翻折問(wèn)題參考答案

1、翻折問(wèn)題解答題（共1小題）1. （ 2014?西城區(qū)一模）閱讀下列材料：?jiǎn)栴}：在平面直角坐標(biāo)系 xOy中，一張矩形紙片 OBCD按圖1所示放置.已知OB=10 ,BC=6， 將這張紙片折疊，使點(diǎn) O落在邊CD上，記作點(diǎn)A，折痕與邊OD （含端點(diǎn)）交于點(diǎn) E,與 邊OB （含端點(diǎn)）或其延長(zhǎng)線(xiàn)交于點(diǎn) F,求點(diǎn)A的坐標(biāo).小明在解決這個(gè)問(wèn)題時(shí)發(fā)現(xiàn)：要求點(diǎn)A的坐標(biāo)，只要求出線(xiàn)段AD的長(zhǎng)即可，連接 OA，設(shè)折痕EF所在直線(xiàn)對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為：y=kx+n （k v 0, n%）,于是有E （0, n）, F （,k0）,所以在Rt EOF中，得到tan/ OFE= - k，在Rt AOD中，利用等角的三角

2、函數(shù)值相 等，就可以求出線(xiàn)段 DA的長(zhǎng)（如圖1）請(qǐng)回答：（1）如圖1，若點(diǎn)E的坐標(biāo)為（0，4），直接寫(xiě)出點(diǎn) A的坐標(biāo)；（2） 在圖2中，已知點(diǎn)O落在邊CD上的點(diǎn)A處，請(qǐng)畫(huà)出折痕所在的直線(xiàn)EF （要求：尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫(xiě)做法）；參考小明的做法，解決以下問(wèn)題：（3）將矩形沿直線(xiàn) y= - -x+n折疊，求點(diǎn)A的坐標(biāo)；（4） 將矩形沿直線(xiàn)y=kx+n折疊，點(diǎn)F在邊OB上（含端點(diǎn)），直接寫(xiě)出k的取值范圍.考點(diǎn)：一次函數(shù)綜合題.分析：（1）如圖1，在Rt EOF中，得到tan/ OFE= - k，在Rt AOD中，利用等角的三角函數(shù)值相等，就可以求出線(xiàn)段DA的長(zhǎng)；（2）作OA的中垂線(xiàn)即可；（3

3、） 如圖，設(shè)直線(xiàn) y=-吉x+n，則E點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，n），F(xiàn)點(diǎn)的坐標(biāo)為（2n，0），OE=n，OF=2n，由 AEF OEF 可知 OE=AE=n，AF=OF=2n，由/ EAF=90?？芍? 1+ / 3=90從而求得/ 1 = / 2,得出 DEAGAF所以詈愕，由FG=CB=6FA GF解得DA=3，從而求得A點(diǎn)的坐標(biāo).（4） 根據(jù)圖象和矩形的邊長(zhǎng)可直接得出k的取值范圍，解答：解：（1）如圖1若點(diǎn)E的坐標(biāo)為（0，4），直接寫(xiě)出點(diǎn)A的坐標(biāo)為（3，6）；（2）如圖所示:(3) 如圖，過(guò)點(diǎn)F作FG丄DC于Gt EF解析式為y= - x+n ,E點(diǎn)的坐標(biāo)為(0, n),/ OE=n F點(diǎn)的坐標(biāo)

4、為(2n , 0), OF=2n/ AEF與厶O(píng)EF全等， OE=AE=n ， AF=OF=2n/ 點(diǎn) A 在 DC 上，且/ EAF=90 / 1 + / 3=90 又/ / 3+ / 2=90 / 1 = / 2在厶DEA與厶GAF中，fZl=Z2ADE 二厶GF DEAGAF (AA )AE_DAFA=GFFG=CB=6n_DA6 DA=3 A點(diǎn)的坐標(biāo)為（3, 6）.(4) - 1 g-丄.3矩形沿直線(xiàn)y=kx+n折疊，點(diǎn)F在邊0B上，(1)當(dāng)E點(diǎn)和D點(diǎn)重合時(shí)，k的值為 -1，( 2)當(dāng)F點(diǎn)和B點(diǎn)重合時(shí)，k的值為-2;點(diǎn)評(píng)：這是一道有關(guān)折疊的問(wèn)題，主要考查一次函數(shù)、四邊形、相似形等知識(shí)，

5、試題中貫穿 了方程思想和數(shù)形結(jié)合的思想，請(qǐng)注意體會(huì).2. （ 2015?杭州模擬）將弧 BC沿弦BC折疊，交直徑 AB于點(diǎn)D,若AD=8 , DB=10，則BC的長(zhǎng)是（）A . 6.7B. 16C. 2 巧D. 4.口考點(diǎn)：翻折變換（折疊問(wèn)題）.分析：如圖，作輔助線(xiàn)；首先運(yùn)用圓周角定理的推論，證明AC=DC，此為解決該題的關(guān)鍵性結(jié)論；其次證明 DE=4，進(jìn)而得到BE=14 ;證明 ABC為直角三角形，運(yùn)用射影定 理求出BC,即可解決問(wèn)題.解答：解：如圖，連接 CD、AC ,過(guò)點(diǎn)C作CE丄AB于點(diǎn)E; W， / CAB= / DCB+ / DBC ,/ / ADC= / DCB+ / DBC ,

