根的充分必要條件是 x-|f(x)B、若 f(x) 沒有有理根，則 f(x) 在有理數(shù)域上不可約C、每個次數(shù) 1 的復(fù)數(shù)系數(shù)多項式，在復(fù)數(shù)域中有根D、一個三次的實系數(shù)多項式必有實根7、設(shè) f(x)=x3-3x+k 有重根，那么 k=（ ）A、1 B、-1 C、2 D、08、設(shè) f(x)=x3-3x2+tx-1 是整系數(shù)多項式，當(dāng) t=( )時，f(x) 在有理數(shù)域上可約。 A、1 B、0 C、-1 D、3 或-59、設(shè) f(x)=x3-tx2+5x+1 是整系數(shù)多項式，當(dāng) t=（ ）時，f(x) 在有理數(shù)域上可約。A、t=7 或 3 B、1 C、-1 D、01

12、0、設(shè) f(x)=x3+tx2+3x-1 是整系數(shù)多項式，當(dāng) t=( )時，f(x) 在有理數(shù)域上可約。A、1 B、-1 C、0 D、5 或-31 1、關(guān)于不可約多項式 p(x),以下結(jié)論不正確的是（ ）A、若 p(x)|f(x)g(x) ，則 p(x)|f(x)或 p(x)|g(x)B、若 q(x)也是不可約多項式，則（ p(x),q(x)）=1 或p(x)=cq(x) c0C、p(x)是任何數(shù)域上的不可約多項式D、p(x)是有理數(shù)域上的不可約多項式 12、設(shè) f(x)=x5+5x+1，以下結(jié)論不正確的是（ ）A、f(x) 在有理數(shù)域上 不可約B、f(x) 在有理數(shù)域上 可約C、f(x) 有

13、一實根D、f(x) 沒有有理根13、設(shè) f(x)=xp+px+1,p 為奇素數(shù)，以下結(jié)論正確的是 （ ）3A、f(x) 在有理數(shù)域上 不可約 B、f(x) 在有理數(shù)域上 可約C、f(x) 在實數(shù)域上 不可約D、f(x) 在復(fù)數(shù)域上 不可約答案：1、B 2、C 3、D 4、D 5、D 6、B 7、C 8、D 9、A 10、D 11、C12、B 13、A四計算題2 4 21、求 m，p 的值使 x +3x+2|x -mx -px+2解：用帶余除法 求得 r(x)=-(3m+p+15)x-(2m+12) 令 r(x)=0 即3mm6p1500求得 m= -6 p=32、判斷 f (x)=x4-6x2

14、+8x-3 有無重因式，如果有，求其重數(shù)解：f (x)=4x3-12x+8 (f(x), f (x)=(x-1)2x-1 是 f(x) 的三重因式4 3 23、設(shè) f(x)=x -3x +6x -10x+16, C=3，求 f(c) 解：用綜合除法求得 f(c)=404、決定 t 的值，使 f(x)=x3-3x2+tx-1 有重根解：由輾轉(zhuǎn)除法使（f(x), f (x) ）求得 t=3 或 t=154當(dāng)t=3 時 f(x) 有三重根 1 當(dāng) 15 1t= 時，f(x) 有二重根 - 4 25、設(shè) f(x)=x5+x4-2x3-x2-x+2，求 f(x) 的有理根， 并寫出 f(x) 在實數(shù)域和

15、復(fù)數(shù)域上的標(biāo)準(zhǔn)分解式。解：有理根是 1（二重），2 實數(shù)域上分解式為 f(x)=(x-1)2(x+2)(x2+x+1)復(fù)數(shù)域上分解式為 f(x)=(x-1)2(x+2)(x+12-321 3i)(x+ i)2 26、求 f(x)=4x4-7x2-5x+1 的有理根，并寫出 f(x) 在有理數(shù)域上的標(biāo)準(zhǔn)分解式。1 1解：有理根為（二重）分解式為 f(x)=4(x+ )2(x2-x-1) 2 27、求 f(x)=x5+x4-6x3-14x2-11x-3 的有理根，并寫出 f(x) 在復(fù)數(shù)域上的標(biāo)準(zhǔn)分解式4(x-3) 解：有理根為 1（四重）3，分解式 f(x)=(x+1)8、已知 i, z-i 是

