Riemann積分與Lebesgue積分

1、精品好資料學(xué)習(xí)推薦Riemann積分和Lebesgue積分【摘要】本文首先從定義角度出發(fā)解析了R積分與L積分的關(guān)系，然后敘述了-可加性，做了關(guān)于L積分和R積分的對比并就其存在性提出了觀點。討論了L積分理論中涉及的一些逼近及其證明并給出了相關(guān)的看法?！娟P(guān)鍵字】辨 析關(guān)系極限逼近1.從定義角度深刻辨析R積分與L積分1.1R積分與L積分的定義本文認(rèn)為Riemann積分和Lebesgue積分的關(guān)系可以用這樣一句話來表示：同一個夢想，不同的方法。首先數(shù)學(xué)應(yīng)該源于生活，數(shù)學(xué)的一切發(fā)展都是為了更好的幫助我們解釋生活了解世界。因此不妨先從基本的定義出發(fā)研究L積分與R積分的關(guān)系。首先從逼近的角度對L積分作如下定

2、義:設(shè)是上的非負(fù)可測函數(shù).我們定義是上的Lebesgue積分是上的非負(fù)可測簡單函數(shù)，這里的積分可以是+;若,則稱在上Lebesgue可積的。設(shè)是上的可測函數(shù),若積分，中至少有一個是有限值,則稱為是上的Lebesgue積分;當(dāng)上式右端兩個積分值皆為有限時,則稱是上是Lebesgue可積的。以上定義L積分的方法為逼近法，即從特征函數(shù)的積分入手，用簡單可測函數(shù)來逼近可測函數(shù)的方法.這也是L積分涉及的逼近的一部分.雖然在之前的數(shù)學(xué)分析課上已經(jīng)學(xué)過了R積分,但是為了更加清楚的對比R與L積分,不妨再次給出其定義.不太嚴(yán)格地來說，黎曼積分就是當(dāng)分割越來越“精細(xì)”的時候，黎曼和趨向的極限。這就是黎曼積分定義的

3、大概描述。S是函數(shù)f在閉區(qū)間a,b上的黎曼積分，當(dāng)且僅當(dāng)對于任意的，都存在，使得對于任意的取樣分割,，,；，只要它的子區(qū)間長度最大值 ，就有：也就是說，對于一個函數(shù)f，如果在閉區(qū)間a,b上，無論怎樣進行取樣分割，只要它的子區(qū)間長度最大值足夠小，函數(shù)f的黎曼和都會趨向于一個確定的值，那么f在閉區(qū)間a,b上的黎曼積分存在，并且定義為黎曼和的極限，這時候稱函數(shù)f為黎曼可積的。1.2R積分與L積分定義的直觀比較其實只要簡單分析一下就可以對這兩個積分有一個直觀的比較，也可以通過一些日常生活中的例子來區(qū)別兩種積分，例如課本第二版序言中用10000枚硬幣的記數(shù)方式的不同。這里本文借用前人給出的一個非常經(jīng)典的

4、例子來形象的說明這一區(qū)別?？梢约僭O(shè)我們要計算一座山在海拔以上的體積。黎曼積分是相當(dāng)于把山分為每塊都是一平方米大的方塊，測量每個方塊正中的山的高度。每個方塊的體積約為1x1x高度，因此山的總體積為所有高度的和。勒貝格積分則是為山畫一張等高線圖，每根等高線之間的高度差為一米。每根等高線內(nèi)含有的巖石土壤的體積約等于該等高線圈起來的面積乘以其厚度。因此總體積等于所有等高線內(nèi)面積的和。佛蘭德（Folland）Gerald B. Folland, Real Analysis: Modern Techniques and Their Applications, 1984, p. 56總結(jié)說，黎曼積分是把區(qū)間

