中學(xué)數(shù)學(xué)解題技巧

1、摘 要對(duì)稱是中學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中重要的一個(gè)模塊，是一種重要的思想方法。在解題過(guò)程中對(duì)稱性是一個(gè)重要的突破口，利用對(duì)稱性可以簡(jiǎn)化題目，讓題目體系變得清晰，就能夠化繁為簡(jiǎn)。本文是在前人研究的基礎(chǔ)上，對(duì)對(duì)稱性在中學(xué)數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用做了較為系統(tǒng)的概括和總結(jié)。首先，概述了對(duì)稱性的概念及其三個(gè)方面的意義；然后，歸納了對(duì)稱性在中學(xué)數(shù)學(xué)中的表現(xiàn)形式：圖形的對(duì)稱性、公式的對(duì)稱性、定理的對(duì)稱性和解題方法的對(duì)稱性；最后，分別論述對(duì)稱性在初中數(shù)學(xué)和高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用，按照題型做了分類總結(jié)，并舉例分析說(shuō)明。關(guān)鍵詞：對(duì)稱性；中學(xué)數(shù)學(xué)；解題策略；解題技巧AbstractSymmetry is an important modu

2、le in middle school mathematics learning and an important thought method. Symmetry is an important breakthrough in the process of solving problems. Using symmetry can simplify the problem, make the problem system clear, and can be simplified. On the basis of previous studies, this paper makes a syst

3、ematic summary and summary of the application of symmetry in solving mathematical problems in middle schools. First of all, the concept of symmetry and its significance in three aspects are summarized; then, the expression of symmetry in middle school mathematics is summarized: symmetry of graphics,

4、 symmetry of formula, symmetry of theorem and symmetry of solving method; finally, the paper discusses separately Symmetry in junior high school mathematics and the application of high school mathematics problem solving, according to the type of classification and summary, and give examples to illus

5、trate.Key words: Symmetry; Middle School Mathematics; Problem Solving Strategies; Problem Solving Skills目 錄1 引 言11.1 選題背景及意義11.2 文獻(xiàn)綜述12 對(duì)稱性概述22.1 對(duì)稱性的概念22.2 對(duì)稱性的意義22.2.1利用對(duì)稱性理解數(shù)學(xué)概念22.2.2利用對(duì)稱性記憶數(shù)學(xué)公式22.2.3利用對(duì)稱性發(fā)展數(shù)學(xué)思維33 對(duì)稱性在中學(xué)數(shù)學(xué)中的表現(xiàn)形式33.1 圖形的對(duì)稱性33.2 公式的對(duì)稱性33.3 定理的對(duì)稱性33.4 解題方法的對(duì)稱性44 對(duì)稱性在中學(xué)數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用54.1 對(duì)

6、稱性在初中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用54.1.1解平面幾何題54.1.2求直線解析式74.1.3求二次函數(shù)解析式74.2 對(duì)稱性在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用84.2.1求點(diǎn)的坐標(biāo)84.2.2求最值94.2.3求線段的長(zhǎng)度104.2.4求圖形的面積104.2.5解方程114.2.6解不等式114.2.7解統(tǒng)計(jì)概率問(wèn)題124.2.8解數(shù)列問(wèn)題135 總 結(jié)14參 考 文 獻(xiàn)15致 謝1616淺談對(duì)稱性在中學(xué)數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用1 引 言1.1 選題背景及意義對(duì)稱是中學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中重要的一個(gè)模塊，給予學(xué)生新的思想方法，加之對(duì)稱性是眾多考試中的易考點(diǎn)，所以對(duì)稱的學(xué)習(xí)和研究是必不可少。然而，對(duì)稱性的作用、形式以及應(yīng)用等卻常常

