模塊1 材料力學

1、材料力學材料力學模塊一模塊一 平面圖形的幾何性質(zhì)平面圖形的幾何性質(zhì)【模塊概述】計算桿件在外力作用下的應(yīng)力和變形時，需要用到與桿的橫截面形狀、尺寸有關(guān)的幾何量， 例如在軸向拉伸或壓縮問題中，需要用到桿的橫截面面積A；圓桿扭轉(zhuǎn)問題中，需要用到橫截面的極慣性矩和扭轉(zhuǎn)截面系數(shù)；在彎曲問題和組合變形問題中，還要用到面積矩和慣性矩等。所有這些與桿的橫截面(即平面圖形)的形狀和尺寸有關(guān)的量稱為平面圖形的幾何性質(zhì)。本將章介紹平面圖形的各種幾何性質(zhì)的計算方法?！緦W習目標學習目標】 知識目標知識目標: :能力目標：能力目標：1.掌握面積矩及慣性矩的概念。2.熟悉慣性積及極慣性矩的概念。3.會進行各種面積矩、慣性矩

2、的計算。4.掌握平行移軸公式的使用。5.了解組合圖形的幾何參數(shù)、形心主慣性軸、形心主慣性矩、形心主慣性平面。 1.培養(yǎng)學生勤于思考、善于鉆研實際工程中如何增加剛度的能力。2.培養(yǎng)學生分析和解決實際有關(guān)剛度問題的能力。 【學習重點學習重點 】 面積矩和慣性矩的概念 面積矩和慣性矩的計算 平行移軸公式的應(yīng)用1.1.1重心和形心重心和形心1.1.1.1重心重心 一般物體重心的坐標 1.1平面圖形的形心位置和面積矩平面圖形的形心位置和面積矩 GxdGxGcGydGyGcGzdGzGc均質(zhì)物體重心的坐標VxdVxVcVydVyVcVzdVzVc1.1.1.2形心形心 三維物體的形心為 VxdVxVcVy

3、dVyVcVzdVzVc，二維物體的形心AxdAxAcAydAyAc, （1.1） 1.1.2面積矩面積矩ydASAxxdASAy , 面積矩和的大小不僅和平面圖形的面積 A 有關(guān)，還與平面圖形的形狀以及坐標軸的位置有關(guān),，即同一平面圖形對于不同的坐標軸有不同的面積矩，面積矩可正可負，也可為零。其量綱為 L3，常用單位為 m3 或 mm3。 （1.2） （1.1）式可改寫為 ASxycASyxc、 cyAxScxAyS 或、（1.3） 上式表明，平面圖形對軸（或軸）的面積矩，等于圖形的面積乘以形心的坐標（或）。若面積矩，則；，則。所以，若圖形對某一軸的面積矩等于零，則該軸必然通過圖形的形心；反

4、之，若某一軸通過圖形的形心，則圖形對該軸的面積矩必等于零?！纠?.1】 試計算圖示三角形截面對于與其底邊重合的x軸的靜矩。解：取平行于x軸的狹長條(見圖)作為面積元素，即 dyybdA 由相似三角形關(guān)系，可知 yhhbyb 因此有dyyhhbdA。 將其代入式（1.2）的第一式，即得622000bhdyyhbydybydyyhhbydAshhhAx1.2慣性矩、極慣性矩、慣性積1.2.1慣性矩慣性矩dAxIAy2dAyIAx2，（1.4） 。 慣性矩的數(shù)值恒為正值，其單位為 或 4m4m4mm1.2.2.極慣性矩極慣性矩dAIA2（1.5） 4m4mm極慣性矩的數(shù)值恒為正值，其單位為或。22

