大塘路段開山建路優(yōu)化方案

1、第一期（2002年10月）韶關(guān)學(xué)院學(xué)生數(shù)學(xué)建模論文集NO.1大塘路段開山建路優(yōu)化方案柯文鋒（1） 2000級數(shù)學(xué)系數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)本科（2） 2000級計算機(jī)系計算機(jī)科學(xué)與技術(shù)本科（3） 2000級數(shù)學(xué)系數(shù)學(xué)與計算機(jī)教育摘要:本文以大塘路的修建為背景，對局部路段所實(shí)施的開山建路工程為主要問題，并對該路段進(jìn)行深入的實(shí)地研究，提出了以工程的總造價最少為主要判斷依據(jù)的最優(yōu)方案.在搜尋最優(yōu)方案的過程中，本文從邊坡的整體穩(wěn)定安全系數(shù)著手來分析邊坡的穩(wěn)定性，對在給定的了邊坡的坡角和圓弧滑動面的曲線方程的情況下，并采取了一定的簡化，運(yùn)用條分法及剛體平衡法來進(jìn)行邊坡局部的穩(wěn)定性分析，再進(jìn)行整體分析， 求出最危險

2、可能圓弧滑動面得出了使得總造價最少的最優(yōu)坡角的數(shù)學(xué)規(guī)劃模型，運(yùn)用計算機(jī)強(qiáng)大的運(yùn)算能 力進(jìn)行搜索，應(yīng)用數(shù)學(xué)軟件Maple進(jìn)行求解，得出了在各假定的坡角下相應(yīng)的總造價，綜合比較，得出總造價最少的最優(yōu)坡角（a =630 ）下相應(yīng)的總造價，最終求出整個開山建路工程的總費(fèi)用（=176，4417元）.關(guān)鍵詞：條分法；邊坡穩(wěn)定性；下滑力矢量；等值面法1問題的提出大塘路連接著大塘與韶關(guān)市區(qū)， 由于這條路路面較差， 特別是在下雨時，更是影響到這 條路上來往的行人，而且路間有三間學(xué)校（鐵中、南方技校、韶關(guān)學(xué)院），為了方便人們及L米，開挖剖面簡化 米，其中山體至高點(diǎn)學(xué)生的來往，現(xiàn)政府決定對這條路進(jìn)行修建， 由于路邊

3、較多山丘，開路時，要對它進(jìn)行評估， 對這一條路段的費(fèi)用進(jìn)行決策，并提出一種優(yōu)化的方案，使得費(fèi)用最少大塘路開山建路中的某一路段（大概離火車站6、7公里處）長是如下圖，在山體開挖一底寬（路寬）為 S米，兩側(cè)邊坡高為 H （不定） 高為Hmax，坡角為a米（待求）的公路.IllaXI.為了保證開挖后對道路上行人生命安全造山體一挖后，由于重力和地應(yīng)力釋放作用，邊坡可能沿某一圓弧滑動 道路兩側(cè)邊坡的安全穩(wěn)定性，必須進(jìn)行加固，以免發(fā)生兩側(cè)滑坡，：fso，在此情況下成危險.對加固有一個要求，即是要保證邊坡穩(wěn)定的安全系數(shù)不低于某一值確定最佳開挖坡角a （當(dāng)此路段建路費(fèi)最少時）.63，在符合某一安全條件下，使得

4、費(fèi)用.對此問題，我們亦可以運(yùn)以上是山體立體圖和某一山體剖面圖2問題的分析以上問題主要是要確定這一個路段兩側(cè)的邊坡的坡角最少的問題.在一般土坡穩(wěn)定分析的工程實(shí)踐中，一般采用條分法用條分法對這一路段進(jìn)行分析，條分法雖然有事先假定滑裂面，不考慮土體實(shí)際的應(yīng)力-應(yīng)變 狀態(tài)等不合理之處，但它畢竟抓住了問題的主要方面，而且經(jīng)過數(shù)十年的研究，應(yīng)用和修正，已積累了很多經(jīng)驗.對于本文的問題，我們首先需要解決的問題是對某一山體剖面進(jìn)行研究時，如何確定潛在最危險滑動面，而后就是給出早就這一剖面費(fèi)用研究最優(yōu)化模型 到n個剖面的情況，把這些剖面疊加在一起，即是在山體上開山建路后的立體圖 路段開山建路的總費(fèi)用最少的優(yōu)化模

