數(shù)字信號(hào)處理習(xí)題集(1-3章)

1、第一章 數(shù)字信號(hào)處理概述簡答題：1 在A/D變換之前和D/A變換之后都要讓信號(hào)通過一個(gè)低通濾波器，它們分別起什么作用？答：在A/D變化之前讓信號(hào)通過一個(gè)低通濾波器，是為了限制信號(hào)的最高頻率，使其滿足當(dāng)采樣頻率一定時(shí)，采樣頻率應(yīng)大于等于信號(hào)最高頻率2倍的條件。此濾波器亦稱位“抗折疊”濾波器。在D/A變換之后都要讓信號(hào)通過一個(gè)低通濾波器，是為了濾除高頻延拓譜，以便把抽樣保持的階梯形輸出波平滑化，故友稱之為“平滑”濾波器。判斷說明題：2模擬信號(hào)也可以與數(shù)字信號(hào)一樣在計(jì)算機(jī)上進(jìn)行數(shù)字信號(hào)處理，自己要增加一道采樣的工序就可以了。 （ ）答：錯(cuò)。需要增加采樣和量化兩道工序。3一個(gè)模擬信號(hào)處理系統(tǒng)總可以轉(zhuǎn)換

2、成功能相同的數(shù)字系統(tǒng)，然后基于數(shù)字信號(hào)處理理論，對(duì)信號(hào)進(jìn)行等效的數(shù)字處理。（ ）答：受采樣頻率、有限字長效應(yīng)的約束，與模擬信號(hào)處理系統(tǒng)完全等效的數(shù)字系統(tǒng)未必一定能找到。因此數(shù)字信號(hào)處理系統(tǒng)的分析方法是先對(duì)抽樣信號(hào)及系統(tǒng)進(jìn)行分析，再考慮幅度量化及實(shí)現(xiàn)過程中有限字長所造成的影響。故離散時(shí)間信號(hào)和系統(tǒng)理論是數(shù)字信號(hào)處理的理論基礎(chǔ)。第二章 離散時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)分析基礎(chǔ)一、連續(xù)時(shí)間信號(hào)取樣與取樣定理計(jì)算題：1過濾限帶的模擬數(shù)據(jù)時(shí)，常采用數(shù)字濾波器，如圖所示，圖中T表示采樣周期（假設(shè)T足夠小，足以防止混迭效應(yīng)），把從的整個(gè)系統(tǒng)等效為一個(gè)模擬濾波器。（a）如果，求整個(gè)系統(tǒng)的截止頻率。（b）對(duì)于，重復(fù)（a）的計(jì)

3、算。解 （a）因?yàn)楫?dāng)，在數(shù) 模變換中 所以得截止頻率對(duì)應(yīng)于模擬信號(hào)的角頻率為因此 由于最后一級(jí)的低通濾波器的截止頻率為，因此對(duì)沒有影響，故整個(gè)系統(tǒng)的截止頻率由決定，是625Hz。 （b）采用同樣的方法求得，整個(gè)系統(tǒng)的截止頻率為 二、離散時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)頻域分析計(jì)算題：2設(shè)序列的傅氏變換為，試求下列序列的傅里葉變換。（1） （2）（共軛）解：（1）由序列傅氏變換公式 DTFT可以得到DTFT （2）（共軛）解：DTFT3計(jì)算下列各信號(hào)的傅里葉變換。 （a） （b）（c） （d）解：（a） （b） （c）（d）利用頻率微分特性，可得4序列的傅里葉變換為，求下列各序列的傅里葉變換。 （1） （2） (

4、3) 解： （1） （2） （3）5序列的傅里葉變換為，求下列各序列的傅里葉變換。 （1） （2） (3) 解：（1） （2） （3）6令和表示一個(gè)序列及其傅立葉變換，利用表示下面各序列的傅立葉變換。（1）（2） 解：（1） （2）7求下列序列的時(shí)域離散傅里葉變換 ， ， 解： 三、離散時(shí)間系統(tǒng)系統(tǒng)函數(shù) 填空題：1設(shè)是線性相位FIR系統(tǒng)，已知中的3個(gè)零點(diǎn)分別為1，0.8，1+j，該系統(tǒng)階數(shù)至少為（ ）。解：由線性相位系統(tǒng)零點(diǎn)的特性可知，的零點(diǎn)可單獨(dú)出現(xiàn)，的零點(diǎn)需成對(duì)出現(xiàn)，的零點(diǎn)需4個(gè)1組，所以系統(tǒng)至少為7階。簡答題：1何謂最小相位系統(tǒng)？最小相位系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)有何特點(diǎn)？解：一個(gè)穩(wěn)定的因果線性移不

