數理方程第二章 非齊次方程的解法-4

1、深圳大學電子科學與技術學院 有界弦的自由振動有界弦的自由振動 有限長桿上的熱傳導有限長桿上的熱傳導 圓域內的二維拉普拉斯方程的定解問題圓域內的二維拉普拉斯方程的定解問題 非齊次方程的解法非齊次方程的解法 非齊次邊界條件的處理非齊次邊界條件的處理 關于二階常微分方程本征值問題的一些結論關于二階常微分方程本征值問題的一些結論分離變量法提要分離變量法提要: :深圳大學電子科學與技術學院)0,0(),(22222tLxtxfxvatv, 0),(0 xtxv)0(0),(ttxvLx),(),(0 xtxvt)(0 xtvt)0(Lx 有界弦的強迫振動有界弦的強迫振動: : 弦長度為弦長度為L, ,兩

2、端固定兩端固定, ,任意初始任意初始條件。條件。定解問題為：定解問題為： 強迫弦振動強迫弦振動非齊次泛定方程非齊次泛定方程及任意初始條件及任意初始條件深圳大學電子科學與技術學院)0,0(22222tLxxuatu, 0),(0 xtxu)0(0),(ttxuLx),(),(0 xtxut)(0 xtut)0(Lx 有界弦的自由振動有界弦的自由振動: : 弦長度為弦長度為L, ,兩端固定兩端固定, ,任意初任意初始位移始位移, ,任意初始速度。定解問題為：任意初始速度。定解問題為：（1）（2）（3）回顧齊次方程的弦振動問題：深圳大學電子科學與技術學院xLntLnaDtLnaCtxunnnsins

3、incos),(1 一般解是按本征函數集的展開一般解是按本征函數集的展開: :, 3, 2, 1sinnxLn將定解問題的解直接按本征函數集展開將定解問題的解直接按本征函數集展開,而展開系數是時間而展開系數是時間 t 的函數的函數:xLntTtxunnsin)(),(1（6）（4）（5）啟示：啟示：顯示：顯示：弦振動:一般解深圳大學電子科學與技術學院 將展開式將展開式(6)代入方程代入方程(1), 得到得到 兩邊關于兩邊關于 比較系數：比較系數： 它的通解為它的通解為 xLntTLnaxLntTnnnnsin)(sin)(2121 xLnsin0)()(2 tTLnatTnntLnaDtLna

4、CtTnnnsincos)(7)(7)(8)(8)求時間解:與前面使用分離變量法得到的結果完全相同！與前面使用分離變量法得到的結果完全相同！深圳大學電子科學與技術學院xxuxuxxcos0sin00022222xuatu222xuatu 邊界條件邊界條件 本征函數集本征函數集）（00)()( xXxXcossin)(sincos)(xBxAxXxBxAxX本征函數集空間部分：對于弦振動方程和熱傳導方程：深圳大學電子科學與技術學院, 3, 2, 1cos0, 0, 3, 2, 1sin0, 0, 2, 1, 02) 12(cos0, 0, 2, 1, 02) 12(sin0, 0, 2, 1,

5、0cos0, 0, 3, 2, 1sin0, 0000000nxLxuhuxunxLxuhuunxLnuxunxLnxuunxLnxuxunxLnuunLxxnLxxLxxLxxLxxLxx22222xuatu邊界條件邊界條件 本征函數集本征函數集222xuatu本征函數集（ ， ）深圳大學電子科學與技術學院對于齊次泛定方程和齊次邊界條件，求解空對于齊次泛定方程和齊次邊界條件，求解空間函數的邊值問題間函數的邊值問題： 即可得到本征函數集：即可得到本征函數集：邊界條件)()(xXxXFnnnx)(xXn一般情況：如何得到本征函數集？深圳大學電子科學與技術學院選擇空間函數的本征函數集選擇空間函數的

