中學(xué)平面幾何的教育價(jià)值

1、有關(guān)平面幾何的幾方面研究有關(guān)平面幾何的幾方面研究 有關(guān)平面幾何教育價(jià)值幾個(gè)方面：有關(guān)平面幾何教育價(jià)值幾個(gè)方面： 平面幾何一直以來占據(jù)著其獨(dú)特而重要的位置，一平面幾何一直以來占據(jù)著其獨(dú)特而重要的位置，一 直以來都是世界各國初中數(shù)學(xué)教學(xué)的重要內(nèi)容平面幾直以來都是世界各國初中數(shù)學(xué)教學(xué)的重要內(nèi)容平面幾 何反映了現(xiàn)實(shí)生活中的基本圖形世界，何反映了現(xiàn)實(shí)生活中的基本圖形世界，是認(rèn)識(shí)和描述生是認(rèn)識(shí)和描述生 活空間的重要工具和認(rèn)識(shí)空間圖形、刻畫空間位置關(guān)系活空間的重要工具和認(rèn)識(shí)空間圖形、刻畫空間位置關(guān)系 的基本工具；也是學(xué)生初步建立空間觀念，發(fā)展形象思的基本工具；也是學(xué)生初步建立空間觀念，發(fā)展形象思 維和幾何直

2、覺的必要內(nèi)容維和幾何直覺的必要內(nèi)容. 一、一、大綱大綱與與標(biāo)準(zhǔn)標(biāo)準(zhǔn) 通過平面幾何的教學(xué)可以使學(xué)生掌握一些平面圖形的通過平面幾何的教學(xué)可以使學(xué)生掌握一些平面圖形的 性質(zhì)，從而性質(zhì)，從而逐步培養(yǎng)學(xué)生分析問題和解決問題的能力逐步培養(yǎng)學(xué)生分析問題和解決問題的能力，使，使 學(xué)生能夠掌握參加生產(chǎn)勞動(dòng)和繼續(xù)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)與其他學(xué)科研學(xué)生能夠掌握參加生產(chǎn)勞動(dòng)和繼續(xù)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)與其他學(xué)科研 究所必需的平面幾何的基礎(chǔ)知識(shí)，究所必需的平面幾何的基礎(chǔ)知識(shí)，幾何的演繹體系能培養(yǎng)幾何的演繹體系能培養(yǎng) 學(xué)生嚴(yán)密的邏輯思維能力、推理能力和較強(qiáng)的論證能力，學(xué)生嚴(yán)密的邏輯思維能力、推理能力和較強(qiáng)的論證能力， 對學(xué)生良好的個(gè)性品質(zhì)和辨證唯物

3、主義世界觀的形成有積對學(xué)生良好的個(gè)性品質(zhì)和辨證唯物主義世界觀的形成有積 極作用。極作用。 大綱大綱指導(dǎo)下平面幾何教學(xué)對初中生的積極影響：指導(dǎo)下平面幾何教學(xué)對初中生的積極影響： “ “空間與圖形空間與圖形”的內(nèi)容主要涉及現(xiàn)實(shí)世界中的物體、的內(nèi)容主要涉及現(xiàn)實(shí)世界中的物體、 幾何體和平面圖形的形狀、大小、位置關(guān)系及其變換，幾何體和平面圖形的形狀、大小、位置關(guān)系及其變換，它它 是人們更好地認(rèn)識(shí)和描述生活空間并進(jìn)行交流的重要工具是人們更好地認(rèn)識(shí)和描述生活空間并進(jìn)行交流的重要工具。 標(biāo)準(zhǔn)標(biāo)準(zhǔn)對對“空間與圖形空間與圖形”部分的界定：部分的界定： 標(biāo)準(zhǔn)標(biāo)準(zhǔn)將將“幾何幾何”拓展為拓展為“空間與圖形空間與圖形”的

4、的緣由緣由 ： 2. 2.幾何課程的重新定位（研究現(xiàn)實(shí)世界中的物體、幾幾何課程的重新定位（研究現(xiàn)實(shí)世界中的物體、幾 何體和平面圖形的形狀、大小、位置關(guān)系及其變換；更何體和平面圖形的形狀、大小、位置關(guān)系及其變換；更 好地認(rèn)識(shí)和描述生活空間、進(jìn)行交流的工具）。好地認(rèn)識(shí)和描述生活空間、進(jìn)行交流的工具）。 1.國際幾何課程改革的趨勢；國際幾何課程改革的趨勢； 初中幾何是在小學(xué)數(shù)學(xué)中幾何初步知識(shí)的基礎(chǔ)上，使學(xué)初中幾何是在小學(xué)數(shù)學(xué)中幾何初步知識(shí)的基礎(chǔ)上，使學(xué) 生進(jìn)一步學(xué)習(xí)基本的平面幾何圖形知識(shí)，向他們直觀地介生進(jìn)一步學(xué)習(xí)基本的平面幾何圖形知識(shí)，向他們直觀地介 紹一些空間幾何圖形知識(shí)。將邏輯性與直觀性相結(jié)合

5、，通紹一些空間幾何圖形知識(shí)。將邏輯性與直觀性相結(jié)合，通 過各種圖形的概念、性質(zhì)、作過各種圖形的概念、性質(zhì)、作( (畫畫) )圖及運(yùn)算等方面的教學(xué)，圖及運(yùn)算等方面的教學(xué)， 發(fā)展學(xué)生的思維能力、空間觀念和運(yùn)算能力，并使他們初發(fā)展學(xué)生的思維能力、空間觀念和運(yùn)算能力，并使他們初 步獲得研究幾何圖形的基本方法。步獲得研究幾何圖形的基本方法。 大綱大綱對平面幾何的對平面幾何的教學(xué)目標(biāo)教學(xué)目標(biāo)要求：要求： 標(biāo)準(zhǔn)標(biāo)準(zhǔn)對對“空間與圖形空間與圖形”的的教學(xué)目標(biāo)教學(xué)目標(biāo)要求：要求： 探索基本圖形探索基本圖形( (直線形、圓直線形、圓) )的基本性質(zhì)及其相互關(guān)系，的基本性質(zhì)及其相互關(guān)系， 進(jìn)一步豐富對空間圖形的認(rèn)識(shí)和

