《小波變換簡(jiǎn)介》ppt課件

1、小波變換簡(jiǎn)介 傅立葉變換w 信號(hào)分析是為了獲得時(shí)間和頻率之間的相互關(guān)系。1807年，Joseph Fourierw 傅立葉變換以在兩個(gè)方向上都無(wú)限伸展的正弦曲線波作為正交基函數(shù)， 提供了有關(guān)頻率域的信息，但有關(guān)時(shí)間的部分化信息卻根本喪失。w 緣由是對(duì)于瞬態(tài)信號(hào)或高度部分化的信號(hào)如邊緣，由于這些成分并不類(lèi)似于任何一個(gè)傅立葉基函數(shù)，它們的變換系數(shù)頻譜不緊湊的，頻譜上呈現(xiàn)出一幅相當(dāng)混亂的構(gòu)成 。傅立葉變換w 有限寬度基函數(shù)的分析方法逐漸出現(xiàn)?；瘮?shù)在頻率和位置上都是變化的。“小。 w 小波變換是經(jīng)過(guò)縮放母小波Mother wavelet的寬度來(lái)獲得信號(hào)的頻率特征， 經(jīng)過(guò)平移母小波來(lái)獲得信號(hào)的時(shí)間信息

2、。對(duì)母小波的縮放和平移操作是為了計(jì)算小波系數(shù)，這些小波系數(shù)反映了小波和部分信號(hào)之間的相關(guān)程度。傅立葉變換將信號(hào)分解為不同頻率的正弦波的疊加dtetfFtj)()(傅立葉變換w 架起了時(shí)域和頻域的橋梁w 只需頻率分辨率而沒(méi)有時(shí)間分辨率。w 可確定信號(hào)中包含哪些頻率的信號(hào)，但不能確定具有這些頻率的信號(hào)出如今什么時(shí)候。傅立葉變換w 假設(shè)想要研討函數(shù)在區(qū)間(a,b)上的性質(zhì)，一個(gè)很自然的想法就是利用函數(shù)w 乘f(t)傅立葉變換這就是1945 Gabor提出的STFT (short time Fourier transform)。 但是，在ta，b處存在延續(xù)，這會(huì)使得傅立葉變換附加新的高頻成分。這種人為

3、引入的高頻成分顯然不是我們希望的。頻譜“泄露問(wèn)題。dtetxtfFtjI)()()(STFT的時(shí)間的時(shí)間-頻率關(guān)系圖頻率關(guān)系圖 窗口傅立葉變換w 取一個(gè)光滑的函數(shù)g(t),稱為窗口函數(shù)，在有限區(qū)間外恒等于0，或者很快的趨近于0dtetgtfGtjf)()(),(窗口傅立葉變換w 優(yōu)點(diǎn)： Gf (,)確實(shí)包含了f(t)的全部信息，并且窗口位置隨而變，符合研討信號(hào)部分性質(zhì)的要求；w 缺陷：Gabor窗口的大小和外形堅(jiān)持不變，與頻率無(wú)關(guān)。但是，在實(shí)踐中，窗口的大小應(yīng)該隨著頻率的變化而變化。時(shí)間窗時(shí)間幅度時(shí)間頻率 時(shí)域加窗分析時(shí)頻平面劃分表示圖 窗口傅立葉變換窗口傅立葉變換w 另一個(gè)缺陷是：無(wú)論怎樣離

4、散化，都不能使Gabor變換成為一組正交基；w 而傅立葉變換經(jīng)離散化后可得到按正交函數(shù)展開(kāi)的傅立葉級(jí)數(shù)。n1909: Alfred HaarnAlfred Haar對(duì)在函數(shù)空間中尋覓一個(gè)與傅立葉類(lèi)似的基非常感興趣。1909年他發(fā)現(xiàn)并運(yùn)用了小波，后來(lái)被命名為哈爾小波(Haar wavelets)1980：Morlet1970s，在法國(guó)石油公司任務(wù)的年輕地球物理學(xué)家Jean Morlet提出小波變換 (wavelet transform，WT)的概念。 1980s,延續(xù)小波變換 (continuous wavelet transform， CWT)。1986：Y. Meyer法國(guó)科學(xué)家Y.Meye

5、r與其同事發(fā)明性地構(gòu)造出具有一定衰減性的光滑函數(shù)，用于分析函數(shù)；用縮放(dilations)與平移(translations)均為2 j(j0的整數(shù))的倍數(shù)構(gòu)造了L2(R)空間的規(guī)范正交基，使小波分析得到開(kāi)展。n1988：Mallat算法n法國(guó)科學(xué)家Stephane Mallat提出多分辨率概念，從空間上籠統(tǒng)闡明小波的多分辨率的特性，并提出了正交小波的構(gòu)造方法和快速算法，稱為Mallat算法1n該算法一致了在此之前構(gòu)造正交小波基的一切方法，其位置相當(dāng)于快速傅立葉變換在經(jīng)典傅立葉分析中的位置小波母函數(shù)w 設(shè) 為一平方可積函數(shù)，假設(shè)其傅立葉變換 滿足條件：w 允許性條件：頻域也衰減w 稱 為一個(gè)根