16、 f(x)=2x5-7x4+8x3-2x2+6x+5 的兩個根，求 f(x) 的全部根解：全部根為 i,-i,2-i,2+i,129、求以 1-i, i 為根的次數(shù)最低的復(fù)系數(shù)多項式 f(x)2-x+(1+i) 解：f(x)=x10、求以 1 為二重根， 1=I 為單根的次數(shù)最低近的實系數(shù)多項式 f(x).4-4x3-x2-6x+2 解：f(x)=x41 1、已知 1-i 是 f(x)=x4-4x3-5x2-2x-2 的根，求 f(x) 的全部根。解：全部根為 1+i,1-i,1+ 2 ,1- 2五證明題1、試證用 x 2-1 除 f(x) 所得余式為2-1 除 f(x) 所得余式為f（1）

17、f ( 1) f (1 ) fx2 2( 1)證明：設(shè)余式為 ax+b，則有 f(x)=(x2-1)q(x)+ax+bf(1)=a+b ,f(-1)=-a+b求得 a=f(1 ) f ( 1) f (1) f ( ,b2 21)2、證明，h(x)(f(x),g(x)=(f(x)h(x),g(x)h(x) ，其中 h(x) 是首項系數(shù)為 1 的多項式。證明：設(shè)（ f(x),g(x) ）=d(x) ，則 h(x)d(x)|h(x)f(x) h(x)d(x)|h(x)g(x) ，又存在u(x),v(x) ，使得 f(x)u(x)+g(x)v(x)=d 有 h(x)f(x)u(x)+h(x)g(x)v

18、(x)=h(x)g(x) 于是h（x）d(x)=(h(x)f(x),h(x)g(x)3、證明，如果 f(x)|g(x)h(x), 且(f(x),g(x)=1 ，則 f(x)|h(x) 證 明 ： 由 (f(x),g(x)=1, 存 在 u(x),v(x) 使 得 f(x)u(x)+g(x)v(x)=1, 從 而f(x)u(x)h(x)+g(x)v(x)h(x)=h(x),f(x)|g(x)h(x),f(x)h(x) 所以 f(x)|h(x)4、證明，（f(x)+g(x),f(x)-g(x) ）=(f(x),g(x)證 明 ： (f(x)+g(x)=d(x) 則 d(x)|f(x)+g(x)d(

19、x)|f(x)-g(x) 設(shè) d1(x) 是f(x)+g(x),f(x)-g(x)r 的 任 一 公 因 式 則 d1(x)|f(x)+g(x)+f(x)-g(x)=zf(x)d1(x)|f(x)+g(x)-f(x)+g(x)=zg(x) 故 d1(x)|f(x),d 1(x)|g(x),從而 d1(x)|d(x) 得證5、證明，g(x)|f(x)的充分必要條件是 g2(x)|f2(x) 2(x)=g2(x)h2(x)即g2(x)|f(x) 反之，設(shè)g2(x)|f2(x),將f(x),g(x)證明：設(shè)f(x)=g(x)h(x), 則 f l1(x) psls(x),g(x)=bp1r1(x)p

20、srs(x) 其中，li ri 為非負(fù)整數(shù)，pi (x)為互分解 f(x)= aP1 2(x)=a2p12l1(x) ps2ls(x),g2(x)=b2p12r1(x) ps2rs(x) 由不相 同的可約多項式那么 fg2(x)|f2(x),必有 2ri 2li,即rili 于是 g(x)|f(x) 。6、設(shè) f(x)=anx n+an-1xn-1+a1x+a0 有 n 個非零根，n+an-1xn-1+a1x+a0 有 n 個非零根， 1 1 11, 2, , n ，證明 , , , 是 1 2 ng（x）=a0xn+a1xn-1+an-1x+an 的n 個根。證明：設(shè) 為 f(x) 的任一非

