各類(lèi)方程組的解法

1、次方程一、一元步驟：系數(shù)化整、去分母、去括號(hào)、移項(xiàng)、合并同類(lèi)項(xiàng)、系數(shù)化1。1、系數(shù)化整：分子分母帶有小數(shù)或分?jǐn)?shù)的系數(shù)化成整數(shù)，方法是分子分母同時(shí)乘一個(gè)數(shù) 使得系數(shù)變成整數(shù)；2、去分母：將包含的分母去掉，方法是等式兩邊同時(shí)乘所有分母的最小公倍數(shù)；3、去括號(hào)：根據(jù)去括號(hào)法那么將括號(hào)去掉；4、移項(xiàng)：過(guò)等號(hào)要變號(hào)，將含未知數(shù)的放等號(hào)左邊，常數(shù)放等號(hào)右邊；5、合并同類(lèi)項(xiàng)：根據(jù)合并同類(lèi)項(xiàng)法那么將同類(lèi)項(xiàng)合并：6、系數(shù)化 1：將未知數(shù)的系數(shù)化成 1，方法是等式兩邊同時(shí)除以未知數(shù)的系數(shù)。注：不一定嚴(yán)格按照步驟，例如移項(xiàng)的同時(shí)可以合并同類(lèi)項(xiàng)， aA=ba、b 是數(shù)，A是含未知數(shù)的一次二項(xiàng)式型方程可以先將括號(hào)前的系

2、數(shù)化成1第5步系數(shù)為1時(shí)省略 1且第 6 步不需要寫(xiě)。二、二元一次方程組一個(gè)二元一次方程有無(wú)數(shù)個(gè)解，它表示平面內(nèi)一條直線，直線上每個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)都是方程 的解。由兩個(gè)二元一次方程聯(lián)立成的二元一次方程組代表空間內(nèi)兩條直線，其公共點(diǎn)坐標(biāo)就是 方程組的解。當(dāng)然，假設(shè)兩直線平行那么方程組無(wú)解，假設(shè)兩直線重合那么方程組有無(wú)數(shù)個(gè)解當(dāng)方程組形式復(fù)雜時(shí)先根據(jù)一元一次方程的解法化簡(jiǎn)成一般形式，然后求解。1、代入消元法：將任意一個(gè)方程變形成“ y=t x的式子或者“ x=t y的式子的形式，代入另一個(gè) 方程，變成一個(gè)一元一次方程；解一元一次方程；將解代入任意一個(gè)原方程解出另一個(gè)未知數(shù)的值，并寫(xiě)出解。2、加減消元法：方

3、程兩邊同時(shí)乘一個(gè)適宜的數(shù)使得有同一個(gè)未知數(shù)的系數(shù)的絕對(duì)值相等假設(shè)已有系數(shù)的絕對(duì)值相等那么這一步跳過(guò)；兩個(gè)方程左右加或減變成一元一次方程系數(shù)相等用減，系數(shù)互為相反數(shù)用加；解一元一次方程；將解代入任意一個(gè)方程解出另一個(gè)未知數(shù)的值，并寫(xiě)出解。3、圖像解法：根據(jù)圖像與方程的關(guān)系，在同一個(gè)平面直角坐標(biāo)系中畫(huà)出兩個(gè)方程代表的直線，找出公 共點(diǎn)的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)不推薦此方法，因?yàn)楫?dāng)解為分?jǐn)?shù)時(shí)看不出，這只能表示一種關(guān) 系。*當(dāng) x、y 系數(shù)不成比例時(shí)有唯一解，當(dāng) x、y 系數(shù)成比例且比值不等于常數(shù)的比值時(shí)無(wú)解， 當(dāng) x、y 的系數(shù)與常數(shù)都成比例時(shí)有無(wú)數(shù)個(gè)解。三、三元一次方程組與多元一次方程組一個(gè)三元一次方程有無(wú)

4、數(shù)個(gè)解，它表示一個(gè)平面。兩個(gè)三元一次方程聯(lián)立的三元一次方程組仍有無(wú)數(shù)個(gè)解，它表示兩個(gè)平面的公共直線交線。三個(gè)三元一次方程聯(lián)立的三元一次方程組表示三個(gè)平面的公共點(diǎn)坐標(biāo)，一般情況下有唯 一解，也有無(wú)解、無(wú)數(shù)個(gè)解的情況，具體根據(jù)平面的位置關(guān)系與交線的位置關(guān)系。解法：消元，變成二元一次方程組，解之，將兩個(gè)未知數(shù)的值帶入任意一個(gè)三元一次方 程，寫(xiě)出解。注意每個(gè)三元一次方程都要用到。特殊情況：三個(gè)都是二元一次方程，共有三個(gè)未知數(shù)，可將任意兩個(gè)方程的公共未知數(shù)消掉，與 第三個(gè)聯(lián)立；兩個(gè)三元，一個(gè)二元，可將兩個(gè)三元一次方程中在二元一次方程里沒(méi)出現(xiàn)的未知數(shù)消 掉，并聯(lián)立；一個(gè)三元，兩個(gè)二元，如果兩個(gè)二元里面只有