5、a, b分為子區(qū)間，而勒貝格積分則是“分f的高度”。1.3R積分引出L積分，L積分包含R積分在上R可積充要條件是：對任意，存在的一個分劃 ,使得（其中分別是分劃的大和，及小和這里為在上的最大值及最小值 ），上述積分的基本思想是分割求和，現(xiàn)在同樣用分割求和的思想來給出Lebesgue積分的定義，設(shè)是點集上的有界函數(shù)（對無界也可定義），,我們不考慮分割函數(shù)的定義域而是分割函數(shù)的值域，若對任意，存在分割,使得當(dāng)時有（其中分別是分劃的大和，及小和，這里，為點集的測度），則稱在上L可積，由此可見 （1）積分的可積范圍比積分廣泛，比如上的連續(xù)函數(shù)可積，也可積，此外，還有非可積，但可積的例子 上的狄克萊函就

6、是不可積，但L可積。在上Riemann可積，則有可積，且積分值相同，事實上積分與積分大體上是相似的，僅從分割函數(shù)的定義域的角度來說，其區(qū)別在于積分所考慮的分劃，只是把原來的區(qū)間分解成有限多個小區(qū)間，而積分的分劃則允許把分解為有限多個戶不相交的可測子集，顯然，前者的分劃必是后者的分劃，所以Riemann意義下的大小和必是Lebesgue意義下的大小和，易得其積分值相同。因此，本文有這樣的結(jié)論：R積分引出L積分，L積分包含R積分2.Lebesgue積分的優(yōu)越性2.1-可加性的介紹由于對相關(guān)知識的匱乏，本文從其他參考資料中搜集并整理了與-可加性相關(guān)的內(nèi)容。本文將積分的討論范圍局限于實數(shù)軸。首先先來回

7、顧一個定理1（證明略）。課本定理4.3.4（L積分的可數(shù)可加性）設(shè)f屬于L(D),EKK1是D的一個分劃，則Dfdx=k=1Ekfdx不論是L積分還是R積分，當(dāng)分劃是一個有限分劃的時候，上述結(jié)論都是成立的，即有限可加性。但是當(dāng)k趨于無窮的時候，是否兩種積分都依舊成立呢？下面我們將舉例說明,Riemann 積分理論是不承認(rèn)這一點的. 而Lebesgue積分理論恰以承認(rèn)這一點為基礎(chǔ). 而這一點也是對客觀規(guī)律的正確認(rèn)識. 簡單地說,這個規(guī)律就是所謂-可加性2.例 設(shè)E = rjj N 為0 ,1 中的全體有理數(shù)所成的集合. 設(shè) 0. 定義Bj () = x Rx - rj 2exp- j - 1*，

8、G() =j=1Bj ()那么, G() 是R 中的有界開集,它一定可以表示成彼此互不相交的可數(shù)個有界開區(qū)間Ij( j N) 的并: G() =j=1Ij . 容易證明,按照Riemann 積分理論當(dāng) 1 時, G() 的特征函數(shù)G() 是不可積的,也就是說,按照Riemann 積分理論當(dāng)0g(x)= 1, x1-1, 其他-1， 其他這兩個函數(shù)互相之間平移不變，但是積分卻不是平移不變的。，3關(guān)于R積分和L積分存在性等問題的討論本來這一個問題是打算放在2.2.5中的，算是對R積分與L積分關(guān)系分析的一些總結(jié)內(nèi)容也不會很多。但是后來還是又重新劃分了一個大區(qū)域來寫這個東西，因為感覺如果從整體再度進行

9、把握的話，會對所學(xué)知識有一個更深的了解，其作用是無可非議的。個人認(rèn)為，如果說平時的每一個小的課后作業(yè)是對所學(xué)知識的及時鞏固的話，那么每一個大作業(yè)都是對該章內(nèi)容進行一個統(tǒng)籌全局的把握。在剛剛學(xué)完Lebegue積分這一章的時候，僅僅是對L積分有了各種了解，比如單調(diào)，控制收斂等等，但是總體感覺還是有些不太清楚?，F(xiàn)在，這份大作業(yè)基本成型，從書上沒少看各種定理證明，也從網(wǎng)上搜集了很多相關(guān)資料，感覺對這些知識的結(jié)構(gòu)越來越清晰。而且大概是由于自己原來學(xué)的并不怎么透徹的緣故，完成作業(yè)后反而發(fā)現(xiàn)好多知識算是新的收獲了。比如-可加性，R積分在無界區(qū)間會違背平移不變性等等。真的是收獲良多。在查閱資料時無意中看到了這

