第二章、數(shù)字邏輯基礎(chǔ)

1、 數(shù)字邏輯基礎(chǔ)數(shù)字邏輯基礎(chǔ) 第二章第二章北京郵電大學(xué)北京郵電大學(xué)徐惠民徐惠民邏輯變量和邏輯系統(tǒng)邏輯變量和邏輯系統(tǒng) 在數(shù)字電路和數(shù)字系統(tǒng)中用邏輯值來(lái)表示在數(shù)字電路和數(shù)字系統(tǒng)中用邏輯值來(lái)表示實(shí)際的信號(hào)或電路狀態(tài)。一般邏輯值的取實(shí)際的信號(hào)或電路狀態(tài)。一般邏輯值的取值只有兩種：值只有兩種：0和和1，0表示邏輯假，表示邏輯假，1表示表示邏輯真。取值為邏輯值的變量稱(chēng)為邏輯真。取值為邏輯值的變量稱(chēng)為邏輯變邏輯變量量。 使用邏輯變量作為輸入使用邏輯變量作為輸入/輸出的系統(tǒng)，就是輸出的系統(tǒng)，就是邏輯系統(tǒng)邏輯系統(tǒng)。 一般的邏輯系統(tǒng)都是二值系統(tǒng)。一般的邏輯系統(tǒng)都是二值系統(tǒng)。正邏輯系統(tǒng)正邏輯系統(tǒng) 和負(fù)邏輯系統(tǒng)和負(fù)邏輯

2、系統(tǒng) 邏輯值只是信號(hào)或電路狀態(tài)的反映，并沒(méi)邏輯值只是信號(hào)或電路狀態(tài)的反映，并沒(méi)有規(guī)定邏輯值和信號(hào)范圍的具體映射關(guān)系。有規(guī)定邏輯值和信號(hào)范圍的具體映射關(guān)系。在實(shí)際應(yīng)用中，既可以用高電平來(lái)表示邏在實(shí)際應(yīng)用中，既可以用高電平來(lái)表示邏輯輯1，用低電平表示邏輯，用低電平表示邏輯0；也可以用低電；也可以用低電平表示邏輯平表示邏輯1，高電平表示邏輯，高電平表示邏輯0。 用高電平來(lái)表示邏輯用高電平來(lái)表示邏輯1，用低電平表示邏輯，用低電平表示邏輯0的邏輯系統(tǒng)稱(chēng)為的邏輯系統(tǒng)稱(chēng)為正邏輯系統(tǒng)正邏輯系統(tǒng)。 用低電平來(lái)表示邏輯用低電平來(lái)表示邏輯1，用高電平表示邏輯，用高電平表示邏輯0的邏輯系統(tǒng)是的邏輯系統(tǒng)是負(fù)邏輯系統(tǒng)負(fù)邏

3、輯系統(tǒng)。 基本邏輯運(yùn)算基本邏輯運(yùn)算 邏輯代數(shù)中的邏輯變量的基本運(yùn)算只有邏輯代數(shù)中的邏輯變量的基本運(yùn)算只有“與與”、“或或”、“非非”三種。三種。 對(duì)應(yīng)的邏輯電路是與門(mén)、或門(mén)、非門(mén)。非對(duì)應(yīng)的邏輯電路是與門(mén)、或門(mén)、非門(mén)。非門(mén)就是反相器。門(mén)就是反相器。 任何復(fù)雜的邏輯運(yùn)算都可以通過(guò)這三種基任何復(fù)雜的邏輯運(yùn)算都可以通過(guò)這三種基本邏輯運(yùn)算來(lái)實(shí)現(xiàn)。本邏輯運(yùn)算來(lái)實(shí)現(xiàn)。 基本邏輯運(yùn)算基本邏輯運(yùn)算 1.“與與”邏輯運(yùn)算邏輯運(yùn)算 與邏輯運(yùn)算又叫邏輯乘。其定義是：當(dāng)且僅當(dāng)與邏輯運(yùn)算又叫邏輯乘。其定義是：當(dāng)且僅當(dāng)決定事件決定事件F發(fā)生的各種條件發(fā)生的各種條件A、B、C 均具備均具備時(shí)，這件事才發(fā)生，時(shí)，這件事才發(fā)生，

4、 這種因果關(guān)系稱(chēng)為這種因果關(guān)系稱(chēng)為”與與”邏輯關(guān)系，邏輯關(guān)系， 即即”與與”邏輯運(yùn)算。邏輯運(yùn)算。 兩個(gè)變量的兩個(gè)變量的”與與”運(yùn)算的邏輯關(guān)系可以用函數(shù)運(yùn)算的邏輯關(guān)系可以用函數(shù)式表示為：式表示為：F = A B = A B基本邏輯運(yùn)算基本邏輯運(yùn)算 與門(mén)的邏輯符號(hào)與門(mén)的邏輯符號(hào) |“與與”邏輯的真值表邏輯的真值表 基本邏輯運(yùn)算基本邏輯運(yùn)算 “與與”邏輯的波形表示邏輯的波形表示 “與與”邏輯運(yùn)算可以進(jìn)行這樣的邏輯判斷：邏輯運(yùn)算可以進(jìn)行這樣的邏輯判斷：”與與”門(mén)的輸入信號(hào)中是否有門(mén)的輸入信號(hào)中是否有“0”0”， 若輸入有若輸入有“0”0”，輸出就是，輸出就是“0”0”，只有當(dāng)輸入全為，只有當(dāng)輸入全為“

5、1”1”， 輸出才是輸出才是“1”1”。 基本邏輯運(yùn)算基本邏輯運(yùn)算 2.“或或”邏輯運(yùn)算邏輯運(yùn)算“或或”邏輯運(yùn)算又叫邏輯加。其定義是：邏輯運(yùn)算又叫邏輯加。其定義是：在決定事件在決定事件F發(fā)生的各種條件中只要有一發(fā)生的各種條件中只要有一個(gè)或一個(gè)以上條件具備時(shí)，個(gè)或一個(gè)以上條件具備時(shí)， 這件事就發(fā)這件事就發(fā)生，生， 這種因果關(guān)系稱(chēng)為這種因果關(guān)系稱(chēng)為“或或”邏輯運(yùn)算邏輯運(yùn)算關(guān)系。關(guān)系。兩個(gè)變量的兩個(gè)變量的“或或”運(yùn)算可以用函數(shù)式表運(yùn)算可以用函數(shù)式表示為：示為： F = AB = A + B 基本邏輯運(yùn)算基本邏輯運(yùn)算 或門(mén)的邏輯符號(hào)或門(mén)的邏輯符號(hào) “或或”邏輯的真值表邏輯的真值表 基本邏輯運(yùn)算基本邏輯

6、運(yùn)算 或門(mén)的波形或門(mén)的波形 “或或”邏輯運(yùn)算可以進(jìn)行這樣的邏輯判邏輯運(yùn)算可以進(jìn)行這樣的邏輯判斷：斷：”或或”門(mén)的輸入信號(hào)中是否有門(mén)的輸入信號(hào)中是否有“1”1”，若輸入有，若輸入有“1”1”， 輸出就是輸出就是“1”1”；只有當(dāng)輸入全為；只有當(dāng)輸入全為“0”0”時(shí)，時(shí)， 輸輸出才是出才是“0”0”。 基本邏輯運(yùn)算基本邏輯運(yùn)算 3“非非”邏輯運(yùn)算邏輯運(yùn)算 “非非”邏輯運(yùn)算又稱(chēng)邏輯運(yùn)算又稱(chēng)“反相反相” 運(yùn)算，或稱(chēng)運(yùn)算，或稱(chēng)“求補(bǔ)求補(bǔ)”運(yùn)算。其定義是：當(dāng)決定事件發(fā)運(yùn)算。其定義是：當(dāng)決定事件發(fā)生的條件生的條件A具備時(shí)，具備時(shí)， 事件事件F不發(fā)生不發(fā)生; 條件條件A不具備時(shí)，不具備時(shí)， 事件事件F才發(fā)生。

