蘇教必修五基本不等式PPT學(xué)習(xí)教案

1、會(huì)計(jì)學(xué)1蘇教必修五基本不等式蘇教必修五基本不等式 如果如果a，bR， 那么那么a2+b22ab（當(dāng)且僅當(dāng)（當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取時(shí)取“=”）1指出適用范圍：指出適用范圍： Rba,2強(qiáng)調(diào)取強(qiáng)調(diào)取“=”的條件：的條件： ba 重要不等式：重要不等式：（當(dāng)且僅當(dāng)（當(dāng)且僅當(dāng)a=b 時(shí)，式中等號(hào)成立）時(shí)，式中等號(hào)成立） 如果如果a, bR+，那么，那么 abba2基本不等式：基本不等式：第1頁(yè)/共32頁(yè)注意：注意：1適用的范圍：適用的范圍：a, b 為正數(shù)為正數(shù). 2語言表述：語言表述：兩個(gè)正數(shù)兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均的算術(shù)平均數(shù)數(shù)不小于不小于它們的幾何平均數(shù)。它們的幾何平均數(shù)。稱稱2ab為為a，b的算術(shù)平均數(shù)

2、，的算術(shù)平均數(shù)，3.我們把不等式我們把不等式 (a0,b0)2abab稱為基本不等式稱為基本不等式稱稱ab的幾何平均數(shù)。的幾何平均數(shù)。為為a，b第2頁(yè)/共32頁(yè)2ab把把看做兩個(gè)看做兩個(gè)正數(shù)正數(shù)a，b的等差中項(xiàng)，的等差中項(xiàng)，ab看做看做正數(shù)正數(shù)a，b的等比中項(xiàng)，的等比中項(xiàng)，那么上面不等式可以敘述為：那么上面不等式可以敘述為： 兩個(gè)正數(shù)的等差中項(xiàng)兩個(gè)正數(shù)的等差中項(xiàng)不小于不小于它們的等比它們的等比中項(xiàng)。中項(xiàng)。第3頁(yè)/共32頁(yè)練習(xí)練習(xí).,3, 6,. 2., 6,. 1nmnmmnnmnmmnnmnm此時(shí)值有最則滿足若正數(shù)此時(shí)值有最則滿足若正數(shù)大大933小小26232第4頁(yè)/共32頁(yè)解：設(shè)矩形菜園的

3、長(zhǎng)為解：設(shè)矩形菜園的長(zhǎng)為x mx m，寬為，寬為y my m， 則則xy=100 xy=100，籬笆的長(zhǎng)為，籬笆的長(zhǎng)為2 2（x+yx+y）m.m. 2xyxy2 100,xy 2()40 xy等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)?shù)忍?hào)當(dāng)且僅當(dāng)x=yx=y時(shí)成立，此時(shí)時(shí)成立，此時(shí)x=y=10 x=y=10. . 因此，這個(gè)矩形的長(zhǎng)、寬都為因此，這個(gè)矩形的長(zhǎng)、寬都為10m10m時(shí)，所用的籬笆時(shí)，所用的籬笆最短，最短的籬笆是最短，最短的籬笆是40m. 40m. 結(jié)論結(jié)論1 1：兩個(gè)正變量?jī)蓚€(gè)正變量積為定值積為定值，則，則和有最小值和有最小值，當(dāng)且僅當(dāng)兩值相等時(shí)取最值。當(dāng)且僅當(dāng)兩值相等時(shí)取最值。第5頁(yè)/共32頁(yè)解：設(shè)矩形菜園

4、的長(zhǎng)為解：設(shè)矩形菜園的長(zhǎng)為x mx m，寬為，寬為y my m， 則則 2（ x + y ）= 36 , x + y = 18矩形菜園的面積為矩形菜園的面積為xymxym2 22xyxy=18/2=9得得 xy 81xy 81當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng)x=y,x=y,即即x=y=9x=y=9時(shí)，等號(hào)成時(shí)，等號(hào)成立立 因此，這個(gè)矩形的長(zhǎng)、寬都為因此，這個(gè)矩形的長(zhǎng)、寬都為9m9m時(shí)，菜園面積最大，時(shí)，菜園面積最大，最大面積是最大面積是81m81m2 2結(jié)論結(jié)論2 2：兩個(gè)正變量?jī)蓚€(gè)正變量和為定值和為定值，則，則積有最大值積有最大值，當(dāng)且僅當(dāng)兩值相等時(shí)取最值。當(dāng)且僅當(dāng)兩值相等時(shí)取最值。第6頁(yè)/共32頁(yè)第7頁(yè)/

