振動(dòng)力學(xué) 單自由度系統(tǒng)自由振動(dòng)

1、主講：殷玉楓 教授太原科技大學(xué)機(jī)械電子工程學(xué)院2007-9-9單自由度系統(tǒng)自由振動(dòng)單自由度系統(tǒng)自由振動(dòng) 無阻尼自由振動(dòng)令令 x 為位移，以質(zhì)量塊的靜平衡位置為位移，以質(zhì)量塊的靜平衡位置為坐標(biāo)原點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，為靜變形。為靜變形。當(dāng)系統(tǒng)受到初始擾動(dòng)時(shí)，由牛頓第當(dāng)系統(tǒng)受到初始擾動(dòng)時(shí)，由牛頓第二定律，得：二定律，得： )(xkmgxm kmg 在靜平衡位置：在靜平衡位置： 固有振動(dòng)或自由振動(dòng)微分方程固有振動(dòng)或自由振動(dòng)微分方程 ： 0 kxxm 單自由度系統(tǒng)自由振動(dòng)單自由度系統(tǒng)自由振動(dòng)0mx靜平衡位置靜平衡位置彈簧原長位置彈簧原長位置k0 x靜平衡位置靜平衡位置彈簧原長位置彈簧原長位置mk固有振動(dòng)或自

2、由振動(dòng)微分方程固有振動(dòng)或自由振動(dòng)微分方程 ： 0 kxxm 令令 ： mk0單位：弧度單位：弧度/秒（秒（rad/s） 020 xx 則有則有 ： 通解通解 ： )sin()cos()(0201tctctx ：21,cc任意常數(shù)，由初始條件決定任意常數(shù)，由初始條件決定 )sin(0 tA2221ccA211cctg振幅振幅 ： 初相位初相位 ： 固有頻率固有頻率單自由度系統(tǒng)自由振動(dòng)單自由度系統(tǒng)自由振動(dòng)0 kxxm mk0020 xx 2221ccA211cctg)sin()cos()(0201tctctx )sin(0 tA單自由度系統(tǒng)自由振動(dòng)單自由度系統(tǒng)自由振動(dòng)xt0A00/2T0 kxxm

3、 mk0020 xx 2221ccA211cctg系統(tǒng)固有的數(shù)值特征，與系統(tǒng)是否正在振動(dòng)著以及如系統(tǒng)固有的數(shù)值特征，與系統(tǒng)是否正在振動(dòng)著以及如何進(jìn)行振動(dòng)的方式都毫無關(guān)系何進(jìn)行振動(dòng)的方式都毫無關(guān)系 ：0不是系統(tǒng)的固有屬性的數(shù)字特征，與系統(tǒng)過去所受到不是系統(tǒng)的固有屬性的數(shù)字特征，與系統(tǒng)過去所受到過的激勵(lì)和考察開始時(shí)刻系統(tǒng)所處的狀態(tài)有關(guān)過的激勵(lì)和考察開始時(shí)刻系統(tǒng)所處的狀態(tài)有關(guān) ：,A)sin()cos()(0201tctctx )sin(0 tA單自由度系統(tǒng)自由振動(dòng)單自由度系統(tǒng)自由振動(dòng)考慮系統(tǒng)在初始擾動(dòng)下的自由振動(dòng)考慮系統(tǒng)在初始擾動(dòng)下的自由振動(dòng) )sin()cos()(0201tctctx )sin

4、(0 tA設(shè)設(shè) 的初始位移和初始速度為：的初始位移和初始速度為： txx )(xx )()sin()cos(02011bbc )cos()sin(02012bbc 令令 ： )(sin)(cos)(0201 tbtbtx有有 ： xb 102xb 單自由度系統(tǒng)自由振動(dòng)單自由度系統(tǒng)自由振動(dòng)時(shí)刻以后的自由振動(dòng)解為：時(shí)刻以后的自由振動(dòng)解為： txtxtx000sincos零時(shí)刻的初始條件：零時(shí)刻的初始條件： 0)0(xx 0)0(xx20020 xxA0001xxtg )sin()cos()(00000txtxtx 零初始條件下的自由振動(dòng)：零初始條件下的自由振動(dòng)： )sin(0 tA單自由度系統(tǒng)自由

5、振動(dòng)單自由度系統(tǒng)自由振動(dòng))sin()cos()(00000txtxtx 零初始條件下的自由振動(dòng)：零初始條件下的自由振動(dòng)： )sin(0 tA無阻尼的質(zhì)量彈簧系統(tǒng)受到初始擾動(dòng)后，其自由振動(dòng)是以無阻尼的質(zhì)量彈簧系統(tǒng)受到初始擾動(dòng)后，其自由振動(dòng)是以 為振動(dòng)頻率的簡諧振動(dòng)，并且永無休止。為振動(dòng)頻率的簡諧振動(dòng)，并且永無休止。 0初始條件的說明：初始條件的說明： 初始條件是外界能量轉(zhuǎn)入的一初始條件是外界能量轉(zhuǎn)入的一種方式，有初始位移即轉(zhuǎn)入了種方式，有初始位移即轉(zhuǎn)入了彈性勢能，有初始速度即轉(zhuǎn)入彈性勢能，有初始速度即轉(zhuǎn)入了動(dòng)能。了動(dòng)能。 單自由度系統(tǒng)自由振動(dòng)單自由度系統(tǒng)自由振動(dòng)xt0A00/2T0 x)sin(

6、)cos()(00000txtxtx 零初始條件下的自由振動(dòng)：零初始條件下的自由振動(dòng)： )sin(0 tA無阻尼的質(zhì)量彈簧系統(tǒng)受到初始擾動(dòng)后，其自由振動(dòng)是以無阻尼的質(zhì)量彈簧系統(tǒng)受到初始擾動(dòng)后，其自由振動(dòng)是以 為振動(dòng)頻率的簡諧振動(dòng)，并且永無休止。為振動(dòng)頻率的簡諧振動(dòng)，并且永無休止。 0單自由度系統(tǒng)自由振動(dòng)單自由度系統(tǒng)自由振動(dòng)初始條件：初始條件： 0, 200 xx固有頻率從左到右：固有頻率從左到右： 0003,2,時(shí)間時(shí)間位置位置固有頻率計(jì)算的另一種方式：固有頻率計(jì)算的另一種方式： 0 kxxm mk0kmg 在靜平衡位置：在靜平衡位置： gmk0則有：則有： 對于不易得到對于不易得到 m 和和