6、感受，學(xué)習(xí)平移、旋轉(zhuǎn)、進(jìn)一步豐富對空間圖形的認(rèn)識(shí)和感受，學(xué)習(xí)平移、旋轉(zhuǎn)、 對稱的基本性質(zhì)，欣賞并體驗(yàn)變換在現(xiàn)實(shí)生活中的廣泛應(yīng)對稱的基本性質(zhì)，欣賞并體驗(yàn)變換在現(xiàn)實(shí)生活中的廣泛應(yīng) 用，學(xué)習(xí)運(yùn)用坐標(biāo)系確定物體位置的方法，發(fā)展空間觀念。用，學(xué)習(xí)運(yùn)用坐標(biāo)系確定物體位置的方法，發(fā)展空間觀念。 在探索圖形性質(zhì)、與他人合作交流等活動(dòng)過程中，發(fā)展合在探索圖形性質(zhì)、與他人合作交流等活動(dòng)過程中，發(fā)展合 情推理，進(jìn)一步學(xué)習(xí)有條理地思考與表達(dá)；在積累了一定情推理，進(jìn)一步學(xué)習(xí)有條理地思考與表達(dá)；在積累了一定 的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)與掌握了一定的方法圖形性質(zhì)的基礎(chǔ)上，從幾的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)與掌握了一定的方法圖形性質(zhì)的基礎(chǔ)上，從幾 個(gè)基本的事實(shí)

7、出發(fā)，證明一些有關(guān)三角形、四邊形的基本個(gè)基本的事實(shí)出發(fā)，證明一些有關(guān)三角形、四邊形的基本 性質(zhì)，從而體會(huì)證明的必要性，理解證明的基本過程，掌性質(zhì)，從而體會(huì)證明的必要性，理解證明的基本過程，掌 握用綜合法證明的格式，初步感受公理化思想。握用綜合法證明的格式，初步感受公理化思想。 通過教學(xué)目標(biāo)的對比我們可以發(fā)現(xiàn)：通過教學(xué)目標(biāo)的對比我們可以發(fā)現(xiàn)： “空間與圖形空間與圖形”對推理的要求發(fā)生了變化對推理的要求發(fā)生了變化，從純粹的演繹，從純粹的演繹 推理轉(zhuǎn)向較少的演繹推理，更多地強(qiáng)調(diào)從具體情景或前提出發(fā)推理轉(zhuǎn)向較少的演繹推理，更多地強(qiáng)調(diào)從具體情景或前提出發(fā) 進(jìn)行合情推理；進(jìn)行合情推理；從單純強(qiáng)調(diào)幾何的推理

8、價(jià)值轉(zhuǎn)向更全面地體現(xiàn)從單純強(qiáng)調(diào)幾何的推理價(jià)值轉(zhuǎn)向更全面地體現(xiàn) 幾何的教育價(jià)值幾何的教育價(jià)值，特別是幾何在發(fā)展學(xué)生空間觀念，以及觀察、，特別是幾何在發(fā)展學(xué)生空間觀念，以及觀察、 操作、探索、合情推理等方面操作、探索、合情推理等方面“過程性過程性”的教育價(jià)值；的教育價(jià)值； “空間與圖形空間與圖形”把平面幾何與立體幾何的內(nèi)容進(jìn)行整合把平面幾何與立體幾何的內(nèi)容進(jìn)行整合， 更多地采用直觀和非形式化的手段，教學(xué)內(nèi)容更緊密聯(lián)系學(xué)生更多地采用直觀和非形式化的手段，教學(xué)內(nèi)容更緊密聯(lián)系學(xué)生 生活和社會(huì)發(fā)展，使學(xué)生通過直接感受去理解和把握空間關(guān)系；生活和社會(huì)發(fā)展，使學(xué)生通過直接感受去理解和把握空間關(guān)系； “空間與圖

9、形空間與圖形”不僅著眼于學(xué)生理解和掌握一些必要的幾不僅著眼于學(xué)生理解和掌握一些必要的幾 何事實(shí)，而且何事實(shí)，而且強(qiáng)調(diào)學(xué)生經(jīng)歷自主探索和合作交流的過程強(qiáng)調(diào)學(xué)生經(jīng)歷自主探索和合作交流的過程，形成，形成 積極的學(xué)習(xí)態(tài)度和情感，努力構(gòu)建以人的發(fā)展為中心的數(shù)學(xué)課積極的學(xué)習(xí)態(tài)度和情感，努力構(gòu)建以人的發(fā)展為中心的數(shù)學(xué)課 程內(nèi)容體系。程內(nèi)容體系。 在漫長的歷史中，平面幾何課程一直被數(shù)學(xué)家及數(shù)學(xué)在漫長的歷史中，平面幾何課程一直被數(shù)學(xué)家及數(shù)學(xué) 教育家認(rèn)為：教育家認(rèn)為：“是研究和建立自然界和其他現(xiàn)實(shí)世界各種是研究和建立自然界和其他現(xiàn)實(shí)世界各種 現(xiàn)象的理想化模型；是其他數(shù)學(xué)和科學(xué)領(lǐng)域中概念和過程現(xiàn)象的理想化模型；是其