6、 / CAB= / ADC , AC=DC ;/ CE丄 AD , AE=DE=4 , BE=4+10=14 ;/ AB為半圓的直徑， / ACB=90 由射影定理得：BC 2=AB ?BE , BC=6 . 故選A.點(diǎn)評(píng)：該題主要考查了翻折變換的性質(zhì)、圓周角定理及其推論、等腰三角形的性質(zhì)、勾股定 理等幾何知識(shí)點(diǎn)及其應(yīng)用問(wèn)題；解題的方法是作輔助線(xiàn)；解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用翻折 變換的性質(zhì)等幾何知識(shí)點(diǎn)來(lái)分析、判斷、解答.3. （ 2015?杭州模擬）如圖，將正方形對(duì)折后展開(kāi)（圖 是連續(xù)兩次對(duì)折后再展開(kāi)），再按 圖示方法折疊，能得到一個(gè)直角三角形，且它的一個(gè)銳角等于30這樣的圖形有（）考點(diǎn)：翻折變換（

7、折疊問(wèn)題）分析：如圖，首先運(yùn)用翻折變換的性質(zhì)、平行線(xiàn)的性質(zhì)證明/ FBE= / EBG （設(shè)為a）,此為解題的關(guān)鍵性結(jié)論；再次證明/ ABD= / FBE= a,求出 滬30如圖，首先運(yùn)用翻折變換的性質(zhì)證明/ MAB=60 求出/ BAC=60 進(jìn)而得到/ ACB= , 30即可解決問(wèn)題.解答:解：如圖，由題意得：AD / CF, AC=BC DF=BF , EF為直角 BDE斜邊上的中線(xiàn)， EF=BF, / FBE=/ FEB ； 而 EF / BC, / FEB= / EBG , / FBE= / EBG （設(shè)為 a）； 由題意得：/ ABD= / FBE= a,而/ ABG=90 二 3

8、a=90 0=30 如圖，由題意得： AN=AB=2AM , / AMB=90 / ABM=30 / MAB=60 i由題意得：/ NAC= / BAC=60 2 / ACB=90 - 60 30 綜上所述，有一個(gè)銳角為 30。的直角三角形有兩個(gè),主要考查了翻折變換的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)等幾何知識(shí)點(diǎn)及其應(yīng)用問(wèn)題；牢固掌握翻折變換的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)等幾何知識(shí)點(diǎn)是解題的 基礎(chǔ)和關(guān)鍵.4. （ 2015?沂源縣校級(jí)模擬）如圖，對(duì)折矩形紙片ABCD，使BC與AD重合，折痕為EF,把紙片展平；再一次折疊紙片，使BC與EF重合，折痕為GH，把紙片展平；再一次折疊紙片，使點(diǎn)A落在GH上的點(diǎn)N處，并使

9、折痕經(jīng)過(guò)點(diǎn) B,折痕BM交GH于點(diǎn)I .若AB=4cm , 則GI的長(zhǎng)為（）C mD.1 Icm5考點(diǎn)：翻折變換（折疊問(wèn)題）.分析：如圖，首先由翻折變換的性質(zhì)證明BN=BA=4 , MN=MA （設(shè)為入）；由勾股定理求得BQiS;在直角 MNP中，由勾股定理列出關(guān)于入的方程，求出X;運(yùn)用 BGI BAM，列出關(guān)于 GI的比例式，即可解決問(wèn)題.解答：解：如圖，分別過(guò)點(diǎn) M、N作MP丄GH、NQ丄BC于點(diǎn)P、Q ;貝U MP=AG=3 , NQ=BG=1 , GN=BQ , GP=MA ;由題意得：BN=BA=4 , MN=MA （設(shè)為X）,由勾股定理得：BQ= -, PN= 一 - X;由勾股定

10、理得:入J/（屆-入）2,解得：X ;5 |由題意得：GI / AM , BGI BAM ,里型丄 GI=g :45故選D.JIVJA-4-UFGQC點(diǎn)評(píng)：該題主要考查了翻折變換的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)點(diǎn)及其應(yīng)用問(wèn)題；解 題的關(guān)鍵是作輔助線(xiàn)，構(gòu)造直角三角形，靈活運(yùn)用翻折變換的性質(zhì)、勾股定理等知識(shí) 點(diǎn)來(lái)分析、判斷、解答.7. （ 2014?路南區(qū)三模）如圖，AB是半圓O的直徑，且 AB=8 ,點(diǎn)C為半圓上的一點(diǎn)，將此半圓沿BC所在的直線(xiàn)折疊，若圓弧 BC恰好過(guò)圓心O,則下列說(shuō)法： / ABC=30 弧AC的長(zhǎng)與弧OC的長(zhǎng)相等; 弦BC的長(zhǎng)為4 -; 陰影部分的面積是 其中正確的個(gè)數(shù)是（