21、零根，則f( )=ann+an-1 n-1+a1 +ao=0g(1 1)=a0() n=( n+a1( 1 )n-1+ an-1( 1 )+an+a1( 1 )n-1+ an-1( 1 )+a1) n(an n+an-1 n-1+ +a1 +ao)=0 所以n(an n+an-1 n-1+ +a1 +ao)=0 所以1是 ( )g x 的根得證7、設(shè) p(x)是次數(shù)大于零的多項式，如果對任意多項式 f(x) ，g(x)，由 p(x|f(x)g(x) ，可推出 p(x)|f(x) 或 p(x)|g(x)，那么 p(x)是不可約多項式證明：假設(shè) p(x)是可約的，設(shè) p(x)=p1(x)p2(x)

22、5其中 (p1 (x) (p(x), (p2(x) (p(x)顯然 p(x)|p1(x)p2(x) 但 p(x)|P1(x), p(x)|p2(x)這與題設(shè)矛盾，即 p(x)是不可約的。8、設(shè)p(x)是數(shù)域 p 上不可約多項式，f(x) 是 p 上任一多項式， 那么 p(x)|f(x) 或(p(x),f(x)=1證明：設(shè)（ p(x),f(x) ）=d(x) 則 d(x)|p(x)由 p(x)不可約，知 d(x)=cp(x)， c0，或 d(x)=1當(dāng) d(x)=cp(x) 時，就有 p(x)|f(x)9、設(shè) p(x),q(x) 是數(shù)域 p 上兩個不可約多項式，證明（ p(x)q(x)）=1 或

23、 p(x)= cq(x) 證明：因 p(x),q(x)皆不可約，故有 (p(x),q(x)=1 或 p(x)|q(x)且 q(x)|p(x)即 p(x)=cq(x)10、證明，如果 x2+x+1|f1(x3)+xf 2(x3)那么 x-1|f1(x), x-1|f2(x)3-1=(x-1)(x 2+x+1) 證明：x設(shè)1,2 是 x 2+x+1 的根，則有2+x+1 的根，則有31 =1，3)+xf2(x3)的根，那么32 =1，且1,2 為 f1(x有f1(1)+ 1f2(1)=0f1(1)+ 2f2(1)=0因12 解得 f1(1)=0 f2(1)=0即 x-1|f1(x), x-1|f2

24、(x)1 1、設(shè) f(x)=anxn+an-1xn-1+a1x+a0 是整系數(shù)多項式證明， 如果 a0，an均為奇數(shù)，f(1)，f(-1) 中至少有一個為奇數(shù)，那么 f(x) 無有理根證明：若 f(x) 有有理根uv，知 f(1),f(-1) 均為偶數(shù)，這與題設(shè)矛盾，所以 f(x) 無有理根。6第二章 行列式一填空題1、n 級排列 u(n-1)2 1 的逆序數(shù)是 。2、如果排列 a1a2 an 的逆序數(shù)是 k,則排列 anan 1 a1 的逆序數(shù)是 。2 1 1 13、112112111 1 1 2x x xa14、xxxa3a2000a40 0 00 0 0a15、000a3a2x0xa4x

25、 x x5x 1 2 3x x 1 236、 f ( x) 中x 的系數(shù)為1 2 x 3x 1 2 2x2x x 1 27、1 x 1 13 2 x 13中x 的系數(shù)為1 1 1 x8、若行列式中每一行元素之和都等于零，則行列式的值為 。1 1 0 09、00101101a4 a a a3 2 111 0 0a110、101101a2a30 0 1a41 1、在全部 n 級排列中，偶排列的個數(shù)為712、若排列 1 2 7 4 i 5 6 k 9 是偶排列，則 i= k=1 2 013、 5 1 2中 2的代數(shù)余子式是1 2 31 2 014、 5 1 2中5的代數(shù)余子式是1 2 315、6 級

26、行列式中項 a32 a43 a14 a51 a66 a25 的符號為 。16、6 級行列式中，項 a43 a32 a51 a14 a26 a56 的符號為 。1 a bc17、1 b ca1 c ab1 1 118、 a 1 b 1 c 1bc 1 ca 1 ab 1212 319、= 1 中 1 1 則= 。211 1 2 中 3 則= 。20、= 1 1 1 121答案：1、n(n21)2、n(n21)-k 3、5 4、 a1a2a3a4 5、a1a2a3a4 6、-5 7、-1 8、0，n! 19，a4+a3+a2+a1+1 10、a1+a2+a3+a4 11、12、i=8,k=3 13