6、本小波或者小波母函數(shù)。w 特點(diǎn)：小緊支撐，速降；動(dòng)搖性均值為0， ；頻域也衰減。 dCR| )(|Rdtt0)(小波w 小波是一個(gè)衰減的波形，在有限的區(qū)域里存在，即不為零。且其均值為零。從小波和正弦波的外形可以看出，變化猛烈的信號(hào)，用不規(guī)那么的小波進(jìn)展分析比用平滑的正弦波更好，即用小波更能描畫(huà)信號(hào)的部分特征。延續(xù)小波基函數(shù)w 將小波母函數(shù) 進(jìn)展伸縮和平移后得到函數(shù)w w 稱該函數(shù)為依賴于參數(shù)a,的 小波基函數(shù)。a為尺度因子，b為位移因子 。Rbaabtatba, 0),()(21, 許多數(shù)縮放函數(shù)和小波函數(shù)以開(kāi)發(fā)者的名字命名的，例如，Moret小波函數(shù)是Grossmann和Morlet在198

7、4年開(kāi)發(fā)的；db6縮放函數(shù)和db6小波函數(shù)是Daubechies開(kāi)發(fā)的22412e )1 (32)(tttMarr小波，墨西哥草帽Mexican Hat： 高斯函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù) 例子w 可以看到，小波基函數(shù)的窗口隨著尺度因子的不同而不同。a增大，時(shí)間窗口隨著增大，對(duì)應(yīng)的頻域窗口減小，中心頻率變低。w 在大尺度上，基函數(shù)搜索信號(hào)中大的特征，而在較小的尺度上，那么尋覓信號(hào)中的細(xì)節(jié)信息。 延續(xù)小波變換CWT)(1)()(),(1)(,02,abtatadadbtbaWCtfbabafdeFtftj)()(小波系數(shù)的意義w Wf (a,b)表示信號(hào)與尺度為a小波的相關(guān)程度。小波系數(shù)越大，二者越類(lèi)似。dt

8、ttfbaWbaf)()(),(,dtetfFtj)()(延續(xù)小波變換的簡(jiǎn)單步驟w 選擇尺度為a確定的小波，與信號(hào)開(kāi)場(chǎng)的一段比較；w 計(jì)算小波系數(shù)；w 向右挪動(dòng)小波，反復(fù)以上兩步，直至處置完好個(gè)信號(hào)；w 增大尺度因子a，反復(fù)上述三步。直到完成所需的一切尺度。圖示離散小波變換DWT 在每個(gè)能夠的尺度因子和平移參數(shù)下計(jì)算小波系數(shù)，其計(jì)算量相當(dāng)大， 將產(chǎn)生驚人的數(shù)據(jù)量，而且有許多數(shù)據(jù)是無(wú)用的。假設(shè)尺度因子和平移參數(shù)為：a=2j, b=k. 2j j,k為整數(shù)， 即只選擇部分縮放因子和平移參數(shù)來(lái)進(jìn)展計(jì)算， 就會(huì)使分析的數(shù)據(jù)量大大減少。Mallat算法 執(zhí)行離散小波變換的有效方法是運(yùn)用濾波器， 該方法是

9、Mallat于1988年提出的，稱為Mallat算法。 S表示原始的輸入信號(hào)， 經(jīng)過(guò)兩個(gè)互補(bǔ)的濾波器組， 其中一個(gè)濾波器為低通濾波器，經(jīng)過(guò)該 濾 波 器 可 得 到 信 號(hào) 的 近 似 值 AApproximations，另一個(gè)為高通濾波器， 經(jīng)過(guò)該濾波器可得到信號(hào)的細(xì)節(jié)值DDetail。有限帶寬信號(hào)，假設(shè)將其分解為窄帶分量，特別地當(dāng)采用雙通道子帶時(shí)，對(duì)應(yīng)帶寬劃分為兩個(gè)分量子帶，例如低半帶和高半帶。 圖示留意：在運(yùn)用濾波器對(duì)真實(shí)的數(shù)字信號(hào)進(jìn)展變換時(shí)，得到的數(shù)據(jù)將是原始數(shù)據(jù)的兩倍例如，假設(shè)原始信號(hào)的數(shù)據(jù)樣本為1000個(gè)，經(jīng)過(guò)濾波之后每一個(gè)通道的數(shù)據(jù)均為1000個(gè)，總共為2000個(gè)。于是,根據(jù)尼奎