7、 k 的系統(tǒng)，若能測出靜變形的系統(tǒng)，若能測出靜變形 ，則用該，則用該式計(jì)算是較為方便的式計(jì)算是較為方便的 。單自由度系統(tǒng)自由振動(dòng)單自由度系統(tǒng)自由振動(dòng)0mx靜平衡位置靜平衡位置彈簧原長位置彈簧原長位置k例：例： 提升機(jī)系統(tǒng)提升機(jī)系統(tǒng)重物重重物重 量量NW51047. 1 鋼絲繩的彈簧剛度鋼絲繩的彈簧剛度 cmNk/1078. 54求：求：繩的上端突然被卡住時(shí)，（繩的上端突然被卡住時(shí)，（1）重物的振動(dòng)頻率，）重物的振動(dòng)頻率，（2）鋼絲繩中的最大張力。）鋼絲繩中的最大張力。 單自由度系統(tǒng)自由振動(dòng)單自由度系統(tǒng)自由振動(dòng)Wv重物以重物以v=15m/s的速度勻速下降時(shí)的速度勻速下降時(shí)解：解：sradWgk/

8、6 .190振動(dòng)頻率振動(dòng)頻率重物勻速下降時(shí)處于靜平衡位重物勻速下降時(shí)處于靜平衡位置，若將坐標(biāo)原點(diǎn)取在繩被卡置，若將坐標(biāo)原點(diǎn)取在繩被卡住瞬時(shí)重物所在位置住瞬時(shí)重物所在位置 則則 t=0 時(shí)，有：時(shí)，有： 00 xvx 0)()6 .19sin(28. 1)sin()(00cmttvtx )sin()cos()(00000txtxtx 振動(dòng)解：振動(dòng)解： 單自由度系統(tǒng)自由振動(dòng)單自由度系統(tǒng)自由振動(dòng)W靜平衡位置靜平衡位置kxWv)( )6 .19sin(28. 1)sin()(00cmttvtx 振動(dòng)解：振動(dòng)解： 繩中的最大張力等于靜張力與因振動(dòng)引起繩中的最大張力等于靜張力與因振動(dòng)引起的動(dòng)張力之和的動(dòng)張

9、力之和 ：)(1021. 2 1074. 01047. 1 555maxNkAWkATTs 動(dòng)張力幾乎是靜張力的一半動(dòng)張力幾乎是靜張力的一半 由于由于 kmvvkkA0為了減少振動(dòng)引起的動(dòng)張力，應(yīng)當(dāng)降低升降系統(tǒng)的剛度為了減少振動(dòng)引起的動(dòng)張力，應(yīng)當(dāng)降低升降系統(tǒng)的剛度 單自由度系統(tǒng)自由振動(dòng)單自由度系統(tǒng)自由振動(dòng)Wv例：例： 重物落下，與簡支梁做完全非彈性碰撞重物落下，與簡支梁做完全非彈性碰撞梁長梁長 L，抗彎剛度，抗彎剛度 EJ求：求：梁的自由振動(dòng)頻率和最大撓度梁的自由振動(dòng)頻率和最大撓度單自由度系統(tǒng)自由振動(dòng)單自由度系統(tǒng)自由振動(dòng)mh0l/2l/2解：解：由材料力學(xué)由材料力學(xué) ：自由振動(dòng)頻率為自由振動(dòng)頻

10、率為 ： EJmgl483g0單自由度系統(tǒng)自由振動(dòng)單自由度系統(tǒng)自由振動(dòng)取平衡位置取平衡位置以梁承受重物時(shí)的靜平以梁承受重物時(shí)的靜平衡位置為坐標(biāo)原點(diǎn)建立衡位置為坐標(biāo)原點(diǎn)建立坐標(biāo)系坐標(biāo)系靜變形靜變形348mlEJmh0l/2l/2x靜平衡位置靜平衡位置撞擊時(shí)刻為零時(shí)刻，則撞擊時(shí)刻為零時(shí)刻，則 t=0 時(shí)，有：時(shí)，有： 0 x則自由振動(dòng)振幅為則自由振動(dòng)振幅為 ：20020 xxA梁的最大擾度：梁的最大擾度： Amax)sin()cos()(00000txtxtx 單自由度系統(tǒng)自由振動(dòng)單自由度系統(tǒng)自由振動(dòng)h22ghx20mh0l/2l/2x靜平衡位置靜平衡位置例：圓盤轉(zhuǎn)動(dòng)例：圓盤轉(zhuǎn)動(dòng)圓盤轉(zhuǎn)動(dòng)慣量圓盤轉(zhuǎn)

11、動(dòng)慣量 I在圓盤的靜平衡位置上任意選一根在圓盤的靜平衡位置上任意選一根半徑作為角位移的起點(diǎn)位置半徑作為角位移的起點(diǎn)位置0kI Ik /0 扭振固有頻率扭振固有頻率020 單自由度系統(tǒng)自由振動(dòng)單自由度系統(tǒng)自由振動(dòng)為軸的扭轉(zhuǎn)剛度，定義為使得圓盤為軸的扭轉(zhuǎn)剛度，定義為使得圓盤產(chǎn)生單位轉(zhuǎn)角所需的力矩產(chǎn)生單位轉(zhuǎn)角所需的力矩)/(radmN kkI由牛頓第二定律：由牛頓第二定律：由上例可看出，除了選擇了坐標(biāo)不同之外，由上例可看出，除了選擇了坐標(biāo)不同之外，角振動(dòng)角振動(dòng)與與直線振直線振動(dòng)動(dòng)的數(shù)學(xué)描述是完全相同的。如果在彈簧質(zhì)量系統(tǒng)中將的數(shù)學(xué)描述是完全相同的。如果在彈簧質(zhì)量系統(tǒng)中將 m、k 稱為廣義質(zhì)量及廣義剛

