2020年中考數(shù)學(xué)考點(diǎn)梳理：相似三角形和解直角三角形

1、知識(shí)點(diǎn)：一、比例線(xiàn)段1、比：選用同一長(zhǎng)度單位量得兩條線(xiàn)段。a、b的長(zhǎng)度分別是m、n，那么就說(shuō)這兩條線(xiàn)段的比是a：bm：n（或） 2、比的前項(xiàng)，比的后項(xiàng)：兩條線(xiàn)段的比a：b中。a叫做比的前項(xiàng)，b叫做比的后項(xiàng)。 說(shuō)明：求兩條線(xiàn)段的比時(shí)，對(duì)這兩條線(xiàn)段要用同一單位長(zhǎng)度。 3、比例：兩個(gè)比相等的式子叫做比例，如 4、比例外項(xiàng)：在比例（或a：bc：d）中a、d叫做比例外項(xiàng)。 5、比例內(nèi)項(xiàng)：在比例（或a：bc：d）中b、c叫做比例內(nèi)項(xiàng)。 6、第四比例項(xiàng)：在比例（或a：bc：d）中，d叫a、b、c的第四比例項(xiàng)。 7、比例中項(xiàng)：如果比例中兩個(gè)比例內(nèi)項(xiàng)相等，即比例為（或a:b=b:c時(shí)，我們把b叫做a和d的比例中

2、項(xiàng)。 8、比例線(xiàn)段：在四條線(xiàn)段中，如果其中兩條線(xiàn)段的比等于另外兩條線(xiàn)段的比，那么，這四條線(xiàn)段叫做成比例線(xiàn)段，簡(jiǎn)稱(chēng)比例線(xiàn)段。 9、比例的基本性質(zhì)：如果a：bc：d那么adbc逆命題也成立，即如果adbc，那么a：bc：d 10、比例的基本性質(zhì)推論：如果a：b=b：d那么b2=ad，逆定理是如果b2=ad那么a：b=b：c。說(shuō)明：兩個(gè)論是比積相等的式子叫做等積式。比例的基本性質(zhì)及推例式與等積式互化的理論依據(jù)。 11、合比性質(zhì)：如果，那么 12等比性質(zhì)：如果，（），那么 說(shuō)明：應(yīng)用等比性質(zhì)解題時(shí)常采用設(shè)已知條件為k ，這種方法思路單一，方法簡(jiǎn)單不易出錯(cuò)。 13、黃金分割把一條線(xiàn)段分成兩條線(xiàn)段，使較長(zhǎng)

3、的線(xiàn)段是原線(xiàn)段與較小的線(xiàn)段的比例中項(xiàng)，叫做把這條線(xiàn)段黃金分割。 說(shuō)明：把一條線(xiàn)段黃金分割的點(diǎn)，叫做這條線(xiàn)段的黃金分割點(diǎn)，在線(xiàn)段AB上截取這條線(xiàn)段的倍得到點(diǎn)C，則點(diǎn)C就是AB的黃金分割點(diǎn)。 二、平行線(xiàn)分線(xiàn)段成比例 1、平行線(xiàn)等分線(xiàn)段定理：如果一組平行線(xiàn)在一條直線(xiàn)上截得的線(xiàn)段相等，那么在其它直線(xiàn)上截得的線(xiàn)段也相等。 格式：如果直線(xiàn)L1L2L3， AB BC， 那么：A1B1B1C1，如圖4l說(shuō)明：由此定理可知推論1和推論2 推論1：經(jīng)過(guò)梯形一腰的中點(diǎn)與底平行的直線(xiàn)必平分另一腰。 格式：如果梯形ABCD，ADBC，AEEB，EFAD，那么DF=FC 推論2：經(jīng)過(guò)三角形一邊的中點(diǎn)與另一邊平行的直線(xiàn)必平