10、樣一個觀點：L積分完全優(yōu)于R積分，必將取代R積分。其理由是L積分是更高級的東西，在某些方面也比R積分，并提議從一年級就開始學(xué)習(xí)L積分，將R積分完全擯棄。對于這個結(jié)論我不敢茍同。首先L積分的確是要比R積分有難度的，如果直接學(xué)習(xí)L積分，學(xué)習(xí)難度會有很大增加。學(xué)習(xí)是一個進步的過程，有限的情況還沒搞懂直接去分析無限可能會適得其反。而且我們在學(xué)習(xí)中重視的不僅僅是“是什么”，我們更應(yīng)該重視“怎么樣”，只有細(xì)細(xì)體會R積分和L積分的發(fā)展歷程，通過相互對比了解他們的關(guān)系，才能更好的理解其內(nèi)涵。4.Lebesgue積分理論中的逼近問題4.1逼近方法與證明本文之前已經(jīng)提到了L積分的一種逼近相關(guān).即用逼近法來定義L積

11、分如下：設(shè)是上的非負(fù)可測函數(shù).我們定義是上的Lebesgue積分是上的非負(fù)可測簡單函數(shù)，這里的積分可以是+;若,則稱在上Lebesgue可積的。設(shè)是上的可測函數(shù),若積分，中至少有一個是有限值,則稱為是上的Lebesgue積分;當(dāng)上式右端兩個積分值皆為有限時,則稱是上是Lebesgue可積的。接下來借助課后習(xí)題,知道其他函數(shù)向L可積函數(shù)的逼近如下1.有界可測函數(shù):abfx-gxdx2.連續(xù)函數(shù):abfx-hxdx3.多項式:abfx-Pxdx4.階梯函數(shù): abfx-Sxdx0,存在0,使得當(dāng)A屬于E，且m（A）時，Afxdxn)=0存在N使得m(xE:fxn)n就滿足Efx-g(x)dx利用結(jié)

12、論1，不妨假設(shè)f是E上的有界可測函數(shù)且fxN。由Lusin定理知道：存在沿E連續(xù)的函數(shù)g，使得sup|g(x)|=sup|f(x)|=N且m(xE:gxf(x)/4N這樣，Efx-g(x)dx0,存在a，b上的連續(xù)函數(shù)h使得abfx-hxdx且max|h(x)|=sup|f(x)|再利用Weierstrass定理知道，存在a，b上的多項式P使得Max|h(x)-P(x)|0，存在a，b的一個分割：a=x0x1x2xn-1xn=b使得f在每個分割上的震蕩小于/2（b-a）。令S（x）=Ci+1，x（xi，xi+1,其中Ci+1=minf（x）?？梢则炞C這個S就是所要的函數(shù)。4.2對逼近理論的體會課后習(xí)題T5的解決就是利用了逼近理論。關(guān)鍵地方就是先證明了特殊情況（f是多項式或f為階梯函數(shù)）時結(jié)論成立，之后利用已知的逼近理論（T4）得到整體成立，其具體過程由于上課已經(jīng)完整講過這里不再贅述。在實變中，前幾章我們已經(jīng)學(xué)了許多知識，其中我個人覺得很重要的思想就是“差不多”，包括可測集開閉集差不多，可測函數(shù)與簡單函數(shù)和連續(xù)函數(shù)差不多等。而且胡教授在課上也多次強調(diào)學(xué)習(xí)實變的思想不應(yīng)僅僅局限于發(fā)現(xiàn)好的性質(zhì)，更要學(xué)會去“救助”