7、這種因果關(guān)系才發(fā)生。這種因果關(guān)系叫叫“非非”邏輯運(yùn)算。它的函數(shù)式為邏輯運(yùn)算。它的函數(shù)式為 F = A基本邏輯運(yùn)算基本邏輯運(yùn)算 “非非”門(mén)的邏輯符號(hào)門(mén)的邏輯符號(hào) |“非非”邏輯的真值表邏輯的真值表 布爾代數(shù)公理布爾代數(shù)公理 基本邏輯運(yùn)算是布爾代數(shù)中最重要的運(yùn)算，基本邏輯運(yùn)算是布爾代數(shù)中最重要的運(yùn)算，從這些運(yùn)算規(guī)則中，可以歸納出布爾代數(shù)從這些運(yùn)算規(guī)則中，可以歸納出布爾代數(shù)的公理。的公理。 公理公理1：若：若X=1，則，則 公理公理2：00 = 0 1 + 1 = 1 公理公理3：11 = 1 0 + 0 = 0 公理公理4：10 = 01 = 0 0 + 1 = 1 + 0 = 10X 1X 若若

8、X=0，則，則其他常用邏輯運(yùn)算其他常用邏輯運(yùn)算 1與非邏輯運(yùn)算與非邏輯運(yùn)算 實(shí)現(xiàn)先實(shí)現(xiàn)先“與與”后后“非非”的邏輯運(yùn)算就是與非邏的邏輯運(yùn)算就是與非邏輯運(yùn)算。其邏輯函數(shù)式如下輯運(yùn)算。其邏輯函數(shù)式如下: |“與非與非”門(mén)的邏輯符號(hào)門(mén)的邏輯符號(hào) 其他常用邏輯運(yùn)算其他常用邏輯運(yùn)算 “與非與非”邏輯的真值表邏輯的真值表 |“與非與非”邏輯運(yùn)算可進(jìn)行這樣的邏輯判斷：邏輯運(yùn)算可進(jìn)行這樣的邏輯判斷：“與非與非”門(mén)輸入信號(hào)中是否有門(mén)輸入信號(hào)中是否有“0 0”， 輸入有輸入有“0 0”， 輸出就是輸出就是“1 1”; ;只有當(dāng)輸入全為只有當(dāng)輸入全為“1 1”時(shí)，時(shí)， 輸出才是輸出才是“0 0”。 其他常用邏輯運(yùn)算

9、其他常用邏輯運(yùn)算 2“或非或非”邏輯運(yùn)算邏輯運(yùn)算實(shí)現(xiàn)先實(shí)現(xiàn)先”或或”后后“非非”的邏輯運(yùn)算，的邏輯運(yùn)算， 就是就是“或非或非”邏輯運(yùn)算。其邏輯函數(shù)式如下：邏輯運(yùn)算。其邏輯函數(shù)式如下：|“或非或非”門(mén)的邏輯符號(hào)門(mén)的邏輯符號(hào) 其他常用邏輯運(yùn)算其他常用邏輯運(yùn)算“或非或非”邏輯的真值表邏輯的真值表z“或非或非”邏輯運(yùn)算可進(jìn)行這樣的邏輯判斷：邏輯運(yùn)算可進(jìn)行這樣的邏輯判斷：“或非或非”門(mén)的輸入信號(hào)中是否有門(mén)的輸入信號(hào)中是否有“1”1”， 若輸入有若輸入有“1”1”， 輸出就是輸出就是“0”;0”;只有當(dāng)只有當(dāng)輸入全為輸入全為“0”0”時(shí)，時(shí)， 輸出才是輸出才是“1”1”。 其他常用邏輯運(yùn)算其他常用邏輯運(yùn)算

10、 3“與或非與或非”邏輯運(yùn)算邏輯運(yùn)算“與或非與或非”邏輯運(yùn)算的邏輯函數(shù)式如下邏輯運(yùn)算的邏輯函數(shù)式如下 z“與或非與或非”門(mén)的邏輯符號(hào)門(mén)的邏輯符號(hào) 其他常用邏輯運(yùn)算其他常用邏輯運(yùn)算 4“異或異或”邏輯運(yùn)算邏輯運(yùn)算 用先用先“非非”再再“與與”后后“或或”的邏輯運(yùn)算，實(shí)的邏輯運(yùn)算，實(shí)現(xiàn)如下邏輯函數(shù)式的稱(chēng)為現(xiàn)如下邏輯函數(shù)式的稱(chēng)為“異或異或”邏輯運(yùn)算。邏輯運(yùn)算。|“異或異或”門(mén)的邏輯符號(hào)門(mén)的邏輯符號(hào) 其他常用邏輯運(yùn)算其他常用邏輯運(yùn)算“異或異或”邏輯運(yùn)算的真值表邏輯運(yùn)算的真值表 z兩輸入兩輸入“異或異或”邏輯運(yùn)算可以進(jìn)行這樣的邏邏輯運(yùn)算可以進(jìn)行這樣的邏輯判斷：輯判斷：“異或異或”門(mén)的兩個(gè)輸入信號(hào)是否不門(mén)

11、的兩個(gè)輸入信號(hào)是否不相同，相同， 兩個(gè)輸入信號(hào)不相同時(shí)，兩個(gè)輸入信號(hào)不相同時(shí)， 輸出為輸出為“1”; 1”; 兩個(gè)輸入信號(hào)相同時(shí)，輸出為兩個(gè)輸入信號(hào)相同時(shí)，輸出為“0”0”。 其他常用邏輯運(yùn)算其他常用邏輯運(yùn)算 5“同或同或”邏輯運(yùn)算邏輯運(yùn)算同或邏輯的邏輯函數(shù)式為同或邏輯的邏輯函數(shù)式為: z“同或同或”門(mén)的邏輯符號(hào)門(mén)的邏輯符號(hào) z注：原部頒標(biāo)準(zhǔn)和國(guó)外符號(hào)沒(méi)有專(zhuān)用的同或邏注：原部頒標(biāo)準(zhǔn)和國(guó)外符號(hào)沒(méi)有專(zhuān)用的同或邏輯符號(hào)，用異或非來(lái)代替。輯符號(hào)，用異或非來(lái)代替。 其他常用邏輯運(yùn)算其他常用邏輯運(yùn)算 “同或同或”邏輯的真值表邏輯的真值表 z兩輸入兩輸入“同或同或”邏輯運(yùn)算可以進(jìn)行這樣的邏邏輯運(yùn)算可以進(jìn)行這

12、樣的邏輯判斷：輯判斷：“同或同或”門(mén)的兩個(gè)輸入信號(hào)是否相門(mén)的兩個(gè)輸入信號(hào)是否相同，同， 兩個(gè)輸入信號(hào)相同時(shí)，兩個(gè)輸入信號(hào)相同時(shí)， 輸出為輸出為“1”; 1”; 兩個(gè)輸入信號(hào)不相同時(shí)，輸出為兩個(gè)輸入信號(hào)不相同時(shí)，輸出為“0”0”。 其他常用邏輯運(yùn)算其他常用邏輯運(yùn)算 異或異或/同或關(guān)系的一般定義同或關(guān)系的一般定義 盡管實(shí)際生產(chǎn)的異或門(mén)盡管實(shí)際生產(chǎn)的異或門(mén)/同或門(mén)只有兩個(gè)輸入，同或門(mén)只有兩個(gè)輸入，但是，可以定義多個(gè)輸入情況下的異或但是，可以定義多個(gè)輸入情況下的異或/同或邏同或邏輯關(guān)系。輯關(guān)系。 對(duì)于異或邏輯來(lái)說(shuō)，當(dāng)輸入對(duì)于異或邏輯來(lái)說(shuō)，當(dāng)輸入1的數(shù)目是奇數(shù)時(shí)，的數(shù)目是奇數(shù)時(shí)，輸出為輸出為1；當(dāng)輸入；

13、當(dāng)輸入1的數(shù)目是偶數(shù)時(shí)，輸出為的數(shù)目是偶數(shù)時(shí)，輸出為0。 對(duì)于同或邏輯來(lái)說(shuō)，當(dāng)輸入對(duì)于同或邏輯來(lái)說(shuō)，當(dāng)輸入0的數(shù)目是偶數(shù)時(shí)的數(shù)目是偶數(shù)時(shí)（0也算偶數(shù)），輸出為也算偶數(shù)），輸出為1；當(dāng)輸入；當(dāng)輸入0的數(shù)目是的數(shù)目是奇數(shù)時(shí)，輸出為奇數(shù)時(shí)，輸出為0。其他常用邏輯運(yùn)算其他常用邏輯運(yùn)算 對(duì)于對(duì)于3輸入函數(shù)來(lái)說(shuō)，當(dāng)有奇數(shù)個(gè)輸入是輸入函數(shù)來(lái)說(shuō)，當(dāng)有奇數(shù)個(gè)輸入是1時(shí)，一定也是有偶數(shù)個(gè)輸入是時(shí)，一定也是有偶數(shù)個(gè)輸入是0： 奇數(shù)個(gè)輸入是奇數(shù)個(gè)輸入是1： 偶數(shù)個(gè)輸入是偶數(shù)個(gè)輸入是0： 所以，對(duì)于所以，對(duì)于3變量異或函數(shù)和變量異或函數(shù)和3變量同或函變量同或函數(shù)，具有相同的表達(dá)式。數(shù)，具有相同的表達(dá)式。 此結(jié)論可以推廣