7、被忽視。如果能發(fā)掘問(wèn)題中的對(duì)稱性，巧妙地應(yīng)用對(duì)稱性，就能化難為易、化繁為簡(jiǎn)。因此，對(duì)對(duì)稱性的研究和教學(xué)有必要受到更加重視。這不僅是提高解題技能和應(yīng)試水平的需要，而且對(duì)數(shù)學(xué)的研究和發(fā)展是非常有益的。本文將在新課程和新教材的基礎(chǔ)上，探討了如何利用對(duì)稱性解決中學(xué)數(shù)學(xué)問(wèn)題。以此加深對(duì)中學(xué)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)的理解，培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維。1.2 文獻(xiàn)綜述國(guó)內(nèi)學(xué)者不斷深入探究對(duì)稱性在解題中應(yīng)用的問(wèn)題，他們研究得出的成果為本文的撰寫(xiě)提供了思路上的啟發(fā)以及理論上的支撐。文獻(xiàn)1總結(jié)了對(duì)“對(duì)稱性”的敏銳直覺(jué)與深刻洞察是在問(wèn)題中發(fā)現(xiàn)對(duì)稱性的兩個(gè)重要因素，而且利用對(duì)稱性解題的方法往往有助于培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性和創(chuàng)新性。文獻(xiàn)2列舉了對(duì)

8、稱性在幾何問(wèn)題中的具體應(yīng)用，并提出建議：教師在正常教學(xué)中應(yīng)對(duì)探索數(shù)學(xué)形式或圖形的對(duì)稱性、自覺(jué)運(yùn)用對(duì)稱性特征分析和解決具體問(wèn)題這些面對(duì)學(xué)生加以引導(dǎo)，在教學(xué)中運(yùn)用對(duì)稱性思維方法培養(yǎng)學(xué)生解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的能力。文獻(xiàn)3通過(guò)例題分析，得出在幾何中,可以運(yùn)用對(duì)稱思想把問(wèn)題條件進(jìn)行轉(zhuǎn)化成更有利于解題的條件；在函數(shù)中,可充分利用函數(shù)本身(如奇函數(shù)，偶函數(shù))的對(duì)稱性和函數(shù)表達(dá)式的對(duì)稱性；在方程中時(shí),應(yīng)用對(duì)稱思想解題需要考慮方程（組）是否有對(duì)稱性。但是它也只是提供多一種角度的解題思路，并不是萬(wàn)能的。文獻(xiàn)5總結(jié)了一些提高解數(shù)學(xué)綜合題能力的經(jīng)驗(yàn)。文獻(xiàn)6和11總結(jié)了運(yùn)用對(duì)稱思想，簡(jiǎn)化問(wèn)題；對(duì)隱含對(duì)稱性條件的挖掘，找出解題突

9、破口；對(duì)稱圖形的構(gòu)造，充分運(yùn)用對(duì)稱思想。文獻(xiàn)7總結(jié)了對(duì)稱的兩種常見(jiàn)形式：點(diǎn)對(duì)稱和線對(duì)稱，體現(xiàn)出另一種數(shù)學(xué)思想數(shù)形結(jié)合思想。文獻(xiàn)9總結(jié)了對(duì)稱在函數(shù)和曲線的應(yīng)用。文獻(xiàn)10闡述了數(shù)和形的對(duì)稱問(wèn)題，突出強(qiáng)調(diào)了對(duì)稱性的重要性。在查閱到的文獻(xiàn)中，許多學(xué)者雖然在不同角度，不同方面對(duì)對(duì)稱性在中學(xué)數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用作了一定程度的探討，并沒(méi)有作系統(tǒng)的歸納和整理研究。本文在前人工作的基礎(chǔ)上，針對(duì)中學(xué)數(shù)學(xué)的實(shí)際，對(duì)對(duì)稱性在解題中的應(yīng)用結(jié)合實(shí)例進(jìn)行了系統(tǒng)地討論。2 對(duì)稱性概述2.1 對(duì)稱性的概念“對(duì)稱”這個(gè)詞是翻譯自希臘語(yǔ)，其含義是“和諧”、“美觀”，原義指“在一些物品的布置時(shí)出現(xiàn)的般配與和諧”。在現(xiàn)實(shí)世界的客觀事物中廣