5、型.，然后把它延伸，最終給出一個3模型的假設(shè)及符號的約定首先，我們假設(shè)山體是兩邊對稱的，而后對山體所受的力進(jìn)行分析，之后得出以下假設(shè)：山體地應(yīng)力沿高度分布，且與山體深度成正比，即山體地應(yīng)力cr0=4YH ，其中，側(cè)壓力系數(shù)為卩,山體的容重為Y,山體的磨擦系數(shù)為 K，山體的粘聚力為C.我們必須先對山體以垂直于道路的方向切割山體，得出它的剖面圖，之后就對這一剖面進(jìn)行單獨(dú)的研究，假設(shè)滑動面是圓弧，并假設(shè)以1m為單位，用條分法把邊坡分成 n等份，忽略 各土條之間的相互作用力的情況下，取任意第i個土條j為隔離體,如圖（一），運(yùn)用剛體平衡法對它進(jìn)行受力分析，假設(shè)水平應(yīng)力（地應(yīng)力）與垂直應(yīng)力（自重應(yīng)力）都隨

6、著巖體的深度增大而 線性增大，它們的比值即為側(cè)壓力系數(shù)卩，并約定以下符號：路寬；S：邊坡高；邊坡的坡角；Xo，yo:圓弧滑動面圓心坐標(biāo)，r為半徑；x,y:土條j底部中間的橫坐標(biāo)、縱圖一坐標(biāo)的值；滑動范圍內(nèi)的土條數(shù)；叫：土條j圓弧底部的切向方向與水平方向的夾角Ij:土條j圓弧底部的長度，為簡化計算，我們在這里取1/cosP ；Fvi : 土條j所受的垂直應(yīng)力大小，取值為b* liF0 : 土條j所受的水平應(yīng)力大小，取值為CT0 .|jN ji: 土條j在法向方向上所受怕支持力;土條j所受的粘聚力，這里即 C li ；Fji:土條j所受的摩擦力；這里為 k ”NjJi:土條j所受的阻滑力；Sjj

7、: 土條j所受的下滑動力；fs : 土條j的穩(wěn)定安全系數(shù)；R, R2 :分別為一個單位上的加固、開挖費(fèi)用Mi,M2,M :分別為加固、開挖及它們的總費(fèi)用4條分法靜力分析離散模型的建立及求解傳統(tǒng)上沿用的評判邊坡穩(wěn)定性的量化指標(biāo)是穩(wěn)定安全系數(shù)，它最初是以剛體滑塊模型上的阻滑力與滑動力的比值來定義的，從可能滑體的抗滑穩(wěn)定性看，采用阻滑力與滑動力的比值定義穩(wěn)定安全系數(shù)fs ,并以fs,是否大于某一個常數(shù)（=1.82）為抗滑穩(wěn)定判據(jù)是合理的.該準(zhǔn)則被現(xiàn)行規(guī)范所采用，但實(shí)施的前提是事先要給出滑動面.在條分法靜力分析下給出下列討論：I. 剛體平衡分析：對第i條土條j的圓弧底部的法向方向上達(dá)到力的平衡，即N

8、jj + F0sin P - FVi cos P = 0則我們可以求出土條所受的支持力、粘聚力及摩擦力，它們分別為：支持力：Nji = Foi sinP+Fv cosP粘聚力：Cjj =C，1 j摩擦力：Fjj = K N ji根據(jù)這一土條j水平與堅直方向上力的分析得出水平阻滑力為：fj cosP垂直阻滑力為：fj sinPJj下滑力為：Sjj = Fvj CosP + Foi sin P水平下滑力：SjjcosP垂直下滑力：SjJi，滑弧的形狀是不斷變化，對于不同的SjiII. 具體實(shí)現(xiàn)過程： 在最危險滑弧的搜索過程中 的,在這里是指它的滑裂面的圓心坐標(biāo)不確定滑弧，滑弧內(nèi)邊坡所受的下滑力與阻

9、滑力都是不同的，因此，對于不同的圓弧滑動面，相應(yīng)的安全系數(shù)也是不同的.1） 首先，我們假定坡角是某一個固定的值，再確定圓弧滑動面的方程，假設(shè)圓弧滑動面的坐標(biāo)（Xo，yo），則滑弧的方程為 Li :（XXo）2 +（y y。）2 = r2，（r = Jx： + yf）.則對于，第i個土條j來說，它的橫坐標(biāo)x即為i ,代入上滑弧方程L,即可得縱坐標(biāo)y值，它的高度h就可以求出，h = FtanG)-yH cog jH - y，X A H cota它的圓弧底部切向角P = a r c t anX X0).y-y。2）最危險滑向的確定：在滑體（邊坡）沿圓弧滑動面滑移時，滑面上每一點(diǎn)下滑力、阻滑力（即 安

