現(xiàn)代設(shè)計(jì)方法-桿有限元分析

1、現(xiàn)代設(shè)計(jì)方法-桿有限元分析4.2 彈性力學(xué)平面問題彈性力學(xué)平面問題的有限元法的有限元法有 限 元 求 解 基 本 原 理現(xiàn)代設(shè)計(jì)方法-桿有限元分析現(xiàn)代設(shè)計(jì)方法-桿有限元分析現(xiàn)代設(shè)計(jì)方法-桿有限元分析現(xiàn)代設(shè)計(jì)方法-桿有限元分析現(xiàn)代設(shè)計(jì)方法-桿有限元分析現(xiàn)代設(shè)計(jì)方法-桿有限元分析現(xiàn)代設(shè)計(jì)方法-桿有限元分析現(xiàn)代設(shè)計(jì)方法-桿有限元分析彈性力學(xué)的有限元分析計(jì)算可分為三個(gè)步驟: 1 結(jié)構(gòu)離散化 這是有限元法的基礎(chǔ)，用由有限個(gè)方位不同但幾何性質(zhì)及物理性質(zhì)均相似的單元組成的集合體來代替原來的連續(xù)體或結(jié)構(gòu)。每個(gè)單元僅在節(jié)點(diǎn)處和其他單元及外部有聯(lián)系。對(duì)于不同的問題，根據(jù)自身的特點(diǎn)，可選用不同類型的單元。對(duì)同一問題

2、也可以分別或同時(shí)選用多種單元。4.2 4.2 彈性力學(xué)平面問題的有限元法彈性力學(xué)平面問題的有限元法現(xiàn)代設(shè)計(jì)方法-桿有限元分析例：一個(gè)受載的懸臂梁和用三角形單元離散化的模型現(xiàn)代設(shè)計(jì)方法-桿有限元分析真實(shí)系統(tǒng)有限元模型離散 有限元模型由一些簡(jiǎn)單形狀的單元組成，單元之間通過節(jié)點(diǎn)連接，并承受一定載荷?，F(xiàn)代設(shè)計(jì)方法-桿有限元分析注意：1)節(jié)點(diǎn)是有限元法的重要概念，有限元模型中，相鄰單元的作用通過節(jié)點(diǎn)傳遞，而單元邊界不傳遞力，這是離散結(jié)構(gòu)與實(shí)際結(jié)構(gòu)的重大差別； 2）節(jié)點(diǎn)力與節(jié)點(diǎn)載荷的差別l單元：即原始結(jié)構(gòu)離散后，滿足一定幾何特性和物理特性的最小結(jié)構(gòu)域l節(jié)點(diǎn)：?jiǎn)卧c單元間的連接點(diǎn)。l節(jié)點(diǎn)力：?jiǎn)卧c單元間通過

3、節(jié)點(diǎn)的相互作用力。l節(jié)點(diǎn)載荷：作用于節(jié)點(diǎn)上的外載。l節(jié)點(diǎn)自由度(DOFs) ：用于描述一個(gè)物理場(chǎng)的響應(yīng)特性?，F(xiàn)代設(shè)計(jì)方法-桿有限元分析l分離但節(jié)點(diǎn)重疊的單元A和B之間沒有信息傳遞（需進(jìn)行節(jié)點(diǎn)合并處理）信息是通過單元之間的公共節(jié)點(diǎn)傳遞的。l具有公共節(jié)點(diǎn)的單元之間存在信息傳遞現(xiàn)代設(shè)計(jì)方法-桿有限元分析非法結(jié)構(gòu)離散 不同材料節(jié)點(diǎn)不合法現(xiàn)代設(shè)計(jì)方法-桿有限元分析典典型型單單元元類類型型單元類型單元類型單元形狀單元形狀節(jié)點(diǎn)數(shù)節(jié)點(diǎn)數(shù)節(jié)點(diǎn)自由度節(jié)點(diǎn)自由度桿單元桿單元22梁?jiǎn)卧簡(jiǎn)卧?3平面單元平面單元32平面四邊形平面四邊形42軸對(duì)稱問題軸對(duì)稱問題32板殼單元板殼單元43四面體單元四面體單元43現(xiàn)代設(shè)計(jì)方法