6、本征函數集 ，寫出，寫出泛定方程的形式解：泛定方程的形式解：將形式解代入泛定方程，直接得到時間函數將形式解代入泛定方程，直接得到時間函數 的常微分方程，例如弦振動：的常微分方程，例如弦振動：3. 3. 本征函數法能用來求解齊次和非齊次泛定方本征函數法能用來求解齊次和非齊次泛定方程的定解問題程的定解問題)()(),(xXtTtxunnn)(xXn0)()(2 tTLnatTnn本征函數法的要點和優(yōu)點:深圳大學電子科學與技術學院)0,0(),(22222tLxtxfxvatv, 0),(0 xtxv)0(0),(ttxvLx, 0),(0ttxv00ttv)0(Lx 有界弦的強迫振動有界弦的強迫振

7、動: : 弦長度為弦長度為L, ,兩端固定兩端固定, ,齊次初始齊次初始條件。條件。定解問題為：定解問題為：（1 1）（2 2）（3 3） 強迫弦振動強迫弦振動非齊次泛定方程非齊次泛定方程及齊次初始條件及齊次初始條件例例1：深圳大學電子科學與技術學院),(sin)()(21txfxLntTLnatTnnn xLntTtxvnnsin)(),(1由于相應的齊次問題由于相應的齊次問題 1.1.齊次方程；齊次方程；2. 2. 的本征的本征函數集為函數集為故將現在的非齊次定解問題的解按該本征函數集故將現在的非齊次定解問題的解按該本征函數集展開展開, ,而展開系數是時間而展開系數是時間 t 的函數的函數

8、: :代入代入(1):(1):（4 4）（5 5）, 3, 2, 1sinnxLn( (滿足邊界條件滿足邊界條件) )000Lxxuu強迫弦振動深圳大學電子科學與技術學院xLntftxfnnsin)(),(1將自由項將自由項( (已知函數已知函數) )也按該本征函數集展開也按該本征函數集展開: :xLntfxLntTLnatTnnnnnsin)(sin)()(121 LnxdxLntxfLtf0sin),(2)(其中：將將(6)代入代入(5)(5)右邊右邊: :（6 6）是展開系數是展開系數深圳大學電子科學與技術學院 0)0( , 0)0(0)()()(2nnnnnTTtftTLnatT這個初

9、值問題可用這個初值問題可用拉普拉斯變換方法拉普拉斯變換方法求解求解（7 7）（8 8）求解初值問題：深圳大學電子科學與技術學院函數函數 的拉普拉斯變換定義為積分的拉普拉斯變換定義為積分這個積分的結果是參數這個積分的結果是參數 p 的函數，它稱為函數的函數，它稱為函數 的的拉普拉斯變換的象函數，記為拉普拉斯變換的象函數，記為)(tdtetpt0)()(t)(p（原函數）（原函數） （象函數）（象函數） peptpCCt112pdteepetpdtetpttpCdteCpCtptttptpt1)(,)(1)()()()(0200，)()(pt拉普拉斯變換：拉普拉斯變換：深圳大學電子科學與技術學院

10、如果如果 則有則有 證明：證明：)()(pt)0()()(ppdttd)()0()()()()(0000)(ppdtetpptetddtedttddttdptptptet原函數導數的象函數：原函數導數的象函數：深圳大學電子科學與技術學院 如果如果 那么那么 )()(pt)0( )0()()(222pppdttd)0()()(ppdttd深圳大學電子科學與技術學院卷積定理：如果象函數卷積定理：如果象函數 可以寫成乘積形式：可以寫成乘積形式： 而而 的原函數分別為的原函數分別為 則則 的原函數是的原函數是 的卷積：的卷積：)()()(21ppp)(p)(),(21pp)(),(21tt)(p)()

11、(21tt和dttttpt)()()()()()(20121卷積定理：卷積定理：由象函數求原函數由象函數求原函數深圳大學電子科學與技術學院 已知象函數已知象函數 ，求原函數，求原函數 解：解：) 1(1)(2ppp11)(,1)(111) 1(1)(22122ppppppppp)(ttettt)(,)(21ttttetdedtttt1)()()()()(020121注意：由象函數注意：由象函數求原函數的過程求原函數的過程稱為稱為“反演反演”例題：由象函數求原函數深圳大學電子科學與技術學院0)0( , 0)0(0)()()(2 nnnnnTTtftTLnatT函數函數Tn(t)的拉氏變換的拉氏變