12、度，則彈簧質(zhì)量系統(tǒng)的有關(guān)結(jié)論完稱為廣義質(zhì)量及廣義剛度，則彈簧質(zhì)量系統(tǒng)的有關(guān)結(jié)論完全適用于角振動(dòng)。以后不加特別聲明時(shí)，彈簧質(zhì)量系統(tǒng)是廣全適用于角振動(dòng)。以后不加特別聲明時(shí)，彈簧質(zhì)量系統(tǒng)是廣義的義的 。0 kxxm mk /0單自由度系統(tǒng)自由振動(dòng)單自由度系統(tǒng)自由振動(dòng)0kI Ik /0 kI0mx靜平衡位置靜平衡位置彈簧原長位置彈簧原長位置k從前面兩種形式的振動(dòng)看到，單自由度無阻尼系統(tǒng)總包含著從前面兩種形式的振動(dòng)看到，單自由度無阻尼系統(tǒng)總包含著慣性元件慣性元件和和彈性元件彈性元件兩種基本元件，慣性元件是感受加速度兩種基本元件，慣性元件是感受加速度的元件，它表現(xiàn)為系統(tǒng)的質(zhì)量或轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，而彈性元件是產(chǎn)的元

13、件，它表現(xiàn)為系統(tǒng)的質(zhì)量或轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，而彈性元件是產(chǎn)生使系統(tǒng)恢復(fù)原來狀態(tài)的恢復(fù)力的元件，它表現(xiàn)為具有剛度生使系統(tǒng)恢復(fù)原來狀態(tài)的恢復(fù)力的元件，它表現(xiàn)為具有剛度或扭轉(zhuǎn)剛度度的彈性體。同一個(gè)系統(tǒng)中，若慣性增加，則使或扭轉(zhuǎn)剛度度的彈性體。同一個(gè)系統(tǒng)中，若慣性增加，則使固有頻率降低，而若剛度增加，則固有頻率增大。固有頻率降低，而若剛度增加，則固有頻率增大。 單自由度系統(tǒng)自由振動(dòng)單自由度系統(tǒng)自由振動(dòng)0 kxxm mk /00kI Ik /0 kI0mx靜平衡位置靜平衡位置彈簧原長位置彈簧原長位置k例：復(fù)擺例：復(fù)擺剛體質(zhì)量剛體質(zhì)量 m對懸點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量對懸點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 0I重心重心 C 求：求：復(fù)擺在平衡位置附近

14、做微振動(dòng)時(shí)的微分方程和固有頻率復(fù)擺在平衡位置附近做微振動(dòng)時(shí)的微分方程和固有頻率 單自由度系統(tǒng)自由振動(dòng)單自由度系統(tǒng)自由振動(dòng)mg0Ia0C解：解：由牛頓定律由牛頓定律 ：0sin0mgaI 因?yàn)槲⒄駝?dòng)：因?yàn)槲⒄駝?dòng)：sin則有則有 ：00mgaI 00/Imga固有頻率固有頻率 ：實(shí)驗(yàn)確定復(fù)雜形狀物體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的一個(gè)方法實(shí)驗(yàn)確定復(fù)雜形狀物體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的一個(gè)方法 若已測出物體的固有頻率若已測出物體的固有頻率 , 則可求出則可求出 ，再由移軸定理，再由移軸定理，可得物質(zhì)繞質(zhì)心的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量：，可得物質(zhì)繞質(zhì)心的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量： 00I20maIIc單自由度系統(tǒng)自由振動(dòng)單自由度系統(tǒng)自由振動(dòng)mg0Ia0C單自由度系統(tǒng)自

15、由振動(dòng)單自由度系統(tǒng)自由振動(dòng)例：彈簧質(zhì)量系統(tǒng)沿光滑斜面做自由振動(dòng)例：彈簧質(zhì)量系統(tǒng)沿光滑斜面做自由振動(dòng)斜面傾角斜面傾角 300質(zhì)量質(zhì)量 m=1kg彈簧剛度彈簧剛度 k=49N/cm開始時(shí)彈簧無伸長，且速度為零開始時(shí)彈簧無伸長，且速度為零求：求： 系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程m300k重力角速度取重力角速度取 9.8單自由度系統(tǒng)自由振動(dòng)單自由度系統(tǒng)自由振動(dòng)解：解：x0以靜平衡位置為坐標(biāo)原點(diǎn)以靜平衡位置為坐標(biāo)原點(diǎn)建立坐標(biāo)系建立坐標(biāo)系振動(dòng)固有頻率：振動(dòng)固有頻率：)/(70 1/1049 /20sradmk 振動(dòng)初始條件：振動(dòng)初始條件：0030sin mgkx)(1 . 00cmx 考慮方向考慮方向)si

16、n()cos()(00000txtxtx 00 x 初始速度：初始速度：運(yùn)動(dòng)方程：運(yùn)動(dòng)方程：)()70cos(1 . 0)(cmttx m300k單自由度系統(tǒng)自由振動(dòng)單自由度系統(tǒng)自由振動(dòng) 能量法對于不計(jì)阻尼即認(rèn)為沒有能量損失的單自由度系統(tǒng)，也可以對于不計(jì)阻尼即認(rèn)為沒有能量損失的單自由度系統(tǒng)，也可以利用利用能量守恒原理能量守恒原理建立自由振動(dòng)的微分方程，或直接求出系建立自由振動(dòng)的微分方程，或直接求出系統(tǒng)的固有頻率。統(tǒng)的固有頻率。無阻尼系統(tǒng)為無阻尼系統(tǒng)為保守系統(tǒng)保守系統(tǒng)，其，其機(jī)械能守恒機(jī)械能守恒，即動(dòng)能，即動(dòng)能 T 和勢能和勢能 V 之和保持不變之和保持不變 ，即：，即：constVT0VTdt

17、d或：或：單自由度系統(tǒng)自由振動(dòng)單自由度系統(tǒng)自由振動(dòng)彈簧質(zhì)量系統(tǒng)彈簧質(zhì)量系統(tǒng) 動(dòng)能：動(dòng)能：221xmT 勢能：勢能：mgx （重力勢能）（重力勢能）（彈性勢能）（彈性勢能）dxxkx0)(0VTdtd0)( xkxxm dxxkmgxVx0 不可能恒為不可能恒為 0 x 0 kxxm 單自由度系統(tǒng)自由振動(dòng)單自由度系統(tǒng)自由振動(dòng)kmg 221kxxkmgx221kx0mx靜平衡位置靜平衡位置彈簧原長位置彈簧原長位置k如果將坐標(biāo)原點(diǎn)不是取在系統(tǒng)的靜平衡如果將坐標(biāo)原點(diǎn)不是取在系統(tǒng)的靜平衡位置，而是取在彈簧為自由長時(shí)的位置位置，而是取在彈簧為自由長時(shí)的位置 動(dòng)能：動(dòng)能：221xmT 勢能：勢能：xkxdx