10、泛存在形式上和內(nèi)容上的對(duì)稱，包括軸對(duì)稱，中心對(duì)稱，鏡像對(duì)稱等，以及周期、節(jié)奏和旋律的時(shí)間對(duì)稱。2.2 對(duì)稱性的意義2.2.1利用對(duì)稱性理解數(shù)學(xué)概念在平時(shí)的學(xué)習(xí)中，有很多同學(xué)對(duì)概念不求甚解，以及區(qū)分不清定理、公式等概念的特殊性和適用范圍。在解題中，如果利用數(shù)學(xué)問(wèn)題的對(duì)稱性能幫助我們更加透徹的理解概念。比如，一個(gè)數(shù)的平方是，那么這個(gè)數(shù)是多少?初學(xué)者對(duì)平方根這個(gè)概念很難理解。其實(shí)這個(gè)數(shù)就是的平方根。平方與平方根也體現(xiàn)了對(duì)稱思想，二者運(yùn)算是互為可逆的，所以可以將平方根用平方表示了出來(lái)，顯得更加直觀。新知識(shí)、新概念可以和舊知識(shí)、舊概念聯(lián)系起來(lái)，從而形成系統(tǒng)的知識(shí)體系，這樣更有利于對(duì)定義的理解。2.2.2

11、利用對(duì)稱性記憶數(shù)學(xué)公式公式是數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容之一,公式是解題計(jì)算過(guò)程的依據(jù)。所以公式的記憶很重要。然而數(shù)學(xué)公式多不勝數(shù),初學(xué)者對(duì)于公式的記憶常常局限于以死記硬背，這樣記不牢也不會(huì)用，更起不到培養(yǎng)思維發(fā)展能力的作用。然而大部分公式中有對(duì)稱性的規(guī)律，只要我們能充分地挖掘出其對(duì)稱性并充分的利用它,就可以做到舉一反三，輕松地解決公式記憶的問(wèn)題。三角函數(shù)是中學(xué)數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容之一,其中包含同角三角函數(shù)關(guān)系式、誘導(dǎo)公式、兩角和與差的三角函數(shù)關(guān)系式及其衍生出來(lái)的倍、半角公式等等,這些公式看似多而雜，其實(shí)，只要掌握其中的對(duì)稱性規(guī)律，公式就可以記得又多又牢固。2.2.3利用對(duì)稱性發(fā)展數(shù)學(xué)思維數(shù)學(xué)中各部分知識(shí)間的聯(lián)系

12、和相互轉(zhuǎn)化方法的理解都需要我們合理地使用對(duì)稱思想,它能讓我們從不同的層次和角度去分析問(wèn)題特點(diǎn),發(fā)現(xiàn)問(wèn)題的特殊性以求探討出新的途徑來(lái)解決問(wèn)題，可以培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維的靈活性。在解決數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，引導(dǎo)我們認(rèn)識(shí)和運(yùn)用對(duì)稱性思想無(wú)疑給我們一個(gè)選擇的關(guān)鍵。我們可以運(yùn)用對(duì)稱性思維來(lái)發(fā)現(xiàn)現(xiàn)有知識(shí)之間的新關(guān)系，從另一個(gè)角度對(duì)問(wèn)題進(jìn)行三維思考。綜合靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性思維。3 對(duì)稱性在中學(xué)數(shù)學(xué)中的表現(xiàn)形式3.1 圖形的對(duì)稱性對(duì)稱在幾何圖形中扮演重要角色，中學(xué)數(shù)學(xué)中對(duì)于幾何圖形對(duì)稱的學(xué)習(xí)也是多元化，常見(jiàn)于平面圖形的軸對(duì)稱和中心對(duì)稱，空間圖形的中心對(duì)稱等。例如，線段，正方形，圓既是軸對(duì)稱圖形，又是中心對(duì)稱圖形

