人教版高中數(shù)學必修第二冊同步講解第6章《6.1.1-6.1.2-6.1.3平面向量》(含解析)

1、6.1平面向量的概念6.1.1向量的實際背景與概念6.1.2向量的幾何表示6.1.3相等向量與共線向量學 習 目 標核 心 素 養(yǎng)1.理解向量的有關(guān)概念及向量的幾何表示(重點)2理解共線向量、相等向量的概念(難點)3正確區(qū)分向量平行與直線平行(易混點)1.從物理背景、幾何背景入手，從矢量概念引入向量的概念，提升數(shù)學抽象的核心素養(yǎng)2類比實數(shù)在數(shù)軸上的表示，給出向量的幾何意義，培養(yǎng)數(shù)學抽象和直觀想象的核心素養(yǎng)3通過相等向量和平行向量的學習，提升邏輯推理的核心素養(yǎng).1向量與數(shù)量(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量(2)數(shù)量：只有大小沒有方向的量稱為數(shù)量2向量的幾何表示(1)具有方向的線段叫做有向

2、線段它包含三個要素：起點、方向、長度(2)向量可以用有向線段來表示向量的大小稱為向量 的長度(或稱模)，記作|.向量也可以用字母a，b，c，表示，或用表示向量的有向線段的起點和終點字母表示，例如：，.思考：(1)向量可以比較大小嗎？(2)有向線段就是向量嗎？提示(1)向量不能比較大小，但向量的?？梢员容^大小(2)有向線段只是表示向量的一個圖形工具，它不是向量3向量的有關(guān)概念零向量長度為0的向量，記作0單位向量長度等于1個單位長度的向量平行向量(共線向量)方向相同或相反的非零向量向量a，b平行，記作ab規(guī)定：零向量與任意向量平行相等向量長度相等且方向相同的向量向量a與b相等，記作ab1正n邊形有

3、n條邊，它們對應(yīng)的向量依次為a1，a2，a3，an，則這n個向量()A都相等B都共線C都不共線 D模都相等D因為多邊形為正多邊形，所以邊長相等，所以各邊對應(yīng)向量的模都相等2有下列物理量：質(zhì)量；溫度；角度；彈力；風速其中可以看成是向量的有()A1個 B2個C3個 D4個B不是向量，是向量3已知|1，|2，若ABC90，則|_.ABC是以B為直角的直角三角形，所以|.4如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，則圖中相等的向量是_(填序號)(1)與；(2)與；(3)與；(4)與.(1)(4)由平行四邊形的性質(zhì)和相等向量的定義可知：，.向量的有關(guān)概念【例1】判斷下列命題是否正確，請說明理由：(1)若向量a與

4、b同向，且|a|b|，則ab；(2)若向量|a|b|，則a與b的長度相等且方向相同或相反；(3)對于任意向量|a|b|，若a與b的方向相同，則ab；(4)由于0方向不確定，故0不與任意向量平行；(5)向量a與向量b平行，則向量a與b方向相同或相反思路探究解答本題應(yīng)根據(jù)向量的有關(guān)概念，注意向量的大小、方向兩個要素解(1)不正確因為向量由兩個因素來確定，即大小和方向，所以兩個向量不能比較大小(2)不正確由|a|b|只能判斷兩向量長度相等，不能確定它們的方向關(guān)系(3)正確因為|a|b|，且a與b同向，由兩向量相等的條件，可得ab.(4)不正確依據(jù)規(guī)定：0與任意向量平行(5)不正確因為向量a與向量b若

5、有一個是零向量，則其方向不定1理解零向量和單位向量應(yīng)注意的問題(1)零向量的方向是任意的，所有的零向量都相等(2)單位向量不一定相等，不要忽略其方向2共線向量與平行向量(1)平行向量也稱為共線向量，兩個概念沒有區(qū)別；(2)共線向量所在直線可以平行，與平面幾何中的共線不同；(3)平行向量可以共線，與平面幾何中的直線平行不同提醒：解決與向量概念有關(guān)題目的關(guān)鍵是突出向量的核心方向和長度1給出下列命題：若ab，bc，則ac；若單位向量的起點相同，則終點相同；起點不同，但方向相同且模相等的幾個向量是相等向量；向量與是共線向量，則A，B，C，D四點必在同一直線上其中正確命題的序號是_錯誤若b0，則不成立；

6、錯誤起點相同的單位向量，終點未必相同；正確對于一個向量只要不改變其大小和方向，是可以任意移動的；錯誤共線向量即平行向量，只要求方向相同或相反即可，并不要求兩個向量，必須在同一直線上向量的表示及應(yīng)用【例2】(1)如圖，B，C是線段AD的三等分點，分別以圖中各點為起點和終點，可以寫出_個向量(2)在如圖所示的坐標紙上(每個小方格邊長為1)，用直尺和圓規(guī)畫出下列向量：，使|4，點A在點O北偏東45；，使|4，點B在點A正東；，使|6，點C在點B北偏東30.(1)12可以寫出12個向量，分別是：，.(2)解由于點A在點O北偏東45處，所以在坐標紙上點A距點O的橫向小方格數(shù)與縱向小方格數(shù)相等又|4，小方