18、mgxV00 xkxxmgxxm 0VTdtdmgkxxm 設(shè)新坐標(biāo)設(shè)新坐標(biāo) kmgxy0 kyym 單自由度系統(tǒng)自由振動(dòng)單自由度系統(tǒng)自由振動(dòng)221 kxmgx x0mx靜平衡位置靜平衡位置k單自由度系統(tǒng)自由振動(dòng)單自由度系統(tǒng)自由振動(dòng)考慮兩個(gè)特殊位置上系統(tǒng)的能量考慮兩個(gè)特殊位置上系統(tǒng)的能量 靜平衡位置上，系統(tǒng)勢靜平衡位置上，系統(tǒng)勢能為零，動(dòng)能達(dá)到最大能為零，動(dòng)能達(dá)到最大021max2maxmaxVxmT最大位移位置，系統(tǒng)動(dòng)最大位移位置，系統(tǒng)動(dòng)能為零，勢能達(dá)到最大能為零，勢能達(dá)到最大2maxmaxmax210kxVTconstVT)sin()(0tAtxmk /0max0maxxx單自由度系統(tǒng)自由

19、振動(dòng)單自由度系統(tǒng)自由振動(dòng)maxmaxVTmax0max對于轉(zhuǎn)動(dòng)：對于轉(zhuǎn)動(dòng)：x 是廣義的是廣義的0mx靜平衡位置靜平衡位置k靜平衡位置靜平衡位置最大位移位置最大位移位置xmax0mxk例：如圖所示是一個(gè)倒置的擺例：如圖所示是一個(gè)倒置的擺 擺球質(zhì)量擺球質(zhì)量 m剛桿質(zhì)量忽略剛桿質(zhì)量忽略 每個(gè)彈簧的剛度每個(gè)彈簧的剛度 2k求求:(1) 倒擺作微幅振動(dòng)時(shí)的固有頻率倒擺作微幅振動(dòng)時(shí)的固有頻率(2) 擺球擺球 時(shí)，測得頻率時(shí)，測得頻率 為為 ， 時(shí)，測時(shí)，測得頻率為得頻率為 ，問擺球質(zhì)量為多少千克時(shí)恰，問擺球質(zhì)量為多少千克時(shí)恰使系統(tǒng)處于不穩(wěn)定平衡狀態(tài)？使系統(tǒng)處于不穩(wěn)定平衡狀態(tài)？ kgm9 . 0fHZ5 .

20、 1kgm8 . 1HZ75. 0單自由度系統(tǒng)自由振動(dòng)單自由度系統(tǒng)自由振動(dòng)lmak/2k/2解法解法1：廣義坐標(biāo)廣義坐標(biāo)動(dòng)能動(dòng)能2222121mlIT勢能勢能maxmaxUTmax0max220mlmglka 平衡位置平衡位置1cos1212122mglakV零平衡位置零平衡位置1單自由度系統(tǒng)自由振動(dòng)單自由度系統(tǒng)自由振動(dòng))(21 222mglka22222sin2112121 mglka22)(21 mglka lmak/2k/2解法解法2：平衡位置平衡位置2動(dòng)能動(dòng)能2222121mlIT勢能勢能cos212122mglakV0)(2222 mglkaml 0 UTdtd0)(2222mglk

21、aml 220mlmglka 零平衡位置零平衡位置2單自由度系統(tǒng)自由振動(dòng)單自由度系統(tǒng)自由振動(dòng)2sin2121 222mglka2222121 mglmglkamglmglka22)(21 lmak/2k/2單自由度系統(tǒng)自由振動(dòng)單自由度系統(tǒng)自由振動(dòng)例：均質(zhì)圓柱例：均質(zhì)圓柱質(zhì)量質(zhì)量m，半徑，半徑R與地面純滾動(dòng)與地面純滾動(dòng)在在A、B點(diǎn)掛有彈簧點(diǎn)掛有彈簧確定系統(tǒng)微振動(dòng)的固有頻率確定系統(tǒng)微振動(dòng)的固有頻率k1abRk1k2k2AB單自由度系統(tǒng)自由振動(dòng)單自由度系統(tǒng)自由振動(dòng)解：解：k1abRk1k2k2AB廣義坐標(biāo)：圓柱微轉(zhuǎn)角廣義坐標(biāo)：圓柱微轉(zhuǎn)角圓柱做一般運(yùn)動(dòng)，由柯希圓柱做一般運(yùn)動(dòng)，由柯希尼定理，動(dòng)能：尼定理

22、，動(dòng)能：22)23(21mRT C點(diǎn)為運(yùn)動(dòng)瞬心點(diǎn)為運(yùn)動(dòng)瞬心勢能：勢能：CA點(diǎn)速度：點(diǎn)速度：)(aRvAB點(diǎn)速度：點(diǎn)速度：)(bRvB)(aRxA)(bRxB222221)(2(21)(2(21bRkaRkU單自由度系統(tǒng)自由振動(dòng)單自由度系統(tǒng)自由振動(dòng)解：解：k1abRk1k2k2AB動(dòng)能：動(dòng)能：22)23(21mRT 勢能：勢能：C222221)(2(21)(2(21bRkaRkUmax0maxmaxmax,UT)1 ()1 (342/3)()( 222212222120RbkRakmmRbRkaRk)1 ()1 (3422210RbkRakm單自由度系統(tǒng)自由振動(dòng)單自由度系統(tǒng)自由振動(dòng)k1Rk2M