13、。幾何中對(duì)稱的概念淺顯易懂，而對(duì)稱的結(jié)構(gòu)和應(yīng)用是較深?yuàn)W的，引人深思。3.2 公式的對(duì)稱性公式的對(duì)稱主要是指公式中不同運(yùn)算符號(hào)的可易性，運(yùn)算秩序的可交換4，如：這里可以互換，公式仍然成立。3.3 定理的對(duì)稱性數(shù)學(xué)的對(duì)稱性也表現(xiàn)為數(shù)學(xué)中各種概念和定理結(jié)構(gòu)上。從廣義上來(lái)說(shuō),奇數(shù)與偶數(shù)(從奇偶性分)，質(zhì)數(shù)與合數(shù)(從可分解性分)，（從運(yùn)算關(guān)系角度分），函數(shù)與反函數(shù)（從函數(shù)角度），原命題與逆命題、否命題、逆否命題（從命題的角度分）(如圖3-1）等等都可視為對(duì)稱關(guān)系8。圖3-13.4 解題方法的對(duì)稱性在數(shù)學(xué)解題過(guò)程中尋求解題方法時(shí)刻考慮對(duì)稱性的因素，可能會(huì)又一題多解得情況。例1：同學(xué)們乘坐公共汽車去旅游,出

14、發(fā)半小時(shí)后,小紅乘高速客車追趕，問(wèn)需要多少時(shí)間追上12?，。解法一：（等距離）解：設(shè)經(jīng)過(guò)小時(shí)追上,則經(jīng)過(guò)小時(shí)后,公共汽車行駛時(shí)間為（）h,距離為km；高速客車行駛時(shí)間為h，距離為km。兩者從同一地點(diǎn)出發(fā)，追上時(shí)肯定行駛距離相等：，即得 (小時(shí))。解法二：（相對(duì)速度)解：在小紅開(kāi)始出發(fā)時(shí)，公共汽車已經(jīng)出發(fā)半個(gè)小時(shí)，此時(shí)公共汽車已經(jīng)行駛km了，這距離也就是公共汽車比高速客車多出來(lái)的。但是小紅的車速比較快，所以這多出來(lái)的距離必須靠速度的差距來(lái)彌補(bǔ)。此時(shí)設(shè)行駛h后趕上，則有 ，即得 (小時(shí))。分析：這道題是初中數(shù)學(xué)題，可以根據(jù)題意迅速列出方程式。從問(wèn)題的意義上看，這是一個(gè)相對(duì)速度問(wèn)題或等距問(wèn)題。以上兩

15、種建立方程的方法，都體現(xiàn)了對(duì)稱性的思想，求解過(guò)程是相同的。所以用對(duì)稱性來(lái)解決問(wèn)題，有時(shí)更快捷。4 對(duì)稱性在中學(xué)數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用4.1 對(duì)稱性在初中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用4.1.1解平面幾何題例2：如圖4-2，在中，,邊上的高,點(diǎn)內(nèi)部。試說(shuō)明:.解：作點(diǎn),連接并延長(zhǎng)交,中,， ,又點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱，點(diǎn)在上，與關(guān)于對(duì)稱, ,同理, . 圖4-2 圖4-3例3：如圖4-3，中，,平分,且與相交于點(diǎn)。求：的值。解：如圖，在邊上截取一點(diǎn),使,平分,即,且 ,又 在中，:，:.分析：解這道題目的時(shí)，我們可用對(duì)稱思想，抓住平分的條件，將翻折過(guò)來(lái)形成對(duì)稱，點(diǎn)落在邊的點(diǎn)處，如圖4-3所示，這樣與重合，則,原問(wèn)題就轉(zhuǎn)為在

