數(shù)學(xué)建模論文對計(jì)劃生育的建議

1、2008高教社杯全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽對計(jì)劃生育的建議摘要本文在年齡和性別分布基本均勻，壽命為75歲的前提下，研究了人口增長分別與晚育、少生、時(shí)間間隔的關(guān)系。 基于人口和性別比例均勻分布的前提下，忽略其它年齡段意外死亡的情況，自然死亡年齡為75歲，死亡率為1/75。要解決人口增長與晚育的關(guān)系，我建立宋健人口模型，引進(jìn)了有關(guān)生育模式的函數(shù)，rr1，此函數(shù)中取，由于增加n就意味著晚育，因此對于第一個(gè)問題我們以n為變量，然后固定了其它變量，再通過matlab編寫程序得以解決人口增長與晚育的關(guān)系。對于第二個(gè)問題我們考慮育齡婦女一生只生一胎，一胎一個(gè)來解決?；谇皟蓚€(gè)問題，對于第三個(gè)問題，我們通過結(jié)果和

2、圖形的分析，可以很好的解決人口增長與時(shí)間間隔的關(guān)系。最后，應(yīng)用前三個(gè)問題中我們假設(shè)的數(shù)據(jù)對20年后我國的人口數(shù)進(jìn)行預(yù)測。得出當(dāng)單位時(shí)間內(nèi)平均每個(gè)育齡女性的生育數(shù)為0.2時(shí)，我國20年后人口總數(shù)為14.8653億，達(dá)到控制在15億內(nèi)的要求。可見我們的假設(shè)具有一定的合理性。關(guān)鍵詞：宋健人口模型 生育模式 人口增長 一、問題的重述 對計(jì)劃生育的建議中國是一個(gè)人口大國，人口問題始終是制約我國發(fā)展的關(guān)鍵之一，影響我國人口增長率的因素有生育率、死亡率、遷移率和年齡結(jié)構(gòu)等?，F(xiàn)今我們假定現(xiàn)有人口13億，年齡和性別分布基本均勻，壽命假定為75歲，考慮以下四個(gè)問題：問題（一），人口增長與晚育的關(guān)系；問題（二），人

3、口增長與少生的關(guān)系；問題（三），人口增長與間隔時(shí)間的關(guān)系；問題（四），如果20年內(nèi)人口增長控制在15億以內(nèi)，請你提出一個(gè)合理的計(jì)劃生育的建議。二、問題的分析 現(xiàn)在我們從宏觀人口看，引起人口增長率變動(dòng)的原因有三個(gè)基本因素，即出生率、死亡率和遷移率（在本題可看作遷出率等于遷入率）。依據(jù)這一基本出發(fā)點(diǎn)，就為人口增長率變動(dòng)關(guān)系的數(shù)學(xué)模型提供了基本思路。由公式：人口自然增長率（本年出生人數(shù)本年死亡人數(shù)）年平均人數(shù)1000人口出生率人口死亡率可分別對問題（一）到（四）進(jìn)行建模求解。面對以上四個(gè)問題我們在建立模型時(shí)，不可能全面考慮到影響人口增長率的種種因素，所以在建立以下數(shù)學(xué)模型中，我們將人口當(dāng)作一個(gè)整體，

4、當(dāng)作一個(gè)系統(tǒng)來考慮，并將人口增長率的變化主要取決于生育率、死亡率的變化。 針對問題（一），我們固定單位時(shí)間內(nèi)平均每個(gè)育齡女性的生育數(shù)，男女性別比例，死亡率和人口的密度函數(shù)建立起宋健人口模型，對人口增長數(shù)量與晚育之間的關(guān)系進(jìn)行解決。針對問題（二），我們以為變量，其他值固定，運(yùn)用matlab編程建立少生概率模型，很好的解決了人口增長數(shù)量與少生之間的關(guān)系。針對問題（三），我們針對問題（四），我們將（單位時(shí)間內(nèi)平均每個(gè)育齡女性的生育數(shù)）固定并假設(shè)中年人的死亡率為u(s)=0, 生育人數(shù)定為一個(gè)常數(shù). 運(yùn)用人口自然增長率公式進(jìn)行建模解決問題。三、基本假設(shè)（1）、把研究的社會人口當(dāng)作一個(gè)整體，當(dāng)作一個(gè)系統(tǒng)