10、全系數(shù)）與滑移方向是都不相同的，但它總可以合成為整體的下滑力矢量，其方向稱為整體的合滑向.使fs為最小植的整體的合滑向必然是最危險的滑向滑體沿滑動面滑移的水平、垂直合阻滑力各為nfj1 =送 fji cosi呂nj2 =送 fji Sin Pi 4則總的合阻滑力為：fj 7 +fj2.滑體沿滑動面滑移的水平、垂直合下滑力各為nSjZ Sj. COS PiSj2nSj. SinP則，總的合下滑力為：Sj =Sj 1 +Sj23）穩(wěn)定安全系數(shù)的正確定義：根據(jù)摩擦理論，滑面上每點(diǎn)的阻滑力與該點(diǎn)相對位移方向相 逆，而相對位移方向就為該點(diǎn)的滑動方向.有些文獻(xiàn)認(rèn)為阻滑力與相應(yīng)點(diǎn)合剪應(yīng)力方向相逆我們認(rèn)為這個

11、觀點(diǎn)是不妥的，因每一點(diǎn)的相對位移方向是不同，故每點(diǎn)的阻滑力方向也是不同的.由于穩(wěn)定安全系數(shù)是個標(biāo)量，因此在求阻滑力與滑動力的比值時 ，應(yīng)取其在同一個方向分量的比值.所以按最危險合滑向來求解fs才能獲得最小的穩(wěn)定安全系數(shù).這里的穩(wěn)定安全系數(shù)其實(shí)是邊坡的整體抗滑安全系數(shù).4）計算安全系數(shù)：基于摩擦理論和矢量幾何概念 ，可以導(dǎo)出穩(wěn)定安全系數(shù)公式I nnJ(fjl)2 +(fj2)2 ! 2 2曲 jl) + (Sj2)輒 fji cos）2+（z fji sin）2I n這樣，我們就可以求出在固定坡角下nc 0 s）2 +（送 sji si nP）2izi，得出最小的穩(wěn)定安全系數(shù) ，也就意味著唯一確

12、定了該山體剖面兩側(cè)的邊坡的最危險可能圓弧滑動面的方程事先給定一個加圓心坐標(biāo)的搜索范圍（X| /X0A Xr）,（ yi Ay0Ayr）.其中求解最小穩(wěn)定安全系數(shù)的數(shù)學(xué)模型規(guī)劃模型（I）:minfss.t.為 X0 Xr, yi y。 yr5）然后，我們對在該坡角a上的開挖和加固工程量的總造價進(jìn)行研究，計算出總造價最少的最優(yōu)坡角.當(dāng)我們算出的最小穩(wěn)定安全系數(shù)小于fs時，我們就要對該工程進(jìn)行加固，并把該費(fèi)用計算入總造價里對山體加固需要增加的力是：fs0 Si - fj ；加固費(fèi)用：Mi =(fs0 Sj - f j) Ri ;開挖費(fèi)用：M2 =(S + H -cotoQ-H R2；總費(fèi)用：M =

13、2 M 4 + M 2 = 2 Os。Sj - f j 廠R+ (S + H cot。)”H R2 .,可以得出一個求解某一山體剖面的總施最終，我們由前面的一系列推理、論證及演算 工費(fèi)用最少的數(shù)學(xué)規(guī)劃模型 （n）:minM兀s.t.0 a 0,X0 = , y0 =0）.（H max）2max2在這里，我們可以根據(jù)邊坡頂部曲線方程求出各個山體剖面（共L個）的施工費(fèi)用，最后對它們進(jìn)行累加，就是我們所要求的最少總費(fèi)用大小，這也確定了最優(yōu)坡角，則大塘路段開山建路的最優(yōu)方案是：在開挖山體修建路面時，要求路兩側(cè)的邊坡坡角等于我們求出的最優(yōu)坡角,并要對兩側(cè)邊坡進(jìn)行加固，加固量及費(fèi)用為最優(yōu)坡角下相應(yīng)的值的M