14、到所有奇數(shù)個(gè)輸入的異或此結(jié)論可以推廣到所有奇數(shù)個(gè)輸入的異或/同或函數(shù)。同或函數(shù)。CBA,CBA,CBA,ABCCBA,CBA,CBA,ABC真值表真值表 真值表是表示邏輯真值表是表示邏輯函數(shù)的一種方式。函數(shù)的一種方式。 真值表的左面，列真值表的左面，列出函數(shù)的各種輸入出函數(shù)的各種輸入組合，右邊是和輸組合，右邊是和輸入組合相對(duì)應(yīng)的輸入組合相對(duì)應(yīng)的輸出。出。 多數(shù)表決的真值表。多數(shù)表決的真值表。10111000 XXXXXX阿德里安阿德里安 卡特卡特 布福德布福德 阿德里安（阿德里安（A）、布）、布福德（福德（B）和卡特（）和卡特（K）三人去餐館吃飯，他三人去餐館吃飯，他們每人要的不是火腿們每人要

15、的不是火腿就是就是 豬排。豬排。 （1）如果阿德里安）如果阿德里安要的是火腿，那么布要的是火腿，那么布福德要的就是豬排。福德要的就是豬排。 （2）阿德里安或卡）阿德里安或卡特要的是火腿，但是特要的是火腿，但是不會(huì)兩人都要火腿。不會(huì)兩人都要火腿。 （3）布福德和卡特）布福德和卡特不會(huì)兩人都要豬排。不會(huì)兩人都要豬排。 XXXXXX阿德里安阿德里安 卡特卡特 布福德布福德 很容易將結(jié)果轉(zhuǎn)換為很容易將結(jié)果轉(zhuǎn)換為真值表：真值表：結(jié)論是結(jié)論是A=0，A（阿（阿德里安）選的是豬排，德里安）選的是豬排，K都等于都等于1，K（卡特）（卡特）選的是火腿，選的是火腿，B可以可以是是1或者或者0，說(shuō)明，說(shuō)明B（布福德

16、）可以選豬（布福德）可以選豬排或火腿，排或火腿， 邏輯代數(shù)的基本定律邏輯代數(shù)的基本定律 邏輯代數(shù)的基本定律邏輯代數(shù)的基本定律 布爾代數(shù)中的交換律、結(jié)合律、分配律和布爾代數(shù)中的交換律、結(jié)合律、分配律和普通代數(shù)中的三大定律的形式基本相同，普通代數(shù)中的三大定律的形式基本相同，但是具有普通代數(shù)中所沒(méi)有的但是具有普通代數(shù)中所沒(méi)有的“加對(duì)乘加對(duì)乘”的分配律：的分配律：A+BC=(A+B)(A+C)，需要特別，需要特別注意。在實(shí)際應(yīng)用中，這個(gè)公式經(jīng)常會(huì)用注意。在實(shí)際應(yīng)用中，這個(gè)公式經(jīng)常會(huì)用到。到。 布爾代數(shù)的常用公式布爾代數(shù)的常用公式 這些公式都可以用基本定律來(lái)證明：這些公式都可以用基本定律來(lái)證明：吸收律吸

17、收律1：(a) A+AB =A 證明證明 A + A B = A1 + A B （自等律）（自等律） = A (1 + B)（分配律）（分配律） = A1（0-1律）律） = A（自等律）（自等律）布爾代數(shù)的常用公式布爾代數(shù)的常用公式 布爾代數(shù)的常用公式布爾代數(shù)的常用公式 布爾代數(shù)的常用公式布爾代數(shù)的常用公式布爾代數(shù)的三個(gè)規(guī)則布爾代數(shù)的三個(gè)規(guī)則 1代入規(guī)則代入規(guī)則 在一個(gè)包含一個(gè)或多個(gè)邏輯變量的邏輯等在一個(gè)包含一個(gè)或多個(gè)邏輯變量的邏輯等式中，如果將等式兩邊相同的變量用相同式中，如果將等式兩邊相同的變量用相同的邏輯表達(dá)式替換，邏輯等式仍然成立。的邏輯表達(dá)式替換，邏輯等式仍然成立。這個(gè)規(guī)則稱(chēng)為代入

18、規(guī)則。這個(gè)規(guī)則稱(chēng)為代入規(guī)則。 因?yàn)檫壿嫳磉_(dá)式也只有因?yàn)檫壿嫳磉_(dá)式也只有0、1兩種取值，和兩種取值，和邏輯變量的取值是一樣的。當(dāng)?shù)仁絻蛇叺倪壿嬜兞康娜≈凳且粯拥摹．?dāng)?shù)仁絻蛇叺南嗤兞坑孟嗤倪壿嫳磉_(dá)式替換后，不相同變量用相同的邏輯表達(dá)式替換后，不會(huì)改變等式的相等性。會(huì)改變等式的相等性。布爾代數(shù)的三個(gè)規(guī)則布爾代數(shù)的三個(gè)規(guī)則 對(duì)于結(jié)合律對(duì)于結(jié)合律A+BC=(A+B)(A+C)， 等式兩邊都用表達(dá)式等式兩邊都用表達(dá)式A+D代替變量代替變量A A+D+BC=(A+D+B)(A+D+C)，等式仍然成立。，等式仍然成立。 又如，對(duì)于摩根定理：又如，對(duì)于摩根定理： ， 用表達(dá)式用表達(dá)式a+b代替變量代替變量A

19、，用表達(dá)式，用表達(dá)式c+d代替變代替變量量B 則有：則有： 就是摩根定理的擴(kuò)展形式。就是摩根定理的擴(kuò)展形式。 BABAdcbadcba布爾代數(shù)的三個(gè)規(guī)則布爾代數(shù)的三個(gè)規(guī)則以上變換過(guò)程的最后，就是將公式以上變換過(guò)程的最后，就是將公式BABAA中的中的A用表達(dá)式用表達(dá)式CAB代換，變量代換，變量B用用ED代入的結(jié)果。代入的結(jié)果。布爾代數(shù)的三個(gè)規(guī)則布爾代數(shù)的三個(gè)規(guī)則 2反演規(guī)則反演規(guī)則 任何一個(gè)邏輯函數(shù)式任何一個(gè)邏輯函數(shù)式F，如果將，如果將F式中所有式中所有的邏輯與變?yōu)檫壿嫾樱壿嫾幼優(yōu)檫壿嬇c，的邏輯與變?yōu)檫壿嫾?，邏輯加變?yōu)檫壿嬇c，“1”變?yōu)樽優(yōu)椤?”，“0”變?yōu)樽優(yōu)椤?”，原變量變，原變量變?yōu)榉醋?/p>

20、量，反變量變?yōu)樵兞?，運(yùn)算關(guān)系為反變量，反變量變?yōu)樵兞浚\(yùn)算關(guān)系保持不變，即可得到函數(shù)保持不變，即可得到函數(shù)F的反函數(shù)的反函數(shù) 反演規(guī)則定義了如何獲得函數(shù)反演規(guī)則定義了如何獲得函數(shù)F的反函數(shù)的反函數(shù) FF布爾代數(shù)的三個(gè)規(guī)則布爾代數(shù)的三個(gè)規(guī)則 在使用反演規(guī)則時(shí)，要適時(shí)的增加括號(hào)。目的是要遵守反在使用反演規(guī)則時(shí)，要適時(shí)的增加括號(hào)。目的是要遵守反演規(guī)則中規(guī)定的演規(guī)則中規(guī)定的“保持運(yùn)算關(guān)系不變保持運(yùn)算關(guān)系不變”。 布爾代數(shù)的三個(gè)規(guī)則布爾代數(shù)的三個(gè)規(guī)則 在以上的取反過(guò)程中，也要隨時(shí)注意加上括號(hào)，保持原來(lái)在以上的取反過(guò)程中，也要隨時(shí)注意加上括號(hào)，保持原來(lái)的運(yùn)算關(guān)系。的運(yùn)算關(guān)系。 推論：將一個(gè)邏輯等式的兩

