楊輝三角形與高階等差數(shù)列

1、三角形與高階等差數(shù)列寧夏中衛(wèi)中學(xué) 麥興旺一、 楊輝簡介楊輝是我國南宋末年的一位杰出的數(shù)學(xué)家，他在“垛積術(shù)”、縱橫圖以及數(shù)學(xué)教育方面，均做出了重大的貢獻(xiàn)。他是世界上第一個(gè) 排出豐富的縱橫圖和討論其構(gòu)成規(guī)律的數(shù)學(xué)家。楊輝一生留下了大量 的著述，他編著的數(shù)學(xué)書共五種二十一卷。 他非常重視數(shù)學(xué)教育的普 及和發(fā)展，為初學(xué)者制訂的習(xí)算綱目是中國數(shù)學(xué)教育史上的重要文 獻(xiàn)。楊輝在詳解九章算法一書中還畫了一張表示二項(xiàng)式展開后的 系數(shù)構(gòu)成的三角圖形，稱做“開方做法本源”，現(xiàn)在簡稱為“楊輝三 角”。楊輝三角是一個(gè)由數(shù)字排列成的三角形數(shù)表，一般形式如下：11 11 2 11 3 3 11 4 6 4 11 5 10

2、10 5 11 6 15 20 15 6 1法國數(shù)學(xué)家巴斯加在 1654 年的論文中詳細(xì)地討論了這個(gè)圖形的性質(zhì)，所以在西方又稱“巴斯加三角”二、 楊輝三角的性質(zhì)1、 楊輝三角的產(chǎn)生（1）、由 11 的 n 次冪的各位數(shù)字（不含進(jìn)位）與楊輝三角中的各數(shù)字完全相等即楊輝 三角是 11 的冪按錯(cuò)位相加不進(jìn)位的方法依次從小到大排列而成的圖形。如下圖：1(110)1 1(111)1 2 1(112)1 3 3 1(113)1 4 6 4 1(114)1 5 10 10 5 1(1155)1 6 15 20 15 61 (1166)(2)、(a+b) n的展式的系數(shù)1(n=0)1 1(n=1)1 2 1(

3、n=2)1 3 3 1(n=3)1 4 6 4 1(n=4)1 5 10 10 5 1 (n=5)1 6 15 20 15 6 1 (n=6)2、 楊輝三角的性質(zhì)(a+b) r的展開式的系數(shù)排列如下1(r=0)11 (r =1)1 2 1 (r =2)1 3 3 1 (r =3)154641010520156(r =4)(r =5)(r =6)rcm(r=m)1 c(r=n+1)1 c 1 c 2 3n 1 n1 c 2n n1 2 n 1 c n 1 ccncn1 cnc(r=n-1)(r=n)1與二項(xiàng)式定理的關(guān)系：楊輝三角的第n行就是二項(xiàng)式展開式的系數(shù)列。cj。2對稱性：楊輝三角中的數(shù)字左

4、、右對稱,對稱軸是楊輝三角形底邊上的“高”即。3J jcn =cn41+cn1。cn+c； + c 2 + c n楊輝三角中的高階等差數(shù)列+ c n1 + c n=2n結(jié)構(gòu)特征：楊輝三角除斜邊上1以外的各數(shù)，都等于它“肩上”的兩數(shù)之和，即n=1n=2n=3差分?jǐn)?shù)列：數(shù)列相鄰項(xiàng)的差稱為數(shù)列的差分，由數(shù)列的差分所組成新數(shù)列稱為差分?jǐn)?shù)列如數(shù)列，如a1 ,a 2 , aan 的差分6 , b 2, b bn(b n = a n 1 -a n)稱為一階差分?jǐn)?shù)列;由 b1 , b 2 , bbn -差分組成數(shù)列c1 , c 2 , c6稱為二階差分?jǐn)?shù)列；1 3 3 1 (5)1 4 6 4 1 (6)1

5、5 10 10 5 11 6 15 20 15 6 1把斜行(1)中第7行之前的數(shù)字相加得1+1+1+1+1+1+1=6把斜行(2)中第7行之前的數(shù)字相加得1+2+3+4+5=15(一階)把斜行(3)中第7行之前的數(shù)字相加得1+3+6+10=20(二階)把斜行(4)中第7行之前的數(shù)字相加得1+4+10=15(三階)把斜行(5)中第7行之前的數(shù)字相加得1+5=6(四階)7行中的數(shù)字對比,我們發(fā)現(xiàn)它們是完全相同的。將上面得到的數(shù)字與楊輝三角中的第i個(gè)數(shù)是斜行即：楊輝三角中有第i斜線的前n個(gè)數(shù)的和等于第i+1i-1中前n-1個(gè)數(shù)之和.斜線的第n+1個(gè)數(shù);1+1+1+1 + + 1= c；1+2+3+

6、c 1n=c n ；23+ C n = Cn ；1+3+6+10+1+4+10+20+ c 3 = c4 ；C r + ；1+c；2+cn 1=cn1(r=1,2,3,)(*)公式(*)為楊輝三角的首項(xiàng)為1的 r階等差數(shù)列求和公式。cn 1為通項(xiàng)公式cn1為前n項(xiàng)和的公式。四、一般高階等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)的和設(shè)an為一 r階等差數(shù)列，現(xiàn)給出它的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和的公式；1、 求r階等差數(shù)列的通項(xiàng)公式設(shè)a1 ,a 2, aan為一 r階等差數(shù)列，現(xiàn)用逐差法求通項(xiàng)公式;各階差分?jǐn)?shù)列一階6,b2 , bbn-(b n =a n 1 -an)二階C1,c2 , c-(c n =b n 1-bn)

