第九章 梁的彎曲(4) 應(yīng)力狀態(tài)(于英1001)

1、9-2 9-2 梁的彎曲內(nèi)力梁的彎曲內(nèi)力剪力和彎矩剪力和彎矩 9-3 9-3 用內(nèi)力方程法繪制剪力圖和彎矩圖用內(nèi)力方程法繪制剪力圖和彎矩圖9-4 9-4 用微分關(guān)系法繪制剪力圖和彎矩圖用微分關(guān)系法繪制剪力圖和彎矩圖9-5 9-5 用疊加法畫彎矩圖用疊加法畫彎矩圖9-69-6 梁彎曲時的應(yīng)力及強度計算梁彎曲時的應(yīng)力及強度計算 9-7 9-7 梁的變形梁的變形 9-8 9-8 梁的應(yīng)力狀態(tài)梁的應(yīng)力狀態(tài) 第九章第九章 梁的彎曲梁的彎曲9-1 9-1 平面彎曲平面彎曲 一、應(yīng)力狀態(tài)的概念一、應(yīng)力狀態(tài)的概念二、平面應(yīng)力分析二、平面應(yīng)力分析三、梁的主應(yīng)力和主應(yīng)力跡線三、梁的主應(yīng)力和主應(yīng)力跡線四、強度理論、

2、強度理論 9-8 9-8 梁的應(yīng)力狀態(tài)梁的應(yīng)力狀態(tài) 1.一點的應(yīng)力狀態(tài)一點的應(yīng)力狀態(tài)一點的應(yīng)力狀態(tài)一點的應(yīng)力狀態(tài)：通過構(gòu)件內(nèi)某一點所有不同截面：通過構(gòu)件內(nèi)某一點所有不同截面上的應(yīng)力情況集合。上的應(yīng)力情況集合。研究應(yīng)力狀態(tài)的目的研究應(yīng)力狀態(tài)的目的：找出該點的最大正應(yīng)力和最：找出該點的最大正應(yīng)力和最大剪應(yīng)力數(shù)值及所在截面的方位，以便研究構(gòu)件破大剪應(yīng)力數(shù)值及所在截面的方位，以便研究構(gòu)件破壞原因并進行失效分析。壞原因并進行失效分析。一、一、 應(yīng)力狀態(tài)的概念應(yīng)力狀態(tài)的概念圍繞構(gòu)件內(nèi)一點所截圍繞構(gòu)件內(nèi)一點所截取的微小正六面體。取的微小正六面體。2.2.應(yīng)力狀態(tài)分應(yīng)力狀態(tài)分類類APPA單元單元體體(1)單元

3、體：單元體：一點處的一點處的應(yīng)力狀態(tài)應(yīng)力狀態(tài)空間應(yīng)力狀態(tài)空間應(yīng)力狀態(tài)平面應(yīng)力狀態(tài)平面應(yīng)力狀態(tài)三向應(yīng)力狀態(tài)三向應(yīng)力狀態(tài)雙向應(yīng)力狀態(tài)雙向應(yīng)力狀態(tài)單向應(yīng)力狀態(tài)單向應(yīng)力狀態(tài)純剪切應(yīng)力狀態(tài)純剪切應(yīng)力狀態(tài)簡單應(yīng)簡單應(yīng)力狀態(tài)力狀態(tài)復雜應(yīng)復雜應(yīng)力狀態(tài)力狀態(tài)單向應(yīng)單向應(yīng)力狀態(tài)力狀態(tài)三向應(yīng)三向應(yīng)力狀態(tài)力狀態(tài)雙向應(yīng)雙向應(yīng)力狀態(tài)力狀態(tài) 純剪切純剪切應(yīng)力狀態(tài)應(yīng)力狀態(tài) (2)(2)應(yīng)力狀態(tài)分類應(yīng)力狀態(tài)分類s ss st tPPMeMec) 同同b)，但從，但從上表面截取上表面截取Ct ts ss sb) 橫截面，周向面，直徑面各一對橫截面，周向面，直徑面各一對Ba) 一對橫截面，兩對縱截面一對橫截面，兩對縱截面AABPM