21、邊都取反，等式依然成立。推論：將一個(gè)邏輯等式的兩邊都取反，等式依然成立。 布爾代數(shù)的三個(gè)規(guī)則布爾代數(shù)的三個(gè)規(guī)則 3. 對(duì)對(duì)偶規(guī)則偶規(guī)則 將邏輯函數(shù)式將邏輯函數(shù)式F中所有邏輯與運(yùn)算變?yōu)檫壿嬛兴羞壿嬇c運(yùn)算變?yōu)檫壿嫾舆\(yùn)算，邏輯加運(yùn)算變?yōu)檫壿嬇c運(yùn)算，邏加運(yùn)算，邏輯加運(yùn)算變?yōu)檫壿嬇c運(yùn)算，邏輯常量輯常量“0”變?yōu)樽優(yōu)椤?”，“1”變?yōu)樽優(yōu)椤?”，并，并保留變量的運(yùn)算關(guān)系和順序不變，所得到保留變量的運(yùn)算關(guān)系和順序不變，所得到的新的邏輯函數(shù)式稱(chēng)為的新的邏輯函數(shù)式稱(chēng)為F的對(duì)偶函數(shù)的對(duì)偶函數(shù) 對(duì)偶規(guī)則定義了如何獲得函數(shù)對(duì)偶規(guī)則定義了如何獲得函數(shù)F的對(duì)偶函數(shù)的對(duì)偶函數(shù) dFdF布爾代數(shù)的三個(gè)規(guī)則布爾代數(shù)的三個(gè)規(guī)則

22、 推論：若有兩個(gè)函數(shù)式相等：推論：若有兩個(gè)函數(shù)式相等：F1 = F2 ，則它們的對(duì)偶式也，則它們的對(duì)偶式也相等：相等： d2d1FF 邏輯函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)表達(dá)式邏輯函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)表達(dá)式 一個(gè)邏輯函數(shù)的多種表示形式，為實(shí)現(xiàn)邏輯函數(shù)提供了多一個(gè)邏輯函數(shù)的多種表示形式，為實(shí)現(xiàn)邏輯函數(shù)提供了多種選擇。種選擇。 或門(mén)實(shí)現(xiàn)或門(mén)實(shí)現(xiàn)與非門(mén)實(shí)現(xiàn)與非門(mén)實(shí)現(xiàn)邏輯函數(shù)的最小項(xiàng)表達(dá)式邏輯函數(shù)的最小項(xiàng)表達(dá)式 最小項(xiàng)表達(dá)式是一種與或表達(dá)式，有時(shí)也稱(chēng)為標(biāo)最小項(xiàng)表達(dá)式是一種與或表達(dá)式，有時(shí)也稱(chēng)為標(biāo)準(zhǔn)與或式。準(zhǔn)與或式。 最小項(xiàng)最小項(xiàng)是由邏輯函數(shù)的全部變量組成的乘積項(xiàng)是由邏輯函數(shù)的全部變量組成的乘積項(xiàng)（邏輯與項(xiàng)），這些變量可以是原變量或反

23、變量（邏輯與項(xiàng)），這些變量可以是原變量或反變量的形式出現(xiàn)的形式出現(xiàn) ，且僅出現(xiàn)一次。，且僅出現(xiàn)一次。 一個(gè)最小項(xiàng)就對(duì)應(yīng)邏輯函數(shù)的一種輸入組合。如一個(gè)最小項(xiàng)就對(duì)應(yīng)邏輯函數(shù)的一種輸入組合。如最小項(xiàng)最小項(xiàng)ABC對(duì)應(yīng)輸入對(duì)應(yīng)輸入A=1、B=1、C=1。最小項(xiàng)。最小項(xiàng) BCA對(duì)應(yīng)輸入對(duì)應(yīng)輸入A=0、B=1、C=1。邏輯函數(shù)的最小項(xiàng)表達(dá)式邏輯函數(shù)的最小項(xiàng)表達(dá)式 最小項(xiàng)通常用最小項(xiàng)通常用mi來(lái)表示。其下標(biāo)來(lái)表示。其下標(biāo)i是這樣確定的：是這樣確定的：把最小項(xiàng)中的原變量記為把最小項(xiàng)中的原變量記為1，反變量記為，反變量記為0，變量，變量取值按順序排列成二進(jìn)制數(shù)。那么這個(gè)二進(jìn)制數(shù)取值按順序排列成二進(jìn)制數(shù)。那么這個(gè)二

24、進(jìn)制數(shù)的等值十進(jìn)制數(shù)就是下標(biāo)的等值十進(jìn)制數(shù)就是下標(biāo)i。 如最小項(xiàng)如最小項(xiàng)ABC用用m7表示。表示。 最小項(xiàng)表達(dá)式最小項(xiàng)表達(dá)式是由邏輯函數(shù)值為是由邏輯函數(shù)值為1的輸入組合所的輸入組合所對(duì)應(yīng)的最小項(xiàng)所組成的或式。對(duì)應(yīng)的最小項(xiàng)所組成的或式。 F F（A A、B B、C C）= m= m0 0D D0 0+ m+ m1 1D D1 1+ m+ m2 2D D2 2+ m+ m3 3D D3 3+ m+ m4 4D D4 4+ + m m5 5D D5 5+ m+ m6 6D D6 6+ m+ m7 7D D7 7 其中其中Di就是某個(gè)最小項(xiàng)（輸入組合）對(duì)應(yīng)的函數(shù)值。就是某個(gè)最小項(xiàng)（輸入組合）對(duì)應(yīng)的函數(shù)

25、值。BCA用用m3表示。表示。邏輯函數(shù)的最小項(xiàng)表達(dá)式邏輯函數(shù)的最小項(xiàng)表達(dá)式 寫(xiě)出和以下真值表對(duì)應(yīng)的最小項(xiàng)表達(dá)式：寫(xiě)出和以下真值表對(duì)應(yīng)的最小項(xiàng)表達(dá)式：|對(duì)應(yīng)的最小項(xiàng)表達(dá)式是：對(duì)應(yīng)的最小項(xiàng)表達(dá)式是：邏輯函數(shù)的最小項(xiàng)表達(dá)式邏輯函數(shù)的最小項(xiàng)表達(dá)式 最小項(xiàng)具有如下三個(gè)主要性質(zhì)：最小項(xiàng)具有如下三個(gè)主要性質(zhì)： 對(duì)于任意一個(gè)最小項(xiàng)，只有一組變量值使最小項(xiàng)本身對(duì)于任意一個(gè)最小項(xiàng)，只有一組變量值使最小項(xiàng)本身取值為取值為1。 任意兩個(gè)不同的最小項(xiàng)之積必為任意兩個(gè)不同的最小項(xiàng)之積必為0，即：，即： mimj = 0 n個(gè)變量的所有個(gè)變量的所有2n個(gè)最小項(xiàng)之和必為個(gè)最小項(xiàng)之和必為1，即，即 式中符號(hào)式中符號(hào)“”表示最小

26、項(xiàng)求和。表示最小項(xiàng)求和。邏輯函數(shù)的最大項(xiàng)表達(dá)式邏輯函數(shù)的最大項(xiàng)表達(dá)式 最大項(xiàng)表達(dá)式是一種或與表達(dá)式，有時(shí)也稱(chēng)為標(biāo)最大項(xiàng)表達(dá)式是一種或與表達(dá)式，有時(shí)也稱(chēng)為標(biāo)準(zhǔn)或與式。準(zhǔn)或與式。 最大項(xiàng)最大項(xiàng)是由邏輯函數(shù)的全部變量組成的相加項(xiàng)是由邏輯函數(shù)的全部變量組成的相加項(xiàng)（邏輯或項(xiàng)），這些變量可以是原變量或反變量（邏輯或項(xiàng)），這些變量可以是原變量或反變量的形式出現(xiàn)的形式出現(xiàn) ，且僅出現(xiàn)一次。，且僅出現(xiàn)一次。 一個(gè)最大項(xiàng)就對(duì)應(yīng)邏輯函數(shù)的一種輸入組合。如一個(gè)最大項(xiàng)就對(duì)應(yīng)邏輯函數(shù)的一種輸入組合。如最大項(xiàng)最大項(xiàng)A+B+C對(duì)應(yīng)輸入對(duì)應(yīng)輸入A=0、B=0、C=0。最大。最大項(xiàng)項(xiàng) 當(dāng)某個(gè)輸入當(dāng)某個(gè)輸入變量取值為變量取值為1

