直線與平面所成角

1、1、定義：平平面面的的斜斜線線的的斜斜線線叫叫做做斜斜交交，直直線線與與平平面面直直線線相相交交但但不不垂垂直直時時，叫叫做做與與平平面面當(dāng)當(dāng)直直線線 lll點點在在平平面面內(nèi)內(nèi)的的射射影影外外一一點點時時：為為平平面面 A上上一一點點時時：為為平平面面 A內(nèi)內(nèi)的的射射影影在在就就是是點點，則則于于若若 AOOAO AA內(nèi)內(nèi)的的射射影影就就是是在在 PABP11、定義：l與其在平面 上斜線射影的所成的，銳角.l叫做直線與平面 所成的角注： 1l當(dāng)時，902當(dāng)時，0/ll或2、范圍：1斜線與平面(0 ,90 )2直線與平面0 ,90 線線面面角角所所成成的的角角平平面面和和中中，求求例例：在在正

2、正方方體體CDBABADCBAABCD1111111A1ABB1CDC1D1OOAOC111點點，連連接接于于，交交連連接接CBB111BCBCBCCD面面面面CDBABCBCCBBCCD111111面面內(nèi)內(nèi)的的射射影影在在面面為為CDBABAOA1111所所成成的的角角和和面面為為CDBABAOBA1111aOBaBAOBAa222RT11,中中，則則在在設(shè)設(shè)正正方方體體邊邊長長為為2111BAOBOBA中中sin30111所所成成的的角角為為和和平平面面CDBABA所所成成的的角角與與求求的的斜斜線線，是是內(nèi)內(nèi)，在在平平面面例例： OAaBCaOCOBOAAOCAOB,260OABOCBO

3、CA60AOCAOBaOCOBOA,aABACAOBAOC都都為為正正三三角角形形,都都為為等等腰腰直直角角三三角角形形ABCBOCaBC,2OEAEEBC，連連接接中中點點取取EaOEBCAE22AE且且,OEAEaOA 面面 AE所所成成的的角角與與為為 OAAOE45OA45為為所所成成的的角角與與 AOE130 ,45.Rt ABCABACBCCDABCD、已知的斜邊在平面 內(nèi)，和與 所成的角分別是，是斜邊上的高，求與 所成的角ABCDC1解：11,CCC作于1C D連1.CDC則即為所求11,.AC BC連1CAC則301CBC451CCa設(shè)CA 2aCB2aRt ABC在中， AB

4、6aCDAC BCAB2 33a1Rt CC D在中，1sinCDC1CCCD321CDC 6060CD與 所成的角為PABP1l(1)三垂線定理1PPl1lAPlAP(2)三垂線逆定理1PPllAPl1AP應(yīng)用：C1D1B1A1CDAB1AAAC面BDAC面BDACBD1AC三三垂垂線線定定理理及及其其逆逆定定理理PABP1前提： 平面外一點從引斜線段斜線段相等射影相等應(yīng)用：_如果三棱錐的三條側(cè)棱相等，則三棱錐的頂點在底面上的射影是底面三角形的BADCO外心射射影影定定理理拓拓展展 :P PC CB BA AO O若三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，則三棱錐的頂點若三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，則三棱錐

5、的頂點在底面的射影是底面三角形的在底面的射影是底面三角形的 垂心垂心PBC面面PAPCPAPBPAAOBCABCBCBCAPBCPO面面面面ACOAB同同理理_如果三棱錐的三個側(cè)面上的高相等，則三棱錐的頂點在底面上的射影是底面三角形的EBADCFHO內(nèi)心OEBCBCDBCBCAEBCDAO面面面面OFCDOHBD，同同理理AOFRTAOHRTAOERT且且OFOHOE所所成成的的角角與與面面的的中中點點，求求是是點點，外外在在面面例例：BCDCEADEDBCDBCADACABBCDA,ABCDEDFFBC，連連接接中中點點取取FAOOBCDAO，連連接接于于點點平平面面作作OODOCOBADA

6、CAB的的外外心心為為 BCDOCHH,DFEH/AO連連接接于于交交作作H所所成成角角與與面面為為面面BCDCEECHBCDEHaODaa3323CEAB,則則設(shè)設(shè)aEHaOA6636,32ECHsin32BCDCEarcsin所所成成角角為為與與面面例、若一個角所在平面外一點到角的兩邊距離相等例、若一個角所在平面外一點到角的兩邊距離相等,則則這一點在平面上的射影在這個角的平分線上這一點在平面上的射影在這個角的平分線上已知：已知：BAC在平面在平面 內(nèi)內(nèi),點點P,PEAB,PFAC,PO ,垂足分別是垂足分別是E、F、O,PE=PF.分析分析: 要證要證BAO=CAOP C B A O F

7、求證求證:BAO=CAO只須證只須證OE=OF, OEAB,OFACE 若一個角所在平面外一點到角的兩邊距離相等若一個角所在平面外一點到角的兩邊距離相等,則這一則這一點在平面上的射影在這個角的平分線上點在平面上的射影在這個角的平分線上結(jié)論：結(jié)論：過角的頂點的射線和角的兩邊的夾角相等過角的頂點的射線和角的兩邊的夾角相等,則這條射線在平面內(nèi)的射影是角平分線則這條射線在平面內(nèi)的射影是角平分線CAOB則則CO在平面在平面AOB內(nèi)的射影內(nèi)的射影E為角為角AOB的平分線的平分線COBCOA若若E FG290 ,3,4,60Rt ABCAABACPAABCPABPACPAABC 、如圖，在中，是平面的斜線，

8、。求與平面所成角的大小；APCBODE解：,POABCO作面于,OA連.PAO則即為所求,ODABD作于PD連接,OEACE作于PE連接ABPDACPEPABPAEPDAPEA ADAEADOE四邊形為正方形ADa設(shè)AO2aRt PDA在中，60PABPA 2aRt POA在中， cosPAOAOPA22PAO 4545PAABC與平面所成的角為的的范范圍圍角角，求求，成成與與分分別別引引斜斜線線段段外外一一點點例例：從從平平年年APBPBPAPBPA3045P ,PBAO 旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)繞繞著著讓讓現(xiàn)現(xiàn)固固定定POPAO, POPB的的增增大大而而增增大大將將隨隨著著中中，在在ABAPBPAB的的范范圍圍現(xiàn)現(xiàn)確確定定，設(shè)設(shè)不不妨妨設(shè)設(shè)xx,AB1OP1A2A1313maxmin, xx24-6APB2xAPB cos中中，在在,10515APB例例、異面直線異面直線a,b所成的角為所成的角為500，P為空間為空間一定點，則過一定點，則過P點且與點且與a,b所成的角都是所成的角都是300的直線有且只有（的直線有且只有（ ）A. 條；條；B.條；條；C.條；條；D.條條變式一、變式一、例中例中,過點且與所成的角都是過點且與所成的角都是變式二、變式二、異面直線異面直線a,b所成的角為所成的角為600，P為空間一定點