5、2yx yxAAIIdAyxdAI)(222由圖1.1可見，故有 即任意截面對一點的極慣性矩的數(shù)值，等于截面對以該點為原點的任意兩正交坐標軸的慣性矩之和。 1.2.3.慣性積慣性積xydAIAxy（1.6） 從上述定義可見，同一截面對于不同坐標軸的慣性矩或慣性積一般是不同的，慣性矩數(shù)值恒為正值，而慣性積則可能為正值或負值，也可能等于零。 慣性半徑 AIiyyAIixx， （1.7）【例例1.2】試計算下圖所示矩形截面對于其對稱軸(即形心軸)的慣性矩。解：取平行于x軸的狹長條作為面積元素， 即bdydA 根據(jù)式(1.6)的第二式，可得 1232222bhdybydAyIhhAx同理， 12322

6、22hbdxhxdAxIbbAy表表1.1 簡單截面的幾何性質(zhì)簡單截面的幾何性質(zhì)1.2.4.組合圖形的幾何參數(shù)組合圖形的幾何參數(shù)組合截面對某一軸的面積矩等于各簡單幾何圖形對該軸面積矩的代數(shù)和，即ciniixyAS1ciniiyxAS1 （1.8） AyAyniciic1AxAxniciic1組合截面形心坐標的計算公式為 （1.9）組合截面對于某坐標軸的慣性矩(或慣性積) nixixII1niyiyII1nixyixyII1 （1.10）【例例1.3】 求右圖平面圖形的形心位置。解 取參考坐標系 Oyz，其中 y 軸為對稱軸，該圖形由三個矩形組成，各矩形的面積及形心坐標分別為 231105 .

7、750150mmAmmy. 950180mmAmmyc1402180502233105 .1250250mmAmmyc252503將以上數(shù)據(jù)代入（1.9）式，得 mmyc120105 .12100 . 9105 . 725105 .12140100 . 9225105 . 73333330cz1.3平行移軸公式平行移軸公式AaIICxx2AbIICyy2abAIICxyxy(1.11) (1.11) (1.11) （1.11）【例例1.4】試計算下圖T形對形心軸、的慣性矩。解：（1）確定形心位置C的坐標。y0CzCy1A2A因為軸是對稱軸，所以，確定將圖

8、形分為兩個矩形、其各自形心坐標為：211262cmAcmy11 221226cmAcmy52 cmAAAyAyyc31212125121212211zI1A2A（2）計算慣性矩，由于Z軸不通過矩形、的形心，故要利用平行移軸公式計算：cma2cmb2由題意得知4231211521221226cmAaIIZ4232222841221262cmAbIIz所以4211368452cmIIIZZZ（3）計算慣性矩yI。 433214012261262cmIIIyyy1.4形心主慣性軸、形心主慣性矩形心主慣性軸、形心主慣性矩1.4.1慣性矩和慣性積的轉(zhuǎn)軸公式慣性矩和慣性積的轉(zhuǎn)軸公式dA11, yxyx,由

9、右圖可見，截面上任一面積元素老兩坐標系內(nèi)的坐標和間的關(guān)系為在新、sincos1yxBDOEOCxsincos1xyEBADACy代入（1.3）式中的第二式，得 AAAxxydAdAxdAyIcossin2sincos22221 （a） 根據(jù)慣性矩和慣性積的定義，上式右端的各項積分分別為xAIdAy2yAIdAx2AxyIxydA，將其代入式（a）并改用二倍角函數(shù)的關(guān)系，即得2sin2cos221xyyxyxxIIIIII （1.12a）同理2sin2cos221xyyxyxyIIIIII （1.12b）2cos2sin211xyyxyxIIII （1.12c）將式（1.12a）和（1.12b）相加，可得yxyxIIII11上式表明，截面對于通過同一點的任意一對相互垂直的坐標軸的兩慣性矩之和為一常數(shù)，并等于截面對該坐標原點的極慣性矩。1.4.2形心主慣性軸和形心主慣性矩形心主慣性軸和形心主慣性矩截面對其慣性積等于零的一對坐標軸，稱為主慣性軸。截面對于主慣性軸的慣性矩，稱為主慣性矩。當一對主慣性軸的交點與截面的形心重合時，就稱為形心主慣性軸。截面對于形心主慣性軸的慣性矩，稱為形心主慣性矩。 設(shè)0角為主慣性軸與原坐標軸之間的夾角，即可得 02cos2