5、變系統(tǒng)，其系統(tǒng)函數(shù)可表示成有理方程式 ，他的所有極點(diǎn)都應(yīng)在單位圓內(nèi)，即。但零點(diǎn)可以位于Z平面的任何地方。有些應(yīng)用中，需要約束一個(gè)系統(tǒng)，使它的逆系統(tǒng)也是穩(wěn)定因果的。這就需要的零點(diǎn)也位于單位圓內(nèi)，即。一個(gè)穩(wěn)定因果的濾波器，如果它的逆系統(tǒng)也是穩(wěn)定因果的，則稱這個(gè)系統(tǒng)是最小相位。等價(jià)的，我們有如下定義。【定義】一個(gè)有理系統(tǒng)函數(shù)，如果它的零點(diǎn)和極點(diǎn)都位于單位圓內(nèi)，則有最小相位。 一個(gè)最小相位系統(tǒng)可由它的傅里葉變換的幅值唯一確定。從求的過程如下：給定，先求，它是的函數(shù)。然后，用替代，我們得到。最后，最小相位系統(tǒng)由單位圓內(nèi)的的極、零點(diǎn)形成。一個(gè)穩(wěn)定因果系統(tǒng)總可以分解成一個(gè)最小相位系統(tǒng)和一個(gè)全通系統(tǒng)的乘積，即

6、完成這個(gè)因式分解的過程如下：首先，把的所有單位圓外的零點(diǎn)映射到它在單位圓內(nèi)的共軛倒數(shù)點(diǎn)，這樣形成的系統(tǒng)函數(shù)是最小相位的。然后，選擇全通濾波器，把與之對(duì)應(yīng)的中的零點(diǎn)映射回單位圓外。2何謂全通系統(tǒng)？全通系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)有何特點(diǎn)？解：一個(gè)穩(wěn)定的因果全通系統(tǒng)，其系統(tǒng)函數(shù)對(duì)應(yīng)的傅里葉變換幅值，該單位幅值的約束條件要求一個(gè)有理系統(tǒng)函數(shù)方程式的零極點(diǎn)必須呈共軛倒數(shù)對(duì)出現(xiàn)，即。因而，如果在處有一個(gè)極點(diǎn)，則在其共軛倒數(shù)點(diǎn)處必須有一個(gè)零點(diǎn)。3有一線性時(shí)不變系統(tǒng)，如下圖所示，試寫出該系統(tǒng)的頻率響應(yīng)、系統(tǒng)（轉(zhuǎn)移）函數(shù)、差分方程和卷積關(guān)系表達(dá)式。解：頻率響應(yīng)： 系統(tǒng)函數(shù)： 差分方程： 卷積關(guān)系：第三章 離散傅立葉變換一、

7、離散傅立葉級(jí)數(shù)計(jì)算題：1如果是一個(gè)周期為N的周期序列，那么它也是周期為2N的周期序列。把看作周期為N的周期序列有（周期為N）；把看作周期為2N的周期序列有（周期為2N）；試用表示。解： 對(duì)后一項(xiàng)令，則 所以 二、離散傅立葉變換定義填空題1某DFT的表達(dá)式是，則變換后數(shù)字頻域上相鄰兩個(gè)頻率樣點(diǎn)之間的間隔是（ ）。解：2某序列DFT的表達(dá)式是，由此可看出，該序列的時(shí)域長度是（ ），變換后數(shù)字頻域上相鄰兩個(gè)頻率樣點(diǎn)之間隔是（ ）。解：N 3如果希望某信號(hào)序列的離散譜是實(shí)偶的，那么該時(shí)域序列應(yīng)滿足條件（ ）。 解：純實(shí)數(shù)、偶對(duì)稱4采樣頻率為的數(shù)字系統(tǒng)中，系統(tǒng)函數(shù)表達(dá)式中代表的物理意義是（ ），其中時(shí)域