27、、-4 14、-6 15、正 16、負(fù) 17、(b-a)(c-a)(c-b) 18、(b-a)(c-a)(c-b) 19、0 20、-3二判斷題1、若行列式中有兩行對應(yīng)元素互為相反數(shù)，則行列式的值為 0 （ ）2、6 級行列式中，項 a32 a45 a51 a66 a25 帶負(fù)號 （ ）a11a12a1na12a1na113、設(shè) d=a21a22a2n則a22a2na21=d（ ）an1an2annan2anan18a11a12a1na21a22a2n4、設(shè) d=a21a22a2n則 da a an1 n2 nn（ ）an1an2anna11a12a1n0 0 0 a 0 0 b x5、 ab

28、cd 0 c y y( )d z z zx y z a x y b 06、 abcd x c 0 0（ ）d 0 0 0a b c d 0 0 e f7、 0 0 0 g h（ ）0 0 x ya 0 0 0b 0 0 08、 a(gy hx) c e g x（ ）d f h y1 2 3 4 5 6 7 89、 0 1 1 1 1（ ）10 3 7 1010、若 n 級行列試 D 中等于零的元素的個數(shù)大于 n 2-n，則 D=0 （ ）0 0 b a1 1、0b0aa0b02 2 )2(b a（ ）a b 0 0a b 0 012、b0a00a0b2 2 )(a b2（ ）0 0 b a9c

29、 a d b a c d b13、 0 a c b d（ ）c a b d3 1 1 1 1 3 1 114、 48 1 1 3 1（ ）1 1 1 3a1a2a3a415、設(shè) D=b1c1b2c2b3c3b4c4則a3 b2 c1 d3 是 D 的一項。（ ）d1dd d2 3 4a1a2a3a416、設(shè) D=b1c1b2c2b3c3b4c4，則項 a3 b4 d1 c2 帶正號。（ ）d1dd d2 3 417、如果行列式 D 的元素都是整數(shù)，則 D 的值也是整數(shù)。（ ）18、如果行列 D 的元素都是自然數(shù)，則 D 的值也是自然數(shù)。（ ）a1a219、 na a a1 2（ ）an0 1

30、0 00 0 2 020、 =n！ （ ）0 0 0 n 1n 0 0 0答案：1、 2、 3、 4、 5、 6、 7、 8、 9、 10、 11、 12、 13、 14、 15、 16、 17、 18、 19、 20、三單項選擇題1、排列 n(n-1)2 1 的逆序數(shù)為 （ ）10A、n-1 B、n(n21)C、n D、n(n21)2、關(guān)于 n 級排列 i1i2in,以下結(jié)論不正確的是（ ）A、逆序數(shù)是一個非負(fù)整數(shù) B、一個對換改變其奇偶性C、逆序數(shù)最大為 n D、可經(jīng)若干次對換變?yōu)?12n3、關(guān)于排列 n(n-1)2 1 的奇偶性，以下結(jié)論正確的是 （ ）A、當(dāng) n 為偶數(shù)時是偶排列B、當(dāng)

31、 n 為奇數(shù)時是奇排列C、當(dāng) n=4m 或n=4m+2 時是偶排列D、當(dāng) n=4m 或n=4m+1 時是偶排列，當(dāng) n=4m+2或 n=4m+3 時奇排列4、以下乘積是 5 級行列式的項，且符號為正的是（ ）A、a31 a45 a12 a24 a53 B、a45 a54 a42 a12 a23C、a53 a21 a45 a34 a12 D、a13 a34 a22 a45 a51a1a2a3a4b b b b1 2 3 45、以下乘積是 的一項是符號為負(fù)的是c c c c1 2 3 4（ ）d1d d d2 3 4A、a3 b2 c1 d3 B、a3 b4 d1 c2 C、c2 b1 d3 c4

