正交表構造方法

1、2021-10-13正交表的構造正交表的構造2021-10-13 正交實驗設計：講正交實驗設計：講 當析因設計要求的實驗次數(shù)太多時，一個當析因設計要求的實驗次數(shù)太多時，一個非常自然的想法就是從析因設計的水平組合非常自然的想法就是從析因設計的水平組合中，選擇一部分有代表性水平組合進行試驗。中，選擇一部分有代表性水平組合進行試驗。因此就出現(xiàn)了分式析因設計因此就出現(xiàn)了分式析因設計(fractional factorial designs)，但是對于試驗設計知識較，但是對于試驗設計知識較少的實際工作者來說，選擇適當?shù)姆质轿鲆蛏俚膶嶋H工作者來說，選擇適當?shù)姆质轿鲆蛟O計還是比較困難的。設計還是比較困難的。

2、2021-10-13正交試驗設計正交試驗設計(Orthogonal experimental design)是研究多是研究多因素多水平的又一種設計方法，它是根據(jù)正交性從全面因素多水平的又一種設計方法，它是根據(jù)正交性從全面試驗中挑選出部分有代表性的點進行試驗，這些有代表試驗中挑選出部分有代表性的點進行試驗，這些有代表性的點具備了性的點具備了“均勻分散，齊整可比均勻分散，齊整可比”的特點，正交試的特點，正交試驗設計是分式析因設計的主要方法。是一種高效率、快驗設計是分式析因設計的主要方法。是一種高效率、快速、經(jīng)濟的實驗設計方法。日本著名的統(tǒng)計學家田口玄速、經(jīng)濟的實驗設計方法。日本著名的統(tǒng)計學家田口玄

3、一將正交試驗選擇的水平組合列成表格，稱為正交表。一將正交試驗選擇的水平組合列成表格，稱為正交表。例如作一個三因素三水平的實驗，按全面實驗要求，須例如作一個三因素三水平的實驗，按全面實驗要求，須進行進行33=27種組合的實驗，且尚未考慮每一組合的重復數(shù)。種組合的實驗，且尚未考慮每一組合的重復數(shù)。若按若按L9(3)3正交表按排實驗，只需作正交表按排實驗，只需作9次，按次，按L18(3)7正交正交表進行表進行18次實驗，顯然大大減少了工作量。因而正交實次實驗，顯然大大減少了工作量。因而正交實驗設計在很多領域的研究中已經(jīng)得到廣泛應用。驗設計在很多領域的研究中已經(jīng)得到廣泛應用。2021-10-13二、正

4、交表1、正交表的符號： 正交表是運用組合數(shù)學理論在正交拉丁名的基礎上構造的一種規(guī)格化的表格。 符號：Ln(ji) 其中： L正交表的符號 n正交表的行數(shù)(試驗次數(shù)，試驗方案數(shù)) j正交表中的數(shù)碼(因素的位級數(shù)) i正交表的 列數(shù)(試驗因素的個數(shù)) N=ji全部試驗次數(shù)(完全因素位級組合數(shù))2021-10-13 2、正交表的結構 L8(27) L9(34) L8(4124) L18(237) 3 、正交表的正交性 (1)整齊可比性：每個字碼出現(xiàn)的機會是完全相等的。 (2)均衡分散性：任意兩列間橫向組合的數(shù)字對搭配是均衡的。2021-10-131正交表講正交表講 正交表是一整套規(guī)則的設計表格，用正

5、交表是一整套規(guī)則的設計表格，用L為正交表的代為正交表的代號，號，n為試驗的次數(shù)，為試驗的次數(shù)，t為水平數(shù)，為水平數(shù)，c為列數(shù)，也就是可能為列數(shù)，也就是可能安排最多的因素個數(shù)。例如安排最多的因素個數(shù)。例如L9(34)， (表表11)，它表示需作，它表示需作9次實驗，最多可觀察次實驗，最多可觀察4個因素，每個因素均為個因素，每個因素均為3水平。一水平。一個正交表中也可以各列的水平數(shù)不相等，我們稱它為混個正交表中也可以各列的水平數(shù)不相等，我們稱它為混合型正交表，如合型正交表，如L8(424) (表表12)，此表的，此表的5列中，有列中，有1列列為為4水平，水平，4列為列為2水平。根據(jù)正交表的數(shù)據(jù)結構