23、m 例：例：鉛垂平面內(nèi)一個(gè)滑輪鉛垂平面內(nèi)一個(gè)滑輪- -質(zhì)量質(zhì)量- -彈簧系統(tǒng)彈簧系統(tǒng)確定系統(tǒng)微振動(dòng)的固有頻率確定系統(tǒng)微振動(dòng)的固有頻率滑輪為勻質(zhì)圓柱滑輪為勻質(zhì)圓柱 ，繩子不可伸，繩子不可伸長，且與滑輪間無滑動(dòng)，繩右下長，且與滑輪間無滑動(dòng)，繩右下端與地面固結(jié)。端與地面固結(jié)。 單自由度系統(tǒng)自由振動(dòng)單自由度系統(tǒng)自由振動(dòng)解：解：k1Rk2M m 廣義坐標(biāo)：質(zhì)量塊的垂直位移廣義坐標(biāo)：質(zhì)量塊的垂直位移 x動(dòng)能：動(dòng)能：x2222)2)(21(21)21(2121RxMRxMxmT2)8141(21xMMm2)83(21xMm2122)21(2121xkxkU勢能：勢能：212)41(21xkk 單自由度系統(tǒng)自

24、由振動(dòng)單自由度系統(tǒng)自由振動(dòng)解：解：k1Rk2M m 廣義坐標(biāo)：質(zhì)量塊的垂直位移廣義坐標(biāo)：質(zhì)量塊的垂直位移 x動(dòng)能：動(dòng)能：x2)83(21xMmT勢能：勢能：212)41(21xkkUmMkk83822120max0maxmaxmax,UTmMkk8382210單自由度系統(tǒng)自由振動(dòng)單自由度系統(tǒng)自由振動(dòng) 瑞利法利用能量法求解固有頻率時(shí)，對于系統(tǒng)的動(dòng)能的計(jì)算只考慮利用能量法求解固有頻率時(shí)，對于系統(tǒng)的動(dòng)能的計(jì)算只考慮了慣性元件的動(dòng)能，而忽略不計(jì)彈性元件的質(zhì)量所具有的動(dòng)了慣性元件的動(dòng)能，而忽略不計(jì)彈性元件的質(zhì)量所具有的動(dòng)能，因此算出的固有頻率是實(shí)際值的上限。這種簡化方法在能，因此算出的固有頻率是實(shí)際值的

25、上限。這種簡化方法在許多場合中都能滿足要求，但有些工程問題中，彈性元件本許多場合中都能滿足要求，但有些工程問題中，彈性元件本身的質(zhì)量因占系統(tǒng)總質(zhì)量相當(dāng)大的比例而不能忽略，否則算身的質(zhì)量因占系統(tǒng)總質(zhì)量相當(dāng)大的比例而不能忽略，否則算出的固有頻率明顯偏高。出的固有頻率明顯偏高。單自由度系統(tǒng)自由振動(dòng)單自由度系統(tǒng)自由振動(dòng)mkx0例如：彈簧質(zhì)量系統(tǒng)例如：彈簧質(zhì)量系統(tǒng)設(shè)彈簧的動(dòng)能設(shè)彈簧的動(dòng)能: 221xmTtt 系統(tǒng)最大動(dòng)能：系統(tǒng)最大動(dòng)能： 2max2maxmax2121xmxmTt系統(tǒng)最大勢能：系統(tǒng)最大勢能： 2maxmax21kxVmax0maxxxtmmk 0若忽略若忽略 ，則，則 增大增大 tm0單

26、自由度系統(tǒng)自由振動(dòng)單自由度系統(tǒng)自由振動(dòng)2max)(21xmmttm彈簧等效質(zhì)量彈簧等效質(zhì)量 mtmkx0單自由度系統(tǒng)自由振動(dòng)單自由度系統(tǒng)自由振動(dòng) 等效質(zhì)量和等效剛度方法方法1：選定廣義位移坐標(biāo)后，將系統(tǒng)得動(dòng)能、勢能寫成如下形式：選定廣義位移坐標(biāo)后，將系統(tǒng)得動(dòng)能、勢能寫成如下形式： 221xMTe 221xKVe 當(dāng)當(dāng) 、 分別取最大值時(shí)：分別取最大值時(shí)：x x則可得出：則可得出： maxTT maxVV eeMK /0 Ke：簡化系統(tǒng)的等效剛度：簡化系統(tǒng)的等效剛度Me：簡化系統(tǒng)的等效質(zhì)量：簡化系統(tǒng)的等效質(zhì)量 這里等效的含義是指簡化前后的系統(tǒng)的動(dòng)能和勢這里等效的含義是指簡化前后的系統(tǒng)的動(dòng)能和勢能

27、分別相等能分別相等 單自由度系統(tǒng)自由振動(dòng)單自由度系統(tǒng)自由振動(dòng)動(dòng)能動(dòng)能2221mlT 勢能勢能220mlmglka 22)(21mglkaV2mlMemglkaKe2單自由度系統(tǒng)自由振動(dòng)單自由度系統(tǒng)自由振動(dòng)零平衡位置零平衡位置1lmak/2k/2單自由度系統(tǒng)自由振動(dòng)單自由度系統(tǒng)自由振動(dòng)k1abRk1k2k2AB動(dòng)能動(dòng)能勢能勢能22)23(21mRT 223mRMe22221)(2()(2(21bRkaRkU2221)(2()(2(bRkaRkKe2/3)()( 22222120mRbRkaRk單自由度系統(tǒng)自由振動(dòng)單自由度系統(tǒng)自由振動(dòng)k1Rk2M m x動(dòng)能動(dòng)能勢能勢能2)83(21xMmT212

28、)41(21xkkUmMkk83822120MmMe831241kkKe方法方法2：定義法：定義法等效剛度：等效剛度：使系統(tǒng)在選定的坐標(biāo)上產(chǎn)生單位位移而需要在此使系統(tǒng)在選定的坐標(biāo)上產(chǎn)生單位位移而需要在此坐標(biāo)方向上施加的力，叫做系統(tǒng)在這個(gè)坐標(biāo)上的坐標(biāo)方向上施加的力，叫做系統(tǒng)在這個(gè)坐標(biāo)上的等效剛度等效剛度等效質(zhì)量：等效質(zhì)量：使系統(tǒng)在選定的坐標(biāo)上產(chǎn)生單位加速度而需要在使系統(tǒng)在選定的坐標(biāo)上產(chǎn)生單位加速度而需要在此坐標(biāo)方向上施加的力，叫做系統(tǒng)在這個(gè)坐標(biāo)上此坐標(biāo)方向上施加的力，叫做系統(tǒng)在這個(gè)坐標(biāo)上的等效質(zhì)量的等效質(zhì)量 單自由度系統(tǒng)自由振動(dòng)單自由度系統(tǒng)自由振動(dòng)例：串聯(lián)系統(tǒng)例：串聯(lián)系統(tǒng)11kP22kP總變形：