27、時(shí)，它在最大項(xiàng)中以時(shí)，它在最大項(xiàng)中以反變量反變量形式出現(xiàn)形式出現(xiàn)；當(dāng)某個(gè)輸入；當(dāng)某個(gè)輸入變量取值為變量取值為0時(shí)，它在最大項(xiàng)時(shí)，它在最大項(xiàng)中就以中就以原變量形式出現(xiàn)原變量形式出現(xiàn)。 CBA對(duì)應(yīng)輸入對(duì)應(yīng)輸入A=1、B=0、C=0。邏輯函數(shù)的最大項(xiàng)表達(dá)式邏輯函數(shù)的最大項(xiàng)表達(dá)式 最大項(xiàng)通常用最大項(xiàng)通常用Mi來(lái)表示。其下標(biāo)來(lái)表示。其下標(biāo)i是這樣確定的：把是這樣確定的：把最大項(xiàng)中的原變量記為最大項(xiàng)中的原變量記為0，反變量記為，反變量記為1，變量取值，變量取值按順序排列成二進(jìn)制數(shù)。那么這個(gè)二進(jìn)制數(shù)的等值按順序排列成二進(jìn)制數(shù)。那么這個(gè)二進(jìn)制數(shù)的等值十進(jìn)制數(shù)就是下標(biāo)十進(jìn)制數(shù)就是下標(biāo)i。 如最小項(xiàng)如最小項(xiàng)A+B

28、+C用用M0表示。表示。 最大項(xiàng)表達(dá)式最大項(xiàng)表達(dá)式是由邏輯函數(shù)值為是由邏輯函數(shù)值為0的輸入組合所對(duì)應(yīng)的輸入組合所對(duì)應(yīng)的最大項(xiàng)所組成的與式。的最大項(xiàng)所組成的與式。 =(m=(m0 0+D D0 0) )( m m1 1+D D1 1) )( m m2 2+D D2 2) )( m m3 3+D D3 3) )( m m4 4+D D4 4) )( m m5 5+D D5 5) )( m m6 6+D D6 6) )( m m7 7+D D7 7) ) 其中其中Di就是某個(gè)最大項(xiàng)（輸入組合）對(duì)應(yīng)的函數(shù)值。就是某個(gè)最大項(xiàng)（輸入組合）對(duì)應(yīng)的函數(shù)值。CBA用用M4表示。表示。F（A、B、C）邏輯函數(shù)的最

29、大項(xiàng)表達(dá)式邏輯函數(shù)的最大項(xiàng)表達(dá)式 寫(xiě)出和以下真值表對(duì)應(yīng)的最大項(xiàng)表達(dá)式：寫(xiě)出和以下真值表對(duì)應(yīng)的最大項(xiàng)表達(dá)式：|對(duì)應(yīng)的最大項(xiàng)表達(dá)式是：對(duì)應(yīng)的最大項(xiàng)表達(dá)式是：)6 , 5 , 1 , 0(MMMMM)CBA)(CBA()CBA()CBA()C,B,A(f6510邏輯函數(shù)的最大項(xiàng)表達(dá)式邏輯函數(shù)的最大項(xiàng)表達(dá)式 最大項(xiàng)具有下列三個(gè)主要性質(zhì)：最大項(xiàng)具有下列三個(gè)主要性質(zhì)： 對(duì)于任意一個(gè)最大項(xiàng)，只有一組變量取值對(duì)于任意一個(gè)最大項(xiàng)，只有一組變量取值可使其值為可使其值為0。 任 意 兩 個(gè) 最 大 項(xiàng) 之 和 必 為任 意 兩 個(gè) 最 大 項(xiàng) 之 和 必 為 1 ， 即 ：， 即 ： Mi + Mj = 1 (i

30、j ) n個(gè)變量的所有個(gè)變量的所有2n個(gè)最大項(xiàng)之積必為個(gè)最大項(xiàng)之積必為0，即：，即： 120iin0M最小項(xiàng)表達(dá)式和最大項(xiàng)表達(dá)式的關(guān)系最小項(xiàng)表達(dá)式和最大項(xiàng)表達(dá)式的關(guān)系 若已經(jīng)知道函數(shù)的最小項(xiàng)表達(dá)式，很容易寫(xiě)出這若已經(jīng)知道函數(shù)的最小項(xiàng)表達(dá)式，很容易寫(xiě)出這個(gè)函數(shù)的最大項(xiàng)表達(dá)式：個(gè)函數(shù)的最大項(xiàng)表達(dá)式： 若最小項(xiàng)表達(dá)式中最小項(xiàng)的數(shù)目是若最小項(xiàng)表達(dá)式中最小項(xiàng)的數(shù)目是k，最大項(xiàng)表達(dá)式中，最大項(xiàng)表達(dá)式中最大項(xiàng)的數(shù)目是最大項(xiàng)的數(shù)目是2n-k，n是函數(shù)的輸入變量的數(shù)目；是函數(shù)的輸入變量的數(shù)目； 若認(rèn)為若認(rèn)為0，1，2n-1是編號(hào)的全集，則最小項(xiàng)表達(dá)式是編號(hào)的全集，則最小項(xiàng)表達(dá)式中最小項(xiàng)的編號(hào)和最大項(xiàng)表達(dá)式中最大

31、項(xiàng)的編號(hào)互為補(bǔ)中最小項(xiàng)的編號(hào)和最大項(xiàng)表達(dá)式中最大項(xiàng)的編號(hào)互為補(bǔ)集，即兩者編號(hào)之或?yàn)榫幪?hào)的全集。集，即兩者編號(hào)之或?yàn)榫幪?hào)的全集。 例：如果三變量函數(shù)的最小項(xiàng)表達(dá)式是例：如果三變量函數(shù)的最小項(xiàng)表達(dá)式是Y=m (0、1、6)，這個(gè)函數(shù)的最大項(xiàng)表達(dá)式就是，這個(gè)函數(shù)的最大項(xiàng)表達(dá)式就是Y=M (2、3、4、5、7)。 非標(biāo)準(zhǔn)表達(dá)式到標(biāo)準(zhǔn)表達(dá)式的轉(zhuǎn)換非標(biāo)準(zhǔn)表達(dá)式到標(biāo)準(zhǔn)表達(dá)式的轉(zhuǎn)換 如果在與或表達(dá)式中，某一個(gè)與項(xiàng)和最小項(xiàng)相比，如果在與或表達(dá)式中，某一個(gè)與項(xiàng)和最小項(xiàng)相比，還缺少變量還缺少變量X，則可以利用基本定律中的，則可以利用基本定律中的A+A=1，將這個(gè)與項(xiàng)乘以，將這個(gè)與項(xiàng)乘以 (X+X)，轉(zhuǎn)換為最小項(xiàng)。其

32、，轉(zhuǎn)換為最小項(xiàng)。其他與項(xiàng)也作類(lèi)似處理。最后消除表達(dá)式中的重復(fù)他與項(xiàng)也作類(lèi)似處理。最后消除表達(dá)式中的重復(fù)項(xiàng)，就是最小項(xiàng)表達(dá)式。項(xiàng)，就是最小項(xiàng)表達(dá)式。任意項(xiàng)的定義及表示任意項(xiàng)的定義及表示 在以下兩種情況下，對(duì)應(yīng)函數(shù)的某一種輸入組合，在以下兩種情況下，對(duì)應(yīng)函數(shù)的某一種輸入組合，相應(yīng)的輸出可以是任意指定的：相應(yīng)的輸出可以是任意指定的： 若某些輸入組合在實(shí)際上不可能出現(xiàn)，其相應(yīng)的輸出若某些輸入組合在實(shí)際上不可能出現(xiàn)，其相應(yīng)的輸出是可以任意指定的；是可以任意指定的； 某些輸入雖然可能出現(xiàn)，但是相應(yīng)的輸出并不被使用，某些輸入雖然可能出現(xiàn)，但是相應(yīng)的輸出并不被使用，這樣的輸出也可以任意指定。這樣的輸出也可以任