6、看出，正水平。根據(jù)正交表的數(shù)據(jù)結構看出，正交表是一個交表是一個n行行c列的表，其中第列的表，其中第j列由數(shù)碼列由數(shù)碼1，2， Sj 組組成，這些數(shù)碼均各出現(xiàn)成，這些數(shù)碼均各出現(xiàn)N/S 次，例如表次，例如表11中，第二列的中，第二列的數(shù)碼個數(shù)為數(shù)碼個數(shù)為3，S=3 ，即由，即由1、2、3組成，各數(shù)碼均出現(xiàn)組成，各數(shù)碼均出現(xiàn) 次。次。2021-10-13SNLq 正交表是一種特別的表格，是正交設計的基本工具。正交表是一種特別的表格，是正交設計的基本工具。我們只介紹它的記號、特點和使用方法。我們只介紹它的記號、特點和使用方法。 正交表的記號及含義講正交表的記號及含義講記號及含義記號及含義 正交表的列

7、數(shù)正交表的列數(shù)（最多能安排的因素個數(shù)，（最多能安排的因素個數(shù)，包括交互作用、誤差等）包括交互作用、誤差等）S正交表的行數(shù)正交表的行數(shù)（需要做的試驗次數(shù)）（需要做的試驗次數(shù)）N各因素的水平數(shù)各因素的水平數(shù)（各因素的水平數(shù)相等）各因素的水平數(shù)相等）q正交表正交表的代號的代號L2021-10-13如如 782L表示表示 782L表示各因素的表示各因素的水平數(shù)水平數(shù)為為2，做做8次試驗次試驗，最多考慮，最多考慮7個個因素因素（含交互作用）的（含交互作用）的正正交表交表。講。講2021-10-13 正交表的特點正交表的特點1、正交表中任意一列中，不同的數(shù)字出現(xiàn)的次數(shù)相等；、正交表中任意一列中，不同的數(shù)字

8、出現(xiàn)的次數(shù)相等；表示：在試驗安排中，所挑選出來的水平組合是均勻表示：在試驗安排中，所挑選出來的水平組合是均勻 分布的（每個因素的各水平出現(xiàn)的次數(shù)相同）分布的（每個因素的各水平出現(xiàn)的次數(shù)相同） 均衡分散性均衡分散性2、正交表中任意兩列，把同行的兩個數(shù)字看成有序數(shù)、正交表中任意兩列，把同行的兩個數(shù)字看成有序數(shù) 對時，所有可能的數(shù)對出現(xiàn)的次數(shù)相同。對時，所有可能的數(shù)對出現(xiàn)的次數(shù)相同。表示：任意兩因素的各種水平的搭配在所選試驗中出現(xiàn)表示：任意兩因素的各種水平的搭配在所選試驗中出現(xiàn) 的次數(shù)相等的次數(shù)相等 整齊可比性整齊可比性這是設計正交試驗表的基本準則這是設計正交試驗表的基本準則 2021-10-13例

9、：例：例例11 為提高某化工產(chǎn)品的轉(zhuǎn)化率，選擇了三個為提高某化工產(chǎn)品的轉(zhuǎn)化率，選擇了三個有關的因素進行條件試驗，反應溫度（有關的因素進行條件試驗，反應溫度（A），反應），反應時間（時間（B），用堿量（），用堿量（C），并確定了它們的試驗），并確定了它們的試驗范圍：范圍：A：80-90 B：90-150MinC：5-7%試驗目的是搞清楚因素試驗目的是搞清楚因素A、B、C對轉(zhuǎn)化率的影響，對轉(zhuǎn)化率的影響，哪些是主要因素，哪些是次要因素，從而確定最優(yōu)哪些是主要因素，哪些是次要因素，從而確定最優(yōu)生產(chǎn)條件，即溫度、時間及用堿量各為多少才能使生產(chǎn)條件，即溫度、時間及用堿量各為多少才能使轉(zhuǎn)化率提高。試制定試驗

