人教版高中數(shù)學(xué)必修第二冊(cè)同步講解第7章《7.1.1數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)的概念》(含解析)

1、7.1復(fù)數(shù)的概念7.1.1數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)的概念學(xué) 習(xí) 目 標(biāo)核 心 素 養(yǎng)1.了解引進(jìn)虛數(shù)單位i的必要性，了解數(shù)系的擴(kuò)充過(guò)程(重點(diǎn))2理解復(fù)數(shù)的概念、表示法及相關(guān)概念(重點(diǎn))3掌握復(fù)數(shù)的分類及復(fù)數(shù)相等的充要條件(重點(diǎn)、易混點(diǎn))1.通過(guò)學(xué)習(xí)數(shù)系的擴(kuò)充，培養(yǎng)邏輯推理的素養(yǎng)2借助復(fù)數(shù)的概念，提升數(shù)學(xué)抽象的素養(yǎng).1復(fù)數(shù)的概念：zabi(a，bR)全體復(fù)數(shù)所構(gòu)成的集合Cabi|a，bR，叫做復(fù)數(shù)集2復(fù)數(shù)相等的充要條件設(shè)a，b，c，d都是實(shí)數(shù)，那么abicdiac且bd.3復(fù)數(shù)的分類zabi(a，bR)思考：復(fù)數(shù)集、實(shí)數(shù)集、虛數(shù)集、純虛數(shù)集之間存在怎樣的關(guān)系？提示1復(fù)數(shù)i2的虛部是()AiB2C1 D2

2、Ci22i，因此虛部是1.2如果(xy)ix1，則實(shí)數(shù)x，y的值分別為()Ax1，y1 Bx0，y1Cx1，y0 Dx0，y0A(xy)ix1，x1，y1.3在下列數(shù)中，屬于虛數(shù)的是 ，屬于純虛數(shù)的是 0,1i，i，2i，i，i.1i，i，2i，i，ii，i根據(jù)虛數(shù)的概念知：1i，i，2i，i，i都是虛數(shù)；由純虛數(shù)的概念知：i，i都是純虛數(shù)復(fù)數(shù)的概念【例1】給出下列說(shuō)法：復(fù)數(shù)23i的虛部是3i；形如abi(bR)的數(shù)一定是虛數(shù)；若aR，a0，則(a3)i是純虛數(shù)；若兩個(gè)復(fù)數(shù)能夠比較大小，則它們都是實(shí)數(shù)其中錯(cuò)誤說(shuō)法的個(gè)數(shù)是()A1B2C3D4C復(fù)數(shù)23i的虛部是3，錯(cuò)；形如abi(bR)的數(shù)不一

3、定是虛數(shù)，錯(cuò)；只有當(dāng)aR，a30時(shí)，(a3)i是純虛數(shù)，錯(cuò)；若兩個(gè)復(fù)數(shù)能夠比較大小，則它們都是實(shí)數(shù)，故正確，所以有3個(gè)錯(cuò)誤判斷復(fù)數(shù)概念方面的命題真假的注意點(diǎn)(1)正確理解復(fù)數(shù)、虛數(shù)、純虛數(shù)、實(shí)部、虛部、復(fù)數(shù)相等的概念，注意它們之間的區(qū)別與聯(lián)系；(2)注意復(fù)數(shù)集與實(shí)數(shù)集中有關(guān)概念與性質(zhì)的不同；(3)注意通過(guò)列舉反例來(lái)說(shuō)明一些命題的真假1下列說(shuō)法中正確的是()A復(fù)數(shù)由實(shí)數(shù)、虛數(shù)、純虛數(shù)構(gòu)成B若復(fù)數(shù)zxyi(x，yR)是虛數(shù)，則必有x0C在復(fù)數(shù)zxyi(x，yR)中，若x0，則復(fù)數(shù)z一定不是純虛數(shù)D若a，bR且ab，則aibiC選項(xiàng)A錯(cuò)，復(fù)數(shù)由實(shí)數(shù)與虛數(shù)構(gòu)成，在虛數(shù)中又分為純虛數(shù)和非純虛數(shù)；選項(xiàng)B錯(cuò)

4、，若復(fù)數(shù)zxyi(x，yR)是虛數(shù)，則必有y0，但可以x0；選項(xiàng)C正確，若復(fù)數(shù)zxyi(x，yR)是純虛數(shù)，必有x0，y0，因此只要x0，復(fù)數(shù)z一定不是純虛數(shù)；選項(xiàng)D錯(cuò)，當(dāng)a，bR時(shí)，ai與bi都是虛數(shù)，不能比較大小復(fù)數(shù)的分類【例2】實(shí)數(shù)x分別取什么值時(shí)，復(fù)數(shù)z(x22x15)i是(1)實(shí)數(shù)？(2)虛數(shù)？(3)純虛數(shù)？解(1)當(dāng)x滿足即x5時(shí)，z是實(shí)數(shù)(2)當(dāng)x滿足即x3且x5時(shí)，z是虛數(shù)(3)當(dāng)x滿足即x2或x3時(shí)，z是純虛數(shù)復(fù)數(shù)分類的關(guān)鍵(1)利用復(fù)數(shù)的代數(shù)形式，對(duì)復(fù)數(shù)進(jìn)行分類，關(guān)鍵是根據(jù)分類標(biāo)準(zhǔn)列出實(shí)部、虛部應(yīng)滿足的關(guān)系式求解參數(shù)時(shí)，注意考慮問(wèn)題要全面，當(dāng)條件不滿足代數(shù)形式zabi(a，