8、數(shù)字序列的序號(hào)代表的樣值實(shí)際位置是（ ）；的N點(diǎn)DFT中，序號(hào)代表的樣值實(shí)際位置又是（ ）。解：延時(shí)一個(gè)采樣周期，5用8kHz的抽樣率對(duì)模擬語音信號(hào)抽樣，為進(jìn)行頻譜分析，計(jì)算了512點(diǎn)的DFT。則頻域抽樣點(diǎn)之間的頻率間隔為_,數(shù)字角頻率間隔為 _和模擬角頻率間隔 _。解：15.625，0.0123rad，98.4rad/s判斷說明題：6一個(gè)信號(hào)序列，如果能做序列傅氏變換對(duì)它進(jìn)行分析，也就能做DFT對(duì)它進(jìn)行分析。 （ ）解：錯(cuò)。如果序列是有限長的，就能做DFT對(duì)它進(jìn)行分析。否則，頻域采樣將造成時(shí)域信號(hào)的混疊，產(chǎn)生失真。計(jì)算題7令表示N點(diǎn)的序列的N點(diǎn)離散傅里葉變換，本身也是一個(gè)N點(diǎn)的序列。如果計(jì)算

9、的離散傅里葉變換得到一序列，試用求。解：因?yàn)?所以8序列，其4點(diǎn)DFT如下圖所示?，F(xiàn)將按下列（1），（2），（3）的方法擴(kuò)展成8點(diǎn)，求它們8點(diǎn)的DFT？（盡量利用DFT的特性）（1） （2） （3） 解：（1）（2）（3）9設(shè)是一個(gè)2N點(diǎn)的序列，具有如下性質(zhì)： 另設(shè)，它的N點(diǎn)DFT為，求的2N點(diǎn)DFT和的關(guān)系。解： 推導(dǎo)過程略10試求以下有限長序列的N點(diǎn)DFT（閉合形式表達(dá)式）（1） （2）解：（1）因?yàn)?，所以?）由，得所以11計(jì)算下列序列的N點(diǎn)DFT： （1） （2），解：（1）， （2） , k=m或k=-m= 0, 其它12已知一個(gè)有限長序列 （1） 求它的10點(diǎn)離散傅里葉變換（2）

10、已知序列的10點(diǎn)離散傅立葉變換為，求序列（3） 已知序列的10點(diǎn)離散傅立葉變換為，求序列解；（1）=1+2=1+2=1+2，（2）由可以知道，是向右循環(huán)移位2的結(jié)果，即（3）由可以知道，一種方法是先計(jì)算 =然后由下式得到10點(diǎn)循環(huán)卷積 另一種方法是先計(jì)算的10點(diǎn)離散傅立葉變換再計(jì)算乘積 由上式得到 13（1）已知序列：，求的N點(diǎn)DFT。（2）已知序列：，則的9點(diǎn)DFT是 正確否？用演算來證明你的結(jié)論。解：（1） = 0， 其它（2） 可見，題給答案是正確的。14一個(gè)8點(diǎn)序列的8點(diǎn)離散傅里葉變換如圖5.29所示。在的每兩個(gè)取樣值之間插入一個(gè)零值，得到一個(gè)16點(diǎn)序列，即 ，為偶數(shù)0 ，為奇數(shù)（1）

11、求的16點(diǎn)離散傅里葉變換，并畫出的圖形。（2）設(shè)的長度N為偶數(shù)，且有，求。解：（1）因n為奇數(shù)時(shí)，故 ， 另一方面 因此 所以 按照上式可畫出的圖形，如圖5.34所示。15計(jì)算下列有限長序列的DFT，假設(shè)長度為N。 （1） （2）解：（1） (2) 16長度為8的有限長序列的8點(diǎn)DFT為，長度為16的一個(gè)新序列定義為 0 試用來表示。解： 而 因此，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，令，得到：即 于是有 17試計(jì)算的離散傅里葉變換的值?！窘狻?所以 證明題：18設(shè)表示長度為N的有限長序列的DFT。（1） 證明如果滿足關(guān)系式則（2） 證明當(dāng)N為偶數(shù)時(shí)，如果 則解 （1）令顯然可得 （2） （將n分為奇數(shù)和偶數(shù)兩部分