5、一個(gè)公共未知數(shù)，那么可將三元與任意一 個(gè)二元里面在另一個(gè)二元中沒(méi)出現(xiàn)的未知數(shù)消掉；如果兩個(gè)二元里面有兩個(gè)公共未知數(shù), 那么用三元的與兩個(gè)二元的都放一起消元。有兩個(gè)三元的可以消元成一元一次方程，那么先消成一元一次方程，解之，并將解代入 第三個(gè)方程與其他任意一個(gè)方程聯(lián)立成二元一次方程組。多元一次也同樣方法消元。m個(gè)n元一次方程聯(lián)立成的方程組，當(dāng) m n時(shí)一般無(wú)解，除非多的方程都符合解。四、絕對(duì)值方程說(shuō)明，這里的大寫(xiě)字母都是含未知數(shù)的式子，小寫(xiě)字母都是數(shù)。1、|A|=aa0時(shí)，A=a或A=-a，解兩個(gè)方程；當(dāng)a=0時(shí)，A=0,解一個(gè)方程;時(shí)無(wú)解。2、|A|=|B|去絕對(duì)值，A=B或A=-B。3、|A

6、|+或-|B|=a用零點(diǎn)分段法將等號(hào)左邊的絕對(duì)值去掉需要分類(lèi)討論。4、|A|B|=a 或|A|/|B|=a根據(jù) |A|B|=|AB|, |A|/|B|=|A/B|來(lái)轉(zhuǎn)化成第 1 類(lèi)。五、分式方程1、去分母，即等式兩邊同時(shí)乘所有分母的最小公倍式，是式子，化成整式方程； 2、解整式方程；0那么3、驗(yàn)根每個(gè)分式方程都不可少，將所求得的根分別代入同時(shí)乘的式子，假設(shè)不為 根保存，假設(shè)為 0 那么某個(gè)根為增根，所有實(shí)數(shù)根里不存在這個(gè)根。六、一元二次方程方程復(fù)雜時(shí)需要通過(guò)解一元一次方程的方法來(lái)化簡(jiǎn)，化成一般式，等號(hào)右邊是0，等號(hào)左邊是二次多項(xiàng)式，需要降冪排列。1、直接開(kāi)平方法該方法只適用于可化成xA2=a

7、即沒(méi)有一次項(xiàng)或x+hA2=a形式的。 通過(guò)因式分解化簡(jiǎn)成上述形式；直接開(kāi)平方，當(dāng)a0時(shí)化成兩個(gè)一元一次方程，當(dāng)a=0時(shí)化成一個(gè)一元一次方程注意是等根不是一個(gè)根，當(dāng)a0時(shí)無(wú)實(shí)數(shù)根；分別解一元一次方程，寫(xiě)出二次方程的解。2、配方法該方法適用于所有方程。將常數(shù)項(xiàng)移到等號(hào)右邊；將二次項(xiàng)系數(shù)化成 1；等號(hào)兩邊同時(shí)加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方； 左邊因式分解，變成平方的形式;直接開(kāi)平方并寫(xiě)出解。3、公式法 該方法適用于所有方程。分別寫(xiě)出二次項(xiàng)系數(shù)a、一次項(xiàng)系數(shù)b、常數(shù)項(xiàng)c的值；計(jì)算 =bA2-4ac的值；x=(-假設(shè) 0那么寫(xiě)出“無(wú)實(shí)數(shù)根，否那么代入求根公式求出根。求根公式：bA )/(2a)說(shuō)明，如果要求在

8、復(fù)數(shù)集里解方程，那么當(dāng)0時(shí)方程有一組共軛虛數(shù)根4、因式分解法該方法只適用于等號(hào)左邊可以因式分解的方程。將等號(hào)左邊因式分解；令每個(gè)因式分別等于 0，解每個(gè)一元一次方程，寫(xiě)出根。(考慮的優(yōu)先級(jí)為 1、 4、 3、 2)七、一元三次方程或一元屢次方程 先將方程化成一般式，即等號(hào)右邊是 0，左邊是個(gè)多項(xiàng)式并降冪排列。0，求出根如果等號(hào)左邊能因式分解那么先因式分解，然后令每個(gè)因式分別等于 需要注意的是，在實(shí)數(shù)集內(nèi)求解和在虛數(shù)集內(nèi)求解有時(shí)是不一樣的，在虛數(shù)集內(nèi)一元 n 次方程有n個(gè)根，還有x-hFn=0是有n個(gè)相等實(shí)數(shù)根而不是一個(gè)實(shí)數(shù)根。等號(hào)左邊是四次、二次、常數(shù)時(shí)可將未知數(shù)的平方當(dāng)作整體，相當(dāng)于解二次方