4、eMeCt ts ss sBCAPCABt tBt tCs sCs sCs sAs sA1、平面應(yīng)力分析的解析法、平面應(yīng)力分析的解析法 二、平面應(yīng)力狀態(tài)分析二、平面應(yīng)力狀態(tài)分析s syt tyt txs sxs sxs sxt txs sys sys sxt ty任意斜截面上的應(yīng)力任意斜截面上的應(yīng)力s sxt txs sys sys sxt tyABxya anta as st ts sxt txt tys syxdAs sx ：0tdAa at t(d cos )cosxAtaataa (d sin )sinyAt ta aa a (d sin)cosyAs sa aa a (d cos )

5、sinxAs sa aa a 0 ：0ndAa as s(d cos )sinxAt ta aa a (d sin )cosyAtaataa (d sin )sinyAs sa aa a (d cos )cosxAs sa aa a 0s syt tyaasssssta2sin2cos22xyxyxatasst2cos2sin2xyxxxytttt aasssssta2sin2cos22xyxyxatasst2cos2sin2xyxx 符號規(guī)定：符號規(guī)定： a a 以以x軸正向為起始線，逆時針旋轉(zhuǎn)為正，反軸正向為起始線，逆時針旋轉(zhuǎn)為正，反 之為負。之為負。 s s 拉為正，壓為負。拉為正，壓為

6、負。 t t 使微元產(chǎn)生順時針轉(zhuǎn)動趨勢為正，反之為負。使微元產(chǎn)生順時針轉(zhuǎn)動趨勢為正，反之為負。asat【例【例9-32】 圖示單元體各面應(yīng)力如圖所示圖示單元體各面應(yīng)力如圖所示，試求斜截面上的應(yīng)力、。MPa 20 xtMPa 32.52310540 2320212503025030 2sin2cos22aaxyxyxatsssssMPa 66.181066. 8 21202325030 2cos2sin2aaxyxatsst 【解】【解】已知已知MPa 30 xs，MPa 50ys，單位單位:MPa2、平面應(yīng)力分析的圖解法、平面應(yīng)力分析的圖解法應(yīng)力圓應(yīng)力圓 l應(yīng)力圓方程：應(yīng)力圓方程： 22222

7、22xyxyxxxs ss ss ss ss st tt t aasssssta2sin2cos22xyxyxatasst2cos2sin2xyxx應(yīng)力應(yīng)力圓圓 方方 程程s，則在以，則在以為橫坐標，為橫坐標，xsysxt、若已知若已知t的坐標系中，可畫出一個圓的坐標系中，可畫出一個圓.為縱坐標為縱坐標其圓心和半徑分別為其圓心和半徑分別為:圓周上任一點的坐標就代表單元體中與其相對應(yīng)的斜截面上圓周上任一點的坐標就代表單元體中與其相對應(yīng)的斜截面上的應(yīng)力。因此，這個圓稱為應(yīng)力圓，的應(yīng)力。因此，這個圓稱為應(yīng)力圓，2x2yx2tss半徑半徑0 ,2yxss圓心圓心s sxs sxt txt tyt tx

8、t tys sys syxyna as sa at ta aOs st tC2a2a02a2a(s(sa a,t ,ta a) )E E D2BA1()xxD,s st t()yy,ststt取取x面，定出面，定出D1( )點；取點；取y面，定出面，定出D2( )點；點； xx,s st tyy,s st tl應(yīng)力圓的繪制：應(yīng)力圓的繪制： 定坐標及比例尺；定坐標及比例尺； 連連D1D2交交s s軸于軸于C點，以點，以C為圓心，為圓心，D1D2為直徑作圓；為直徑作圓； s sxs sxt txt tyt txt tys sys syxyna as sa at ta aOs st tC2a2a0A