16、中求的問(wèn)題，問(wèn)題便可解。例4：如圖4-4，長(zhǎng)方形紙片中，,將其折疊，使其點(diǎn)與點(diǎn)重合，點(diǎn)至點(diǎn)，折痕為,求的面積。解：如圖4-4所示，四邊形是四邊形翻折過(guò)來(lái)形成的， 令，由勾股定理可知，在中有,即，解得， 即 分析:本題也用到對(duì)稱的性質(zhì)，如圖4-4，四邊形與四邊形關(guān)于軸對(duì)稱，這些隱含的條件有利于我們解題。圖4-4 圖4-5例5：如圖4-5，在平面直角坐標(biāo)系中，直線與分別相交于點(diǎn),與反比例函數(shù)在第一象限交于點(diǎn),過(guò)點(diǎn)作軸于,過(guò)點(diǎn)作軸于,求證：.證明：由于直線于反比例函數(shù)相交，故得.軸，,又,.分析:此題一般的做法是要根據(jù)兩點(diǎn)的坐標(biāo)代人解析式分別求出一次函數(shù)解析式和反比例函數(shù)的解析式，然后因一次函數(shù)的解

17、析式與坐標(biāo)軸相交兩點(diǎn)而求出的坐標(biāo)，再證明和全等，最后證得。更簡(jiǎn)便方法是依據(jù)反比例函數(shù)自身得對(duì)稱性，可以快速證明兩個(gè)三角形全等。總之，在解決與函數(shù)有關(guān)的問(wèn)題時(shí)，我們可以完全掌握“數(shù)形結(jié)合”的數(shù)學(xué)思想，有利于培養(yǎng)和提高我們分析和解決問(wèn)題的能力。4.1.2求直線解析式在函數(shù)學(xué)習(xí)過(guò)程中，待定系數(shù)法是函數(shù)學(xué)習(xí)的重要組成部分，學(xué)生必須牢牢掌握該方法。如何求一條關(guān)于坐標(biāo)軸直線的對(duì)稱直線呢？對(duì)于這個(gè)問(wèn)題，我們需要運(yùn)用到對(duì)稱性，這是解決問(wèn)題的關(guān)鍵。例6：已知直線是,那么求：(1)直線關(guān)于軸對(duì)稱的直線解析式？(2)直線關(guān)于軸對(duì)稱的直線解析式。分析：我們看到本題不同于一般求直線解析式的方法。這個(gè)問(wèn)題并沒(méi)有直接的條件

18、，也不知道要通過(guò)的直線的坐標(biāo)。我們只知道軸對(duì)稱與另一直線的關(guān)系，這就要求軸對(duì)稱與主函數(shù)之間有一定的關(guān)系，才能促進(jìn)問(wèn)題的求解。首先要求直線上兩點(diǎn)的坐標(biāo)，然后進(jìn)行對(duì)稱變換求出相應(yīng)對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)，然后用待定系數(shù)法求解。因此，問(wèn)題(1)中直線關(guān)于軸對(duì)稱的直線解析式可以運(yùn)用對(duì)稱點(diǎn)進(jìn)行解答,直線中,經(jīng)過(guò)的點(diǎn)的坐標(biāo)是,點(diǎn)的坐標(biāo)是,那么它們關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)即點(diǎn)以及點(diǎn)。因此,就是我們所求的直線,代人到解析式中,我們就得出了這條直線解析式,即。同理,問(wèn)題(2)中直線關(guān)于軸對(duì)稱的直線解析式,我們可以得出其對(duì)稱點(diǎn)是點(diǎn)和點(diǎn),那么就是要求的直線,那么代人到解析式中,我們可以得到關(guān)于y軸對(duì)稱的直線解析式,即。4.1.3求二次函

19、數(shù)解析式對(duì)于二次函數(shù)，可以通過(guò)交點(diǎn)或頂點(diǎn)和通式求出二次函數(shù)的解析式。利用一般公式，我們需要知道拋物線經(jīng)過(guò)的三個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)。用交點(diǎn)求二次函數(shù)的解析表達(dá)式時(shí)，應(yīng)知道拋物線與軸交點(diǎn)的坐標(biāo)和另一點(diǎn)的坐標(biāo)。用頂點(diǎn)求二次函數(shù)的解析表達(dá)式時(shí)，需要求拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)和拋物線另一點(diǎn)的坐標(biāo)。從上面可以看出，如果條件滿足這三種類型中的一種，我們可以很快找到拋物線的解析表達(dá)式。所以，如果只知道拋物線經(jīng)過(guò)的兩點(diǎn)的坐標(biāo)和頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)，有沒(méi)有一種更簡(jiǎn)單的方法找到解析表達(dá)式？這就要求我們充分利用對(duì)稱性，利用對(duì)稱性求出拋物線上另一點(diǎn)的坐標(biāo)，然后按三點(diǎn)確定拋物線，既簡(jiǎn)單又方便。例7：已知某拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn),，求這個(gè)拋物線的解析式.解法