33、意指定。 輸出可以任意指定的輸入項(xiàng)，稱(chēng)為任意項(xiàng)。有時(shí)輸出可以任意指定的輸入項(xiàng)，稱(chēng)為任意項(xiàng)。有時(shí)也稱(chēng)為無(wú)關(guān)項(xiàng)。也稱(chēng)為無(wú)關(guān)項(xiàng)。 帶有任意項(xiàng)的邏輯函數(shù)也稱(chēng)為不完全確定的邏輯帶有任意項(xiàng)的邏輯函數(shù)也稱(chēng)為不完全確定的邏輯函數(shù)。這樣的函數(shù)在沒(méi)有完成設(shè)計(jì)前，有些輸入函數(shù)。這樣的函數(shù)在沒(méi)有完成設(shè)計(jì)前，有些輸入組合的輸出是沒(méi)有確定的。組合的輸出是沒(méi)有確定的。任意項(xiàng)的定義及表示任意項(xiàng)的定義及表示 任意項(xiàng)在最小項(xiàng)表達(dá)式或者最大項(xiàng)表達(dá)式中也可任意項(xiàng)在最小項(xiàng)表達(dá)式或者最大項(xiàng)表達(dá)式中也可以表示。以表示。 帶有任意項(xiàng)的函數(shù)的最小項(xiàng)表達(dá)式，可以寫(xiě)為以帶有任意項(xiàng)的函數(shù)的最小項(xiàng)表達(dá)式，可以寫(xiě)為以下的形式：下的形式：F= m (輸出

34、為輸出為1 的最小項(xiàng)的編號(hào)的最小項(xiàng)的編號(hào)) + d (輸出不指定輸出不指定的最小項(xiàng)的編號(hào)的最小項(xiàng)的編號(hào)) 帶有任意項(xiàng)的函數(shù)的最大項(xiàng)表達(dá)式，可以寫(xiě)為以帶有任意項(xiàng)的函數(shù)的最大項(xiàng)表達(dá)式，可以寫(xiě)為以下的形式：下的形式：F= M (輸出為輸出為0 的最大項(xiàng)的編號(hào)的最大項(xiàng)的編號(hào)) d (輸出不指定輸出不指定的最大項(xiàng)的編號(hào)的最大項(xiàng)的編號(hào))用約束條件表示任意項(xiàng)用約束條件表示任意項(xiàng) 任意項(xiàng)有時(shí)候也可以用一個(gè)恒等于任意項(xiàng)有時(shí)候也可以用一個(gè)恒等于0的表達(dá)的表達(dá)式來(lái)表示，如式來(lái)表示，如 將恒等于將恒等于0的約束條件左邊的表達(dá)式展開(kāi)為的約束條件左邊的表達(dá)式展開(kāi)為最小項(xiàng)表達(dá)式，其中所包含的最小項(xiàng)就是最小項(xiàng)表達(dá)式，其中所包

35、含的最小項(xiàng)就是這個(gè)函數(shù)的任意項(xiàng)。這個(gè)函數(shù)的任意項(xiàng)。 對(duì)于三變量函數(shù)，以上約束條件展開(kāi)為：對(duì)于三變量函數(shù)，以上約束條件展開(kāi)為： 對(duì)應(yīng)于任意項(xiàng)：對(duì)應(yīng)于任意項(xiàng)： 是否可以用恒等于是否可以用恒等于1的表達(dá)式表示任意項(xiàng)？的表達(dá)式表示任意項(xiàng)？0BACBACBABACBA,CBA代數(shù)法化簡(jiǎn)邏輯函數(shù)代數(shù)法化簡(jiǎn)邏輯函數(shù) 邏輯函數(shù)化簡(jiǎn)的標(biāo)準(zhǔn)邏輯函數(shù)化簡(jiǎn)的標(biāo)準(zhǔn) 對(duì)于小規(guī)模邏輯電路而言，化簡(jiǎn)的要求是使得對(duì)于小規(guī)模邏輯電路而言，化簡(jiǎn)的要求是使得邏輯表達(dá)式中的項(xiàng)數(shù)（邏輯表達(dá)式中的項(xiàng)數(shù)（“與與”項(xiàng)或者項(xiàng)或者“或或”項(xiàng)）項(xiàng)）最少，并使得每項(xiàng)中的變量數(shù)最少。最少，并使得每項(xiàng)中的變量數(shù)最少。 還可以有其他的優(yōu)化標(biāo)準(zhǔn)還可以有其他的

36、優(yōu)化標(biāo)準(zhǔn) 低延遲低延遲 低扇入（集成電路的輸入引腳都是有限的）低扇入（集成電路的輸入引腳都是有限的）代數(shù)法化簡(jiǎn)邏輯函數(shù)代數(shù)法化簡(jiǎn)邏輯函數(shù) 1. 按基本定律、公式進(jìn)行化簡(jiǎn)按基本定律、公式進(jìn)行化簡(jiǎn) 代數(shù)法化簡(jiǎn)邏輯函數(shù)代數(shù)法化簡(jiǎn)邏輯函數(shù) 基本定律和公式結(jié)合代入規(guī)則進(jìn)行化簡(jiǎn)基本定律和公式結(jié)合代入規(guī)則進(jìn)行化簡(jiǎn) 代數(shù)法化簡(jiǎn)邏輯函數(shù)代數(shù)法化簡(jiǎn)邏輯函數(shù) 通過(guò)在表達(dá)式中增項(xiàng)通過(guò)在表達(dá)式中增項(xiàng)(拆項(xiàng)拆項(xiàng) )，以便進(jìn)一步簡(jiǎn)化，以便進(jìn)一步簡(jiǎn)化 增項(xiàng)增項(xiàng)拆項(xiàng)拆項(xiàng)卡諾圖法化簡(jiǎn)邏輯函數(shù)卡諾圖法化簡(jiǎn)邏輯函數(shù) 卡諾圖是真值表的圖形表示。它和真值表卡諾圖是真值表的圖形表示。它和真值表具有相同的信息。具有相同的信息。 卡諾圖中將卡

37、諾圖中將n個(gè)輸入變量分為兩組，將兩組個(gè)輸入變量分為兩組，將兩組變量的取值按格雷碼排列于縱橫坐標(biāo)，每變量的取值按格雷碼排列于縱橫坐標(biāo)，每?jī)蓚€(gè)相鄰的變量取值都只有一位的差別。兩個(gè)相鄰的變量取值都只有一位的差別。 一個(gè)一個(gè)n變量的卡諾圖有變量的卡諾圖有2n個(gè)小方格，每一個(gè)個(gè)小方格，每一個(gè)小方格對(duì)應(yīng)一個(gè)輸入的組合，或者說(shuō)對(duì)應(yīng)小方格對(duì)應(yīng)一個(gè)輸入的組合，或者說(shuō)對(duì)應(yīng)一個(gè)最小項(xiàng)或最大項(xiàng)。小方格中所填入的一個(gè)最小項(xiàng)或最大項(xiàng)。小方格中所填入的是相應(yīng)輸入組合下函數(shù)的輸出。是相應(yīng)輸入組合下函數(shù)的輸出。 卡諾圖法化簡(jiǎn)邏輯函數(shù)卡諾圖法化簡(jiǎn)邏輯函數(shù) 卡諾圖法化簡(jiǎn)邏輯函數(shù)卡諾圖法化簡(jiǎn)邏輯函數(shù) 四變量卡諾圖：四變量卡諾圖：卡諾

38、圖法化簡(jiǎn)邏輯函數(shù)卡諾圖法化簡(jiǎn)邏輯函數(shù) 五變量卡諾圖：五變量卡諾圖：卡諾圖法化簡(jiǎn)邏輯函數(shù)卡諾圖法化簡(jiǎn)邏輯函數(shù) 相鄰項(xiàng)：相鄰項(xiàng)：直接相鄰直接相鄰 兩端相鄰兩端相鄰鏡像相鄰鏡像相鄰鏡像相鄰鏡像相鄰兩端相鄰兩端相鄰卡諾圖法化簡(jiǎn)邏輯函數(shù)卡諾圖法化簡(jiǎn)邏輯函數(shù) 卡諾圖化簡(jiǎn)邏輯函數(shù)的基本原理卡諾圖化簡(jiǎn)邏輯函數(shù)的基本原理 相鄰項(xiàng)可以合并?；诠较噜忢?xiàng)可以合并?；诠?輸入項(xiàng)可以重復(fù)使用?；诠捷斎腠?xiàng)可以重復(fù)使用?；诠紸+A=A 由相鄰項(xiàng)寫(xiě)合并項(xiàng)由相鄰項(xiàng)寫(xiě)合并項(xiàng) 2k個(gè)相鄰項(xiàng)也可以合并為一個(gè)與項(xiàng)。個(gè)相鄰項(xiàng)也可以合并為一個(gè)與項(xiàng)。 合并項(xiàng)由這些相鄰項(xiàng)中取值相同的變量組成：合并項(xiàng)由這些相鄰項(xiàng)中取值相同的變量組