14、 1.4數(shù)據(jù)仿真及求解我們對大塘路段某一開山建路進(jìn)行實(shí)地考察，并進(jìn)行研究,得出以下描述路段中此山體的數(shù)據(jù)：此路段長度L為300米，路寬S為25米，山體至高點(diǎn)H max為40米，山體的容重V為23千牛頓/每立方米，穩(wěn)定安全系數(shù)fs為2.0，側(cè)壓力系數(shù)卩為0.9，山體的摩擦系數(shù) K為1.1，對山體進(jìn)行加固的費(fèi)用為R1為10元/牛頓米，開挖的費(fèi)用R2為25元/立方米，粘聚力C為2 MPa .并對山體用計算機(jī)圖形描述出來了:圏三口 4圖三是當(dāng)H =40米時最優(yōu)坡角630下的山體剖面圖，圖四是上最優(yōu)坡角下的邊坡的潛在最危險滑動面的圖形表示我們先坡角a的范圍作一個分段限制，即1 a 10,11 a 20,

15、81 a 90.從一個大的范圍上比較出最優(yōu)坡角的變化區(qū)間，經(jīng)運(yùn)算，我們得出了最優(yōu)坡角 a應(yīng)在61,70之間，然后我們對這個區(qū)間中每個坡角進(jìn)行詳盡計算（圓弧滑動面的圓心坐標(biāo)變化步長變小,坡角61626364656667費(fèi)用191,5686208，1171176,4417200,5043222，6573235，4256261,4351坡角686970費(fèi)用262，6334258，6676306,6689范圍可根據(jù)上面的計算中大致可估計出），這樣我們求出61,70各個角度的費(fèi)用為:故63O為最優(yōu)坡角，施工總費(fèi)用為 176，4417元.5模型優(yōu)缺點(diǎn)、及模型的改進(jìn)方向本文通過合理的假設(shè)， 經(jīng)過一定的簡化，

16、運(yùn)用土條法，使用剛體平衡分析得出了它的 土條靜力分析離散模型，而后又提出對搜索滑動面的更先進(jìn)的方法一一等值面法，并對運(yùn)用此方法對原模型進(jìn)行了深化、推廣.基于邊坡穩(wěn)定性廣角度分析的理論、準(zhǔn)則和方法，我們提出了以干擾能量為判據(jù)的邊坡穩(wěn)定性分析等值面法， 滑面、危險滑向和最小安全系數(shù)提供了實(shí)用有效的方法 邊坡問題上，對解決巖土工程方面的問題有一定幫助和價值傳統(tǒng)的邊坡穩(wěn)定極限平衡分析法采用垂直條分法，為系統(tǒng)解決工程穩(wěn)定性問題中的潛在.本模型也可以推廣到研究水壩陡高本文即是采用此方法，這個方法不能 很好地考慮條塊側(cè)面的力的特性，特別是巖質(zhì)邊坡的斷層節(jié)理特征.而且這種方法集中于設(shè)計理論方面，如果將它推廣到

17、研究復(fù)雜大壩，其抗滑穩(wěn)定性不能單就剛體極限平衡論處，應(yīng)引進(jìn)變形力學(xué)范疇用非線性有限元和物理模型核驗，本文對邊坡的研究只是停留在靜力的分析上，并沒有考慮到變力的情況，但實(shí)際巖土的受力是非常復(fù)雜的 ，非一個數(shù)學(xué)模型就可以表 達(dá)出來，我們認(rèn)為，它是隨機(jī)、不確定的性的離散東西，只有運(yùn)用計算機(jī)強(qiáng)大的數(shù)值運(yùn)算能力 ， 才能把它模擬出來，但現(xiàn)今的計算機(jī)能力有限，這也使得邊坡的研究較難描述出來，完全由計算機(jī)或某種理論來決定設(shè)計方案，至少在相當(dāng)長的時間內(nèi)是不可能實(shí)現(xiàn)的.參加文獻(xiàn)：1234李世奇等 盧開澄. 黃春娥.朱大勇.MAPLE計算機(jī)代數(shù)系統(tǒng)應(yīng)用及程序設(shè)計M.重慶大學(xué)出版社.1999,5計算機(jī)算法導(dǎo)引一設(shè)計

18、與分析M.北京.清華大學(xué)出版社.1999,8.條分法與有限元法相結(jié)合分析滲流作用下的基坑邊坡穩(wěn)定性J.水利學(xué)報.2000年，第3期邊坡臨界滑動場及其數(shù)值模擬J.巖土工程學(xué)報.1997,19(1):63-69.The Best Building Project Of DATANG Road(Dop artme ntof Mathematics，Shaogua n Uni versity ，kewe nfeng 512005，Ch ina)Abstract: The text using the buildi ng of DA TANG road as backdro p，towardthe part secti on of ahighway building as the mostly p