20、1：設(shè)一般式求解(解題過(guò)程省略).解法2：、兩點(diǎn)是拋物線上的兩個(gè)關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱的點(diǎn),.又此拋物線與軸交于點(diǎn)，由對(duì)稱性可知此拋物線與軸交于另一個(gè)點(diǎn)。此可設(shè)此拋物線的解析式為,將點(diǎn)坐標(biāo)代入求得，這個(gè)拋物線的解析式為.分析：拋物線是對(duì)稱圖形。巧妙地運(yùn)用它們的對(duì)稱性可以優(yōu)化問(wèn)題的求解過(guò)程。顯然，解法2計(jì)算簡(jiǎn)單，思維活躍，能培養(yǎng)學(xué)生的思維能力。4.2 對(duì)稱性在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用4.2.1求點(diǎn)的坐標(biāo)例8：已知反比例函數(shù) 和正比例函數(shù) (mn0)的圖象相交與點(diǎn)M、N,已知點(diǎn)M坐標(biāo)為.求點(diǎn)N的坐標(biāo)。分析：求解此題時(shí)很多學(xué)生會(huì)用常規(guī)的解題方法,將代入函數(shù)解析式求出。再聯(lián)立方程組進(jìn)而求得點(diǎn)的坐標(biāo)。此法,雖然容易

21、理解，但計(jì)算過(guò)程復(fù)雜，容易算錯(cuò)；如果應(yīng)用對(duì)稱性，就很好求了。解：因?yàn)檎壤瘮?shù)和反比例函數(shù)的圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,所以兩交點(diǎn)的坐標(biāo)也關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,所以。例9：設(shè)A、B兩點(diǎn)是圓心都在直線上的兩個(gè)相交圓的交點(diǎn)，并且的坐標(biāo)為，求點(diǎn)的坐標(biāo)。解：如圖4-6，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則由題設(shè)可知垂直于直線。因?yàn)辄c(diǎn)的坐標(biāo)為，所以直線的方程為。解方程組 得直線與直線得交點(diǎn)坐標(biāo)為。由對(duì)稱性知，點(diǎn)為線段中點(diǎn)，于是可得。點(diǎn)評(píng)：本題看似條件不足，沒(méi)有辦法求解。但如果我們仔細(xì)分析，就會(huì)發(fā)現(xiàn)題目中隱含了的對(duì)稱性的條件，利用對(duì)稱性問(wèn)題就可快速求解。圖4-6 圖4-74.2.2求最值例10：如圖4-7，的邊長(zhǎng)為1，的中點(diǎn)，為對(duì)角線上一點(diǎn)，

22、求的最小值。解：連接,交于點(diǎn)。因?yàn)辄c(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱，所以。從而得到.又因?yàn)榈弥悬c(diǎn)，且,所以,故的最小值為。點(diǎn)評(píng)：利用正方形的對(duì)稱性是解此題的關(guān)鍵之處,把轉(zhuǎn)化為,再根據(jù)“兩點(diǎn)之間線段最短”可知的最小值就是。4.2.3求線段的長(zhǎng)度例12：如圖4-8,在中，已知,垂足為,求的長(zhǎng)。分析：本題所涉及的圖形和條件,如果直接求解線段的長(zhǎng)度，可能會(huì)很難,甚至得不到結(jié)果,但若能靈活運(yùn)用軸對(duì)稱性質(zhì),將圖形進(jìn)行翻折變換,則能更好更快更準(zhǔn)的求出線段的長(zhǎng)度。解：分別以為對(duì)稱軸，畫(huà)出、的軸對(duì)稱圖形,則點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)分別為、延長(zhǎng)、相交于點(diǎn)。由軸對(duì)稱可知,又 四邊形是正方形, 設(shè)AD為，則，在中由勾股定理可知，解得（舍去） AD=