29、總變形： Pkk)11(21212121kkkkPKe 21111kkKe 在質(zhì)量塊上施加力在質(zhì)量塊上施加力 P彈簧彈簧1變形：變形： 彈簧彈簧2變形：變形： 根據(jù)定義：根據(jù)定義： 或或 P mk1k2單自由度系統(tǒng)自由振動(dòng)單自由度系統(tǒng)自由振動(dòng)使系統(tǒng)在選定的坐標(biāo)上產(chǎn)生單位位移而需要在此坐標(biāo)方向上使系統(tǒng)在選定的坐標(biāo)上產(chǎn)生單位位移而需要在此坐標(biāo)方向上施加的力，叫做系統(tǒng)在這個(gè)坐標(biāo)上的等效剛度施加的力，叫做系統(tǒng)在這個(gè)坐標(biāo)上的等效剛度例：并聯(lián)系統(tǒng)例：并聯(lián)系統(tǒng)兩彈簧變形量相等：兩彈簧變形量相等：受力不等：受力不等：11kP 22kP 在質(zhì)量塊上施加力在質(zhì)量塊上施加力 P由力平衡：由力平衡：)(2121kkP

30、PP 根據(jù)定義：根據(jù)定義：21kkPKe 并聯(lián)彈簧的剛度是原來各個(gè)彈簧剛度的總和并聯(lián)彈簧的剛度是原來各個(gè)彈簧剛度的總和 P mk1k2單自由度系統(tǒng)自由振動(dòng)單自由度系統(tǒng)自由振動(dòng) mk1k2使系統(tǒng)在選定的坐標(biāo)上產(chǎn)生單位位移而需要在此坐標(biāo)方向上使系統(tǒng)在選定的坐標(biāo)上產(chǎn)生單位位移而需要在此坐標(biāo)方向上施加的力，叫做系統(tǒng)在這個(gè)坐標(biāo)上的等效剛度施加的力，叫做系統(tǒng)在這個(gè)坐標(biāo)上的等效剛度例：杠桿系統(tǒng)例：杠桿系統(tǒng)杠桿是不計(jì)質(zhì)量的剛體杠桿是不計(jì)質(zhì)量的剛體求：求：系統(tǒng)對于坐標(biāo)系統(tǒng)對于坐標(biāo) x 的等效質(zhì)量和等效剛度的等效質(zhì)量和等效剛度 單自由度系統(tǒng)自由振動(dòng)單自由度系統(tǒng)自由振動(dòng)k1k2m1m2l1l2l3x解法解法1：能量

31、法：能量法動(dòng)能：動(dòng)能：212221)(2121xllmxmT 勢能：勢能：213221)(2121xllkxkV221221mllmMe 221231kllkKe eeMK /0 單自由度系統(tǒng)自由振動(dòng)單自由度系統(tǒng)自由振動(dòng)2221221)(21xmllm2221231)(21xkllk 等效質(zhì)量：等效質(zhì)量：等效剛度：等效剛度：固有頻率：固有頻率：k1k2m1m2l1l2l3x解法解法2：定義法：定義法設(shè)使系統(tǒng)在設(shè)使系統(tǒng)在x方向產(chǎn)生單位加速度需要施加力方向產(chǎn)生單位加速度需要施加力P2122111)() 1(lllmlmPl 221221mllmPMe 設(shè)使系統(tǒng)在設(shè)使系統(tǒng)在x坐標(biāo)上產(chǎn)生單位位移需要施

32、加力坐標(biāo)上產(chǎn)生單位位移需要施加力P3132111)() 1(lllklkPl 221231kllkPKe 單自由度系統(tǒng)自由振動(dòng)單自由度系統(tǒng)自由振動(dòng)則在則在m1、m2上產(chǎn)生慣性力，對支座取矩：上產(chǎn)生慣性力，對支座取矩： 則在則在k1、k2處將產(chǎn)生彈性恢復(fù)力，對支點(diǎn)取矩：處將產(chǎn)生彈性恢復(fù)力，對支點(diǎn)取矩： P122llm 11m1x 11k132llk P1xk1k2m1m2l1l2l3x單自由度系統(tǒng)自由振動(dòng)單自由度系統(tǒng)自由振動(dòng) 阻尼自由振動(dòng)前面的自由振動(dòng)都沒有考慮運(yùn)動(dòng)中阻力的影響，實(shí)際系統(tǒng)前面的自由振動(dòng)都沒有考慮運(yùn)動(dòng)中阻力的影響，實(shí)際系統(tǒng)的機(jī)械能不可能守恒，因?yàn)榭偞嬖谥鞣N各樣的阻力。振的機(jī)械能不

33、可能守恒，因?yàn)榭偞嬖谥鞣N各樣的阻力。振動(dòng)中將阻力稱為阻尼，例如摩擦阻尼，電磁阻尼，介質(zhì)阻動(dòng)中將阻力稱為阻尼，例如摩擦阻尼，電磁阻尼，介質(zhì)阻尼和結(jié)構(gòu)阻尼。盡管已經(jīng)提出了許多數(shù)學(xué)上描述阻尼的方尼和結(jié)構(gòu)阻尼。盡管已經(jīng)提出了許多數(shù)學(xué)上描述阻尼的方法，但是實(shí)際系統(tǒng)中阻尼的物理本質(zhì)仍然極難確定。法，但是實(shí)際系統(tǒng)中阻尼的物理本質(zhì)仍然極難確定。最常用的一種阻尼力學(xué)模型是最常用的一種阻尼力學(xué)模型是粘性阻尼粘性阻尼。在流體中低速運(yùn)。在流體中低速運(yùn)動(dòng)或沿潤滑表面滑動(dòng)的物體，通常就認(rèn)為受到粘性阻尼。動(dòng)或沿潤滑表面滑動(dòng)的物體，通常就認(rèn)為受到粘性阻尼。 單自由度系統(tǒng)自由振動(dòng)單自由度系統(tǒng)自由振動(dòng)粘性阻尼力與相對速度稱正比