32、 D、a1 b2 c3 d4a11a12a1na12a1na116、設(shè) d=a21a22a2n則a22a2na21= （ ）an1an2annan2annan1A、d B、-d C、(-1)nd D、(-1)n-1da11a12a1n7、設(shè) d 如上，則an1an2amn= （ ）a11a12a1nA、(-1)nd B、(-1)n-1d C、d D、-da a an1 n2 nna a an 11 n 22 n 1n8、設(shè) d 如上則 ( )a a a21 22 2na a a11 12 1nn(n 1)A、d B、-d C、( 1) d D、(-1)2n-1d110 0 0 1 00 0 2

33、 0 09、 =（ ）n 1 0 0 0 00 0 0 0 nn( n 1)A、n! B、 1 2 !nn (n 1)( n 2)C、 1 2 !nD、(-1) n n!n n!2 x 1210、設(shè) 3 x 1 =0，則 x=（ ）34 x 1A、1 B、0 C、1 或0 D、-11 1 11 1、設(shè)2 x3x x =0，則 x= （ ）1 2 3A、1 或 0 B、1 C、0 D、-12x x 2 112、f(x)=13x2111x中，x 3 的系數(shù)是 （ ）3 的系數(shù)是 （ ）1 1 x 1A、4 B、2 C、-1 D、1a 0 0 10 a 0 013、Dn= =( )0 0 a 01

34、0 0 aA、an-1 B、an+1 C、an-2-1 D、an-an-20 a b c 0 1 1 114、設(shè) D1=ab0cc0ba，2 21 0 c bD2 2 21 c 0 a則 D1 與 D2 的關(guān)系為 （ ）c b a 02 21 b a 01 1A、D1= D2 B、D2=（abc）D1 C、D2 D1 D、D D12 2(abc ) ( abc)a 0 0 b15、00a00a00=（ ）b 0 0 a12A、a4(a4-b2) B、a4( a4+b2) C、a4( a2-b2) D、a2(a2-b2)0 a 0 016、b0c00d0e=（ ）0 0 0 fA、abcdef

35、B、-abdf C、abdf D、edf答案：1、B 2、C 3、D 4、A 5、B 6、D 7、B 8、C 9、C 10、C 11、A 12、D 13、A 14 15、D 16、B四計算題1 2 3 41、d=233441124 1 2 3解各列（行）加到第一列（行）后，各行（列）減去第一行（列） d=1601 x 1 1 12、d=111 x 1 1 1 y111 1 1 1 y2y2 解按第一列（行）拆成兩個行列式之和 d=xa 0 0 10 a 0 03、Dn=1 0 0 an-2 2解：按一行列（行）展開 Dn=a (a -1)或由接拉普拉斯定理，按第 1，n 行（列）展開2 x 1

36、 x 1 124、求 x 的值使 3 x 1 +2x13=034 x 13x12x 1 1左式=2x1 6=5x 2(x-1) 故 x=0 或 x=12(x-1) 故 x=0 或 x=13x1 61 2 3 n 1 n1 1 0 0 05、 0 2 2 0 00 0 0 n 1 1 n13n-1解：各列各到第一列， （-1）(n 1)!2x a aa x a6、Dn=a a xn-1解：各行（列）都加到第一行 （列）后，各列（行）減去第一列 （行）Dn=x+(n-1)a(x-a)a b 0 0 00 a b 0 07、Dn=0 0 0 a bb 0 0 0 an+(-1)n+1bn 解：按第一

37、列展開 Dn=aa01 1 18、Dn+1=1 a 0 011 0 a 021 0 0an解：從第 2，3，n+1 列分別提出 a1,a2， ，an 后，第一列減去各列 Dn+1=a1 a2an(a0-n1i 1 ai)1 3 3 33 2 3 39、Dn= 3 3 3 33 3 3 n解：各行（列）減去第 3 行 Dn=6(n-3)!10、解關(guān)于 x 的方程a1a2anD(x)=a1a1aixan=0, 其中 aiaj ij a10a1a2an1anxa1a2an解：D（x）=0a x10=a1( a1-x) （an-1-x） 所以 x=a1,a2，an-1 或者：因0 0an1x14為 D