12、換:)()(0pTdtetTnptn)()()()0()0()()( )()0()()()()(22pftfpTpTpTpTptTpTpTpTptTpTtTnnnnnnnnnnnnn原函數原函數 象函數象函數（7 7）（8 8）采用拉普拉斯變換求解初值問題：深圳大學電子科學與技術學院0)()()(22pfpTLnapTpnnn 0)0( , 0)0(0)()()(2nnnnnTTtftTLnatT)( pTn對對(7)式兩邊作拉氏變兩邊作拉氏變換，給出代數方程：換，給出代數方程：初值問題初值問題現在對現在對 反演反演, ,以求出以求出22)()(LnappfpTnn)(tTn（7 7）（8 8

13、）深圳大學電子科學與技術學院dtLnafnaLtTtnn)(sin)()(0tLnanaLLnapsin122 由卷積定理得到原函數由卷積定理得到原函數:有有 和和 22221)()()(LnappfLnappfpTnnn象函數象函數:)()(tfpfnn（查表）（查表）深圳大學電子科學與技術學院代入代入 最后得到最后得到xLntTtxvnnsin)(),(1dtLnafnaLtTtnn)(sin)()(0 xLndtLnafnaLtxvtnnsin)(sin)(),(01LnxdxLnxfLf0sin),(2)(其中：強迫弦振動的結果強迫弦振動的結果：深圳大學電子科學與技術學院 )()()(

14、2222tftTlnatTnnn 0)0(,0)0( nnTT)()()(tftATtTnnn 原原方方程程寫寫成成)()()(tATtftTnnn 移移項項整整理理得得)()()(tTAtftTtddnnn 可可以以被被改改寫寫為為 ctdtTAtftTtnntn )()()(0積積分分一一次次得得對對補補充充資資料料),(2222無關。與常數令tAlna?？纱_定積分常數可確定積分常數依據條件依據條件cTn,0)0( ctdtTAtftTdtdnntn )()()(0。可可確確另另一一個個定定積積分分常常數數一一條條件件再再積積分分一一次次，并并依依據據另另對對,0)0( nTt二階常微，附

15、加兩個條件，通過積分兩次，總可以找到原函數。深圳大學電子科學與技術學院)0,0(),(22222tLxtxfxwatw, 0),(0 xtxw)0(0),(ttxwLx)0(Lx 有界弦的強迫振動有界弦的強迫振動: : 弦長度為弦長度為L, ,兩端固定兩端固定, ,任意任意初始位移初始位移, ,任意初始速度任意初始速度, ,定解問題為：定解問題為：（8）（9）（10）非齊次泛定方程非齊次泛定方程及任意初始條件及任意初始條件),(),(0 xtxwt)(0 xtwt)0,0(),(22222tLxtxfxwatw, 0),(0 xtxw)0(0),(ttxwLx)0(Lx ),(),(0 xtx

16、wt)(0 xtwt強迫弦振動例例2：深圳大學電子科學與技術學院)0,0(),(22222tLxtxfxwatw, 0),(0 xtxw)0(0),(ttxwLx)0(Lx ),(),(0 xtxwt)(0 xtwt),(),(),(txvtxutxw22222xuatu, 0),(0 xtxu0),(Lxtxu),(),(0 xtxut)(0 xtut),(22222txfxvatv, 0),(0 xtxv0),(Lxtxv, 0),(0ttxv00ttv從物理學的觀點從物理學的觀點來看，叫運動的來看，叫運動的疊加疊加從軍事學策略的從軍事學策略的觀點來看，叫觀點來看，叫“各個擊破，分各個擊破