12、表示） 顯然可得 簡答題：19在離散傅里葉變換中引起混迭效應(yīng)的原因是什么？怎樣才能減小這種效應(yīng)？解：因?yàn)闉椴蓸訒r(shí)沒有滿足采樣定理減小這種效應(yīng)的方法：采樣時(shí)滿足采樣定理，采樣前進(jìn)行濾波，濾去高于折疊頻率的頻率成分。20試說明離散傅里葉變換與Z變換之間的關(guān)系。解：離散傅立葉變換是Z變換在單位圓上的等間隔采樣。三、離散傅立葉變換性質(zhì)填空題：1已知序列，序列長度，寫出序列的值（ ）。解：2已知，則和的5點(diǎn)循環(huán)卷積為（ ）。解： 3已知?jiǎng)t的4點(diǎn)循環(huán)卷積為（ ）。解：證明題：4試證N點(diǎn)序列的離散傅立葉變換滿足Parseval恒等式 證： 5長為N的有限長序列，分別為的圓周共軛偶部及奇部，也即證明：證 6令

13、表示N點(diǎn)序列的N點(diǎn)DFT，試證明：（a） 如果滿足關(guān)系式，則。（b） 當(dāng)N為偶數(shù)時(shí)，如果，則。證： （a）N為偶數(shù)： N為奇數(shù)：而中間的一項(xiàng)應(yīng)當(dāng)滿足： 因此必然有 這就是說，當(dāng)N為奇數(shù)時(shí)，也有。（b）當(dāng)N為偶數(shù)： 當(dāng)N為偶數(shù)時(shí)，為奇數(shù)，故；又由于故有計(jì)算題：7已知，用圓周卷積法求和的線性卷積。解： ， 因?yàn)榈拈L度為,的長度為所以的長度為,故應(yīng)求周期的圓周卷積的值，即所以8序列，序列。（1）求線性卷積（2）若用基2 FFT的循環(huán)卷積法（快速卷積）來得到兩個(gè)序列的線性卷積運(yùn)算結(jié)果，F(xiàn)FT至少應(yīng)取多少點(diǎn)？ 解：（1）所以，（2）若用基2FFT的循環(huán)卷積法（快速卷積）來完成兩序列的線性卷積運(yùn)算，因?yàn)榈?/p>

14、長度為；所以得長度為。故FFT至少應(yīng)取點(diǎn)。9有限長為N=100的兩序列 做出示意圖，并求圓周卷積及做圖。解 示意圖略，圓周卷積10已知是N點(diǎn)有限長序列，。現(xiàn)將長度變成點(diǎn)的有限長序列 試求點(diǎn)DFT與的關(guān)系。解：由可得 所以在一個(gè)周期內(nèi)，的抽樣點(diǎn)數(shù)是倍，相當(dāng)于在的每兩個(gè)值之間插入個(gè)其他的數(shù)值（不一定為零），而當(dāng)?shù)恼麛?shù)倍時(shí)，相等。11已知是N點(diǎn)有限長序列，。現(xiàn)將的每兩點(diǎn)之間補(bǔ)進(jìn)個(gè)零值點(diǎn)，得到一個(gè)點(diǎn)的有限長序列 試求點(diǎn)DFT與的關(guān)系。解：由可得而 所以是將（周期為N）延拓次形成的，即周期為。12已知序列和它的6點(diǎn)離散傅立葉變換。（1）若有限長序列的6點(diǎn)離散傅立葉變換為，求。（2）若有限長序列的6點(diǎn)離散

15、傅立葉變換為的實(shí)部，即，求。（3）若有限長序列的3點(diǎn)離散傅立葉變換 ，求。解：（1）由知，是向右循環(huán)移位4的結(jié)果，即 （2） 由上式得到 （3） 由于 所以 即 或 13令表示N點(diǎn)的序列的N點(diǎn)離散傅里葉變換，本身也是一個(gè)N點(diǎn)的序列。如果計(jì)算的離散傅里葉變換得到一序列，試用求。解 因?yàn)?所以14為了說明循環(huán)卷積計(jì)算（用DFT算法），分別計(jì)算兩矩形序列的卷積，如果，求 （1）兩個(gè)長度為6點(diǎn)的6點(diǎn)循環(huán)卷積。 （2）兩個(gè)長度為6點(diǎn)的12點(diǎn)循環(huán)卷積?！窘狻窟@是循環(huán)卷積的另一個(gè)例子。令 圖3-6中，N定義為DFT長度。若，則N點(diǎn)DFT為 如果我們將和直接相乘，得 由此可得 這個(gè)結(jié)果繪在圖3-6中。顯然，由