38、（ai）=0 i=1，, n-1 所以，x=a1, a2, , an-11 1 1a1 1 a 1 a 12 n1 1、Dn=2a1a1 22aa2 2naanna11na12 n2a1na22 nna1 nna2解從第二行起，各行減去上一行，得一范得蒙行列式 Dn=1j i n(ai-aj)3 21 3 2112、Dn=3 21 3解：按第一行展開 Dn=3Dn-1-2Dn-2 Dn-Dn-1=2(Dn-1-Dn-2) 繼續(xù)下去，Dn-Dn-1=2n-2(D2-D1)2 Dn-Dn-1=2n 又按第一列展開 Dn=3Dn-1-2Dn-2 D2-D1=2Dn-2Dn-1=Dn-1-2Dn-2=

39、D2-2D1=1 解得 Dn=2n+1-12-1 Dn=3Dn-1-2Dn-2=3(2n-1)-2(2n-1-1)=2n+1-1 或用歸納法 D1=3=2五證明題c b1n n 11、證明 a b ) 0c ( 其中czi ic bni 1a1an0ai證明：將第 i 行乘以 n i n后加到第 1行 1, , c1a 1 1112、證明111a2111a311a a a1 2n(1in11ai)其中ai0 i 1, 2, ,n1 1 1 1an證明：按第一列拆成兩個行列式的和，再用逆堆法 Dn=a1Dn-1+a2an=a1Dn-1+a a an1 2a115a1Dn-1=a1a2Dn-2+a

40、 a an1 2a3 a1a2an-2D2=a1a2 an-1D1+a a1 2an1an各式相加得證。3、設(shè) b，a0，a1，an 是 n+2 個互不相同的數(shù)，且 a00a0a1a2ana0xa2anf(x)=a0a1xan證明（x-b，f(x) ）=1a0a1a2xa0a1a2an0 xa 010n證明：f(x)= 0 0 xa20 =a0(x-ai) 因為 b,a0, a1, ，an 互不相同，i 10 0 0 xan且 a00 (x-b,x-ai)=1 所以(x-b，f(x)=1a01 0 0 0a1x 1 0 04、證明 Dn+1=a20 x 0 0=a0x n+a1xn-1+an-

41、1x+ann+a1xn-1+an-1x+anan10 0 x 1an0 0 0 xn+Dn 繼續(xù)下去即得 證明：按第一行展開 Dn+1=aox1 x2xnx15、D（x）=1a12a1na11其中 aia，ij，證明， D(x)是一個關(guān)于 x 的 n-11an1 2na1nan11次多項式，并求 D(x)的根。證明：因為展開式中每一項含且僅含第一行的一個元素，所以 D（x）是一個關(guān)于 x 的n-1 次多項式。D(x) 是一 個范 得蒙 行列式 D(x)= (x-ai)(ai-aj) D(an)=01 j i ni=1,2,n 所以 d(x)的根為 a1，a2，an166、設(shè) a1，a2，an，

42、是數(shù)域 P中互不相同的數(shù)， f(x)=cn-1xn-1+cn-2xn-2+c1x+c 是 P上 一個 n-1 次多項式，說明，如果 f(ai)=0,i=1，2，n，則 f(x) 必為零多項式。證明：由 f(ai)=0，得一齊次線性方程組，其系數(shù)行列式為一范得蒙行列式，且不為 0 方程組只有零解，即 C0，C1，Cn-1 全為 0，即 f(x) 為零多項式。a b b 0 0 0a a b b 0 0n 1 n 10 a a b 0 0 a b7、證明 Dn= a b其中 a b0 0 0 a b b0 0 0 a a b證 明 ： 按 第 一 列 展 得 Dn=(a+b)Dn-1-abDn-2