39、成：變量值為變量值為1的寫(xiě)為原變量，變量值為的寫(xiě)為原變量，變量值為0的寫(xiě)為反的寫(xiě)為反變量。變量。 ABAAB卡諾圖法化簡(jiǎn)邏輯函數(shù)卡諾圖法化簡(jiǎn)邏輯函數(shù) 相鄰項(xiàng)：相鄰項(xiàng)：A=0,B=0,D=0,E=1,合并項(xiàng)合并項(xiàng):EDBAB=0,C=0,D=1,E=1,合并項(xiàng)合并項(xiàng):DECBC=1,D=1,E=0,合并項(xiàng)合并項(xiàng):ECD卡諾圖法化簡(jiǎn)邏輯函數(shù)卡諾圖法化簡(jiǎn)邏輯函數(shù) 為了合并的需要，輸為了合并的需要，輸入項(xiàng)可以重復(fù)使用。入項(xiàng)可以重復(fù)使用。11111重用重用重用重用BACCA1邏輯函數(shù)的卡諾圖表示邏輯函數(shù)的卡諾圖表示 1）從真值表到卡諾圖）從真值表到卡諾圖 由邏輯函數(shù)的真值表或邏輯表達(dá)式作該邏由邏輯函數(shù)的

40、真值表或邏輯表達(dá)式作該邏輯函數(shù)卡諾圖的基本方法是：輯函數(shù)卡諾圖的基本方法是： 根據(jù)邏輯函數(shù)中變量的數(shù)目根據(jù)邏輯函數(shù)中變量的數(shù)目n，畫(huà)出，畫(huà)出n 個(gè)變個(gè)變量的卡諾圖量的卡諾圖 ； 在真值表中輸出為在真值表中輸出為1的最小項(xiàng)所對(duì)應(yīng)的卡諾的最小項(xiàng)所對(duì)應(yīng)的卡諾圖的圖的mi小方格中填入小方格中填入1，或者在真值表輸出，或者在真值表輸出為為0的最大項(xiàng)所對(duì)應(yīng)的的最大項(xiàng)所對(duì)應(yīng)的Mi的小方格填入的小方格填入0，就是該函數(shù)的卡諾圖。就是該函數(shù)的卡諾圖。 邏輯函數(shù)的卡諾圖表示邏輯函數(shù)的卡諾圖表示 例：畫(huà)出三人表決器所對(duì)應(yīng)的邏輯函數(shù)的真值表。例：畫(huà)出三人表決器所對(duì)應(yīng)的邏輯函數(shù)的真值表。z相應(yīng)的卡諾圖是：相應(yīng)的卡諾圖是

41、：邏輯函數(shù)的卡諾圖表示邏輯函數(shù)的卡諾圖表示 2）由非標(biāo)準(zhǔn)與或式填卡諾圖）由非標(biāo)準(zhǔn)與或式填卡諾圖 對(duì)于每個(gè)與項(xiàng)中不帶非的變量，和卡諾圖中相對(duì)于每個(gè)與項(xiàng)中不帶非的變量，和卡諾圖中相應(yīng)變量取值為應(yīng)變量取值為1的行或列對(duì)應(yīng)，每個(gè)帶非的變的行或列對(duì)應(yīng)，每個(gè)帶非的變量，和卡諾圖中相應(yīng)變量取值為量，和卡諾圖中相應(yīng)變量取值為0的行或列對(duì)的行或列對(duì)應(yīng)。在這些行、列相交的小格內(nèi)填應(yīng)。在這些行、列相交的小格內(nèi)填1； 對(duì)于每個(gè)與項(xiàng)都按以上方法填圖，如果小格已對(duì)于每個(gè)與項(xiàng)都按以上方法填圖，如果小格已經(jīng)有經(jīng)有1就不再重填。就不再重填。 所有沒(méi)有填所有沒(méi)有填1的格內(nèi)填入的格內(nèi)填入0。邏輯函數(shù)的卡諾圖表示邏輯函數(shù)的卡諾圖表示

42、 例例: 填寫(xiě)函數(shù)填寫(xiě)函數(shù)z解：先畫(huà)出解：先畫(huà)出3 3變量的卡諾圖。變量的卡諾圖。 的卡諾圖的卡諾圖11111對(duì)于對(duì)于AB，應(yīng)在，應(yīng)在A=B=1的各小方格內(nèi)填的各小方格內(nèi)填1。對(duì) 于對(duì) 于，應(yīng)在，應(yīng)在B=0,C=1的小方格內(nèi)填的小方格內(nèi)填1。對(duì) 于對(duì) 于，應(yīng)在，應(yīng)在A=1,C=0的小方格內(nèi)填的小方格內(nèi)填1。邏輯函數(shù)的卡諾圖表示邏輯函數(shù)的卡諾圖表示 3）由非標(biāo)準(zhǔn)或與式填卡諾圖）由非標(biāo)準(zhǔn)或與式填卡諾圖 對(duì)于每個(gè)或項(xiàng)中不帶非的變量，和卡諾圖對(duì)于每個(gè)或項(xiàng)中不帶非的變量，和卡諾圖中相應(yīng)變量取值為中相應(yīng)變量取值為0的行或列對(duì)應(yīng)，每個(gè)帶的行或列對(duì)應(yīng)，每個(gè)帶非的變量，和卡諾圖中相應(yīng)變量取值為非的變量，和卡諾圖

43、中相應(yīng)變量取值為1的的行或列對(duì)應(yīng)。在這些行、列相交的小格內(nèi)行或列對(duì)應(yīng)。在這些行、列相交的小格內(nèi)填填0； 對(duì)于每個(gè)與項(xiàng)都按以上方法填圖，如果小對(duì)于每個(gè)與項(xiàng)都按以上方法填圖，如果小格已經(jīng)有格已經(jīng)有0就不再重填。就不再重填。 所有沒(méi)有填所有沒(méi)有填0的格內(nèi)填入的格內(nèi)填入1。邏輯函數(shù)的卡諾圖表示邏輯函數(shù)的卡諾圖表示 例例: 填寫(xiě)函數(shù)填寫(xiě)函數(shù)F=z解：先畫(huà)出解：先畫(huà)出3 3變量的卡諾圖。變量的卡諾圖。 的卡諾圖的卡諾圖00000對(duì) 于對(duì) 于對(duì) 于對(duì) 于，應(yīng)在，應(yīng)在A=0,B=1的小方格內(nèi)填的小方格內(nèi)填0。對(duì) 于對(duì) 于，應(yīng)在，應(yīng)在B=1,C=0的小方格內(nèi)填的小方格內(nèi)填0。)CB)(BA)(CA（)CA（)B

44、A()CB(，應(yīng)在，應(yīng)在A=1,C=0的小方格內(nèi)填的小方格內(nèi)填0?？ㄖZ圖化簡(jiǎn)的步驟卡諾圖化簡(jiǎn)的步驟 卡諾圖化簡(jiǎn)邏輯函數(shù)為最簡(jiǎn)與或式的步驟：卡諾圖化簡(jiǎn)邏輯函數(shù)為最簡(jiǎn)與或式的步驟： 1）根據(jù)給定的函數(shù)表達(dá)式填畫(huà)卡諾圖；）根據(jù)給定的函數(shù)表達(dá)式填畫(huà)卡諾圖； 2）尋找只有一個(gè)合并方向的最小項(xiàng)，并圈出）尋找只有一個(gè)合并方向的最小項(xiàng)，并圈出盡可能大的合并項(xiàng)，寫(xiě)出相應(yīng)的盡可能大的合并項(xiàng)，寫(xiě)出相應(yīng)的“與與”項(xiàng)；項(xiàng)； 3）如果還有沒(méi)有圈入的）如果還有沒(méi)有圈入的“1”格，繼續(xù)進(jìn)行合格，繼續(xù)進(jìn)行合并，要求用盡可能少的合并項(xiàng)，來(lái)覆蓋這些最并，要求用盡可能少的合并項(xiàng)，來(lái)覆蓋這些最小項(xiàng)，寫(xiě)出相應(yīng)的小項(xiàng)，寫(xiě)出相應(yīng)的“與與”項(xiàng)