4、-桿有限元分析2.單元分析 主要內(nèi)容：由節(jié)點(diǎn)位移求內(nèi)部任意點(diǎn)的位移，由節(jié)點(diǎn)位移求單元應(yīng)變，應(yīng)力和節(jié)點(diǎn)力。3.整體分析 (1) 由節(jié)點(diǎn)平衡方程，建立以整體剛度矩陣K為系數(shù)的，整體節(jié)點(diǎn)位移d 和外載R的關(guān)系式整體平衡方程。 (2) 考慮幾何邊界條件，修改總體剛度矩陣，求解全部未知位移分量?，F(xiàn)代設(shè)計(jì)方法-桿有限元分析a)受拉階梯桿示意圖 u1u2u3E(1), A(1)F3123E(2), A(2)l(1)l(2)R1x二. 有 限 元 求 解 基 本 原 理(一維問題)l引例:用有限元法求圖1所示受拉階梯桿的位移和應(yīng)力。已知桿截面面積A(1)=210-4m2，A(2)=110-4m2，各段桿長(zhǎng)l(

5、1)=l(2)=0.1m；材料彈性模量E(1)=E(2)=2107Pa，作用于桿端的拉力F3=10N?，F(xiàn)代設(shè)計(jì)方法-桿有限元分析1.單元?jiǎng)澐指鶕?jù)材料力學(xué)的平面假設(shè)，等截面受拉桿的同一截面可認(rèn)為具有相同的位移和應(yīng)力，即位移只與截面的軸向坐標(biāo)(x) 有關(guān)，所以可將階梯桿看作由兩個(gè)“一維單元”組成，同一個(gè)單元內(nèi)截面面積及材料特性不變。最簡(jiǎn)單的情況是，每一個(gè)單元有兩個(gè)節(jié)點(diǎn)，他們分別位于單元兩端。相鄰兩單元靠公共節(jié)點(diǎn)聯(lián)結(jié)。受拉階梯桿就簡(jiǎn)化為由兩個(gè)一維單元和三個(gè)節(jié)點(diǎn)構(gòu)成的有限單元模型。圖中和是單元號(hào)，1,2,3是節(jié)點(diǎn)號(hào)。取節(jié)點(diǎn)位移作為基本未知量，應(yīng)力由求得的節(jié)點(diǎn)位移算出?，F(xiàn)代設(shè)計(jì)方法-桿有限元分析c)單元

6、圖b)有限元模型u1E(1), A(1)Node 1Node2l(1)R1u2u2u3F3Node 3E(2), A(2)l(2)Node 2uiAe EeNode iNode jlePiujPjx圖5-6123現(xiàn)代設(shè)計(jì)方法-桿有限元分析2.確定單元插值函數(shù)(形函數(shù))有限元法將整個(gè)求解域離散為一系列僅靠公共節(jié)點(diǎn)聯(lián)結(jié)的單元，而每一個(gè)單元本身卻視為光滑連續(xù)體。單元內(nèi)任一點(diǎn)的場(chǎng)變量(如位移)可由本單元的節(jié)點(diǎn)值根據(jù)場(chǎng)變量在單元中的假定分布規(guī)律(插值函數(shù))插值求得。本例中，每單元有兩個(gè)節(jié)點(diǎn)，采用線性插值。圖c是一典型單元圖，兩節(jié)點(diǎn)分別為i和j，節(jié)點(diǎn)場(chǎng)變量值分別記為ui和uj 。設(shè)單元中坐標(biāo)為x處的場(chǎng)變量

7、為u(x) ?，F(xiàn)代設(shè)計(jì)方法-桿有限元分析單元的位移場(chǎng)為u(x)， 由兩個(gè)端點(diǎn)的位移來進(jìn)行線形插值確定，設(shè)u(x) 為： (1.a)xaaxu10)(單元節(jié)點(diǎn)條件：jlxixuxuuxue)()(0 (1.b)將節(jié)點(diǎn)條件(1.b)帶入(1.a)，可以求得a0和a1：eijiluuaua10 (1.c)現(xiàn)代設(shè)計(jì)方法-桿有限元分析 則ejeieeijiqxNulxulxxluuuxu)(1)( 其中N(x)叫做形狀函數(shù)矩陣(shape function matrix),為eelxlxxN)1 ()(qe叫做節(jié)點(diǎn)位移列陣(nodal displacement vector),即Tjieuuq (2)形

