人教版高中數(shù)學(xué)必修第二冊(cè)同步講解第10章《10.1.2事件的關(guān)系和運(yùn)算》(含解析)

1、10.1.2事件的關(guān)系和運(yùn)算學(xué) 習(xí) 目 標(biāo)核 心 素 養(yǎng)1.了解隨機(jī)事件的并、交與互斥的含義(重點(diǎn))2能結(jié)合實(shí)例進(jìn)行隨機(jī)事件的并、交運(yùn)算(重點(diǎn)、難點(diǎn))1.通過(guò)對(duì)隨機(jī)事件的并、交與互斥的含義的學(xué)習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)2通過(guò)隨機(jī)事件的并、交運(yùn)算，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).事件的關(guān)系和運(yùn)算(1)包含關(guān)系定義一般地，若事件A發(fā)生，則事件B一定發(fā)生，我們就稱事件B包含事件A(或事件A包含于事件B)含義A發(fā)生導(dǎo)致B發(fā)生符號(hào)表示B A(或AB)圖形表示特殊情形如果事件B包含事件A，事件A也包含事件B，即BA且AB，則稱事件A與事件B相等，記作AB(2)并事件(和事件)定義一般地，事件A與事件B至少有一個(gè)發(fā)生，

2、這樣的一個(gè)事件中的樣本點(diǎn)或者在事件A中，或者在事件B中，我們稱這個(gè)事件為事件A與事件B的并事件(或和事件)含義A與B至少一個(gè)發(fā)生符號(hào)表示AB(或AB)圖形表示(3)交事件(積事件)定義一般地，事件A與事件B同時(shí)發(fā)生，這樣的一個(gè)事件中的樣本點(diǎn)既在事件A中，也在事件B中，我們稱這樣的一個(gè)事件為事件A與事件B的交事件(或積事件)含義A與B同時(shí)發(fā)生符號(hào)表示AB(或AB)圖形表示(4)互斥(互不相容)定義一般地，如果事件A與事件B不能同時(shí)發(fā)生，也就是說(shuō)AB是一個(gè)不可能事件，即AB，則稱事件A與事件B互斥(或互不相容)含義A與B不能同時(shí)發(fā)生符號(hào)表示AB圖形表示(5)互為對(duì)立定義一般地，如果事件A與事件B在

3、任何一次試驗(yàn)中有且僅有一個(gè)發(fā)生，即AB，且AB，那么稱事件A與事件B互為對(duì)立事件A的對(duì)立事件記為含義A與B有且僅有一個(gè)發(fā)生符號(hào)表示AB，AB圖形表示思考1：一粒骰子擲一次，記事件A出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為2，事件C出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)，事件D出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)小于3，則事件A，C，D有什么關(guān)系？提示ACD.思考2：命題“事件A與B為互斥事件”與命題“事件A與B為對(duì)立事件”什么關(guān)系？(指充分性與必要性)提示根據(jù)互斥事件和對(duì)立事件的概念可知，“事件A與B為互斥事件”是“事件A與B為對(duì)立事件”的必要不充分條件1許洋說(shuō)：“本周我至少做完3套練習(xí)題”設(shè)許洋所說(shuō)的事件為A，則A的對(duì)立事件為()A至多做完3套練習(xí)題B至多做完2套練

4、習(xí)題C至多做完4套練習(xí)題D至少做完3套練習(xí)題B至少做完3套練習(xí)題包含做完3,4,5,6套練習(xí)題，故它的對(duì)立事件為做完0,1,2套練習(xí)題，即至多做完2套練習(xí)題2從裝有兩個(gè)紅球和兩個(gè)黑球的口袋內(nèi)任取兩個(gè)球，那么互斥而不對(duì)立的兩個(gè)事件是()A“至少有一個(gè)黑球”與“都是黑球”B“至少有一個(gè)黑球”與“至少有一個(gè)紅球”C“恰有一個(gè)黑球”與“恰有兩個(gè)黑球”D“至少有一個(gè)黑球”與“都是紅球”CA中的兩個(gè)事件能同時(shí)發(fā)生，故不互斥；同樣，B中兩個(gè)事件也可同時(shí)發(fā)生，故不互斥；D中兩個(gè)事件是對(duì)立的，故選C.3拋擲一枚骰子，“向上的點(diǎn)數(shù)是1或2”為事件A，“向上的點(diǎn)數(shù)是2或3”為事件B，則()AABBABCAB表示向上