9、1s s1B1 s s22a2a(s(sa a,t ,ta a) )E E D2BA1()xxD,s st t()yy,ststG1t t1G2 t t2t1）點面對應(yīng)點面對應(yīng) 應(yīng)力圓上某一點的坐標值對應(yīng)著單元體上某應(yīng)力圓上某一點的坐標值對應(yīng)著單元體上某一斜截面上的正應(yīng)力和切應(yīng)力值。如一斜截面上的正應(yīng)力和切應(yīng)力值。如D1點的坐標點的坐標 .l應(yīng)力圓與單元體的對應(yīng)關(guān)系應(yīng)力圓與單元體的對應(yīng)關(guān)系xx,ts3）倍角對應(yīng)倍角對應(yīng) 應(yīng)力圓上兩點間圓弧的圓心角是單元體上相應(yīng)力圓上兩點間圓弧的圓心角是單元體上相應(yīng)的兩個面之間夾角的二倍。應(yīng)的兩個面之間夾角的二倍。2）轉(zhuǎn)向?qū)?yīng)轉(zhuǎn)向?qū)?yīng) 應(yīng)力圓上由基準點應(yīng)力圓上由

10、基準點D1到點到點E的轉(zhuǎn)向和單元體的轉(zhuǎn)向和單元體上由上由x面到面到面的轉(zhuǎn)向一致。面的轉(zhuǎn)向一致。s sxs sxt txt tyt txt tys sys syxyna as sa at ta aOs st tC2a2a02a2a(s(sa a,t ,ta a) )E E D2BA1()xxD,s st t()yy,ststt3.主平面及主應(yīng)力主平面及主應(yīng)力由主平面：由主平面：02tan2xyxyt ta as ss s 主應(yīng)力大?。褐鲬?yīng)力大?。?由由s s1、s s3、0按代數(shù)值大小排序得出：按代數(shù)值大小排序得出：s s1s s2s s3 22maxmin1322xyxyxtssssss從應(yīng)力

11、圓上可求出相差從應(yīng)力圓上可求出相差90 的的兩個主平面，兩個主平面，兩個主平面相互垂直。兩個主平面上的主應(yīng)力，一個是極大值，用兩個主平面相互垂直。兩個主平面上的主應(yīng)力，一個是極大值，用maxs1s表示，另一個是極小值，用表示，另一個是極小值，用或或mins3s或或表示。表示。0a900a和和，可見，可見最大剪應(yīng)力最大剪應(yīng)力(切應(yīng)力切應(yīng)力)： 最大剪最大剪(切切)應(yīng)力平面與主平面相差應(yīng)力平面與主平面相差45o2max2mix2xyxs ss st tt t 2minmaxmaxminsstMPa 20 xt20MPaxs s 10MPays s 【例【例9-33】求圖求圖所示單元體的主應(yīng)力與主平

12、面，最大切應(yīng)力。已知 ，。33. 1)10(2020222tan0yxxasst4 .63906 .2600 ,aa 【解】（【解】（1）確定單元體的主平面）確定單元體的主平面MPa 20-30 202) 10(2021020 222222maxmin13xyxyxtssssssMPa 252)20(30231maxsst 由此，三個主應(yīng)力分別為：由此，三個主應(yīng)力分別為：301s02s203sMPa ，MPa（3）最大切應(yīng)力）最大切應(yīng)力1sxt單元體如圖單元體如圖b所示，最大主應(yīng)力所示，最大主應(yīng)力沿沿指向的一側(cè)。指向的一側(cè)。（2）主應(yīng)力）主應(yīng)力s sOt tD1(30,-20)D2(-40,2

13、0)C60o(29.8,20.3)35.3-45.329.8o403020單位：單位：MPaxa as sa at ta a40.3-40.3求：求：1) a a=30o斜截面上的應(yīng)力；斜截面上的應(yīng)力； 2) 主應(yīng)力及其方位；主應(yīng)力及其方位； 3) 剪應(yīng)力極值。剪應(yīng)力極值。 【例【例9-34】 用應(yīng)力圓法用應(yīng)力圓法V三、梁的主應(yīng)力和主應(yīng)力跡線三、梁的主應(yīng)力和主應(yīng)力跡線zIMyxsszz*xVSI bt tt t 0ysxytt1.簡單應(yīng)力狀態(tài)下強度條件可由實驗確定簡單應(yīng)力狀態(tài)下強度條件可由實驗確定 2.一般應(yīng)力狀態(tài)下，材料的失效方式不僅與材料性質(zhì)有一般應(yīng)力狀態(tài)下，材料的失效方式不僅與材料性質(zhì)有