10、他數(shù)學(xué)和科學(xué)領(lǐng)域中概念和過程 直觀表示的一種方法；是數(shù)學(xué)作為一種理論與數(shù)學(xué)作為一直觀表示的一種方法；是數(shù)學(xué)作為一種理論與數(shù)學(xué)作為一 種模型資源的交叉學(xué)科點(diǎn)；是一種理解和思維的方法；是種模型資源的交叉學(xué)科點(diǎn)；是一種理解和思維的方法；是 演繹推理教學(xué)的范例演繹推理教學(xué)的范例; ;是各種傳統(tǒng)和變革中應(yīng)用的一種工是各種傳統(tǒng)和變革中應(yīng)用的一種工 具具。” 而在現(xiàn)代社會(huì)，幾何學(xué)本身作為一門研究空間形態(tài)的而在現(xiàn)代社會(huì)，幾何學(xué)本身作為一門研究空間形態(tài)的 科學(xué)正隨著人們對空間認(rèn)識(shí)的不斷深入而繼續(xù)發(fā)展著?？茖W(xué)正隨著人們對空間認(rèn)識(shí)的不斷深入而繼續(xù)發(fā)展著。平平 面幾何又是整個(gè)幾何學(xué)中最基礎(chǔ)、最直觀的部分，是進(jìn)行面幾何

11、又是整個(gè)幾何學(xué)中最基礎(chǔ)、最直觀的部分，是進(jìn)行 更深入研究的奠基石更深入研究的奠基石。正如弗賴登塔爾在。正如弗賴登塔爾在作為教育任務(wù)作為教育任務(wù) 的數(shù)學(xué)的數(shù)學(xué)一書中道一書中道:“:“在認(rèn)識(shí)現(xiàn)實(shí)世界與聯(lián)系實(shí)際、使現(xiàn)實(shí)在認(rèn)識(shí)現(xiàn)實(shí)世界與聯(lián)系實(shí)際、使現(xiàn)實(shí) 數(shù)學(xué)化方面，數(shù)學(xué)化方面，幾何的作用是無法被替代的幾何的作用是無法被替代的。數(shù)和形都是對。數(shù)和形都是對 現(xiàn)實(shí)世界的反映，通過計(jì)算能學(xué)思維，但現(xiàn)實(shí)世界的反映，通過計(jì)算能學(xué)思維，但借助眼睛、手等借助眼睛、手等 各種感觀來接觸空間形狀各種感觀來接觸空間形狀，是一種最好的引導(dǎo)機(jī)會(huì)，是一種最好的引導(dǎo)機(jī)會(huì)，它更它更 有利于發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造有利于發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造”它為學(xué)生的終身發(fā)

12、展，形成科學(xué)它為學(xué)生的終身發(fā)展，形成科學(xué) 的世界觀、價(jià)值觀奠定了基礎(chǔ)，對提高全民族素質(zhì)具有重的世界觀、價(jià)值觀奠定了基礎(chǔ)，對提高全民族素質(zhì)具有重 要作用要作用。 1.1.有助于有助于形象形象思維能力的培養(yǎng)思維能力的培養(yǎng) 2.2.有助于邏輯推理能力的培養(yǎng)有助于邏輯推理能力的培養(yǎng) 3.3.有助于識(shí)圖能力、空間想象能力的培養(yǎng)有助于識(shí)圖能力、空間想象能力的培養(yǎng) 4.4.有助于創(chuàng)新思維能力的培養(yǎng)有助于創(chuàng)新思維能力的培養(yǎng) 4.14.1有助于直覺思維能力的培養(yǎng)有助于直覺思維能力的培養(yǎng) 4.24.2有助于發(fā)散思維能力的培養(yǎng)有助于發(fā)散思維能力的培養(yǎng) 5.5.有助于激發(fā)學(xué)生感受數(shù)學(xué)美有助于激發(fā)學(xué)生感受數(shù)學(xué)美 6.6

13、.有促進(jìn)學(xué)生全面和諧的發(fā)展有促進(jìn)學(xué)生全面和諧的發(fā)展 “數(shù)學(xué)形象思維是以數(shù)學(xué)表象、數(shù)學(xué)直感、數(shù)學(xué)想象為基本形式，數(shù)學(xué)形象思維是以數(shù)學(xué)表象、數(shù)學(xué)直感、數(shù)學(xué)想象為基本形式， 以觀察、比較、類比、聯(lián)想、以觀察、比較、類比、聯(lián)想、( (不完全不完全) )歸納、猜想為主要方法，并歸納、猜想為主要方法，并 主要通過對形象材料的意識(shí)加工而得到領(lǐng)會(huì)的思維方式。主要通過對形象材料的意識(shí)加工而得到領(lǐng)會(huì)的思維方式?！?它具有它具有 形象性和想象性的特征，思維過程帶有整體思考、模糊判別的合情形象性和想象性的特征，思維過程帶有整體思考、模糊判別的合情 推理的傾向。平面幾何研究的對象都是日常生活中經(jīng)常接觸的形象、推理的傾向