9、程，六次、 三次、常數(shù)等情況亦如此。如果等號(hào)左邊不能因式分解那么按照一般方程處理。八、無(wú)理方程1、只含一個(gè)根號(hào)一般根指數(shù)可以為任意正整數(shù)。先將含根號(hào)的移到等式左邊，不含根號(hào)的移到等式右邊， 然后兩邊同時(shí)n次方n為根指數(shù)，當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)需要代入原方程驗(yàn)根，舍去不符合 的根。2、含兩個(gè)根號(hào)一般兩個(gè)都是二次根號(hào)。先將含根號(hào)的移到等式左邊，不含根號(hào)的移到等式右邊，然后 兩邊平方，此時(shí)只有一個(gè)根號(hào)。接著繼續(xù)將含根號(hào)的移到等式左邊，不含根號(hào)的移到等 式右邊，兩邊平方求解，最后需要驗(yàn)根。九、二元二次方程組一個(gè)二元二次方程表示二次曲線，即圓錐曲線以及退化情況，包括：圓、橢圓、雙曲線、 拋物線、點(diǎn)、兩條相交直線、

10、兩條平行直線、兩條重合直線、不存在圖形。不含 xy 項(xiàng)的二次方程通過(guò)配方與坐標(biāo)軸平移確定圖像，含 xy 項(xiàng)的還要考慮坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn) 二元二次方程組包括一二型與二二型，一二型即直線與二次曲線的公共點(diǎn)一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)如果相交那么為一個(gè)解，如果相切那么為兩個(gè)相等解，二二型那么為兩個(gè)二次曲線的公共 點(diǎn)。一二型的解法：一次方程變形成“ 乂=含y的式子或“ 丫=含x的式子，代入二次方程,消元成一個(gè)一元二次方程或者一元一次方程，求出一個(gè)未知數(shù)的值，然后將這個(gè)未知數(shù) 的所有值分別代入一次方程求得另一個(gè)未知數(shù)的所有值,最后寫(xiě)出解。二二型通過(guò)消元通常會(huì)變成四次方程,以下特殊情況仍可變成二次：所有二次項(xiàng)系數(shù)成比例，可通過(guò)加

11、減消元成二元一次方程，再利用一二型的解法繼續(xù)解；有一個(gè)方程的等號(hào)左邊可化成兩個(gè)一次多項(xiàng)式的積，這種通常只有二次項(xiàng)，有時(shí)也會(huì) 二次項(xiàng)、一次項(xiàng)、常數(shù)項(xiàng)都有?？梢韵纫蚴椒纸猓瑢蓚€(gè)一次方程分別與另一個(gè)二次方 程聯(lián)立，求出解；一個(gè)方程只有xA2,yA2與常數(shù)項(xiàng)，另一個(gè)只有xy和常數(shù)項(xiàng)，可以在xy項(xiàng)的方程兩邊 同時(shí)乘適宜的數(shù)，與另一個(gè)方程湊成完全平方；兩個(gè)方程都沒(méi)有一次項(xiàng)，可借用加減消元方法將常數(shù)項(xiàng)變成0,然后按照求解；兩個(gè)方程包含某個(gè)未知數(shù)的項(xiàng)都成比例，可通過(guò)加減消元成一元二次方程，求出根， 并分別代入任意一個(gè)方程求出另一個(gè)未知數(shù)的值；常數(shù)以外的只有x,yA2或y,xA2項(xiàng)，可整體代入。多元屢次方程這

12、里不詳細(xì)講述。十、指數(shù)方程 指數(shù)方程指的是指數(shù)含未知數(shù)且底數(shù)能化成相等的常數(shù)的方程。1、將底數(shù)化成相等的常數(shù)；2、令指數(shù)相等，解方程。十一、對(duì)數(shù)方程對(duì)數(shù)方程指的是真數(shù)含未知數(shù)且底數(shù)能化成相等的常數(shù)的方程。1、將底數(shù)化成相等的常數(shù)；2、真數(shù)大于 0，求出范圍；3、令真數(shù)相等，解方程；4、代入第 2 步的范圍驗(yàn)根。十二、冪函數(shù)方程冪函數(shù)方程指的是底數(shù)含未知數(shù)且指數(shù)能化成相等的常數(shù)的方程。 1、將指數(shù)化成相等的常數(shù)；2、求出未知數(shù)有意義的范圍；3、根據(jù)奇偶性將指數(shù)去除； 4、代入第 2 步的范圍驗(yàn)根十三、三角函數(shù)方程 三角函數(shù)方程指的是等號(hào)右邊是常數(shù)，左邊三角符號(hào)后面的局部有未知數(shù)的方程。1、根據(jù)定義域求出未知數(shù)有意義的范圍；2、去三角符號(hào)，后面的局部保存，值先寫(xiě)出絕對(duì)值很小的一個(gè)或兩個(gè)符合的值，然后加 上周期；3、解剩余方程。十四、排列方程通常上標(biāo)是整數(shù)，下標(biāo)有未知數(shù)。將排列寫(xiě)成乘積形式，解整式方程，然后驗(yàn)根，根需要滿(mǎn)足上下標(biāo)均為非負(fù)整數(shù)且上標(biāo) 小于等于下標(biāo)，不符合的根舍去。十五、組合方程1、下標(biāo)相等，上標(biāo)有未