17、，分而食之。而食之?！币环譃槎钲诖髮W電子科學與技術學院xLntLnaDtLnaCtxunnnsinsincos),(1xdxLnxanDxdxLnxLCLnLnsin)(2sin)(200LnxdxLnxfLf0sin),(2)(),(),(),(txvtxutxwxLndtLnafnaLtxvtnnsin)(sin)(),(01最后結果：分離變量法求解本征函數法求解深圳大學電子科學與技術學院xLntTxLntLnaDtLnaCtxuunnnnnsin)(sinsincos),()(11xLntTxLntTtTxLntTxLntTtxvtxutxwnnvnunnvnnunnsin)(sin)

18、()(sin)(sin)(),(),(),(1)()(1)(1)(1xLntTxLndtLnafnaLtxvvnntnnsin)(sin)(sin)(),()(101在實際應用中，往往不必分成兩個定解問題，可以合在實際應用中，往往不必分成兩個定解問題，可以合二為一：直接設二為一：直接設 ， 代入方程及初始條代入方程及初始條件，求出展開系數件，求出展開系數 。下面舉例說明。下面舉例說明。xLntTtxwnnsin)(),(1)(tTn非齊次方程：“合二為一”深圳大學電子科學與技術學院例例3：有界桿的長度為有界桿的長度為L，其兩端保持絕熱，內有熱，其兩端保持絕熱，內有熱源。已知桿內初始溫度分布，關

19、于桿內任意時刻的源。已知桿內初始溫度分布，關于桿內任意時刻的溫度分布的一個定解問題為：溫度分布的一個定解問題為：0, 0)()0,0(),(00222LxxtxuxuxutLxtxfxuatu(1)(2)(3)有源熱傳導：定解問題深圳大學電子科學與技術學院),2, 1,0(cosnxLnxLntTtxunncos)(),(0已知相應的齊次問題已知相應的齊次問題 1. .齊次方程，齊次方程，2. . 的本征函的本征函數集為數集為故本定解問題的形式解為：故本定解問題的形式解為：為了后面的需要，將源項也按該本征函數集展開：為了后面的需要，將源項也按該本征函數集展開：其中其中,cos),(2)(,),

20、(1)(cos)(),(0000dxxLntxfLtfdxtxfLtfxLntftxfLnLnn(4)(5)000Lxxxuxu有源熱傳導：本征函數法深圳大學電子科學與技術學院)(cos)0(cos)(cos)()(0020 xxLnTxLntfxLntTLnatTnnnnnnn將將(4)(4)和和(5)(5)代入代入(1)(1)和和(2):(2):（6）（7）（8）（9）nnnnnCTtftTLnatT)0()()()(2,cos)(2,)(1000dxxLnxLCdxxLCLnL即即其中其中有源熱傳導：本征函數法深圳大學電子科學與技術學院函數函數Tn(t)的拉氏變換的拉氏變換:)()(0p

21、TdtetTnptn)()()()0()()()()(pftfCpTpTpTptTpTtTnnnnnnnnn原函數原函數 象函數象函數nnnnnCTtftTLnatT)0()()()(2（8）（9）采用拉普拉斯變換求解初值問題：深圳大學電子科學與技術學院)()()(2pfpTLnaCpTpnnnn)( pTn對對 (8) 式兩邊作拉氏式兩邊作拉氏變換，給出代數方程變換，給出代數方程: :初值問題初值問題現在對現在對 反演反演, ,以求出以求出)(tTnnnnnnCTtftTLnatT)0()()()(2（8）（9）2)()(LnappfCpTnnn深圳大學電子科學與技術學院pAAet2221)

22、()()(LnappfLnapCLnappfCpTnnnnndtLnaftLnaCtTtnnn)(exp)(exp)(202積分項表示熱源的作用，它不存在時，積分項表示熱源的作用，它不存在時，約化為無源熱傳導的結果約化為無源熱傳導的結果,cos)(2,)(1000dxxLnxLCdxxLCLnL深圳大學電子科學與技術學院xLntLnaCCtxunncosexp),(210 利用傅里葉系數公式利用傅里葉系數公式, ,得到得到xLnCCxnncos)(10LnLxdxLnxLCdxxLC000cos)(2)(1C0是本征是本征值值 相相應的特解應的特解X0(x) = A 0無源熱傳導深圳大學電子科