34、，即：粘性阻尼力與相對速度稱正比，即： cvPdc：為粘性阻尼系數(shù)，或阻尼系數(shù)：為粘性阻尼系數(shù)，或阻尼系數(shù) msN/單位：單位：0kxxcxm 動(dòng)力學(xué)方程：動(dòng)力學(xué)方程：02200 xxx 或?qū)憺椋夯驅(qū)憺椋簃k0kmc2固有頻率固有頻率相對阻尼系數(shù)相對阻尼系數(shù) mkc單自由度系統(tǒng)自由振動(dòng)單自由度系統(tǒng)自由振動(dòng)建立平衡位置，并受力分析建立平衡位置，并受力分析mxcxm x0kx動(dòng)力學(xué)方程：動(dòng)力學(xué)方程：02200 xxx mk0kmc2令：令：tex特征方程：特征方程：022002特征根：特征根：12002, 1 三種情況：三種情況：111欠阻尼欠阻尼過阻尼過阻尼臨界阻尼臨界阻尼單自由度系統(tǒng)自由振動(dòng)單

35、自由度系統(tǒng)自由振動(dòng)第一種情況：第一種情況：1欠阻尼欠阻尼動(dòng)力學(xué)方程：動(dòng)力學(xué)方程：02200 xxx 特征方程：特征方程：022002特征根：特征根：12002, 1 di02, 1特征根：特征根：201d阻尼固有頻率阻尼固有頻率有阻尼的自由振動(dòng)頻率有阻尼的自由振動(dòng)頻率 )sincos()(210tctcetxddt振動(dòng)解：振動(dòng)解：c1、c2：初始條件決定：初始條件決定單自由度系統(tǒng)自由振動(dòng)單自由度系統(tǒng)自由振動(dòng)兩個(gè)復(fù)數(shù)根兩個(gè)復(fù)數(shù)根1欠阻尼欠阻尼)sincos()(210tctcetxddt振動(dòng)解：振動(dòng)解：設(shè)初始條件：設(shè)初始條件：0)0(xx0)0(xx)sincos()(00000txxtxetx

36、dddt則：則：)sin()(0tAetxdt或：或：200020)(dwxxxA00001xxxtgd單自由度系統(tǒng)自由振動(dòng)單自由度系統(tǒng)自由振動(dòng)1欠阻尼欠阻尼振動(dòng)解：振動(dòng)解：201d阻尼固有頻率阻尼固有頻率阻尼自由振動(dòng)周期：阻尼自由振動(dòng)周期：ddT2T0：無阻尼自由振動(dòng)的周期：無阻尼自由振動(dòng)的周期阻尼自由振動(dòng)的周期大于無阻尼自由振動(dòng)的周期阻尼自由振動(dòng)的周期大于無阻尼自由振動(dòng)的周期 單自由度系統(tǒng)自由振動(dòng)單自由度系統(tǒng)自由振動(dòng)2012201T)sin()sincos()(000000tAetxxtxetxdtdddttAe0tAe0dTt)(txAA01欠阻尼欠阻尼響應(yīng)圖形響應(yīng)圖形單自由度系統(tǒng)自由振

37、動(dòng)單自由度系統(tǒng)自由振動(dòng)振動(dòng)解：振動(dòng)解：)sin()sincos()(000000tAetxxtxetxdtdddt欠阻尼是一種振幅逐漸衰減的振動(dòng)欠阻尼是一種振幅逐漸衰減的振動(dòng)=0 1時(shí)間時(shí)間位置位置1欠阻尼欠阻尼響應(yīng)圖形響應(yīng)圖形單自由度系統(tǒng)自由振動(dòng)單自由度系統(tǒng)自由振動(dòng)振動(dòng)解：振動(dòng)解：)sin()sincos()(000000tAetxxtxetxdtdddt欠阻尼是一種振幅逐漸衰減的振動(dòng)欠阻尼是一種振幅逐漸衰減的振動(dòng)1 =0 tAe0tAe0dTt)(txAA0不同阻尼，振動(dòng)衰減的快慢不同不同阻尼，振動(dòng)衰減的快慢不同單自由度系統(tǒng)自由振動(dòng)單自由度系統(tǒng)自由振動(dòng)不同阻尼大小下的振動(dòng)衰不同阻尼大小下的

38、振動(dòng)衰減情況減情況：阻尼小：阻尼?。鹤枘岽螅鹤枘岽笞枘岽?，則振動(dòng)衰減快阻尼大，則振動(dòng)衰減快阻尼小，則衰減慢阻尼小，則衰減慢評價(jià)阻尼對振幅衰減快慢的影響評價(jià)阻尼對振幅衰減快慢的影響1ii與與 t 無關(guān)，任意兩個(gè)相鄰振幅之比均為無關(guān)，任意兩個(gè)相鄰振幅之比均為 衰減振動(dòng)的頻率為衰減振動(dòng)的頻率為 ，振幅衰減的快慢取決于，振幅衰減的快慢取決于 ，這兩個(gè)重要的特征，這兩個(gè)重要的特征反映在特征方程的特征根的實(shí)部和虛部反映在特征方程的特征根的實(shí)部和虛部 d0di02, 1減幅系數(shù)減幅系數(shù)單自由度系統(tǒng)自由振動(dòng)單自由度系統(tǒng)自由振動(dòng)定義為相鄰兩個(gè)振幅的比值：定義為相鄰兩個(gè)振幅的比值： )(00diiTttAeAed

39、Te0)sin()sincos()(000000tAetxxtxetxdtdddttAe0tAe0dTt)(txAA0ddiiTTttiieAeAe000 )(1減幅系數(shù)：減幅系數(shù)：含有指數(shù)項(xiàng)，不便于工程應(yīng)用含有指數(shù)項(xiàng)，不便于工程應(yīng)用實(shí)際中常采用實(shí)際中常采用對數(shù)衰減率對數(shù)衰減率 ：diiT01lnln單自由度系統(tǒng)自由振動(dòng)單自由度系統(tǒng)自由振動(dòng)tAe0tAe0dTt)(txAA0實(shí)驗(yàn)求解實(shí)驗(yàn)求解利用相隔利用相隔 j 個(gè)周期的兩個(gè)個(gè)周期的兩個(gè)峰值峰值 進(jìn)行求解進(jìn)行求解jiijiijln1得：得：20012diiT01lnln20122 ddT當(dāng)當(dāng) 較小時(shí)（較小時(shí)（ ） 2 . 02單自由度系統(tǒng)自由振