16、于序列是對(duì)于旋轉(zhuǎn)，則乘積的和始終等于N。當(dāng)然也可以把和看作是2L點(diǎn)循環(huán)卷積，只要給他們?cè)鲅a(bǔ)L個(gè)零即可。若我們計(jì)算增長序列的2L點(diǎn)循環(huán)卷積，就得到圖3-7所示序列?？梢钥闯鏊扔谟邢揲L序列和的線性卷積。注意如圖3-7所，時(shí) 所以圖3-7（e）中矩形序列的DFT為（） 循環(huán)卷積的性質(zhì)可以表示為 考慮到DFT關(guān)系的對(duì)偶性，自然兩個(gè)N點(diǎn)序列乘積的DFT等于他們對(duì)英的離散傅里葉變換的循環(huán)卷積。具體地說，若，則 或 16設(shè)是一個(gè)2N點(diǎn)序列，具有如下性質(zhì) 另設(shè)，它的N點(diǎn)DFT為。求得2N點(diǎn)DFT和的關(guān)系?！敬鸢浮?7已知某信號(hào)序列，試計(jì)算（1）和的循環(huán)卷積和；（2）和的線性卷積和；（3）寫出利用循環(huán)卷積計(jì)算

17、線性卷積的步驟?！敬鸢浮浚?） （2） （3）略18如圖表示一個(gè)5點(diǎn)序列。（1）試畫出（2）試畫出解：簡答題：19試述用DFT計(jì)算離散線性卷積的方法。解：計(jì)算長度為M,N兩序列的線性卷積，可將兩序列補(bǔ)零至長度為M+N-1,而后求補(bǔ)零后兩序列的DFT，并求其乘積，最后求乘積后序列的IDFT，可得原兩序列的線性卷積。20已知是兩個(gè)N點(diǎn)實(shí)序列的DFT值，今需要從求的值，為了提高運(yùn)算效率，試用一個(gè)N點(diǎn)IFFT運(yùn)算一次完成。解：依據(jù)題意 取序列 對(duì)作N點(diǎn)IFFT可得序列。又根據(jù)DFT性質(zhì) 由原題可知，都是實(shí)序列。再根據(jù)，可得 四、頻域取樣填空題：1從滿足采樣定理的樣值信號(hào)中可以不失真地恢復(fù)出原模擬信號(hào)。

18、采用的方法，從時(shí)域角度看是（ ）；從頻域角度看是（ ）。解：采樣值對(duì)相應(yīng)的內(nèi)插函數(shù)的加權(quán)求和加低通，頻域截?cái)?由頻域采樣恢復(fù)時(shí)可利用內(nèi)插公式，它是用（ ）值對(duì)（ ）函數(shù)加權(quán)后求和。解： 內(nèi)插3頻域N點(diǎn)采樣造成時(shí)域的周期延拓，其周期是（ ）。解：（頻域采樣點(diǎn)數(shù)時(shí)域采樣周期）簡答題：4 已知有限長序列的變換為，若對(duì)在單位圓上等間隔抽樣點(diǎn)，且，試分析此個(gè)樣點(diǎn)序列對(duì)應(yīng)的IDFT與序列的關(guān)系。解：如果 即是在單位圓上點(diǎn)等間隔抽樣，根據(jù)頻域抽樣定理，則存在 上式表明，將序列以為周期進(jìn)行周期延拓，取其主值區(qū)間上的值，即得序列。由于，故在對(duì)以為周期進(jìn)行周期延拓時(shí)，必然存在重疊。5FFT算法的基本思想是什么？解