23、6。圖4-84.2.4求圖形的面積例14：如圖4-9，半徑為2的和均與y軸相切,反比例函數(shù)（0）的圖像與兩圓分別相交于點(diǎn)、,求圖中陰影部分面積？圖4-9分析：本題如果直接求兩圓的各個(gè)部分的陰影部分的面積是極其困難的，但如果能發(fā)現(xiàn)其隱含的對(duì)稱性，問(wèn)題簡(jiǎn)單化了。解：反比例函數(shù)(k0)的圖象是關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的，和也是關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱。弓形與弓形的面積相等。陰影部分面積的和等于半圓的面積，即4.2.5解方程例11：對(duì),方程的一切根都是虛數(shù)，且它們的模都不為1,求實(shí)數(shù)a的取值范圍。解：因?yàn)?且顯然不是方程的根,所以方程兩邊同除以,得，即。由于,所以.由0,解得-20，且，則的最小值為？（2）已知正數(shù)a,b.c

24、滿足，則的最大值為？分析：（1）如果直接用基本不等式，得到，答案是錯(cuò)的細(xì)心的學(xué)生會(huì)發(fā)現(xiàn)兩個(gè)不等式成立的條件是，顯然與已知條件矛盾。正確解答：（利用基本不等式、對(duì)勾函數(shù)）又，由對(duì)勾函數(shù)性質(zhì)知，當(dāng)時(shí)，此處用到基本不等式，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，即當(dāng)時(shí)，有最小值?？紤]到本題中交換兩個(gè)字母，題目并沒(méi)有任何變化，從而它們是對(duì)稱的，故當(dāng)時(shí)，有最小值。（2）同樣，當(dāng)時(shí)，有最大值。4.2.7解統(tǒng)計(jì)概率問(wèn)題例16同室四人各寫(xiě)一張賀年片，先集中起來(lái)，然后每人從中拿一張別人送出的賀年片，則四張賀年片不同的分配方式有（ ）13。 A. 6種 B. 9種 C. 11種 D. 23種 圖4-10分析：根據(jù)題目中所排元素位置

25、或組合數(shù)性質(zhì)的對(duì)稱性特點(diǎn)，可以巧妙的解決問(wèn)題.解：給宿舍四人分別編號(hào)為1、2、3、4,其對(duì)應(yīng)賀年片編號(hào)也為1、2、3a、4,則編號(hào)為1的人拿2號(hào)賀年片可如圖4-10所示，根據(jù)對(duì)稱性，得33=9種，故應(yīng)選B.評(píng)注：本題利用對(duì)稱思想解決概率問(wèn)題，可以避免復(fù)雜的計(jì)算。4.2.8解數(shù)列問(wèn)題我們知道：只要其中,就有（i） （等差數(shù)列）（ii） （等比數(shù)列）以上的數(shù)量關(guān)系也體現(xiàn)出對(duì)稱性，運(yùn)用好這對(duì)稱關(guān)系解數(shù)列問(wèn)題更容易。例17：（1）已知為等差數(shù)列，且，求？（2）已知為等比數(shù)列，且0，求？解：（1）（2），0，例18：在等差數(shù)列中，求解：由此可以看出，如果在等差數(shù)列中，由條件不能具體的求出和,但可以求出和的組合式，那么就可以用而又可以用“整體代值”的方法求出值，因?yàn)檫@個(gè)組合式通?？梢员硎舅罅俊Ｍ泶朔椒ㄔ诘缺葦?shù)列中也適用。5 總 結(jié)對(duì)稱性在中