10、方案。轉(zhuǎn)化率提高。試制定試驗方案。2021-10-13 這里，對因素這里，對因素A、B、C在試驗范圍內(nèi)分別選取在試驗范圍內(nèi)分別選取三個水平三個水平 A：A180、A285、A390 B：B190Min、B2120Min、B3150Min C：C15%、C26%、C37% 正交試驗設計中，因素可以定量的，也可以定正交試驗設計中，因素可以定量的，也可以定性的。而定量因素各水平間的距離可以相等也性的。而定量因素各水平間的距離可以相等也可以不等?？梢圆坏取?021-10-13 取三因素三水平，通常有兩種試驗方法：取三因素三水平，通常有兩種試驗方法： （1）全面實驗法：）全面實驗法： A1B1C1 A2

11、B1C1 A3B1C1 A1B1C2 A2B1C2 A3B1C2 A1B1C3 A2B1C3 A3B1C3 A1B2C1 A2B2C1 A3B2C1 A1B2C2 A2B2C2 A3B2C2 A1B2C3 A2B2C3 A3B2C3 A1B3C1 A2B3C1 A3B3C1 A1B3C2 A2B3C2 A3B3C2 A1B3C3 A2B3C3 A3B3C3 共有共有3=27次試驗，如圖所示，立方體包次試驗，如圖所示，立方體包含了含了27個節(jié)點，分別表示個節(jié)點，分別表示27次試驗。次試驗。2021-10-13A1 A2 A3B3B2B1C1C2C32021-10-13 全面試驗法的優(yōu)缺點：全面試

12、驗法的優(yōu)缺點： 優(yōu)點：對各因素于試驗指標之間的關系剖析得比較優(yōu)點：對各因素于試驗指標之間的關系剖析得比較清楚清楚 缺點：缺點：(1)試驗次數(shù)太多，費時、費事，當因素水平試驗次數(shù)太多，費時、費事，當因素水平比較多時，試驗無法完成。比較多時，試驗無法完成。 (2) 不做重復試驗無法估計誤差。不做重復試驗無法估計誤差。 (3)無法區(qū)分因素的主次。無法區(qū)分因素的主次。 例如選六個因素，每個因素選五個水平時，全面試例如選六個因素，每個因素選五個水平時，全面試驗的數(shù)目是驗的數(shù)目是56 15625次。次。 又如緒言里所提到的，又如緒言里所提到的，1978年，七機部由于導彈設年，七機部由于導彈設計的要求，提出

13、了一個五因素的試驗，希望每個因計的要求，提出了一個五因素的試驗，希望每個因素的水平數(shù)要多于素的水平數(shù)要多于10，此時靠全面試驗法是無法完，此時靠全面試驗法是無法完成的。成的。2021-10-13（2）簡單比較法）簡單比較法變化一個因素而固定其它因素，如首先固定變化一個因素而固定其它因素，如首先固定B、C于于B1、C1，使，使A變化之，則：變化之，則： 如果得出結果如果得出結果A3最好，則固定最好，則固定A于于A3，C還是還是C1，使，使B變化，則：變化，則： 得出結果得出結果B2最好，則固定最好，則固定B于于B2，A于于A3，使，使C變化，變化，則：則： 試驗結果以試驗結果以C3最好。于是得出

14、最佳工藝條件為最好。于是得出最佳工藝條件為A3B2C2。 A1B1C1 A2 A3(好結果好結果) B1A3C1 B2(好結果好結果) B3 C1A3B2 C2 (好結果好結果) C32021-10-13A1 A2 A3B3B2B1C1C2C3簡單比較法的試驗點2021-10-13 簡單比較法的優(yōu)缺點：簡單比較法的優(yōu)缺點： 優(yōu)點：試驗次數(shù)少優(yōu)點：試驗次數(shù)少 缺點：缺點： （1）試驗點不具代表性?？疾斓囊蛩厮剑┰囼烖c不具代表性。考察的因素水平僅局限于局部區(qū)域，不能全面地反映因素的全面僅局限于局部區(qū)域，不能全面地反映因素的全面情況。情況。 （2）無法分清因素的主次。）無法分清因素的主次。 （3）