7、格邊長為1，所以點A距點O的橫向小方格數(shù)與縱向小方格數(shù)都為4，于是點A位置可以確定，畫出向量如圖所示由于點B在點A正東方向處，且|4，所以在坐標紙上點B距點A的橫向小方格數(shù)為4，縱向小方格數(shù)為0，于是點B位置可以確定，畫出向量如圖所示由于點C在點B北偏東30處，且|6，依據(jù)勾股定理可得：在坐標紙上點C距點B的橫向小方格數(shù)為3，縱向小方格數(shù)為35.2，于是點C位置可以確定，畫出向量如圖所示1向量的兩種表示方法(1)幾何表示法：先確定向量的起點，再確定向量的方向，最后根據(jù)向量的長度確定向量的終點(2)字母表示法：為了便于運算可用字母a，b，c表示，為了聯(lián)系平面幾何中的圖形性質(zhì)，可用表示向量的有向線

8、段的起點與終點表示向量，如，等2兩種向量表示方法的作用(1)用幾何表示法表示向量，便于用幾何方法研究向量運算，為用向量處理幾何問題打下了基礎(chǔ)(2)用字母表示法表示向量，便于向量的運算2某人從A點出發(fā)向東走了5米到達B點，然后改變方向沿東北方向走了10米到達C點，到達C點后又改變方向向西走了10米到達D點(1)作出向量，；(2)求的模解(1)作出向量，如圖所示：(2)由題意得，BCD是直角三角形，其中BDC90，BC10米，CD10米，所以BD10米ABD是直角三角形，其中ABD90，AB5米，BD10米，所以AD5(米)，所以|5米.相等向量和共線向量探究問題1兩個相等的非零向量的起點與終點是

9、否都分別重合？提示不一定因為向量都是自由向量，只要大小相等，方向相同就是相等向量，與起點和終點位置無關(guān)2若，則從直線AB與直線CD的關(guān)系和與的方向關(guān)系兩個方面考慮有哪些情況？提示分四種情況(1)直線AB和直線CD重合，與同向；(2)直線AB和直線CD重合，與反向；(3)直線AB直線CD，與同向；(4)直線AB直線CD，與反向【例3】如圖所示，O是正六邊形ABCDEF的中心，且a，b，c.(1)與a的長度相等、方向相反的向量有哪些？(2)與a共線的向量有哪些？(3)請一一列出與a，b，c相等的向量思路探究根據(jù)相等向量與共線向量的概念尋找所求向量解(1)與a的長度相等、方向相反的向量有，.(2)與

10、a共線的向量有，.(3)與a相等的向量有，；與b相等的向量有，；與c相等的向量有，.1本例條件不變，寫出與向量相等的向量解相等向量是指長度相等、方向相同的向量，所以題圖中與相等的向量有，.2本例條件不變，寫出與向量長度相等的共線向量解與長度相等的共線向量有：，.3在本例中，若|a|1，則正六邊形的邊長如何？解由正六邊形中，每邊與中心連接成的三角形均為正三角形，所以FOA為等邊三角形，所以邊長AF|a|1.相等向量與共線向量的探求方法(1)尋找相等向量：先找與表示已知向量的有向線段長度相等的向量，再確定哪些同向共線(2)尋找共線向量：先找與表示已知向量的有向線段平行或共線的線段，再構(gòu)造同向與反向

11、的向量，注意不要漏掉以表示已知向量的有向線段的終點為起點，起點為終點的向量提醒：與向量平行相關(guān)的問題中，不要忽視零向量1向量是近代數(shù)學重要的和基本的數(shù)學概念之一，有深刻的幾何和物理背景，它是溝通代數(shù)、幾何的一種工具，注意向量與數(shù)量的區(qū)別與聯(lián)系2從定義上看，向量有大小和方向兩個要素，而有向線段有起點、方向和長度三個要素，因此它們是兩個不同的量在空間中，有向線段是固定的，而向量是可以自由移動的向量可以用有向線段表示，但并不能說向量就是有向線段3共線向量與平行向量是一組等價的概念兩個共線向量不一定要在一條直線上當然，同一直線上的向量也是平行向量4注意兩個特殊向量零向量和單位向量，零向量與任何向量都平

12、行，單位向量有無窮多個，起點相同的所有單位向量的終點在平面內(nèi)形成一個單位圓.1判斷正誤(1)長度為0的向量都是零向量()(2)零向量的方向都是相同的()(3)單位向量的長度都相等()(4)單位向量都是同方向. ()(5)任意向量與零向量都共線()答案(1)(2)(3)(4)(5)2汽車以120 km/h的速度向西走了2 h，摩托車以45 km/h的速度向東北方向走了2 h，則下列命題中正確的是()A汽車的速度大于摩托車的速度B汽車的位移大于摩托車的位移C汽車走的路程大于摩托車走的路程D以上都不對C速度、位移是向量，既有大小，又有方向，不能比較大小，路程可以比較大小 3在下列命題中：平行向量一定相等；不相等的向量一定不平行；共線向