40、動(dòng)單自由度系統(tǒng)自由振動(dòng))()(1211jijiiiiij2 dTiie01212tAe0tAe0dTt)(txAA0第二種情況：第二種情況：1 過阻尼過阻尼動(dòng)力學(xué)方程：動(dòng)力學(xué)方程：02200 xxx 特征方程：特征方程：022002特征根：特征根：12002, 1 *02, 1 特征根：特征根：120* 兩個(gè)不等的負(fù)實(shí)根兩個(gè)不等的負(fù)實(shí)根 振動(dòng)解：振動(dòng)解：c1、c2：初始條件決定：初始條件決定)()(*2*10tshctchcetxt單自由度系統(tǒng)自由振動(dòng)單自由度系統(tǒng)自由振動(dòng)2xxeeshx2xxeechx1 過阻尼過阻尼振動(dòng)解：振動(dòng)解：設(shè)初始條件：設(shè)初始條件：0)0(xx0)0(xx則：則：)(

41、)(*2*10tshctchcetxt)()(*000*00tshxxtchxetxt一種按指數(shù)規(guī)律衰減的非周期蠕動(dòng)，沒有振動(dòng)發(fā)生一種按指數(shù)規(guī)律衰減的非周期蠕動(dòng)，沒有振動(dòng)發(fā)生 單自由度系統(tǒng)自由振動(dòng)單自由度系統(tǒng)自由振動(dòng)響應(yīng)圖形響應(yīng)圖形)(tx0 xt0第三種情況：第三種情況：1 臨界阻尼臨界阻尼動(dòng)力學(xué)方程：動(dòng)力學(xué)方程：02200 xxx 特征方程：特征方程：022002特征根：特征根：12002, 1 02, 1 特征根：特征根：二重根二重根振動(dòng)解：振動(dòng)解：c1、c2：初始條件決定：初始條件決定)()(210tccetxt單自由度系統(tǒng)自由振動(dòng)單自由度系統(tǒng)自由振動(dòng)振動(dòng)解：振動(dòng)解：)()(210tc

42、cetxt1 臨界阻尼臨界阻尼0)0(xx0)0(xx則：則：仍然是按指數(shù)規(guī)律衰減仍然是按指數(shù)規(guī)律衰減的非周期運(yùn)動(dòng)，但比過的非周期運(yùn)動(dòng)，但比過阻尼衰減快些阻尼衰減快些 )()(00000txxxetxt kmc2臨界阻尼系數(shù)臨界阻尼系數(shù)crckmccr2單自由度系統(tǒng)自由振動(dòng)單自由度系統(tǒng)自由振動(dòng)設(shè)初始條件：設(shè)初始條件：響應(yīng)圖形響應(yīng)圖形)(tx0 xt0tx(t)2 . 014 . 1臨界也是按指數(shù)規(guī)律衰減的非周期運(yùn)動(dòng)，但比過阻尼衰減快些臨界也是按指數(shù)規(guī)律衰減的非周期運(yùn)動(dòng)，但比過阻尼衰減快些 三種阻尼情況比較：三種阻尼情況比較：111欠阻尼欠阻尼過阻尼過阻尼臨界阻尼臨界阻尼欠阻尼是一種振幅逐漸衰減

43、的振動(dòng)欠阻尼是一種振幅逐漸衰減的振動(dòng)過阻尼是一種按指數(shù)規(guī)律衰減的非周期蠕動(dòng)，沒有振動(dòng)發(fā)生過阻尼是一種按指數(shù)規(guī)律衰減的非周期蠕動(dòng)，沒有振動(dòng)發(fā)生 小結(jié)：小結(jié)：0kxxcxm 動(dòng)力學(xué)方程動(dòng)力學(xué)方程1欠阻尼欠阻尼1過阻尼過阻尼1臨界阻尼臨界阻尼)sincos()(00000txxtxetxdddt201d)()(*000*00tshxxtchxetxt120* 按指數(shù)規(guī)律衰減的非周期蠕動(dòng)按指數(shù)規(guī)律衰減的非周期蠕動(dòng) )()(00000txxxetxt kmccr2按指數(shù)規(guī)律衰減的非周期運(yùn)動(dòng)，比過阻尼衰減快按指數(shù)規(guī)律衰減的非周期運(yùn)動(dòng)，比過阻尼衰減快 振幅衰減振動(dòng)振幅衰減振動(dòng)例：阻尼緩沖器例：阻尼緩沖器靜載

44、荷靜載荷 P 去除后質(zhì)量塊越過去除后質(zhì)量塊越過平衡位置得最大位移為初始平衡位置得最大位移為初始位移的位移的 10 求：求：緩沖器的相對阻尼系數(shù)緩沖器的相對阻尼系數(shù) 單自由度系統(tǒng)自由振動(dòng)單自由度系統(tǒng)自由振動(dòng)kcx0 x0Pm平衡位置平衡位置解：解：由題知由題知 0)0(x 設(shè)設(shè)0)0(xx)sincos()(00000txxtxetxdddt求導(dǎo)求導(dǎo) ：textxdtdsin)(0020設(shè)在時(shí)刻設(shè)在時(shí)刻 t1 質(zhì)量越過平衡位置到達(dá)最大位移，這時(shí)速度為：質(zhì)量越過平衡位置到達(dá)最大位移，這時(shí)速度為： 0sin)(102010textxdtddt1即經(jīng)過半個(gè)周期后出現(xiàn)第一個(gè)振幅即經(jīng)過半個(gè)周期后出現(xiàn)第一個(gè)振幅 x121010011)(exextxxt單自由度系統(tǒng)自由振動(dòng)單自由度系統(tǒng)自由振動(dòng)kcx0 x0Pm平衡位置平衡位置由題知由題知 %102101exx解得：解得：59. 021010011)(exextxxt單自由度系統(tǒng)自由振動(dòng)單自由度系統(tǒng)自由振動(dòng)例：例：單自由度系統(tǒng)自由振動(dòng)單自由度系統(tǒng)自由振動(dòng)剛桿質(zhì)量不計(jì)剛桿質(zhì)量不計(jì)求：求：（1）寫出運(yùn)動(dòng)微分方程）寫出運(yùn)動(dòng)微分方程（2）臨界阻尼系數(shù)，