7、三階,m2 , m(mn =c n 1-cn)設(shè) di 為各階差分?jǐn)?shù)列的首項(xiàng)，則有d1 = b 1= a 2 - a 1d 2 = c 1= b 2 - b 1則 d2 = c 1= b 2 - b 1 =( a-a 2 )- (a 2 - a 1) =a-2 a 2 + a 1d= m 1= c 2 - c 1 則 d= m1= c 2 - c 1=(b-b 2)-(b2- b 1)=( a 4 - a)-( a-a 2 )-( a-a 2 )+( a 2 - a 1) = a 4 -3 a+3 a 2 - a 1由此可推定 d 4 = a 5-4 a 4+6 a-4 a 2+ a 1d r

8、 =ar 1-c 1rar +c；ar 1-+(-1)r + a 產(chǎn)常數(shù)d r 1=0而 a2 =ar + b r= a r+ d ra= a2 + b 2 =( a 1+ d 1)+( b 1+ c 1 )= a 1+ d 1+ d 1+ d 2 (c 1= d 2 )= ar+ 2dr + d 2a 4= a+ b= (ar+ 2dr + d2)+( b2+ c2)=(a r+ 2dr + d2)+( br+ cr)+( cr+ mr)= ar+ 2dr + d 2+ dr+ d 2+ d 2+ d= ar+3 dr+3 d2+ d由此可推定a5= a r+4 d r+6 d 2 +4 d

9、+ d 4ar= a r + c r d r +c； r d 2 +c； f dr 2+ d r r所以通項(xiàng)公式an= a i+c1 r d r+cn r d2+cn r d r r+cn r d r(dr r=0)2 、高階等差數(shù)列的前 n 項(xiàng)和公式設(shè)ar ,a 2 , aan為一 r階等差數(shù)列， ar+ a 2+ a+ an現(xiàn)構(gòu)造一 r+r 階等差數(shù)列一階ar ，a2,aa.二階br , b2，b bn (b n =a n r-an)三階cr , c2，c Cn (c n =b n r-bn)四階mr , m2，mmn(mn=c n r-cn)0， ar， ar+ a 2， ar+ a2+

10、 a，各階差分?jǐn)?shù)列設(shè)D i為各階差分?jǐn)?shù)列的首項(xiàng)，則有D 1 = ai , D2= d ! , D3= d 2,Dri= dr , Dr 2= d r 1=0由前面通項(xiàng)公式知 a1+ a 2 + a+ a n是該數(shù)列的前n+1項(xiàng)，所以，a1 + a 2 + a+ a n = 0+ c： d 1 + c n D 2 + c n Dr +c n 1 D r 1=c：ai + c 2d!+c：d2+ c：dr i+ c ： 1dr設(shè) Sn = a 1 + a 2 + a+ a n 貝U a1 , a2, aan前 n 項(xiàng)和公式為Sn 二 C：ai+ cd!+ c 3d2+ c ndr 1+ c n 1

11、dr (出“)例1、求高階差數(shù)列 1, 7, 25, 61, 121, 211,的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng) 和公式解：一階6, 18, 36, 60, 90,二階 12, 18, 24, 30,三階 6, 6, 6,所以該數(shù)列是三階等差數(shù)列a1 = 1, d 1 = 6, d2 = 12, d= 6, d4 = 0an = 6+6( n-1)+6( n-1)( n-2)+ (n-1)( n-2)( n-3)=n3-n+1S n=n+3n(n-1)+2n(n-1)(n-2)+ n(n-1)(n-2)(n-3)/4 檢驗(yàn) a5 = 125-5+1 = 121 s5=5+60+120+30=215例 2、在

12、下列數(shù)列的( )填上適當(dāng)?shù)臄?shù)(這是某省招考公務(wù)員的試題)11, 23, 41, 65, (), 131,提示 該數(shù)列是一二階等差數(shù)列例 3、將 Ln 定義為求在一平面內(nèi)用 n 條直線確定的最大區(qū)域數(shù)目例如 n=1L1=2,進(jìn)一步考慮：用n條直線放在平面上能確定的最大區(qū)域L n是多少？(這是第五屆全國青少年信息學(xué)的競賽試題)提示 L 1 =2, L2 =4, L3=7, L4 =11, L5 =16, 的二階等差數(shù)列3 、高階等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和前 n 項(xiàng)和公式還有一種求法由通項(xiàng)公式 a n = a 1 + c n 1 d 1+c2 1 d 2+c： fdr 2 + c n 1 d r 1 +c

13、 n 1dr(r n-1)可得an是一個(gè)n的r次多項(xiàng)式；Sn = cna1+ c 2d1 + c n d2+ c ndr 1+ c n 1dr (r+1 n)是一個(gè) n 的 r+1次多項(xiàng)式。這樣可用待定系數(shù)法求得。例4求數(shù)列5 , 17, 35, 59, 89,的通項(xiàng)公式解：一階 12 ，18，24，30 二階6 , 6, 6,所以 該數(shù)列是二階等差數(shù)列。設(shè) a n=an2+bn+cn=1 a+b+c=5n=2 4a+2b+c=17n=3 9a+3b+c=35解之得 a=3 b=3 c=-1 所以 a n =3n2 +3n-1四、在VB中輸出楊輝三角形 下面是打印楊輝三角形的20行VB程序:Private Sub Form_Click()N = InputBox(, ,5)ReDim a(N + 1,N+ 1),b(N + 1, N +1)Clsk =8For I=1 To NPrintString(N-I) *k / 2 + 1, );For J=1 To Ia(I,1)= 1a(I,I)= 1a(I+ 1,J +1)= a(I,J) + a(I, J+ 1)b(I,J)= Trim(Str(a(I,J)Printb(I,J);String(k- Le