14、。平面幾何研究的對象都是日常生活中經(jīng)常接觸的形象、 直觀的物品，而對于它的學(xué)習(xí)也從來都是離不開圖形圖像的，這些直觀的物品，而對于它的學(xué)習(xí)也從來都是離不開圖形圖像的，這些 都為發(fā)展學(xué)生的形象思維能力創(chuàng)造了一個(gè)很好的背景。都為發(fā)展學(xué)生的形象思維能力創(chuàng)造了一個(gè)很好的背景。 數(shù)學(xué)表象數(shù)學(xué)表象是從事物的形體物象中通過形式結(jié)構(gòu)特征的概括而得是從事物的形體物象中通過形式結(jié)構(gòu)特征的概括而得 到的觀念性形象。數(shù)學(xué)表象思維的發(fā)展過程表現(xiàn)在平面幾何上就是到的觀念性形象。數(shù)學(xué)表象思維的發(fā)展過程表現(xiàn)在平面幾何上就是 空間觀念的形成過程。在一般人的眼中，培養(yǎng)學(xué)生空間觀念的任務(wù)空間觀念的形成過程。在一般人的眼中，培養(yǎng)學(xué)生空

15、間觀念的任務(wù) 理應(yīng)由立體幾何來承擔(dān)，孰不知平面幾何、解析幾何和代數(shù)與三角理應(yīng)由立體幾何來承擔(dān)，孰不知平面幾何、解析幾何和代數(shù)與三角 中數(shù)形結(jié)合方面的內(nèi)容中數(shù)形結(jié)合方面的內(nèi)容( (如數(shù)軸、坐標(biāo)法、函數(shù)圖像等如數(shù)軸、坐標(biāo)法、函數(shù)圖像等) )也同樣的擔(dān)也同樣的擔(dān) 負(fù)著培養(yǎng)學(xué)生空間想象能力的任務(wù)。尤其，平面幾何是其他幾門幾負(fù)著培養(yǎng)學(xué)生空間想象能力的任務(wù)。尤其，平面幾何是其他幾門幾 何課程的基礎(chǔ)，因此，平面幾何課程承擔(dān)著培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生空間觀何課程的基礎(chǔ)，因此，平面幾何課程承擔(dān)著培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生空間觀 念的基礎(chǔ)性任務(wù)。念的基礎(chǔ)性任務(wù)。 1.1.有助于有助于形象形象思維能力的培養(yǎng)思維能力的培養(yǎng) 數(shù)學(xué)直感數(shù)學(xué)直

16、感是在數(shù)學(xué)表象基礎(chǔ)上對有關(guān)數(shù)學(xué)形象的特征判別。是在數(shù)學(xué)表象基礎(chǔ)上對有關(guān)數(shù)學(xué)形象的特征判別。 它與抽象思維不同，不必以概念為中介，甚至不必以語言為中介，它與抽象思維不同，不必以概念為中介，甚至不必以語言為中介， 只需將儲(chǔ)存在大腦神經(jīng)化學(xué)網(wǎng)絡(luò)中的理性意象與特征相對應(yīng)的某只需將儲(chǔ)存在大腦神經(jīng)化學(xué)網(wǎng)絡(luò)中的理性意象與特征相對應(yīng)的某 一事物的感性映像比較一下即可得出結(jié)論了。它的思維過程在平一事物的感性映像比較一下即可得出結(jié)論了。它的思維過程在平 面幾何中就表現(xiàn)為識(shí)圖能力和創(chuàng)新能力的發(fā)展。平面幾何研究的面幾何中就表現(xiàn)為識(shí)圖能力和創(chuàng)新能力的發(fā)展。平面幾何研究的 對象都是我們?nèi)粘Ｉ钪薪?jīng)常接觸的形象、直觀的東西

17、，平面幾對象都是我們?nèi)粘Ｉ钪薪?jīng)常接觸的形象、直觀的東西，平面幾 何課程的學(xué)習(xí)也從來就無法離開圖形圖像，平面幾何概念的教學(xué)何課程的學(xué)習(xí)也從來就無法離開圖形圖像，平面幾何概念的教學(xué) 也一貫注重圖形語言與數(shù)學(xué)語言之間的互譯，所有這些都能促進(jìn)也一貫注重圖形語言與數(shù)學(xué)語言之間的互譯，所有這些都能促進(jìn) 學(xué)生識(shí)圖能力的發(fā)展。學(xué)生識(shí)圖能力的發(fā)展。 數(shù)學(xué)想象數(shù)學(xué)想象是對數(shù)學(xué)形象的特征推理，是數(shù)學(xué)表象與數(shù)學(xué)直感是對數(shù)學(xué)形象的特征推理，是數(shù)學(xué)表象與數(shù)學(xué)直感 在主體頭腦中的有機(jī)組合，是合情推理的基本成分。它是一種不在主體頭腦中的有機(jī)組合，是合情推理的基本成分。它是一種不 嚴(yán)格的推理，或者說是一種形式相似的推理，結(jié)果

18、不一定正確。嚴(yán)格的推理，或者說是一種形式相似的推理，結(jié)果不一定正確。 它有圖形想象和圖式想象這兩種表現(xiàn)形式。但無論是哪種表現(xiàn)形它有圖形想象和圖式想象這兩種表現(xiàn)形式。但無論是哪種表現(xiàn)形 式，數(shù)學(xué)想象都是離不開平面幾何的重要元素式，數(shù)學(xué)想象都是離不開平面幾何的重要元素“圖圖”的，畫三的，畫三 視圖、按圖進(jìn)行推理等都是平面幾何發(fā)展數(shù)學(xué)想象的例證。視圖、按圖進(jìn)行推理等都是平面幾何發(fā)展數(shù)學(xué)想象的例證。 “ “數(shù)學(xué)的邏輯思維是以數(shù)學(xué)的概念、判斷和推理為基本形式，以分析、數(shù)學(xué)的邏輯思維是以數(shù)學(xué)的概念、判斷和推理為基本形式，以分析、 綜合、抽象、概括、綜合、抽象、概括、( (完全完全) )歸納、演繹為主要方法