15、如果不進行重復試驗，試驗誤差就估）如果不進行重復試驗，試驗誤差就估計不出來，因此無法確定最佳分析條件的精度。計不出來，因此無法確定最佳分析條件的精度。 （4）無法利用數(shù)理統(tǒng)計方法對試驗結果進）無法利用數(shù)理統(tǒng)計方法對試驗結果進行分析，提出展望好條件。行分析，提出展望好條件。 2021-10-13 正交試驗的提出：正交試驗的提出： 考慮兼顧全面試驗法和簡單比較法的優(yōu)點，利考慮兼顧全面試驗法和簡單比較法的優(yōu)點，利用根據(jù)數(shù)學原理制作好的規(guī)格化表正交表用根據(jù)數(shù)學原理制作好的規(guī)格化表正交表來設計試驗不失為一種上策。來設計試驗不失為一種上策。 用正交表來安排試驗及分析試驗結果，這種方用正交表來安排試驗及分析

16、試驗結果，這種方法叫做正交試驗法。法叫做正交試驗法。 事實上，正交最優(yōu)化方法的優(yōu)點不僅表現(xiàn)在試事實上，正交最優(yōu)化方法的優(yōu)點不僅表現(xiàn)在試驗的設計上，更表現(xiàn)在對試驗結果的處理上。驗的設計上，更表現(xiàn)在對試驗結果的處理上。2021-10-13 正交試驗法優(yōu)點：正交試驗法優(yōu)點： （1）試驗點代表性強，試驗次數(shù)少。）試驗點代表性強，試驗次數(shù)少。 （2）不需做重復試驗，就可以估計試驗誤差。）不需做重復試驗，就可以估計試驗誤差。 （3）可以分清因素的主次。）可以分清因素的主次。 （4）可以使用數(shù)理統(tǒng)計的方法處理試驗結果，）可以使用數(shù)理統(tǒng)計的方法處理試驗結果，提出展望好條件。提出展望好條件。 正交試驗（表）法的

17、特點：正交試驗（表）法的特點： （1）均衡分散性代表性。）均衡分散性代表性。 （2）整齊可比性可以用數(shù)理統(tǒng)計方法）整齊可比性可以用數(shù)理統(tǒng)計方法對試驗結果進行處理。對試驗結果進行處理。2021-10-13 用正交表安排試驗時，對于例用正交表安排試驗時，對于例11：A1 A2 A3B3B2B1C1C2C3123654789用正交試驗法安排試驗只需要用正交試驗法安排試驗只需要9次試驗次試驗2021-10-13 正交試驗設計的基本步驟正交試驗設計的基本步驟 確定目標、選定因素（包括交互作用）、確定水平；確定目標、選定因素（包括交互作用）、確定水平；2. 選用合適的正交表；選用合適的正交表；3. 按選定

18、的正交表設計表頭，確定試驗方案；按選定的正交表設計表頭，確定試驗方案；4. 組織實施試驗；組織實施試驗；5. 試驗結果分析。試驗結果分析。2021-10-132021-10-132021-10-13正交表具有以下兩項性質(zhì)：正交表具有以下兩項性質(zhì)： (1)每一列中，不同的數(shù)字出現(xiàn)的次數(shù)相等。例如在兩每一列中，不同的數(shù)字出現(xiàn)的次數(shù)相等。例如在兩水平正交表中，任何一列都有數(shù)碼水平正交表中，任何一列都有數(shù)碼“1”與與“2”，且任何，且任何一列中它們出現(xiàn)的次數(shù)是相等的；如在三水平正交表中，一列中它們出現(xiàn)的次數(shù)是相等的；如在三水平正交表中，任何一列都有任何一列都有“1”、“2”、“3”，且在任一列的出現(xiàn)數(shù)