8、函數(shù)矩陣的分量數(shù)目應(yīng)與單元自由度數(shù)目相等現(xiàn)代設(shè)計(jì)方法-桿有限元分析3.單元方程(單元節(jié)點(diǎn)位移與節(jié)點(diǎn)力的關(guān)系)l由等截面桿變形與拉力的關(guān)系(虎克定律)得到l (3)l式中， Pi和Pj分別為作用于單元e的節(jié)點(diǎn)i和節(jié)點(diǎn)j的節(jié)點(diǎn)力。jijeeeijieeePuulEAPuulEA)()(現(xiàn)代設(shè)計(jì)方法-桿有限元分析l式(3)寫成矩陣形式為：l (4)l或簡(jiǎn)記為： ke qe = Pe (5)lke常稱為單元?jiǎng)偠染仃?stiffness matrix of element)，簡(jiǎn)稱單元?jiǎng)傟?l lP e=Pi PjT 稱為單元節(jié)點(diǎn)力列陣(nodal force vector)。l式(5)稱為單元方程。ji

9、jieeePPuulEA1111jjjiijiiekkkkk現(xiàn)代設(shè)計(jì)方法-桿有限元分析l到目前為止，單元方程(4)或(5)尚不能求解，因?yàn)楣?jié)點(diǎn)力列陣Pe尚屬未知。 Pe的分量Pi和Pj為相鄰單元作用于單元e的節(jié)點(diǎn)i和j的力，即屬于單元之間的作用力。只有將具有公共節(jié)點(diǎn)的單元“組 集”在一起才能確定上述節(jié)點(diǎn)力和節(jié)點(diǎn)外載荷之間的關(guān)系?，F(xiàn)代設(shè)計(jì)方法-桿有限元分析4.單元組集l 建立總體方程組為獲得總體方程組，必須先將單元方程按照局部自由度(ui和uj)和總體自由度(u1、u2和u3)的對(duì)應(yīng)關(guān)系進(jìn)行擴(kuò)展。現(xiàn)代設(shè)計(jì)方法-桿有限元分析u1E(1), A(1)Node 1Node2l(1)R1u2u2u3F3

10、Node 3E(2), A(2)l(2)Node 2iijjjjjiijiiekkkkk單元1i=1; j=222211211)1 (kkkkk單元局部坐標(biāo)全局坐標(biāo)jjjiijiiekkkkk單元2i=2; j=333322322)2(kkkkk現(xiàn)代設(shè)計(jì)方法-桿有限元分析l (6)l式中，各項(xiàng)上角碼表示單元序號(hào)；下角碼表示自由 度總體序號(hào)。l 0000011011)1(2)1(1321)1()1()1(PPuuulEA000000)1 (2)1 (1321)1 (22)1 (21)1 (12)1 (11PPuuukkkk具體來說，單元1的擴(kuò)展方程為：現(xiàn)代設(shè)計(jì)方法-桿有限元分析l (7)l由于相

11、鄰兩單元公共節(jié)點(diǎn)上的基本場(chǎng)變量（位移）相同，所以可將擴(kuò)展后的各單元方程相加。單元2的擴(kuò)展方程為：)2(3)2(2321)2()2()2(0110110000PPuuulEA)2(3)2(2321)2(33)2(32)2(23)2(22000000PPuuukkkk現(xiàn)代設(shè)計(jì)方法-桿有限元分析)2(3)2(2) 1 (2) 1 (1321)2()2()2()2()2()2()2()2()2()2()2()2() 1 () 1 () 1 () 1 () 1 () 1 () 1 () 1 () 1 () 1 () 1 () 1 (00PPPPuuulEAlEAlEAlEAlEAlEAlEAlEA(8)