5、的點(diǎn)數(shù)是1或2或3DAB表示向上的點(diǎn)數(shù)是1或2或3C設(shè)A1,2，B2,3，AB1，AB1,2,3，AB表示向上的點(diǎn)數(shù)為1或2或3.事件關(guān)系的判斷【例1】(1)從1,2,3，7這7個(gè)數(shù)中任取兩個(gè)數(shù)，其中：恰有一個(gè)是偶數(shù)和恰有一個(gè)是奇數(shù)；至少有一個(gè)是奇數(shù)和兩個(gè)都是奇數(shù)；至少有一個(gè)是奇數(shù)和兩個(gè)都是偶數(shù)；至少有一個(gè)是奇數(shù)和至少有一個(gè)是偶數(shù)上述事件中，是對(duì)立事件的是()ABCD(2)從一堆產(chǎn)品(其中正品與次品都多于2件)中任取2件，觀察正品件數(shù)與次品件數(shù)，判斷下列每件事件是不是互斥事件，如果是，再判斷它們是不是對(duì)立事件“恰好有1件次品”和“恰好有2件次品”；“至少有1件次品”和“全是次品”；“至少有1件

6、正品”和“至少有1件次品”(1)C中“至少有一個(gè)是奇數(shù)”即“兩個(gè)奇數(shù)或一奇一偶”，而從17中任取兩個(gè)數(shù)根據(jù)取到數(shù)的奇偶性可認(rèn)為共有三個(gè)事件：“兩個(gè)都是奇數(shù)”“一奇一偶”“兩個(gè)都是偶數(shù)”，故“至少有一個(gè)是奇數(shù)”與“兩個(gè)都是偶數(shù)”是對(duì)立事件，易知其余都不是對(duì)立事件故選C.(2)解依據(jù)互斥事件的定義，即事件A與事件B在一次試驗(yàn)中不會(huì)同時(shí)發(fā)生可知：中恰好有1件次品和恰好有2件次品不可能同時(shí)發(fā)生，因此它們是互斥事件，又因?yàn)樗鼈兊暮褪录皇潜厝皇录?，所以它們不是?duì)立事件；同理可以判斷中的2個(gè)事件不是互斥事件，從而也不是對(duì)立事件；中的2個(gè)事件不是互斥事件，從而也不是對(duì)立事件判斷事件間關(guān)系的方法(1)要考慮試

7、驗(yàn)的前提條件，無(wú)論是包含、相等，還是互斥、對(duì)立，其發(fā)生的條件都是一樣的(2)考慮事件間的結(jié)果是否有交事件，可考慮利用Venn圖分析，對(duì)較難判斷關(guān)系的，也可列出全部結(jié)果，再進(jìn)行分析從裝有2個(gè)紅球和2個(gè)白球(球除顏色外其他均相同)的口袋任取2個(gè)球，用集合的形式分別寫出下列事件，并判斷每對(duì)事件的關(guān)系：(1)至少有1個(gè)白球，都是白球；(2)至少有1個(gè)白球，至少有1個(gè)紅球；(3)至少有1個(gè)白球，都是紅球解給兩個(gè)紅球編號(hào)為1,2，給兩個(gè)白球編號(hào)為3,4，從口袋中任取兩個(gè)球，用(x，y)表示取出的兩個(gè)球，則試驗(yàn)的樣本空間為(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)，設(shè)A“至少有1

8、個(gè)白球”，(1)設(shè)B“都是白球”，B(3,4)，所以BA.即A和B不是互斥事件(2)設(shè)C“至少有一個(gè)紅球”，則C(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，因?yàn)锳C(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，所以A和C不互斥(3)設(shè)D“都是紅球”，則D(1,2)，因?yàn)锳D，AD，所以A和D為對(duì)立事件事件的運(yùn)算探究問(wèn)題1事件A與事件B的并事件(或和事件)的樣本點(diǎn)是如何構(gòu)成的？提示事件A與事件B的并事件(或和事件)的樣本點(diǎn)是由在事件A中，或者在事件B中的樣本點(diǎn)構(gòu)成的2事件A與事件B的交事件(或積事件)的樣本點(diǎn)是如何構(gòu)成的？提示事件A與事件B的交事件(或積事件)的樣本點(diǎn)是由既在事