19、，且在任一列的出現(xiàn)數(shù)均相等。均相等。 (2)任意兩列中數(shù)字的排列方式齊全而且均衡。例如在任意兩列中數(shù)字的排列方式齊全而且均衡。例如在兩水平正交表中，任何兩列兩水平正交表中，任何兩列(同一橫行內(nèi)同一橫行內(nèi))有序?qū)ψ庸灿杏行驅(qū)ψ庸灿?種：種：(1，1)、(1，2)、(2，1)、(2，2)。每種對數(shù)出現(xiàn)次。每種對數(shù)出現(xiàn)次數(shù)相等。在三水平情況下，任何兩列數(shù)相等。在三水平情況下，任何兩列(同一橫行內(nèi)同一橫行內(nèi))有序有序?qū)灿袑灿?種，種，1.1、1.2、1.3、2.1、2.2、2.3、3.1、3.2、3.3，且每對出現(xiàn)數(shù)也均相等，且每對出現(xiàn)數(shù)也均相等2021-10-13以上兩點充分的體現(xiàn)了正交表的兩大

20、優(yōu)越性，即以上兩點充分的體現(xiàn)了正交表的兩大優(yōu)越性，即“均均勻分散性，整齊可比勻分散性，整齊可比”。通俗的說，每個因素的每個。通俗的說，每個因素的每個水平與另一個因素各水平各碰一次，這就是正交性。水平與另一個因素各水平各碰一次，這就是正交性。 2. 交互作用表交互作用表 每一張正交表后都附有相應的交互每一張正交表后都附有相應的交互作用表，它是專門用來安排交互作用試驗。表作用表，它是專門用來安排交互作用試驗。表14就是就是L8(27)表的交互作用表。表的交互作用表。2021-10-132021-10-13安排交互作用的試驗時，是將兩個因素的交互作用安排交互作用的試驗時，是將兩個因素的交互作用當作一

21、個新的因素，占用一列，為交互作用列，從當作一個新的因素，占用一列，為交互作用列，從表表14中可查出中可查出L8(27)正交表中的任何兩列的交互作用正交表中的任何兩列的交互作用列。表中帶列。表中帶( )的為主因素的列號，它與另一主因素的的為主因素的列號，它與另一主因素的交互列為第一個列號從左向右，第二個列號順次由交互列為第一個列號從左向右，第二個列號順次由下向上，二者相交的號為二者的交互作用列。例如下向上，二者相交的號為二者的交互作用列。例如將將A因素排為第因素排為第(1)列，列，B因素排為第因素排為第(2)列，兩數(shù)字相列，兩數(shù)字相交為交為3，則第，則第3列為列為AB交互作用列。又如可以看到交互

22、作用列。又如可以看到第第4列與第列與第6列的交互列是第列的交互列是第2列，等等。列，等等。2021-10-133正交實驗的表頭設計正交實驗的表頭設計 表頭設計是正交設計的關鍵，表頭設計是正交設計的關鍵，它承擔著將各因素及交互作用合理安排到正交表的各列它承擔著將各因素及交互作用合理安排到正交表的各列中的重要任務，因此一個表頭設計就是一個設計方案。中的重要任務，因此一個表頭設計就是一個設計方案。 表頭設計的主要步驟如下：表頭設計的主要步驟如下： (1)確定列數(shù)確定列數(shù) 根據(jù)試驗目的，選擇處理因素與不可忽根據(jù)試驗目的，選擇處理因素與不可忽略的交互作用，明確其共有多少個數(shù)，如果對研究中的略的交互作用，