12、2(3)2(2)1 (2)1 (1321)2(33)2(32)2(23)2(22)1 (22)1 (21)1 (12)1 (1100PPPPuuukkkkkkkk將式(6)和式(7)相加得：現(xiàn)代設(shè)計(jì)方法-桿有限元分析l (9)l組集后的結(jié)果簡(jiǎn)記為：Kq = Pl式中，K稱為總體特性矩陣(常稱為總體剛度矩陣和總剛陣)，P稱為總體節(jié)點(diǎn)載荷列陣。需指出的是，對(duì)單元的一個(gè)公共節(jié)點(diǎn)而言，除了有相鄰單元作用于該節(jié)點(diǎn)的力之外，還可能有做用于該節(jié)點(diǎn)的外載荷。若一節(jié)點(diǎn)上無外載荷作用(如本例中節(jié)點(diǎn)2)，則說明各相鄰單元作用于該節(jié)點(diǎn)的力是平衡的，即該節(jié)點(diǎn)的節(jié)點(diǎn)合力為零。上述組集過程可記為：11NENEeeeeeK

13、qP有限元模型單元總數(shù)現(xiàn)代設(shè)計(jì)方法-桿有限元分析l若某節(jié)點(diǎn)上有外載荷作用(如節(jié)點(diǎn)3)，則各單元作用于該節(jié)點(diǎn)的內(nèi)力和(即方程(8)中第3式左端項(xiàng)的負(fù)值)與該節(jié)點(diǎn)的外載荷(F3)相平衡，即：l (10)l即，列陣F 各分量的含義是作用于相應(yīng)自由度(節(jié)點(diǎn)位移)上的節(jié)點(diǎn)外載荷。將相應(yīng)數(shù)據(jù)代入式(8)得：l (11)0)(33)2()2()2(2)2()2()2(FulEAulEA10011013202210213214Ruuu現(xiàn)代設(shè)計(jì)方法-桿有限元分析 上式即為本題的總體線性代數(shù)方程組，但不能獲得唯一解，因?yàn)樯鲜街械木仃囀瞧娈惖?。這種奇異性不是因數(shù)據(jù)巧合造成的，而是有其必然性。原因在于總體方程組式(8

14、)只考慮了力平衡條件，而只根據(jù)力平衡不能唯一地確定系統(tǒng)的位移，因?yàn)橄到y(tǒng)在有任意剛性位移的情況下仍可處于力平衡狀態(tài)。為獲得各節(jié)點(diǎn)位移的唯一解，必須消除可能產(chǎn)生的剛體位移，即必須計(jì)入位移邊界條件?，F(xiàn)代設(shè)計(jì)方法-桿有限元分析l本題的位移邊界條件為u1=0,那么，式(11)中只剩下兩個(gè)待求的自由度u2和u3。也就是說，可從式(11)中消去一個(gè)方程。譬如，舍去第一個(gè)方程并將u1= 0代入后得：l (12)l解得： u2=2.510-4m ；u3=7.510-4m。 q = u1 u2 u3T = 0 2.510-4 7.510-4T m.l這與材料力學(xué)求得的結(jié)果相同。5.計(jì)入邊界條件，解方程組10011

15、13102324uu現(xiàn)代設(shè)計(jì)方法-桿有限元分析應(yīng)變的表達(dá)l由幾何方程得知，1D單元中任一點(diǎn)的應(yīng)變l (13)l其中 (14)lB(x)稱為單元應(yīng)變矩陣，或稱為幾何函數(shù)矩陣(strain-displacement matrix).6.計(jì)算單元應(yīng)變和應(yīng)力ejieeeqxBuullxqxNxxux)(11d)(d(d)(d)(eellxNxxB11)(dd)(現(xiàn)代設(shè)計(jì)方法-桿有限元分析l (15)l其中 (16)lS(x)叫做應(yīng)力矩陣 (stress-displacement matrix).應(yīng)力的表達(dá)eeeeqxSqxBExEx)()()()(eeeeelElExBExS)()(現(xiàn)代設(shè)計(jì)方法-桿有限元分析MPa05. 0)()(21) 1 () 1 () 1 () 1 () 1 () 1 () 1 (uulElEqxSx321) 1 () 1 () 1 () 1 ()