11、A9A . 1考點(diǎn)：翻折變換（折疊問(wèn)題）；弧長(zhǎng)的計(jì)算；扇形面積的計(jì)算.專(zhuān)題：計(jì)算題.分析：過(guò)點(diǎn)0作0D丄BC于E,交半圓0于D點(diǎn)，連接CD，如圖，根據(jù)垂徑定理由 0D丄BC 得BE=CE，再根據(jù)折疊的性質(zhì)得到ED=EO，則OEOB，則可根據(jù)含30度的直角2三角形三邊的關(guān)系得 / OBC=30 即/ ABC=30 利用互余和等腰三角形的性質(zhì)得/ BOD= / COD=60 則可判斷 OCD為等邊三角形，所以 / ODC=60 然后根據(jù)弧長(zhǎng)計(jì)算可計(jì)算出弧OC的長(zhǎng) J n,弧AC的長(zhǎng) j n,即弧AC的長(zhǎng)與弧OCg帀的長(zhǎng)相等；在Rt OBC中，根據(jù)含30度的直角三角形三邊的關(guān)系得BE=. 1OE=2

12、.;，則有BC=4 :;由于OC=OB，則弓形OC的面積=弓形OB的面積，然后根據(jù)扇形的 面積公式和S陰影部分=S扇形OAC計(jì)算得到 正確.解答：解：過(guò)點(diǎn)O作OD丄BC于E,交半圓O于D點(diǎn)，連接CD，如圖，/ OD 丄 BC , BE=CE ,半圓O沿BC所在的直線(xiàn)折疊，圓弧 BC恰好過(guò)圓心O, ED=EO, OEOB, / OBC=30 即/ ABC=30 所以正確； / BOD= / COD=60 , OCD為等邊三角形， / ODC=60 弧 OC 的長(zhǎng)=，/ / AOC=60 弧AC的長(zhǎng)=180弧AC的長(zhǎng)與弧OC的長(zhǎng)相等，所以 正確；在 Rt OBC 中，OE=2, / OBE=30

13、BE= -；OE=2, BC=2BE=4 .二,所以 正確；/ OC=OB ,弓形OC的面積=弓形OB的面積，兀梓 g S陰影部分=S扇形OAC=二n,所以 正確.故選D.點(diǎn)評(píng)：本題考查了折疊的性質(zhì)：折疊是一種對(duì)稱(chēng)變換，它屬于軸對(duì)稱(chēng)，折疊前后圖形的形狀 和大小不變，位置變化，對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角相等.也考查了弧長(zhǎng)公式和扇形的面積公式.二解答題(共1小題)9. ( 2014?綿陽(yáng))如圖1，矩形ABCD中，AB=4 , AD=3，把矩形沿直線(xiàn) AC折疊，使點(diǎn)B 落在點(diǎn)E處，AE交CD于點(diǎn)F,連接DE .(1) 求證： DEC EDA ;(2 )求DF的值；(3)如圖2,若P為線(xiàn)段EC上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn) P作

14、厶AEC的內(nèi)接矩形，使其定點(diǎn) Q落在線(xiàn) 段AE上，定點(diǎn)M、N落在線(xiàn)段AC上，當(dāng)線(xiàn)段PE的長(zhǎng)為何值時(shí)，矩形PQMN的面積最大？考點(diǎn)：四邊形綜合題.專(zhuān)題：壓軸題.分析：(1)由矩形和翻折的性質(zhì)可知AD=CE , DC=EA ,根據(jù)SSS”可求得 DEC也 EDA ;(2) 根據(jù)勾股定理即可求得.(3) 由矩形PQMN的性質(zhì)得PQ/ CA，所以 -Hi,從而求得PQ,由PN / EG, 得出丄=J,求得pn，然后根據(jù)矩形的面積公式求得解析式，即可求得.|CE EG解答：(1)證明：由矩形和翻折的性質(zhì)可知：AD=CE , DC=EA ,在厶ADE與厶CED中，AD=CEDE=EDDC=EA DEC EDA ( SSS);(2)解：如圖1,/ / ACD= / BAC , / BAC= / CAE , / ACD= / CAE , AF=CF ,設(shè) DF=x，貝U AF=CF=4 - x,在 Rt ADF 中，AD 2+df2=AF2,2 2即 3 +x = (4 - x) 解得：x=工，8即 DF=t8(3)解：如圖2,由矩形PQMN的性質(zhì)得PQ/ CA. CECA又 CE=3,人0寸壯2+耳嚴(yán)=5設(shè) PE=x ( Ovx v