14、關(guān)，且與其應(yīng)力狀態(tài)有關(guān)，即與各主應(yīng)力大小及比值有關(guān)；關(guān)，且與其應(yīng)力狀態(tài)有關(guān)，即與各主應(yīng)力大小及比值有關(guān)； 3.復雜應(yīng)力狀態(tài)下的強度準則不能由實驗確定復雜應(yīng)力狀態(tài)下的強度準則不能由實驗確定(不可能針對不可能針對每一種應(yīng)力狀態(tài)做無數(shù)次實驗每一種應(yīng)力狀態(tài)做無數(shù)次實驗)；4.強度準則：強度準則： 金屬材料的強度失效分為：金屬材料的強度失效分為：屈服與斷裂屈服與斷裂； 強度準則強度準則(強度理論強度理論)：材料失效原因的假說：材料失效原因的假說 (假說假說實踐實踐理論理論)； 通過強度準則，利用單向拉伸實驗結(jié)果建立各種應(yīng)力通過強度準則，利用單向拉伸實驗結(jié)果建立各種應(yīng)力狀態(tài)下的失效判據(jù)和相應(yīng)的設(shè)計準則。狀

15、態(tài)下的失效判據(jù)和相應(yīng)的設(shè)計準則。四、強度理論四、強度理論（一）（一） 強度理論的概念強度理論的概念 兩類強度理論：兩類強度理論： 1. 第一類強度理論（以脆性斷第一類強度理論（以脆性斷裂破壞為標志）裂破壞為標志） 2. 第二類強度理論（以塑性第二類強度理論（以塑性屈服破壞為標志）屈服破壞為標志）四個強度理論四個強度理論（一）（一） 強度理論簡介強度理論簡介 準則準則：無論材料處于什么應(yīng)力狀態(tài)，發(fā)生脆性斷裂的無論材料處于什么應(yīng)力狀態(tài)，發(fā)生脆性斷裂的共同原因是單元體中的最大拉應(yīng)力共同原因是單元體中的最大拉應(yīng)力s s1達到某個共同極限值達到某個共同極限值s sjx。1.斷裂原因斷裂原因：最大拉應(yīng)力：

16、最大拉應(yīng)力s s1 （與應(yīng)力狀態(tài)無關(guān)）（與應(yīng)力狀態(tài)無關(guān)）3.強度條件強度條件： 1ss2.破壞條件破壞條件：bss1第一強度理論（最大拉應(yīng)力理論）第一強度理論（最大拉應(yīng)力理論） 4.應(yīng)用情況應(yīng)用情況：符合脆性材料的拉斷試驗，如鑄鐵單向拉伸：符合脆性材料的拉斷試驗，如鑄鐵單向拉伸和扭轉(zhuǎn)中的脆斷；但未考慮其余主應(yīng)力影響且不能用于無拉應(yīng)和扭轉(zhuǎn)中的脆斷；但未考慮其余主應(yīng)力影響且不能用于無拉應(yīng)力的應(yīng)力狀態(tài)，如單向、三向壓縮等。力的應(yīng)力狀態(tài)，如單向、三向壓縮等。四個強度理論四個強度理論第二強度理論（第二強度理論（最大伸長線應(yīng)變理論最大伸長線應(yīng)變理論 ） 準則準則：無論材料處于什么應(yīng)力狀態(tài)，發(fā)生脆性斷裂的無