19、，并能用詞語或符號(hào)歸納、演繹為主要方法，并能用詞語或符號(hào) 加以邏輯地表達(dá)的思維方式加以邏輯地表達(dá)的思維方式?！彼哂谐橄笮院脱堇[性等特征，其思維它具有抽象性和演繹性等特征，其思維 過程是線型或分叉型的逐步有充分依據(jù)的推下去的，所以具有論證推理過程是線型或分叉型的逐步有充分依據(jù)的推下去的，所以具有論證推理 的特點(diǎn)。邏輯思維是數(shù)學(xué)思維的核心，任何其他數(shù)學(xué)思維方式都以它為的特點(diǎn)。邏輯思維是數(shù)學(xué)思維的核心，任何其他數(shù)學(xué)思維方式都以它為 基礎(chǔ)或需要它進(jìn)行表達(dá)，所以它是最重要的和最基本的數(shù)學(xué)思維方式?；A(chǔ)或需要它進(jìn)行表達(dá)，所以它是最重要的和最基本的數(shù)學(xué)思維方式。 愛因斯坦曾說愛因斯坦曾說:“:“假如認(rèn)為不

20、必借助于邏輯思維而想有所發(fā)現(xiàn)，這同樣假如認(rèn)為不必借助于邏輯思維而想有所發(fā)現(xiàn)，這同樣 是不可思議的事情。是不可思議的事情。” “ “長期以來，長期以來，平面幾何課程就承擔(dān)著培養(yǎng)邏輯思維能力的責(zé)任平面幾何課程就承擔(dān)著培養(yǎng)邏輯思維能力的責(zé)任，這種，這種 責(zé)任并不會(huì)因?yàn)閿?shù)學(xué)教育的改革而消亡。責(zé)任并不會(huì)因?yàn)閿?shù)學(xué)教育的改革而消亡。”不論是布爾巴基學(xué)派的不論是布爾巴基學(xué)派的“歐歐 幾里德滾蛋幾里德滾蛋”，還是，還是“新數(shù)運(yùn)動(dòng)新數(shù)運(yùn)動(dòng)”最終都沒能把承擔(dān)的這份責(zé)任去掉。最終都沒能把承擔(dān)的這份責(zé)任去掉。 王元教授說過王元教授說過:“:“幾何的學(xué)習(xí)不是說學(xué)完了這些知識(shí)有什么用，而是針對幾何的學(xué)習(xí)不是說學(xué)完了這些知識(shí)

21、有什么用，而是針對 它的邏輯推導(dǎo)能力和嚴(yán)密的證明。它的邏輯推導(dǎo)能力和嚴(yán)密的證明?！逼矫鎺缀蝺?nèi)容的直觀性、難度的層平面幾何內(nèi)容的直觀性、難度的層 次性、真假的實(shí)驗(yàn)性、推理過程的可預(yù)見性以及體系的嚴(yán)格系統(tǒng)性，都次性、真假的實(shí)驗(yàn)性、推理過程的可預(yù)見性以及體系的嚴(yán)格系統(tǒng)性，都 使它成為了訓(xùn)練邏輯思維的理想材料和工具。使它成為了訓(xùn)練邏輯思維的理想材料和工具。 2.2.有助于邏輯推理能力的培養(yǎng)有助于邏輯推理能力的培養(yǎng) 例如，當(dāng)學(xué)生掌握了定義的作用，開始學(xué)習(xí)只運(yùn)用定義而不運(yùn)例如，當(dāng)學(xué)生掌握了定義的作用，開始學(xué)習(xí)只運(yùn)用定義而不運(yùn) 用直覺知識(shí)時(shí)用直覺知識(shí)時(shí)( (這些知識(shí)常常附加在定義所呈現(xiàn)的性質(zhì)的對象上這些知識(shí)

22、常常附加在定義所呈現(xiàn)的性質(zhì)的對象上) )， “他就不得不慎重的區(qū)分直覺的真實(shí)性、論據(jù)、推理方法他就不得不慎重的區(qū)分直覺的真實(shí)性、論據(jù)、推理方法”，而正，而正 是在幾何中產(chǎn)生的直覺為邏輯推理打開了大門。尤其對于初學(xué)者來是在幾何中產(chǎn)生的直覺為邏輯推理打開了大門。尤其對于初學(xué)者來 說，借助于幾何圖形的直觀他們能夠更加容易的掌握邏輯推理的意說，借助于幾何圖形的直觀他們能夠更加容易的掌握邏輯推理的意 義與方法。以下題為例義與方法。以下題為例: : “ “推理能力推理能力主要表現(xiàn)在：能通過觀察、實(shí)驗(yàn)、歸納、類比等獲主要表現(xiàn)在：能通過觀察、實(shí)驗(yàn)、歸納、類比等獲 得數(shù)學(xué)猜想，并進(jìn)一步尋求得數(shù)學(xué)猜想，并進(jìn)一步尋

23、求 證據(jù)、給出證明或舉出反例；能清晰、證據(jù)、給出證明或舉出反例；能清晰、 有條理地表達(dá)自己的思考過程，做到言之有理、落筆有據(jù)；在與他有條理地表達(dá)自己的思考過程，做到言之有理、落筆有據(jù)；在與他 人交流的過程中，能運(yùn)用數(shù)學(xué)語言合乎邏輯地進(jìn)行討論與質(zhì)疑。人交流的過程中，能運(yùn)用數(shù)學(xué)語言合乎邏輯地進(jìn)行討論與質(zhì)疑?！?義務(wù)教育義務(wù)教育標(biāo)準(zhǔn)標(biāo)準(zhǔn) 例例1 1：在：在abcabc中，中，d d為為bcbc中點(diǎn)，且中點(diǎn)，且af=efaf=ef。問。問bebe與與acac的大小關(guān)系的大小關(guān)系? ? 解解: : 如圖如圖1 1，作，作adad的延長線至的延長線至aa，使，使ad=adad=ad，連接，連接 abab，