45、。項(xiàng)。 4）將合并時(shí)寫(xiě)出的）將合并時(shí)寫(xiě)出的“與與”項(xiàng)，組成與或式，項(xiàng)，組成與或式，就是化簡(jiǎn)的結(jié)果。就是化簡(jiǎn)的結(jié)果?？ㄖZ圖化簡(jiǎn)的舉例卡諾圖化簡(jiǎn)的舉例 化簡(jiǎn)函數(shù)化簡(jiǎn)函數(shù)F = m (0, 4, 5, 7, 9, 12, 13, 14)為最簡(jiǎn)與或?yàn)樽詈?jiǎn)與或式。式。 作卡諾圖；作卡諾圖； 從只有一個(gè)合并方向的從只有一個(gè)合并方向的小格小格m0、m7、m9、m14出發(fā)選取合并項(xiàng)；出發(fā)選取合并項(xiàng)； 所有的所有的1已經(jīng)被圈入，組已經(jīng)被圈入，組成與或式就是結(jié)果成與或式就是結(jié)果: 11111111DCABDADABDCA卡諾圖化簡(jiǎn)的舉例卡諾圖化簡(jiǎn)的舉例 如果從選取最大合并項(xiàng)如果從選取最大合并項(xiàng)出發(fā)，就會(huì)是如圖的結(jié)

46、出發(fā)，就會(huì)是如圖的結(jié)果；果； 還要再選取還要再選取4個(gè)合并項(xiàng)；個(gè)合并項(xiàng)； 結(jié)果就出現(xiàn)冗余；結(jié)果就出現(xiàn)冗余； 所以一定要從只有一個(gè)所以一定要從只有一個(gè)合并方向的小格開(kāi)始。合并方向的小格開(kāi)始?？ㄖZ圖化簡(jiǎn)的舉例卡諾圖化簡(jiǎn)的舉例 化簡(jiǎn)化簡(jiǎn) F= DCBCAABDDCBBA為最簡(jiǎn)與或式。為最簡(jiǎn)與或式。1ADDB1111111111BC 作卡諾圖；作卡諾圖； 從只有一個(gè)合并方向的從只有一個(gè)合并方向的小格小格m13、m7、m0出出發(fā)選取合并項(xiàng)；發(fā)選取合并項(xiàng)； 所有的所有的1已經(jīng)被圈入，組已經(jīng)被圈入，組成與或式就是結(jié)果成與或式就是結(jié)果: 卡諾圖化簡(jiǎn)的舉例卡諾圖化簡(jiǎn)的舉例 如果不是從只有一如果不是從只有一個(gè)合并

47、方向的格開(kāi)個(gè)合并方向的格開(kāi)始化簡(jiǎn)，也可能得始化簡(jiǎn)，也可能得到冗余的結(jié)果。到冗余的結(jié)果。 先圈出先圈出AC，最后就，最后就得到了得到了4項(xiàng)：有一項(xiàng)項(xiàng)：有一項(xiàng)是多余的。是多余的。ADDB11111111111BCAC卡諾圖化簡(jiǎn)的舉例卡諾圖化簡(jiǎn)的舉例 2單輸出最簡(jiǎn)或與式單輸出最簡(jiǎn)或與式 從卡諾圖上獲得最簡(jiǎn)或與式的過(guò)程和獲得從卡諾圖上獲得最簡(jiǎn)或與式的過(guò)程和獲得最簡(jiǎn)與或式基本相似，但是有兩點(diǎn)不同：最簡(jiǎn)與或式基本相似，但是有兩點(diǎn)不同： 1）選取合并項(xiàng)時(shí)要從卡諾圖上的）選取合并項(xiàng)時(shí)要從卡諾圖上的0格出發(fā)。格出發(fā)。合并項(xiàng)是這些圈入的合并項(xiàng)是這些圈入的0格中取值相同的變量格中取值相同的變量的邏輯或。但是要注意：

48、的邏輯或。但是要注意：變量值為變量值為0的寫(xiě)為原的寫(xiě)為原變量，變量值為變量，變量值為1的寫(xiě)為反變量的寫(xiě)為反變量。 2）由合并項(xiàng)相與構(gòu)成最簡(jiǎn)）由合并項(xiàng)相與構(gòu)成最簡(jiǎn)或與式或與式。 卡諾圖化簡(jiǎn)的舉例卡諾圖化簡(jiǎn)的舉例 例例2.26 試求函數(shù)試求函數(shù)F(A、B、C、D)=m (1, 5, 7, 8, 9, 10, 11, 14, 15)的最簡(jiǎn)表達(dá)式。的最簡(jiǎn)表達(dá)式。 解：當(dāng)題目中沒(méi)有明確指出是求哪一種最簡(jiǎn)式時(shí)，需要解：當(dāng)題目中沒(méi)有明確指出是求哪一種最簡(jiǎn)式時(shí)，需要求兩種簡(jiǎn)化結(jié)果，選取最簡(jiǎn)化的一個(gè)。求兩種簡(jiǎn)化結(jié)果，選取最簡(jiǎn)化的一個(gè)。1111111DCAACBDABA11最簡(jiǎn)與或式是：最簡(jiǎn)與或式是：BDADCA

49、BAACF卡諾圖化簡(jiǎn)的舉例卡諾圖化簡(jiǎn)的舉例 例例2.26 試求函數(shù)試求函數(shù)F(A、B、C、D)=m (1, 5, 7, 8, 9, 10, 11, 14, 15)的最簡(jiǎn)表達(dá)式。的最簡(jiǎn)表達(dá)式。 解：當(dāng)題目中沒(méi)有明確指出是求哪一種最簡(jiǎn)式解：當(dāng)題目中沒(méi)有明確指出是求哪一種最簡(jiǎn)式時(shí)，需要求兩種簡(jiǎn)化結(jié)果，選取最簡(jiǎn)化的一個(gè)。時(shí)，需要求兩種簡(jiǎn)化結(jié)果，選取最簡(jiǎn)化的一個(gè)。000000DACBACBA0最簡(jiǎn)或與式是：最簡(jiǎn)或與式是：)CBA)(CBA)(DA(F這也是本例題的最簡(jiǎn)表達(dá)這也是本例題的最簡(jiǎn)表達(dá)式。式。卡諾圖化簡(jiǎn)的舉例卡諾圖化簡(jiǎn)的舉例 3帶有任意項(xiàng)的邏輯函數(shù)化簡(jiǎn)帶有任意項(xiàng)的邏輯函數(shù)化簡(jiǎn) 用卡諾圖化簡(jiǎn)帶有任

50、意項(xiàng)的邏輯函數(shù)時(shí)，用卡諾圖化簡(jiǎn)帶有任意項(xiàng)的邏輯函數(shù)時(shí)，可以根據(jù)化簡(jiǎn)的需要，可以根據(jù)化簡(jiǎn)的需要，將某些任意項(xiàng)的輸將某些任意項(xiàng)的輸出指定為出指定為1，或者指定為，或者指定為0。目的是使。目的是使得合并項(xiàng)可以更加簡(jiǎn)單，從而得到更加簡(jiǎn)得合并項(xiàng)可以更加簡(jiǎn)單，從而得到更加簡(jiǎn)單的化簡(jiǎn)結(jié)果。單的化簡(jiǎn)結(jié)果?？ㄖZ圖化簡(jiǎn)的舉例卡諾圖化簡(jiǎn)的舉例 例例2.27 用卡諾圖化簡(jiǎn)函數(shù)用卡諾圖化簡(jiǎn)函數(shù)F = m(2, 5, 7, 8, 10, 12, 13, 14, 15) + (1, 3, 11)為最簡(jiǎn)與或式為最簡(jiǎn)與或式 。 解：題目中有三個(gè)任意項(xiàng)，可以根據(jù)需要指定其輸出是解：題目中有三個(gè)任意項(xiàng)，可以根據(jù)需要指定其輸出是0或者是或者是1。111111BDCBDA11最簡(jiǎn)