5、共32頁(yè)由容積為由容積為4800m4800m3 3, ,可得可得:3xy=4800:3xy=4800因此因此 xy=1600 xy=1600由基本不等式與不等式的性質(zhì)由基本不等式與不等式的性質(zhì), ,可得可得即即 4800z150120(2 3x2 3y)3240000720(xy) 240000720(xy)240000720 2 xyz240000720 2 1600z297600當(dāng)當(dāng)x=y,x=y,即即x=y=40 x=y=40時(shí)時(shí), ,等號(hào)成立等號(hào)成立 所以所以, ,將水池的地面設(shè)計(jì)成邊長(zhǎng)為將水池的地面設(shè)計(jì)成邊長(zhǎng)為40m40m的正方的正方形時(shí)總造價(jià)最低形時(shí)總造價(jià)最低, ,最低總造價(jià)為最低

6、總造價(jià)為297600297600元元. .第8頁(yè)/共32頁(yè) 重要變形重要變形2220,0,22ababababababab若則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)?；A(chǔ)知識(shí)基礎(chǔ)知識(shí)（由小到大）（由小到大）第9頁(yè)/共32頁(yè)一利用基本不等式證明不等式一利用基本不等式證明不等式44441. 14;114.0,0,1abcdabcdababab 例 （ ）證明不等式： （2）已知：且， 求證：第10頁(yè)/共32頁(yè)第11頁(yè)/共32頁(yè)444222222442244224422444222222444222222222222()2222)2()(), ,abca bb cc aabc abcaba bbcb ccaa cabc

7、a bb cc aabca bb cc aa bb cc aabc abca b c成立證明：三式相加得（即同理可證：又互不相等，所以等號(hào)不成立所以444222222, ,()a b cabca bb cc aabc abc舉一反三：若是互不相等的正數(shù)，求證:第12頁(yè)/共32頁(yè)122. 10( )3120( )30,0,41,42,2490,0,1,xf xxxxf xxxaba babxxxxyxyxy 例 （）若，求的最小值。 (2)若，求的最大值。 （3）已知且求 的最大值。 （4）已知求的最小值。 （5）已知且求的最小值。二、利用基本不等式求函數(shù)的最值二、利用基本不等式求函數(shù)的最值第1

8、3頁(yè)/共32頁(yè)第14頁(yè)/共32頁(yè)第15頁(yè)/共32頁(yè)第16頁(yè)/共32頁(yè)第17頁(yè)/共32頁(yè)例、已知正數(shù)例、已知正數(shù)x x、y y滿足滿足2x+y=12x+y=1，求，求yx11的最小值的最小值錯(cuò)解錯(cuò)解: :221221xyxy即xyyx2221242221211xyyx即即 的最小值為的最小值為yx1124過程中兩次運(yùn)用了過程中兩次運(yùn)用了均值不等式中取均值不等式中取“=”號(hào)過渡，而這兩次取號(hào)過渡，而這兩次取“=”號(hào)的條件是不同的，號(hào)的條件是不同的，故結(jié)果錯(cuò)。故結(jié)果錯(cuò)。錯(cuò)因：錯(cuò)因：第18頁(yè)/共32頁(yè)已知正數(shù)已知正數(shù)x x、y y滿足滿足2x+y=12x+y=1，求，求yx11的最小值的最小值解解:2

9、23當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng)yxxy2即即:xy2時(shí)取時(shí)取“=”號(hào)號(hào)122yxxy而222221yx即此時(shí)即此時(shí)223minyyx11yyxxyx22yxxy23正解是正解是:第19頁(yè)/共32頁(yè)1222xxy構(gòu)造積為定值，利用基本不等式求最值構(gòu)造積為定值，利用基本不等式求最值思考：求函數(shù)求函數(shù) 的最小值的最小值第20頁(yè)/共32頁(yè)2、已知、已知?jiǎng)t則x y 的最大值是的最大值是 。1、當(dāng)、當(dāng)x0時(shí)，時(shí)， 的最小值為的最小值為 ，此時(shí)，此時(shí)x= 。21xx1 )0, 0(232 yxyx61 3、若實(shí)數(shù)、若實(shí)數(shù) ，且，且 ，則，則 的最小的最小值是（值是（ ） A、10 B、 C、 D、yx,5 yxyx3

10、3 3664318D第21頁(yè)/共32頁(yè)4、在下列函數(shù)中，最小值為、在下列函數(shù)中，最小值為2的是（的是（ ） A、 B、C、 D、) 0,(55 xRxxxy)101 (lg1lg xxxy)(33Rxyxx )20(sin1sin xxxyC第22頁(yè)/共32頁(yè)1 1、設(shè)、設(shè) 且且a+b=3,a+b=3,求求a ab b的最小值的最小值_。 Rba,3、若，則函數(shù)的最小值是、若，則函數(shù)的最小值是_。1x11072xxxy2、求函數(shù)、求函數(shù)f(x)=x2(4-x2) (0 x0， 0，若 是 與 的等比中項(xiàng)，則ab3a3b3ba11得最小值為（ ）A. 8 B. 4 C. 1 D. 41（2009年天津理6）B第29頁(yè)/共32頁(yè)例例3求函數(shù)求函數(shù) 的最大的最大值，及此時(shí)值，及此時(shí)x的值。的值。223( )(0)xxf xxx解：解： ，因?yàn)?，因?yàn)閤0，3( )1 (2)f xxx 所以所