24、acac。 則則ab =ac(ab =ac(這樣這樣abab與與bebe就在同一個(gè)就在同一個(gè) ab e ab e 內(nèi)了內(nèi)了, ,要比較要比較abab與與bebe的大小，只須比較的大小，只須比較bedbed與與 baebae的大?。┑拇笮。?af=efaf=ef dac=dac=aefaef 而而aef=aef=bedbed且且dac=dac=badbad bed=bed=badbad，從而，從而be=ab=acbe=ab=ac bebe與與acac相等。相等。 e a f cb d a 圖圖1 平面幾何研究的對象都是我們?nèi)粘Ｉ钪薪?jīng)常接觸的形象、直平面幾何研究的對象都是我們?nèi)粘Ｉ钪薪?jīng)常接觸的

25、形象、直 觀的東西，平面幾何課程的學(xué)習(xí)也從來就無法離開圖形圖像，平面觀的東西，平面幾何課程的學(xué)習(xí)也從來就無法離開圖形圖像，平面 幾何概念的教學(xué)也一貫注重圖形語言與數(shù)學(xué)語言之間的互譯，所有幾何概念的教學(xué)也一貫注重圖形語言與數(shù)學(xué)語言之間的互譯，所有 這些都能促進(jìn)學(xué)生識(shí)圖能力的發(fā)展。這些都能促進(jìn)學(xué)生識(shí)圖能力的發(fā)展。有助于學(xué)生更好地認(rèn)識(shí)和理解有助于學(xué)生更好地認(rèn)識(shí)和理解 人類的生存空間。人類的生存空間。 “空間觀念空間觀念主要表現(xiàn)在：能由實(shí)物的形狀想象出幾何圖形，由幾主要表現(xiàn)在：能由實(shí)物的形狀想象出幾何圖形，由幾 何圖形想象出實(shí)物的形狀，進(jìn)行幾何體與其三視圖、展開圖之間的何圖形想象出實(shí)物的形狀，進(jìn)行幾何

26、體與其三視圖、展開圖之間的 轉(zhuǎn)化；能根據(jù)條件做出立體模型或畫出圖形；能從較復(fù)雜的圖形中轉(zhuǎn)化；能根據(jù)條件做出立體模型或畫出圖形；能從較復(fù)雜的圖形中 分解出基本的圖形，并能分析其中的基本元素及其關(guān)系；能描述實(shí)分解出基本的圖形，并能分析其中的基本元素及其關(guān)系；能描述實(shí) 物或幾何圖形的運(yùn)動(dòng)和變化；能采用適當(dāng)?shù)姆绞矫枋鑫矬w間的位置物或幾何圖形的運(yùn)動(dòng)和變化；能采用適當(dāng)?shù)姆绞矫枋鑫矬w間的位置 關(guān)系；能運(yùn)用圖形形象地描述問題，利用直觀來進(jìn)行思考。關(guān)系；能運(yùn)用圖形形象地描述問題，利用直觀來進(jìn)行思考?！?義務(wù)教育義務(wù)教育標(biāo)準(zhǔn)標(biāo)準(zhǔn) 3.3.有助于識(shí)圖能力、空間想象能力的培養(yǎng)有助于識(shí)圖能力、空間想象能力的培養(yǎng) 4.4

27、.有助于創(chuàng)新思維能力的培養(yǎng)有助于創(chuàng)新思維能力的培養(yǎng) 認(rèn)知心理學(xué)家們認(rèn)為，認(rèn)知心理學(xué)家們認(rèn)為，“創(chuàng)新來自于基本的認(rèn)知過程。創(chuàng)新來自于基本的認(rèn)知過程?！薄皵?shù)學(xué)數(shù)學(xué) 的創(chuàng)新意識(shí)，體現(xiàn)在對數(shù)學(xué)規(guī)律的的創(chuàng)新意識(shí)，體現(xiàn)在對數(shù)學(xué)規(guī)律的好奇好奇與與發(fā)現(xiàn)發(fā)現(xiàn)，對數(shù)學(xué)問題，對數(shù)學(xué)問題 解決的解決的迫切愿望迫切愿望，對數(shù)學(xué)文化的完美追求等許多方面。，對數(shù)學(xué)文化的完美追求等許多方面?！?對于對于 學(xué)生來說，創(chuàng)新思維就是學(xué)生來說，創(chuàng)新思維就是“再發(fā)現(xiàn)再發(fā)現(xiàn)”的思維，而幾何圖形的直觀形象的思維，而幾何圖形的直觀形象 又正好為學(xué)生進(jìn)行自主探索和再發(fā)現(xiàn)提供了又正好為學(xué)生進(jìn)行自主探索和再發(fā)現(xiàn)提供了“創(chuàng)造誘因創(chuàng)造誘因”出現(xiàn)的極佳

28、出現(xiàn)的極佳 的環(huán)境。例如的環(huán)境。例如: :學(xué)生學(xué)習(xí)三角形的面積公式，通過動(dòng)手操作等方式發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)三角形的面積公式，通過動(dòng)手操作等方式發(fā) 現(xiàn)三角形與平行四邊形之間的關(guān)系現(xiàn)三角形與平行四邊形之間的關(guān)系平行四邊形可以看作是兩個(gè)完全平行四邊形可以看作是兩個(gè)完全 相同的三角形拼接而成。在這里，學(xué)生通過圖形的直觀形象，發(fā)現(xiàn)了相同的三角形拼接而成。在這里，學(xué)生通過圖形的直觀形象，發(fā)現(xiàn)了 三角形與平行四邊形的關(guān)系，這就是一種再發(fā)現(xiàn)，而平面幾何就為這三角形與平行四邊形的關(guān)系，這就是一種再發(fā)現(xiàn)，而平面幾何就為這 種再發(fā)現(xiàn)創(chuàng)設(shè)了條件。種再發(fā)現(xiàn)創(chuàng)設(shè)了條件。 即使解決相當(dāng)簡單的平面幾何問題，也常常要運(yùn)用觀察、操作、即使