43、 寫 成 Dn-aDn-1=b(Dn-1-aDn-2) 可 推 出n-2 nDn-aDn-1=b (D2-aD1)=bn同理有 Dn-bDn-1=a ，解得 Dn=an 1 n 1ba ba b ab 0 0 01 a b ab 0 0n 1 n 10 1 a b 0 0 a b8、證明 Dn= a b其中 a b0 0 0 a b ab0 0 0 1 a b證明 Dn=(a+b)Dn-1-abDn-2 寫成 Dn-aDn-1=b(Dn-1-aDn-2)即 Dn-aDn-1=bn 同理 Dn-bDn-1=an 由ab，消去 Dn-1 得 Dn=an 1 n 1ba b0 1 1 1 11 0

44、x x x1 x 0 x x9、證明 Dn= ( 1) ( 1) 0n 1 n x 其中xn 21 x x 0 x1 x x x 0證明：將第一列的 -x 倍加到其他各列，再從第 2,3，n 列提出 x 后都加到第一列便得。175 3 0 0 02 5 3 0 010、證明 Dn=0 2 5 0 0n31 2n10 0 0 5 30 0 0 2 5證明：Dn=5Dn-1-32Dn-2n寫成 Dn-3Dn-1=3(Dn-1-3Dn-2)=2同理 Dn-2Dn-1=3n解得 Dn=3n+1-2n+12 1 0 0 01 2 1 0 00 1 2 0 01 1、證明 Dn= n 10 0 0 2 1

45、0 0 0 1 2證明：Dn=2Dn-1-Dn-2 寫成 Dn-Dn-1=Dn-1-Dn-2 可得 Dn-Dn-1=D2-D1=1 相加得 Dn=n+1第三章 線性方程組一填空1、一個向量線性無關(guān)的充要條件是這個向量為 。2、兩個非零 n 維向量線性相關(guān)的充要條件是它的 。3、秩為 r 的向量組中任意 r+1 個向量都線性 。4、線性無關(guān)的向量組中任意一部分向量都線性 。185、在秩為 r 的矩陣中，任意 r+1 級子式等于 。6、線性方程組 AX=B 有解的充要條件是 。7、當(dāng)= 時，齊次線性方程組x1x1x22x200有非零解。8、設(shè)線性方程組 AX=B 有解，并且 AX=0 的基礎(chǔ)解系為

46、 X1、X2,特解為 X0，則 AX=B的任一解可表為 。9、若 n 元齊次線性方程組 AX=0 滿足 r(A)= r，則 AX=0 的基礎(chǔ)解系中有 個解 向量。10、在線性方程組 AX=B 有解的條件下，解釋唯一的充分必要條件是 AX=01 1、矩陣 A 的秩為 0 的充要條件是 A= 。12、設(shè)矩陣 A 中有一個 r 階子式不為 0 則 r(A) ， 設(shè)矩陣 A 中所有的 r+1 階子式全為 0 則r(A)答案1、非零向量 2、分量成比例 3、相關(guān) 4、無關(guān) 5、0 6、r(A)=r(A B) 7、2 8、x0+k1x1+k2x2( k1k2 為任意數(shù)) 9、n-r 10、只有零解 11、

47、0 12、r r+1二判斷題1、若向量組的秩為 r，則其中任意 r 個向量都線性無關(guān)。 （ ）2、若向量組的秩為 r，則其中任意 r+1 個向量都線性相關(guān)。 （ ）3、若兩個向量組等價，則它們含有相同個數(shù)的向量。 （ ）4、當(dāng) a1=a2=ar=0 時，有 a11 +a2 2 +ar r =0, 那么1, 2 , , r 線性無關(guān)。（ ）5、若向量組 1, 2, , m 中每一個向量都不是其余向量的線性組合， 那么 1, 2 , , m 線性無關(guān)（ ）6、若向量組1, 2 , , r 線性無關(guān)，且 r 1不能由 1, 2 , , r 線性表出，那么 1, 2, , r也線性無關(guān)（ ）7、若向量組 1, 2 , , r 線性相關(guān)，則它的任意一部分向量也線性相關(guān)。 （ ）8、若向量組1, 2 , , r 線性無關(guān)，則它的任意一部分向量也線性無關(guān)。 （ ）9、在秩為 r 的矩陣中，一定存在不為 0 的 r-1 級子式。（ ）10、在秩為 r