19、：答案略。6簡述時(shí)域取樣定理和頻域取樣定理的基本內(nèi)容。解：答案略。計(jì)算題：7設(shè)是長度為M的有限長序列，其Z變換為今欲求在單位圓上N個(gè)等距離點(diǎn)上的采樣值，其中解答下列問題（用一個(gè)N點(diǎn)的FFT來算出全部的值）（1）當(dāng)時(shí)，寫出用一個(gè)N點(diǎn)FFT分別算出的過程； (2) 若求的IDFT，說明哪一個(gè)結(jié)果和等效，為什么?解：（1），對(duì)序列末尾補(bǔ)零至N個(gè)點(diǎn)得序列，計(jì)算的N點(diǎn)FFT即可得到。時(shí)，對(duì)序列以N為周期進(jìn)行周期延拓得到一個(gè)新的序列，求序列的前M點(diǎn)的FFT即可得。（2）時(shí)得到的結(jié)果與等效，因?yàn)槠錆M足頻域取樣定理。8已知，今對(duì)其z變換在單位圓上等分采樣，采樣值為，求有限長序列IDFT解 方法一 IDFT方法

20、二交換求和次序 （因?yàn)?，）所以 9研究一個(gè)長度為M點(diǎn)的有限長序列。 我們希望計(jì)算求z變換在單位圓上N個(gè)等間隔點(diǎn)上的抽樣，即在上的抽樣。當(dāng)時(shí)，試找出只用一個(gè)N點(diǎn)DFT就能計(jì)算的N個(gè)抽樣的方法，并證明之。解：若，可將補(bǔ)零到N點(diǎn)，即 則 10對(duì)有限長序列的Z變換在單位圓上進(jìn)行5等份取樣，得到取樣值，即求的逆傅里葉變換。解： 11設(shè)如圖所示的序列的Z變換為，對(duì)在單位圓上等間隔的4點(diǎn)上取樣得到，即試求的4點(diǎn)離散傅里葉逆變換，并畫出的圖形。解：因?yàn)閷?duì)在單位圓上等間隔的4點(diǎn)上取樣，將使以4為周期進(jìn)行周期延拓，所以，根據(jù)上式可畫出的圖形，如下圖所示。四、用離散傅立葉變換對(duì)連續(xù)時(shí)間信號(hào)逼近問題簡答題：1理解D

21、FT分析信號(hào)頻譜中出現(xiàn)的現(xiàn)象以及改善這些現(xiàn)象的方法?解：答案略2補(bǔ)零和增加信號(hào)長度對(duì)譜分析有何影響？是否都可以提高頻譜分辨率?解：時(shí)域補(bǔ)零和增加信號(hào)長度，可以使頻譜譜線加密，但不能提高頻譜分辨率。3試說明連續(xù)傅里葉變換采樣點(diǎn)的幅值和離散傅里葉變換幅值存在什么關(guān)系？解：兩個(gè)幅值一樣。4解釋DFT中頻譜混迭和頻譜泄漏產(chǎn)生的原因，如何克服或減弱？解：如果采樣頻率過低，再DFT計(jì)算中再頻域出現(xiàn)混迭線性，形成頻譜失真；需提高采樣頻率來克服或減弱這種失真。泄漏是由于加有限窗引起，克服方法是盡量用旁瓣小主瓣窄的窗函數(shù)。計(jì)算題：5用某臺(tái)FFT儀做譜分析。使用該儀器時(shí)，選用的抽樣點(diǎn)數(shù)N必須是2的整數(shù)次冪。已知待

22、分析的信號(hào)中，上限頻率kHz。要求譜分辨率Hz。試確定下列參數(shù)：1.一個(gè)記錄中的最少抽樣點(diǎn)數(shù)；2.相鄰樣點(diǎn)間的最大時(shí)間間隔；3.信號(hào)的最小記錄時(shí)間。解：因?yàn)榇治龅男盘?hào)中上限頻率所以抽樣頻率應(yīng)滿足：因?yàn)橐笞V分辨率，所以因?yàn)檫x用的抽樣點(diǎn)數(shù)N必須是2的整數(shù)次冪，所以一個(gè)記錄中的最少抽樣點(diǎn)數(shù)相鄰樣點(diǎn)間的最大時(shí)間間隔信號(hào)的最小記錄時(shí)間6（1）模擬數(shù)據(jù)以10.24千赫速率取樣，且計(jì)算了1024個(gè)取樣的離散傅里葉變換。求頻譜取樣之間的頻率間隔。 （2）以上數(shù)字?jǐn)?shù)據(jù)經(jīng)處理以后又進(jìn)行了離散傅里葉反變換，求離散傅里葉反變換后抽樣點(diǎn)的間隔為多少？整個(gè)1024點(diǎn)的時(shí)寬為多少？解：（1）頻率間隔（赫）（2）抽樣點(diǎn)的