5、考慮；（2）、所有表征和影響人口變化的因素都是在整個(gè)社會人口平均意義下確定的；（3）、在短期內(nèi)沒有外來物種對人類的生存造成影響；（4）、醫(yī)療水平，科學(xué)技術(shù)在未來相當(dāng)長的時(shí)間內(nèi)不會對人的死亡率造成影響；（5）、假設(shè)每年人口的出生人數(shù)、死亡人數(shù)都是在年末某個(gè)時(shí)間點(diǎn)發(fā)生，而不考慮時(shí)間段，則死亡率為1/75。；（6）、假設(shè)在預(yù)測期內(nèi)無戰(zhàn)爭或自然災(zāi)害等引起的大規(guī)模傷亡或遷移，即國內(nèi)人口變化主要取決于生育率、死亡率；注：這里提出的均為全局意義上的假設(shè)，針對每個(gè)模型的假設(shè)條件文中將在每個(gè)模型之前另外列出；四、符號說明我國人口的自然增長率函數(shù)。嬰兒出生率函數(shù)。 時(shí)間內(nèi)平均每個(gè)育齡女性的生育數(shù)為r女性的生育加權(quán)

6、因子，稱生育式。女性性別比函數(shù)。人口密度函數(shù)。 人口的死亡率函數(shù)。性育齡區(qū)間。五、模型的建立與求解1、針對問題（一），我們建立了模型一：（1）、模型一的基本假設(shè)：、平均每個(gè)女性一生的總和生育數(shù)為1.5個(gè)，且每胎嬰兒數(shù)為1。、由題目中總假設(shè)我國人口現(xiàn)今13億，年齡和性別分布基本均勻，壽命為75歲，在這可設(shè)男生比例為1：1，人口密度函數(shù)為，死亡率為。（2）、模型的建立和求解：宋健人口模型的建立： 首先我們對我國人口的死亡率數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，運(yùn)用加權(quán)算術(shù)平均數(shù)法的預(yù)測模型求出未來的平均死亡率為。因?yàn)槿藗冎饕P(guān)注和可以用作控制手段的就是嬰兒的出生率，所以接著我們建立了宋健的人口模型對問題（一）人口增長與晚

7、育的關(guān)系進(jìn)行建模預(yù)測。（1）再將b（r，t）定義為（2）其中h（r，t）滿足（3）于是（4）（5）其中，由（4）式可以看出，的直接含義是時(shí)刻t單位時(shí)間內(nèi)平均每個(gè)育齡女性的生育數(shù)，如果所有育齡女性在她育齡期所及的時(shí)刻都保持這個(gè)生育數(shù)，那么也表示平均每個(gè)女性一生的總和生育數(shù)，所以稱為總和生育率（簡稱生育率）或是生育胎次。由基本假設(shè)可得=0.3。即時(shí)刻t單位時(shí)間內(nèi)平均每個(gè)育齡女性的生育數(shù)為0.3。為女性性別比函數(shù)，其中=1。人口密度函數(shù)，因?yàn)橹心耆说乃劳雎屎艿涂煽醋鳛榱?，則中年人的人口密度函數(shù)=。在穩(wěn)定環(huán)境下可以近似地認(rèn)為它與t無關(guān)，即=。其中表示了在哪些年齡生育率高，哪些年齡生育率低。由人口統(tǒng)計(jì)

8、資料可以知道當(dāng)前實(shí)際的。然而理論時(shí)人們采用的的一種形式是借用概率論中的分布為：，rr1（6）并取。 根據(jù)方程（1）（6）和人口自然增長率公式，我們可以得出人口增長數(shù)量與晚育的關(guān)系式：=-=0.3- （7） （8）其中，人口自然增長率（本年出生人數(shù)本年死亡人數(shù)）年平均人數(shù)1000人口出生率人口死亡率。（3）、模型的求解：當(dāng)取這時(shí)有，可以看出，提高意味著晚婚，而增加n意味著晚育。這樣就求出在單位時(shí)間內(nèi)人口增長數(shù)量和晚婚晚育之間的關(guān)系。即，晚婚晚育在一定程度上可控制人口的增長速度。把變量晚婚固定在18歲，此時(shí)只有一個(gè)變量為晚育n，利用（7）式，由人口總數(shù)乘以人口自然增長率得出人口增長數(shù)量。（人口增長

9、數(shù)量=人口自然增長率人口總數(shù)）（4）、模型檢驗(yàn)： 、當(dāng)取區(qū)間18，50時(shí)，用matlab編程，作出與育齡女性年齡的關(guān)系圖，如圖1所示，程序見附錄1中的程序1。圖1 、把變量晚婚固定在18歲，用matlab得到晚育變量與人口增長數(shù)量之間的關(guān)系圖：（程序見附錄1中的程序2）圖2（4）、結(jié)果分析：、，n取10，r1取18，可得=26，符合圖1中，=26歲附近時(shí)，生育率最高。生育率高低與女性育齡年齡的關(guān)系如圖1所示。、由圖2可得，隨著n的增加，人口增長率越來越小，人口增長數(shù)量越來越少。由此說明，育齡女性晚育可以降低我國的人口增長數(shù)量。具體結(jié)果見圖2和附錄中的程序2中的結(jié)果。（5）、模型評價(jià)：本模型運(yùn)用