23、明確其共有多少個數(shù)，如果對研究中的某些問題尚不太了解，列可多一些，但一般不宜過多。某些問題尚不太了解，列可多一些，但一般不宜過多。當每個試驗號無重復，只有當每個試驗號無重復，只有1個試驗數(shù)據(jù)時，可設個試驗數(shù)據(jù)時，可設2個或個或多個空白列，作為計算誤差項之用。多個空白列，作為計算誤差項之用。 (2)確定各因素的水平數(shù)確定各因素的水平數(shù) 根據(jù)研究目的，一般二水平根據(jù)研究目的，一般二水平(有、無有、無)可作因素篩選用；也可適用于試驗次數(shù)少、分可作因素篩選用；也可適用于試驗次數(shù)少、分批進行的研究。三水平可觀察變化趨勢，選擇最佳搭配；批進行的研究。三水平可觀察變化趨勢，選擇最佳搭配；多水平能以一次滿足試

24、驗要求。多水平能以一次滿足試驗要求。2021-10-13(3)選定正交表選定正交表 根據(jù)確定的列數(shù)根據(jù)確定的列數(shù)(c)與水平數(shù)與水平數(shù)(t)選擇選擇相應的正交表。例如觀察相應的正交表。例如觀察5個因素個因素8個一級交互作個一級交互作用，留兩個空白列，且每個因素取用，留兩個空白列，且每個因素取2水平，則適宜水平，則適宜選選L16(215)表。由于同水平的正交表有多個，如表。由于同水平的正交表有多個，如L8(27)、L12(211)、L16(215)，一般只要表中列數(shù)比考，一般只要表中列數(shù)比考慮需要觀察的個數(shù)稍多一點即可，這樣省工省時。慮需要觀察的個數(shù)稍多一點即可，這樣省工省時。 2021-10-

25、13(4)表頭安排表頭安排 應優(yōu)先考慮交互作用不可忽略的處理因素，應優(yōu)先考慮交互作用不可忽略的處理因素，按照不可混雜的原則，將它們及交互作用首先在表頭排按照不可混雜的原則，將它們及交互作用首先在表頭排妥，而后再將剩余各因素任意安排在各列上。例如某項妥，而后再將剩余各因素任意安排在各列上。例如某項目考察目考察4個因素個因素A、B、C、D及及AB交互作用，各因素交互作用，各因素均為均為2水平，現(xiàn)選取水平，現(xiàn)選取L8(27)表，由于表，由于AB兩因素需要觀察兩因素需要觀察其交互作用，故將二者優(yōu)先安排在第其交互作用，故將二者優(yōu)先安排在第1、2列，根據(jù)交互列，根據(jù)交互作用表查得作用表查得AB應排在第應排

26、在第3列，于是列，于是C排在第排在第4列，由列，由于于AC交互在第交互在第5列，列，BC交互作用在第交互作用在第6列，雖然未列，雖然未考查考查AC與與BC，為避免混雜之嫌，為避免混雜之嫌，D就排在第就排在第7列。列。2021-10-13 (5)組織實施方案組織實施方案 根據(jù)選定正交表中各因素占有列的水平根據(jù)選定正交表中各因素占有列的水平數(shù)列，構成實施方案表，按實驗號依次進行，共作數(shù)列，構成實施方案表，按實驗號依次進行，共作n次實驗，次實驗，每次實驗按表中橫行的各水平組合進行。例如每次實驗按表中橫行的各水平組合進行。例如L9(34)表，若表，若安排四個因素，第一次實驗安排四個因素，第一次實驗A、

27、B、C、D四因素均取四因素均取1水平，水平，第二次實驗第二次實驗A因素因素1水平，水平，B、C、D取取2水平，水平，第九次實第九次實驗驗A、B因素取因素取3水平，水平，C因素取因素取2水平，水平，D因素取因素取1水平。實水平。實驗結果數(shù)據(jù)記錄在該行的末尾。因此整個設計過程我們可用驗結果數(shù)據(jù)記錄在該行的末尾。因此整個設計過程我們可用一句話歸納為：一句話歸納為：“因素順序上列、水平對號入座，實驗橫著因素順序上列、水平對號入座，實驗橫著作作”。 2021-10-134二水平有交互作用的正交實驗設計與方差分二水平有交互作用的正交實驗設計與方差分析析 例例8 某研究室研究影響某試劑回收率的三個某研究室研究影響某試劑回收率的三個因素，包括溫度、反應時間、原料配比，每個因素，包括溫度、反應時