10、斯特(Nyquist)采樣定理就提出了采用降采樣(downsampling)的方法，即在每個(gè)通道中每?jī)蓚€(gè)樣本數(shù)據(jù)中取一個(gè)，得到的離散小波變換的系數(shù)(coefficient)分別用cD和cA表示。離散小波的多分辨率分析w 又稱為多尺度分辨率分析對(duì)多尺度的了解w 假設(shè)我們把尺度了解為照相機(jī)鏡頭的話，當(dāng)尺度由大到小變化時(shí)，就相當(dāng)于照相機(jī)鏡頭由遠(yuǎn)及近的接近目的。w 在大尺度空間里，對(duì)應(yīng)遠(yuǎn)鏡頭下察看到的目的，只能看到目的大致的概貌；在小尺度空間里，對(duì)應(yīng)近鏡頭下察看到的目的，可察看到目的的細(xì)微部分。因此，隨著尺度的由大到小，在各個(gè)尺度上可以由粗及細(xì)的察看目的。這就是多尺度的思想。二維離散小波變換二維離散小

11、波變換w 二維離散小波變換是一維離散小波變換的推行， 其本質(zhì)上是將二維信號(hào)在不同尺度上的分解， 得到原始信號(hào)的近似值和細(xì)節(jié)值。由于信號(hào)是二維的，因此分解也是二維的。分解的結(jié)果為： 近似分量cA、 程度細(xì)節(jié)分量cH、 垂直細(xì)節(jié)分量cV和對(duì)角細(xì)節(jié)分量cD。同樣也可以利用二維小波分解的結(jié)果在不同尺度上重構(gòu)信號(hào)。小波重構(gòu)n重構(gòu)概念n把分解的系數(shù)復(fù)原成原始信號(hào)的過(guò)程叫做小波重構(gòu)(wavelet reconstruction)或合成(synthesis)，數(shù)學(xué)上叫做逆離散小波變換(inverse discrete wavelet transform，IDWT)n兩個(gè)過(guò)程n在運(yùn)用濾波器做小波變換時(shí)包含濾波和

12、降采樣(downsampling)兩個(gè)過(guò)程，在小波重構(gòu)時(shí)也包含升采樣(upsampling)和濾波兩個(gè)過(guò)程。n升采樣是在兩個(gè)樣本數(shù)據(jù)之間插入“0，目的是把信號(hào)的分量加長(zhǎng)。重構(gòu)與升采樣(b)Lo_R21Lo_R12Hi_R12行列列cAj 1cHj 1Hi_R21Lo_R12Hi_R12行列列cVj 1cDj 1cAjwkeepLo_D21Lo_D12Hi_D12行列列cAj 1cHj 1Hi_D21Lo_D12Hi_D12行列列cVj 1cDj 1cAj(a)Wavevlet “dB1一級(jí)分解一級(jí)分解程度細(xì)節(jié)分量cH近似分量cA垂直細(xì)節(jié)分量cV對(duì)角細(xì)節(jié)分量cDWavevlet “dB1二級(jí)分解

13、二級(jí)分解二維小波變換例如程度細(xì)節(jié)分量cH近似分量cA垂直細(xì)節(jié)分量cV對(duì)角細(xì)節(jié)分量cDw C,S = wavedec2(X,N,wname)returns the wavelet decomposition of the matrix X at level N, using the wavelet named in string wname. Outputs are the decomposition vector C and the corresponding bookkeeping matrix S.A = appcoef2(C,S,wname,N)computes the approxim

14、ation coefficients at level N using the wavelet decomposition structure C,S Matrix C is such that: C = A(N) | H(N) | V(N) | D(N) | . H(N-1) | V(N-1) | D(N-1) | . | H(1) | V(1) | D(1) Matrix S is such that: S(1,:) = size of app. coef.(N) S(i,:) = size of det. coef.(N-i+2) for i = 2,.,N+1 and S(N+2,:)

15、 = size(X).d = detcoef2(type,C,S,N)extracts from the wavelet decomposition structure C,S, the horizontal, vertical or diagonal detail coefficients for type = h (or v or d,respectively), at level N. H,V,D = detcoef2 (all,C,S,N) returns the horizontal H, vertical V, and diagonal D detail coefficients at level N.w X = waverec2(C,S,wname) reconstructs the matrix X based on the multi-level wavelet decomposition structure C,S Matrix C is such that: C = A(N) | H(N) | V(N) | D(N) | . H(N-1) | V(N-1) | D(N-1) |