9、件A中，也在事件B中的樣本點(diǎn)構(gòu)成的3“事件B包含事件A”“事件A與事件B的并事件”“事件A與事件B的交事件”分別對(duì)應(yīng)集合中的哪些關(guān)系或運(yùn)算？提示“事件B包含事件A”對(duì)應(yīng)于集合A是集合B的子集；“事件A與事件B的并事件”對(duì)應(yīng)集合A和集合B的并集，“事件A與事件B的交事件”對(duì)應(yīng)集合A與集合B的交集【例2】在投擲骰子試驗(yàn)中，根據(jù)向上的點(diǎn)數(shù)可以定義許多事件，如：A出現(xiàn)1點(diǎn)，B出現(xiàn)3點(diǎn)或4點(diǎn)，C出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)是奇數(shù)，D出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)是偶數(shù)(1)說(shuō)明以上4個(gè)事件的關(guān)系；(2)求AB，AB，AD，BD，BC.思路探究(1)(2)解在投擲骰子的試驗(yàn)中，根據(jù)向上出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)有6種基本事件，記作Ai出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為i(其中i1

10、,2，6)則AA1，BA3A4，CA1A3A5，DA2A4A6. (1)事件A與事件B互斥，但不對(duì)立，事件A包含于事件C，事件A與D互斥，但不對(duì)立；事件B與C不是互斥事件，事件B與D也不是互斥事件；事件C與D是互斥事件，也是對(duì)立事件(2)AB， ABA1A3A4出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)1,3或4，ADA1A2A4A6出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)1,2,4或6BDA4出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)4BC A1A3A4A5出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)1,3,4或51在例2的條件下，求AC，AC，BC.解ACA，ACC出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)1,3或5，BCA3出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)32用事件Ai出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為i(其中i1,2，6)表示下列事件：BD；CD.解BD出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)2,3,4或6A2A3A4A6.CD

11、出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)1,2,3,4,5,6A1A2A3A4A5A6.1互斥事件和對(duì)立事件都是針對(duì)兩個(gè)事件而言的，它們之間既有區(qū)別，又有聯(lián)系在一次試驗(yàn)中，兩個(gè)互斥事件有可能都不發(fā)生，也可能只有一個(gè)發(fā)生，但不可能兩個(gè)都發(fā)生；而對(duì)立事件必有一個(gè)發(fā)生，但是不可能兩個(gè)事件同時(shí)發(fā)生，也不可能都不發(fā)生所以兩個(gè)事件互斥，它們未必對(duì)立；但兩個(gè)事件對(duì)立，它們一定互斥2進(jìn)行事件間關(guān)系的判斷或運(yùn)算，可借助于圖形1判斷正誤(1)若兩個(gè)事件是互斥事件，則這兩個(gè)事件是對(duì)立事件()(2)若事件A和B是互斥事件，則AB是不可能事件()(3)事件AB是必然事件，則事件A和B是對(duì)立事件()提示(1) 錯(cuò)誤對(duì)立事件是互斥事件，但互斥事件不一定是

12、對(duì)立事件(2)正確因?yàn)槭录嗀和B是互斥事件，所以AB為空集，所以AB是不可能事件(3) 錯(cuò)誤反例：拋擲一枚骰子，事件A為：向上的點(diǎn)數(shù)小于5，事件B為：向上的點(diǎn)數(shù)大于2，則事件AB是必然事件，但事件A和B不是對(duì)立事件答案(1) (2) (3)2從1,2，9中任取兩數(shù)，其中：恰有一個(gè)偶數(shù)和恰有一個(gè)奇數(shù)；至少有一個(gè)奇數(shù)和兩個(gè)數(shù)都是奇數(shù)；至少有一個(gè)奇數(shù)和兩個(gè)數(shù)都是偶數(shù)；至少有一個(gè)奇數(shù)和至少有一個(gè)偶數(shù)在上述各對(duì)事件中，是對(duì)立事件的是()ABC DC從1,2，9中任取兩數(shù)，包括一奇一偶、兩奇、兩偶，共三種互斥事件，所以只有中的兩個(gè)事件才是對(duì)立事件3袋中裝有9個(gè)白球，2個(gè)紅球，從中任取3個(gè)球，則：恰有1個(gè)紅球和全是白球；至少有1個(gè)紅球和全是白球；至少有1個(gè)紅球和至少有2個(gè)白球；至少有1個(gè)白球和至少有1個(gè)紅球在上述事件中，是對(duì)立事件的為 是互斥不對(duì)立的事件，是對(duì)立事件，不是互斥事件4盒子里有6個(gè)紅球，4個(gè)白球，現(xiàn)從中任取3個(gè)球，設(shè)事件