10、了宋健的人口預(yù)測模型，模型中固定了，這幾個(gè)函數(shù)值，大大的減低了模型的難度，但也因此模型的準(zhǔn)確性不是很高。利用matlab編程，得到了與育齡女性年齡的關(guān)系圖和人口增長率與育齡女性從什么時(shí)候開始生育之間的關(guān)系圖，并在題設(shè)的條件下，得到了最高生育率所對應(yīng)的女性年齡為26歲附近，基本上符合情況，解決了問題一的要求。當(dāng)取這時(shí)有，可以看出，提高意味著晚婚，而增加n意味著晚育。這很符合我國的計(jì)劃生育政策，我國正是通過這兩種手段來實(shí)施的。2 、針對問題（二），我們建立了模型二：（1）、模型的建立與求解：問題二中要解決的問題是人口增長數(shù)量與少生的關(guān)系，所以，為了模型的簡便，我們此時(shí)n和其他值固定，把當(dāng)作變量，運(yùn)

11、用matlab編程建立少生數(shù)量模型畫出單位時(shí)間內(nèi)人口增長數(shù)與少生的關(guān)系圖形（圖3）：圖3（2）、 模型結(jié)果分析：圖3中的橫坐標(biāo)表示（時(shí)刻t單位時(shí)間內(nèi)平均每個(gè)育齡女性的生育數(shù)），縱坐標(biāo)表示f1（人口增長數(shù)量）?？梢娫趩挝粫r(shí)間內(nèi)f1隨著的增加而增加。（3）、 模型評價(jià)： 本模型為一次線性模型，模型簡單，解決問題明確，可由圖3清晰的看出在單位時(shí)間內(nèi)人口增長數(shù)量與少生之間的關(guān)系。因其它影響人口增長數(shù)量的變量被固定，模型在符合事實(shí)上的性能不高，卻很好的反應(yīng)出人口增長數(shù)量與少生之間的關(guān)系。3、 針對問題（三），我們建立了模型三：人口增長與時(shí)間間隔的關(guān)系：這個(gè)題目是前兩個(gè)問題的延伸，我們假設(shè)每對夫妻一生只生

12、兩個(gè)孩子，間隔為4年，這與第一題中取=2、n=4差不了多少，我們知道當(dāng)固定，人口增長率會隨著晚育（n）的增加而減少，也就是說人口增長也隨著減少，同理，我們也可以知道人口增長跟時(shí)間間隔成反比關(guān)系，時(shí)間間隔越長，人口增長就越慢。4、 針對問題（四），我們建立了模型四：（1）、模型的基本假設(shè)：、固定單位時(shí)間內(nèi)平均每個(gè)育齡女性的生育數(shù)固定、假設(shè)中年人的死亡率為u(s)=0, 生育人數(shù)定為一個(gè)常數(shù).（2）、模型的建立和求解：我們假設(shè)中年人的死亡率為0，即生育人數(shù)定為一個(gè)常數(shù)，則對來說只要固定，就是一個(gè)常數(shù)，我們?nèi)?0.3（即單位時(shí)間內(nèi)平均每個(gè)育齡女性的生育數(shù)位0.3），所以=0.026.因?yàn)槊咳说膲勖?/p>

13、是75歲，所以每年都有13/75億人死亡，也就是說20年總的死亡人數(shù)為2013/75。而20年出生的總?cè)藬?shù)為1321.7215，所以20年后的人數(shù)為：21.7215-3.4667=18.2548，要想控制在15億以內(nèi)，我們可以采取降低的值，當(dāng)我們?nèi)?0.2時(shí)，20年后的人數(shù)為：14.8653.（3）、模型評價(jià)：本模型通過控制單位時(shí)間內(nèi)平均每個(gè)育齡女性的生育數(shù)來實(shí)現(xiàn)對人口增長率的控制（當(dāng)然我們也可以從晚婚晚育和多胎之間的時(shí)間間隔方面來實(shí)現(xiàn)人口的控制）。當(dāng)單位時(shí)間內(nèi)平均每個(gè)育齡女性的生育數(shù)為0.2時(shí)，我國20年后人口總數(shù)為14.8653億，達(dá)到控制在15億內(nèi)的要求。六、模型的綜合評價(jià)1、模型優(yōu)點(diǎn)：