29、解決相當(dāng)簡單的平面幾何問題，也常常要運(yùn)用觀察、操作、 猜想、作圖與設(shè)計(jì)等各種手段。在借助圖形直觀進(jìn)行合情推理的過程猜想、作圖與設(shè)計(jì)等各種手段。在借助圖形直觀進(jìn)行合情推理的過程 中，學(xué)生能增強(qiáng)探究的好奇心、求知欲，加深對數(shù)學(xué)的理解，激發(fā)出中，學(xué)生能增強(qiáng)探究的好奇心、求知欲，加深對數(shù)學(xué)的理解，激發(fā)出 潛在的創(chuàng)造力，逐步形成創(chuàng)新意識(shí)，提高創(chuàng)新能力。正如數(shù)學(xué)家潛在的創(chuàng)造力，逐步形成創(chuàng)新意識(shí)，提高創(chuàng)新能力。正如數(shù)學(xué)家m.m.阿阿 蒂亞所說蒂亞所說:“:“幾何是數(shù)學(xué)中這樣的一個(gè)部分，其中視覺思維占主導(dǎo)地幾何是數(shù)學(xué)中這樣的一個(gè)部分，其中視覺思維占主導(dǎo)地 位位幾何直覺是增進(jìn)數(shù)學(xué)理解力的很有效的途徑，而且它可以

30、使人幾何直覺是增進(jìn)數(shù)學(xué)理解力的很有效的途徑，而且它可以使人 增加勇氣、提高修養(yǎng)、具有創(chuàng)見性。增加勇氣、提高修養(yǎng)、具有創(chuàng)見性?！?創(chuàng)新思維中，最主要的兩個(gè)因素是直覺思維與發(fā)散思維。創(chuàng)新思維中，最主要的兩個(gè)因素是直覺思維與發(fā)散思維。 4.1 4.1 有助于直覺思維能力的培養(yǎng)有助于直覺思維能力的培養(yǎng) 直覺思維直覺思維是人腦對突然出現(xiàn)在其面前的新事物、新現(xiàn)象、新問題是人腦對突然出現(xiàn)在其面前的新事物、新現(xiàn)象、新問題 及其關(guān)系的一種迅速的識(shí)別、敏銳而深入的洞察、直接的本質(zhì)理解和及其關(guān)系的一種迅速的識(shí)別、敏銳而深入的洞察、直接的本質(zhì)理解和 綜合的整體判斷。直覺思維的訓(xùn)練綜合的整體判斷。直覺思維的訓(xùn)練“是正式

31、的學(xué)術(shù)學(xué)科和日常生活中是正式的學(xué)術(shù)學(xué)科和日常生活中 創(chuàng)造性思維的很受忽視而重要的特征。創(chuàng)造性思維的很受忽視而重要的特征?！逼矫鎺缀握n程對于培養(yǎng)直覺平面幾何課程對于培養(yǎng)直覺 思維能力有著得天獨(dú)厚的條件，正如著名數(shù)學(xué)家思維能力有著得天獨(dú)厚的條件，正如著名數(shù)學(xué)家an柯爾莫戈羅夫所柯爾莫戈羅夫所 說說:“只要有可能，數(shù)學(xué)家總是盡心把他們正在研究的問題從幾何上視只要有可能，數(shù)學(xué)家總是盡心把他們正在研究的問題從幾何上視 覺化覺化幾何想象，或如同平常人們所說的幾何直覺，對于幾乎所有幾何想象，或如同平常人們所說的幾何直覺，對于幾乎所有 數(shù)學(xué)分科的研究工作，甚至對于最抽象的工作，有著重大的意義。數(shù)學(xué)分科的研究工

32、作，甚至對于最抽象的工作，有著重大的意義。” 就拿平面幾何中作輔助線來說，很多學(xué)生無從了解老師究竟是如何就拿平面幾何中作輔助線來說，很多學(xué)生無從了解老師究竟是如何 找到一條正確的輔助線的，往往認(rèn)為老師一定有什么妙法、秘訣，殊找到一條正確的輔助線的，往往認(rèn)為老師一定有什么妙法、秘訣，殊 不知老師也是明了題意、抓住題目條件或結(jié)論的特征之后，才能閃現(xiàn)不知老師也是明了題意、抓住題目條件或結(jié)論的特征之后，才能閃現(xiàn) 念頭，描出解題的大致思路。念頭，描出解題的大致思路。 例例2 2：己知：己知abcabc中，中，b=2b=2c c，adad是高，是高，aeae是中線。求證是中線。求證:ab=2de:ab=2

33、de。 c b a ed 一條線段是另一條線段的兩倍一條線段是另一條線段的兩倍 將長的線段減一半將長的線段減一半 將短的線段加倍將短的線段加倍 再證明再證明 取中點(diǎn)減半取中點(diǎn)減半/ /直接延長加倍直接延長加倍 三角形中位線性質(zhì)減半三角形中位線性質(zhì)減半 / /加倍加倍 直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)來減半直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)來減半/ /加倍加倍 思考一思考一: :將線段將線段abab看作看作abcabc的一的一 邊，用三角形中位線性質(zhì)減半，取邊，用三角形中位線性質(zhì)減半，取acac中中 點(diǎn)點(diǎn)f f，連接，連接efef，只要，只要ef=deef=de，問題就得證。，問題就得證。 efef是一條成功