5、bR)時(shí)應(yīng)先轉(zhuǎn)化形式(2)注意分清復(fù)數(shù)分類中的條件設(shè)復(fù)數(shù)zabi(a，bR)，則z為實(shí)數(shù)b0，z為虛數(shù)b0，z為純虛數(shù)a0，b0，z0a0，且b0.2已知mR，復(fù)數(shù)zlg m(m21)i，當(dāng)m為何值時(shí)，(1)z為實(shí)數(shù)；(2)z為虛數(shù)；(3)z為純虛數(shù)解(1)當(dāng)z為實(shí)數(shù)時(shí)，m需滿足解得m1.(2)當(dāng)z為虛數(shù)時(shí)，m需滿足解得m0，且m1.(3)當(dāng)z為純虛數(shù)時(shí)，m需滿足無(wú)解，即不存在m使z為純虛數(shù)復(fù)數(shù)相等的充要條件探究問(wèn)題1由32能否推出3i2i？?jī)蓚€(gè)實(shí)數(shù)能比較大小，那么兩個(gè)復(fù)數(shù)能比較大小嗎？提示由32不能推出3i2i，當(dāng)兩個(gè)復(fù)數(shù)都是實(shí)數(shù)時(shí)，可以比較大小，當(dāng)兩個(gè)復(fù)數(shù)不全是實(shí)數(shù)時(shí)，不能比較大小2若復(fù)數(shù)

6、zabi0，則實(shí)數(shù)a，b滿足什么條件？提示若復(fù)數(shù)zabi0，則實(shí)數(shù)a，b滿足a0，且b0. 【例3】(1)若復(fù)數(shù)z(m1)(m29)i0，則實(shí)數(shù)m的值等于 (2)已知關(guān)于x的方程x2(12i)x(3mi)0有實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)m的值思路探究(1)等價(jià)轉(zhuǎn)化為虛部為零，且實(shí)部小于零(2)根據(jù)復(fù)數(shù)相等的充要條件求解(1)3z0，求實(shí)數(shù)m的取值范圍解由題意可知，x2(12i)x(3mi) x2x3m(2x1)i0, 故解得所以實(shí)數(shù)m的取值范圍為m.復(fù)數(shù)相等問(wèn)題的解題技巧(1)必須是復(fù)數(shù)的代數(shù)形式才可以根據(jù)實(shí)部與實(shí)部相等，虛部與虛部相等列方程組求解(2)根據(jù)復(fù)數(shù)相等的條件，將復(fù)數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為實(shí)數(shù)問(wèn)題，為應(yīng)用方

7、程思想提供了條件，同時(shí)這也是復(fù)數(shù)問(wèn)題實(shí)數(shù)化思想的體現(xiàn)提醒：若兩個(gè)復(fù)數(shù)能比較大小，則這兩個(gè)復(fù)數(shù)必為實(shí)數(shù)1a，bR，abi0ab0；abi02兩個(gè)虛數(shù)不能比較大小3z是復(fù)數(shù)，z20不一定成立，如i210.4復(fù)數(shù)問(wèn)題實(shí)數(shù)化是解決復(fù)數(shù)問(wèn)題的最基本、最重要的思想方法1判斷正誤(1)若a，b為實(shí)數(shù)，則zabi為虛數(shù)()(2)復(fù)數(shù)i的實(shí)部不存在，虛部為0.()(3)bi是純虛數(shù)()(4)如果兩個(gè)復(fù)數(shù)的實(shí)部的差和虛部的差都等于0，那么這兩個(gè)復(fù)數(shù)相等()答案(1)(2)(3)(4)2已知復(fù)數(shù)za2(2b)i的實(shí)部和虛部分別是2和3，則實(shí)數(shù)a，b的值分別是()A.，1B.，5C，5 D，1C令得a，b5.3已知x2y22xyi2i，則實(shí)數(shù)x，y的值分別為 或x2y22xyi2i，解得或4實(shí)數(shù)m分別取什么數(shù)值時(shí)，復(fù)數(shù)z(m25m6)(m22m15)i(1)實(shí)數(shù)；(2)虛數(shù)；(3)純虛數(shù)；(4)是0？