14、該模型考慮了諸多因素，對人口控制模型進(jìn)行了詳盡的描述，因此對人口的控制模型也很精細(xì)。在中長期內(nèi)可以對每個(gè)影響因素進(jìn)行調(diào)解，對人口的增長數(shù)量進(jìn)行控制，使人口數(shù)量在一定的增長率進(jìn)行增長或減少。所以說，對于人口的控制，該模型是相當(dāng)準(zhǔn)確的。2、模型缺點(diǎn)：在模型中我們只考慮到生育率和死亡率對人口增長率的影響，忽略了其它因素的影響，比如說遷移率和年齡結(jié)構(gòu)等的影響。因此結(jié)果有一定的誤差。3、模型的改進(jìn)和推廣：（1）、為了考慮多因素對人口增長率有什么影響，模型的改進(jìn)必須將遷移率和年齡結(jié)構(gòu)等影響因素考慮在內(nèi)。（2）本模型是連續(xù)模型，我們可以通過改進(jìn)，建立出離散模型，就可以更加科學(xué)的對我國人口增長數(shù)量進(jìn)行控制。（

15、3）、在模型中我們將未來的死亡率設(shè)為一個(gè)常數(shù)1/75，這實(shí)際上是不可能的。因此，對于死亡率，可以運(yùn)用線形函數(shù)逼近法，將死亡函數(shù)分段線形來逼近。一般將死亡函數(shù)的曲線分為三段，公式如下：（4）、模型可運(yùn)用于一些局部人口年齡分布比較均勻的地方，也可用來長期人口數(shù)量的控制以及人口的預(yù)測。七、給計(jì)劃生育部的建議1、給計(jì)劃生育部的建議：（1）、晚婚晚育，少生，兩胎間的時(shí)間間隔，都可以影響到嬰兒的出生率，所以我們要從中搭配尋找出最優(yōu)的計(jì)劃生育政策。（2）影響我國人口過增長數(shù)量的因素有很多，計(jì)劃生育部應(yīng)當(dāng)綜合考慮然后制定出更優(yōu)的計(jì)劃生育政策。（3）、在各個(gè)因素允許的條件下，國家可以放松生育政策，使我國人口結(jié)構(gòu)

16、分布更科學(xué)，讓我國的人口緩慢地、安穩(wěn)地降下來！（4）、逐步提高計(jì)劃生育獎(jiǎng)勵(lì)標(biāo)準(zhǔn)。各級財(cái)政部門在財(cái)力許可的情況下，要提高對計(jì)劃生育獨(dú)生子女家庭、雙女絕育家庭等的獎(jiǎng)勵(lì)標(biāo)準(zhǔn)。（5）、加強(qiáng)宣傳教育，努力建設(shè)性別平等的社會環(huán)境。（6）、調(diào)整年齡結(jié)構(gòu)。在維持計(jì)劃生育預(yù)定人口數(shù)量不變的情況下，可以通過適時(shí)提高勞動(dòng)年齡上限的辦法來調(diào)整年齡結(jié)構(gòu)，使勞動(dòng)年齡人口比和老年撫養(yǎng)比保持在有利于可持續(xù)發(fā)展的水平上。八、參考文獻(xiàn)1 宋健, 田雪原, 于景元, 李廣元，人口預(yù)測和人口控制， 北京：人民出版社, 1981.2姜啟源，謝金星，葉俊，數(shù)學(xué)模型，北京：高等教育出版社，1993.3謝云蓀，張志讓，數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，北京：科學(xué)出

17、版社，1999.4韓明，王家寶，李林，數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，同濟(jì)大學(xué)出版社，2009。九、附錄附錄1：程序1：（與育齡女性年齡的關(guān)系）syms x t r r1 h n yn=10;a=n/2;r1=18;x=0:0.1:40;t=exp(-x).*x.(a-1);format long;t1=trapz(x,t)r=18:1:40;h=(r-r1).(n./2-1).*exp(-(r-r1)./2)./2.(n./2)./t1plot(r,h)程序2：（人口增長數(shù)與晚育的關(guān)系）%人口增長數(shù)與晚育的關(guān)系：for n=10:0.5:30a=n/2;x=0:0.1:50;t=exp(-x).*x.(a-1);

18、format long;t1=trapz(x,t);r=18+n-2;h=(r-18).(n./2-1).*exp(-(r-18)./2)./2.(n./2)./t1;syms r h kk=(r)(r-18).(n./2-1).*exp(-(r-18)./2)./2.(n./2)./t1;format long;h=quadl(k,18,50);f=0.3*1*13/75*h*0.5-1/75;f1=13*f;plot(n,f1,r*)hold onend程序3：（%人口增長與少生b的關(guān)系，此時(shí)固定n）syms x t r r1 h n y k hn=10;a=n/2;for r1=18:1:27x=0:0.1:5