34、的輔助線。是一條成功的輔助線。 c b a ed f 思考二思考二: :將線段將線段abab看作看作abdabd的一邊，的一邊， 在在adad、bdbd上各取中點(diǎn)上各取中點(diǎn)g g、h h，然后證，然后證gh=degh=de。 但因?yàn)榫€段但因?yàn)榫€段ghgh與線段與線段dede很難聯(lián)系在一起，很難聯(lián)系在一起， 要證它們相等，還得靠另外的線段做媒介。要證它們相等，還得靠另外的線段做媒介。 ghgh就是經(jīng)過試探不成功的一條輔助線就是經(jīng)過試探不成功的一條輔助線 c b a ed g h c b a ed i 思考三思考三:ab:ab是是rtrtabdabd的斜邊，利用斜的斜邊，利用斜 邊上的中線性質(zhì)來減

35、半，則取邊上的中線性質(zhì)來減半，則取abab中點(diǎn)中點(diǎn)i i， 連接連接dldl、ieie，證，證id=deid=de即可。即可。idid也是一條也是一條 成功的輔助線。成功的輔助線。 思考四思考四: :用三角形中位線性質(zhì)將用三角形中位線性質(zhì)將dede加倍。加倍。 延長延長aeae至至j j，使，使ejej二二aeae，延長，延長adad至至k k，使，使 dk=addk=ad，連結(jié)，連結(jié)kjkj，即只要證明，即只要證明kj=abkj=ab。又。又 因前面作法可得因前面作法可得ab=cjab=cj，故只需證，故只需證kj=cjkj=cj 即可。事實(shí)上，這也是一條成功的輔助即可。事實(shí)上，這也是一條成

36、功的輔助 線。線。 c b a ed jk 通過對這個(gè)問題的分析，可以看出在平面幾何里，伴隨通過對這個(gè)問題的分析，可以看出在平面幾何里，伴隨 著對圖形敏銳的有選擇的分析和思考，迅速將鏡頭結(jié)合得著對圖形敏銳的有選擇的分析和思考，迅速將鏡頭結(jié)合得 到數(shù)學(xué)直覺產(chǎn)生的圖景，從而解決問題。這樣做不僅培養(yǎng)到數(shù)學(xué)直覺產(chǎn)生的圖景，從而解決問題。這樣做不僅培養(yǎng) 了學(xué)生的邏輯思維能力，還培養(yǎng)了學(xué)生的直覺思維能力，了學(xué)生的邏輯思維能力，還培養(yǎng)了學(xué)生的直覺思維能力， 一舉兩得。一舉兩得。 4.2 4.2 有助于發(fā)散思維能力的培養(yǎng)有助于發(fā)散思維能力的培養(yǎng) 發(fā)散思維是對已知信息進(jìn)行多方向、多角度的思考，不局限于發(fā)散思維是

37、對已知信息進(jìn)行多方向、多角度的思考，不局限于 既定的理解，從而提出新問題、探索新知識(shí)或發(fā)現(xiàn)多種解答和多既定的理解，從而提出新問題、探索新知識(shí)或發(fā)現(xiàn)多種解答和多 種結(jié)果的思維方式，具有多向性、變通性、流暢性、獨(dú)特性等特種結(jié)果的思維方式，具有多向性、變通性、流暢性、獨(dú)特性等特 點(diǎn)，是創(chuàng)新思維的重要組成部分。以下面這個(gè)點(diǎn)，是創(chuàng)新思維的重要組成部分。以下面這個(gè)“一題多變一題多變”的例的例 子為典型，說明平面幾何課程對于發(fā)散思維能力的培養(yǎng)。子為典型，說明平面幾何課程對于發(fā)散思維能力的培養(yǎng)。 例例3 3：有星形如圖，：有星形如圖， 求證求證:a+b+c+d+e+f+:a+b+c+d+e+f+g=540g=

38、540 在此題后，通過幾何畫板，逐步給在此題后，通過幾何畫板，逐步給 出圖出圖1 1至圖至圖6 6，并依次指出相鄰兩圖是如，并依次指出相鄰兩圖是如 何通過變形得到的。何通過變形得到的。 圖圖1圖圖2圖圖3 圖圖4圖圖5圖圖6 由于平面幾何中圖形的多樣性、直觀性和多變性，因此由于平面幾何中圖形的多樣性、直觀性和多變性，因此 這種通過圖形的變式進(jìn)行教學(xué)，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，培養(yǎng)這種通過圖形的變式進(jìn)行教學(xué)，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，培養(yǎng) 學(xué)生的發(fā)散思維能力的例子數(shù)不勝數(shù)。平面幾何中的反證法學(xué)生的發(fā)散思維能力的例子數(shù)不勝數(shù)。平面幾何中的反證法 體現(xiàn)了逆向思維這種發(fā)散思維的重要形式體現(xiàn)了逆向思維這種發(fā)散思維的重要形式; ;平面幾何中的變平面幾何中的變 式圖則體現(xiàn)了多向思維這種典型的發(fā)散思維形式。因此，平式圖則體現(xiàn)了多向思維這種典型的發(fā)散思維形式。因此，平 面幾何課程的教學(xué)有助于培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維能力。面幾何課程的教學(xué)有助于培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維能力。 5.5.有助于激發(fā)學(xué)生感受數(shù)學(xué)美有助于激發(fā)學(xué)生感受數(shù)學(xué)美 圖形的