17、論材料處于什么應(yīng)力狀態(tài)，發(fā)生脆性斷裂的共同原因是單元體中的最大伸長線應(yīng)變共同原因是單元體中的最大伸長線應(yīng)變e e1達到某個共同極達到某個共同極限值限值e ejx。1.斷裂原因斷裂原因：最大伸長線應(yīng)變：最大伸長線應(yīng)變e e1（與應(yīng)力狀態(tài)無關(guān)）；（與應(yīng)力狀態(tài)無關(guān)）； 3.強度準則強度準則： )(321ssssbsssse)(32112.破壞條件破壞條件： 4.應(yīng)用情況應(yīng)用情況：符合表面潤滑石料的軸向壓縮破壞等，不符合：符合表面潤滑石料的軸向壓縮破壞等，不符合大多數(shù)脆性材料的脆性破壞。大多數(shù)脆性材料的脆性破壞。 四個強度理論四個強度理論第三強度理論（最大切應(yīng)力理論）第三強度理論（最大切應(yīng)力理論） 準

18、則準則：無論在什么樣的應(yīng)力狀態(tài)下，材料發(fā)生屈無論在什么樣的應(yīng)力狀態(tài)下，材料發(fā)生屈服流動的原因都是單元體內(nèi)的最大切應(yīng)力服流動的原因都是單元體內(nèi)的最大切應(yīng)力t tmax達到某達到某一共同的極限值一共同的極限值t tjx。 1.屈服原因屈服原因：最大切應(yīng)力：最大切應(yīng)力t tmax（與應(yīng)力狀態(tài)無關(guān)）；（與應(yīng)力狀態(tài)無關(guān)）； 2.屈服條件屈服條件： ssss313.強度準則強度準則： 31sss4.應(yīng)用情況應(yīng)用情況：形式簡單，符合實際，廣泛應(yīng)用，偏于安全。：形式簡單，符合實際，廣泛應(yīng)用，偏于安全。 四個強度理論四個強度理論第四強度理論（形狀改變比能理論）第四強度理論（形狀改變比能理論） 準則準則：不論應(yīng)力

19、狀態(tài)如何，材料發(fā)生屈服的共同原：不論應(yīng)力狀態(tài)如何，材料發(fā)生屈服的共同原因是單元體中的形狀改變比能因是單元體中的形狀改變比能ud達到某個共同的極限值達到某個共同的極限值udjx。1.屈服原因屈服原因：最大形狀改變比能：最大形狀改變比能ud（與應(yīng)力狀態(tài)無關(guān)）；（與應(yīng)力狀態(tài)無關(guān)）； 2.屈服條件屈服條件： 22132322212)()()(ssssssss3.強度準則強度準則： )()()(21213232221sssssss4.應(yīng)用情況應(yīng)用情況：對塑性材料比最大剪應(yīng)力準則符合實驗結(jié)果。：對塑性材料比最大剪應(yīng)力準則符合實驗結(jié)果。 四個強度理論四個強度理論強度理論應(yīng)用強度理論應(yīng)用強度準則的統(tǒng)一形式：強

20、度準則的統(tǒng)一形式：ssr1121233132224122331()1()()() 2rrrrs ss ss ss s s ss ss ss ss ss ss ss ss ss ss ss s 其中：其中：s s2s s1s s3t tABCDx45o-45oMeMeDCBAs s3 3s s1 1s s1 1s s3 32123o00002)22tan2450s stttts st taaaa 【例【例9-35】分析圓軸扭轉(zhuǎn)時的應(yīng)力狀態(tài)。分析圓軸扭轉(zhuǎn)時的應(yīng)力狀態(tài)。 ABCD:)1單元體單元體圍繞圓軸外表面一點取圍繞圓軸外表面一點取解：解：npM /Wt t 1233) 0,s st t s ss st t 4)圓軸扭轉(zhuǎn)時，橫截面為純剪切應(yīng)圓軸扭轉(zhuǎn)時，橫截面為純剪切應(yīng) 力狀態(tài)，最大拉、壓應(yīng)力在與軸力狀態(tài)，最大拉、壓應(yīng)力在與軸 線成線成45o斜截面上，它們數(shù)值相斜截面上，它們數(shù)值相 等，均等于橫截面上的剪應(yīng)力