23、學與技術學院例例4：有界桿的長度為有界桿的長度為L，其兩端保持絕熱，內有周，其兩端保持絕熱，內有周期性變化的熱源。已知桿內初始溫度分布，關于桿期性變化的熱源。已知桿內初始溫度分布，關于桿內任意時刻的溫度分布的一個定解問題為：內任意時刻的溫度分布的一個定解問題為：0, 00)0,0(sin00222LxxtxuxuutLxtAxuatu( (1) )( (2) )( (3) )有源熱傳導問題深圳大學電子科學與技術學院解：有源熱傳導的一般情況解：有源熱傳導的一般情況現在的條件：現在的條件：dxxLntxfLtfdxtxfLtfLnL000cos),(2)(,),(1)(nnnnnCTtftTLna

24、tT)0()()()(2)0(0)(,sin),(nCxtAtxf0cossin2)(sinsin1)(000dxxLntALtftAdxtALtfLnL0)0(sin)(:000TtAtTn0)0(0)()(:02nnnTtTLnatTn0exp)0()(2tLnaTtTnn)cos1 ()(0tAtT)cos1 (cos)(),(0tAxLntTtxunn結果：結果：dxxLnxLCdxxLCLnL000cos)(2)(1深圳大學電子科學與技術學院 在環(huán)形區(qū)域在環(huán)形區(qū)域 內求解定解問題：內求解定解問題： byxa220, 0)(122222222222byxayxnuuyxyuxuabxy

25、用極坐標系用極坐標系sincosyx, 0, 02cos12112222bauuuu(1)(2)例例5：本征函數法求解泊松方程深圳大學電子科學與技術學院考慮到相應的齊次方程的角向解：考慮到相應的齊次方程的角向解：現在用它作為本征函數集，構成定解問題（1）和（2）的一般解：注意：注意：現在的本征函數集不是單個的現在的本征函數集不是單個的sin或或cos函數函數，而是二者的組合而是二者的組合。在這種情況下，需要確定兩個展開。在這種情況下，需要確定兩個展開系數系數將（將（3）代入（）代入（1）得到：）得到：nBnAsincos)(), 2, 1, 0(n0sin)(cos)(),(nnnnBnAu(

26、3)()(nnBA和深圳大學電子科學與技術學院2cos12sin)()(1)(cos)()(1)(202222nnnnnnnnBnBBnAnAA0)()(1)()2(0)()(1)(12)(4)(1)(222222222nnnnnnBnBBnAnAAAAA兩邊比較關于兩邊比較關于 的系數：的系數：nnsin,cos條件（條件（2 2）導致：）導致：0)( , 0)( 0)(, 0)(bBbAaBaAnnnn(5)(4)(6)(7)(8)深圳大學電子科學與技術學院)2(0)()(1)(22 nAnAAnnn0)()(1)(22nnnBnBB上面兩個方程，都是齊次上面兩個方程，都是齊次 Euler

27、 方程，它們的通解分別為方程，它們的通解分別為)2()( ndcAnnnnn )3 , 2 , 1()( ndcBnnnnn )0(ln)(000 ndcA )0(ln)(000 ndcB )2(0)()()(22 nAnAAnnn0)()()(22nnnBnBB深圳大學電子科學與技術學院)2()( ndcAnnnnn )3 , 2 , 1()( ndcBnnnnn 其中，其中， ，都是任意常數，考慮到之前捆綁邊界條件的結果，都是任意常數，考慮到之前捆綁邊界條件的結果nnnndcdc ,)2(0)( nAn 0)( nB)7(0)()(bAaAnn)8(0)()(bBaBnn顯然，可以斷定顯然，可以斷定分分別別在在特特殊殊點點、以以及及其其導導函函數數、函函數數）（)()()()(.1 nnnnBABA的值為零；的值為零；、ba 都都是是任任意意常常數數。）（nnnndcdc ,.2在這種情況下，只有一種可能，就是上述的四個任意常數都等于零，才會有此結果。這是由于深圳大學電子科學與技術學院222212)(2)(1)( AAAnn)2( n222212)(2)(1)( AAA