23、間隔 整個(gè)1024點(diǎn)的時(shí)寬T=97.661024=100ms7頻譜分析的模擬信號(hào)以8kHz被抽樣，計(jì)算了512個(gè)抽樣的DFT，試確定頻譜抽樣之間的頻率間隔，并證明你的回答。證明：由 得 其中是以角頻率為變量的頻譜的周期，是頻譜抽樣之間的頻譜間隔。又 則 對(duì)于本題有 所以 8設(shè)有一譜分析用的信號(hào)處理器，抽樣點(diǎn)數(shù)必須為2的整數(shù)冪，假定沒有采用任何特殊數(shù)據(jù)處理措施，要求頻率分辨力，如果采用的抽樣時(shí)間間隔為0.1ms，試確定：（1）最小記錄長度；（2）所允許處理的信號(hào)的最高頻率；（3）在一個(gè)記錄中的最少點(diǎn)數(shù)。解：（1） 因?yàn)?，所?即最小記錄長度為0.1s （2） 因?yàn)?，?所以 即允許處理的信號(hào)最高

24、頻率為5kHz。（3），又因N 必須為2的整數(shù)冪，所以一個(gè)記錄中的最少點(diǎn)數(shù)為。第四章 快速傅立葉變換一、 計(jì)算DFT效率及其改善途徑填空題：1如果一臺(tái)通用機(jī)算計(jì)的速度為：平均每次復(fù)乘需100，每次復(fù)加需20，今用來計(jì)算N=1024點(diǎn)的DFT。問直接運(yùn)算需（ ）時(shí)間，用FFT運(yùn)算需要（ ）時(shí)間。解：（1）直接運(yùn)算：需復(fù)數(shù)乘法次，復(fù)數(shù)加法次。直接運(yùn)算所用計(jì)算時(shí)間為（2）基2FFT運(yùn)算：需復(fù)數(shù)乘法次，復(fù)數(shù)加法次。用FFT計(jì)算1024點(diǎn)DTF所需計(jì)算時(shí)間為2N點(diǎn)FFT的運(yùn)算量大約是（ ）。 解：次復(fù)乘和次復(fù)加3快速傅里葉變換是基于對(duì)離散傅里葉變換 _和利用旋轉(zhuǎn)因子的_ 來減少計(jì)算量，其特點(diǎn)是 _,_和

25、_。解：快速傅里葉變換是基于對(duì)離散傅里葉變換 長度逐次變短 和利用旋轉(zhuǎn)因子的 周期性 來減少計(jì)算量，其特點(diǎn)是 蝶形計(jì)算、 原位計(jì)算 和 碼位倒置。簡答題：4FFT主要利用了DFT定義中的正交完備基函數(shù)的周期性和對(duì)稱性，通過將大點(diǎn)數(shù)的DFT運(yùn)算轉(zhuǎn)換為多個(gè)小數(shù)點(diǎn)的DFT運(yùn)算，實(shí)現(xiàn)計(jì)算量的降低。請(qǐng)寫出的周期性和對(duì)稱性表達(dá)式。答：周期性：對(duì)稱性：5基2FFT快速計(jì)算的原理是什么？它所需的復(fù)乘、復(fù)加次數(shù)各是多少？解：原理：利用的特性，將N點(diǎn)序列分解為較短的序列，計(jì)算短序列的DFT，最后再組合起來。復(fù)乘次數(shù)：，復(fù)加次數(shù)：二、 按時(shí)間抽取FFT算法簡答題：1簡略推導(dǎo)按時(shí)間抽取基2-FFT算法的蝶形公式，并畫出N=8時(shí)算法的流圖，說明該算法的同址運(yùn)算特點(diǎn)。解：答案略。作圖題：3畫出基2 時(shí)間抽取的FFT流圖，