4、分第三邊。 格式，如果ABC中，D是AB的中點(diǎn)，DEBC，那么AEEC，如圖432、平行線(xiàn)分線(xiàn)段成比例定理：三條平行線(xiàn)截兩條直線(xiàn)，所得的對(duì)應(yīng)線(xiàn)段成比例。說(shuō)明：平行線(xiàn)等分線(xiàn)段定理是平行線(xiàn)分線(xiàn)段成比問(wèn)定理的特殊情況。3平行線(xiàn)分線(xiàn)段成比例定理的推論：平行于三角形一邊的直線(xiàn)截其它兩邊，所得的對(duì)應(yīng)線(xiàn)段成比例。 說(shuō)明1：平行線(xiàn)分線(xiàn)段成比例定理可用形象的語(yǔ)言來(lái)表達(dá)。如圖44 說(shuō)明2：圖44的三種圖形中這些成比例線(xiàn)段的位置關(guān)系依然存在。 4、三角形一邊的平行線(xiàn)的判定定理。如果一條直線(xiàn)截三角形的兩邊（或兩邊的延長(zhǎng)線(xiàn)）所得的對(duì)應(yīng)線(xiàn)段成比例，那么這條直線(xiàn)平行于三角形的第三邊。 5、三角形一邊的平行線(xiàn)的判定定理：平行

5、于三角形的一邊，并且和其它兩邊相交的直線(xiàn)，所截得的三角形的三邊與原三角形三邊對(duì)應(yīng)成比例。 6、線(xiàn)段的內(nèi)分點(diǎn)：在一條線(xiàn)段上的一個(gè)點(diǎn)，將線(xiàn)段分成兩條線(xiàn)段，這個(gè)點(diǎn)叫做這條線(xiàn)段的內(nèi)分點(diǎn)。 7、線(xiàn)段的外分點(diǎn)：在一條線(xiàn)段的延長(zhǎng)線(xiàn)上的點(diǎn)，有時(shí)也叫做這條線(xiàn)段的外分點(diǎn)。 說(shuō)明：外分點(diǎn)分線(xiàn)段所得的兩條線(xiàn)段，也就是這個(gè)點(diǎn)分別和線(xiàn)段的兩個(gè)端點(diǎn)確定的線(xiàn)段。三、相似三角形 1、相似三角形：兩個(gè)對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例的三角形叫做相似三角形。 說(shuō)明：證兩個(gè)三角形相似時(shí)和證兩個(gè)三角形全等一樣，通常把表示對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的字母寫(xiě)在對(duì)應(yīng)的位置上，這樣便于找出相似三角形的對(duì)應(yīng)角和對(duì)應(yīng)邊。 2、相似比：相似三角形對(duì)應(yīng)邊的比k，叫做相似比（或

6、叫做相似系數(shù)）。 3、相似三角形的基本定理：平分于三角形一邊的直線(xiàn)和其它兩邊（或兩邊的延長(zhǎng)線(xiàn)）相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似。 說(shuō)明：這個(gè)定理反映了相似三角形的存在性，所以有的書(shū)把它叫做相似三角形的存在定理，它是證明三角形相似的判定定理的理論基礎(chǔ)。 4、三角形相似的判定定理： （1）判定定理1：如果一個(gè)三角形的兩個(gè)角與另一個(gè)三角形的兩個(gè)角對(duì)應(yīng)相等，那么就兩個(gè)三角形相似?？珊?jiǎn)單說(shuō)成：兩角對(duì)應(yīng)相等，兩三角形相似。 （2）判定定理2：如果一個(gè)三角形的兩條邊和另一個(gè)三角形的兩條邊對(duì)應(yīng)成比例，并且?jiàn)A角相等，那么這兩個(gè)三角形相似，可簡(jiǎn)單說(shuō)成：兩邊對(duì)應(yīng)成比例且?jiàn)A角相等，兩三角形相似。 （3）判定定理3：

7、如果一個(gè)三角形的三條邊與另一個(gè)三角形的三條邊對(duì)應(yīng)成比例，那么這兩個(gè)三角形相似，可簡(jiǎn)單說(shuō)成：三邊對(duì)應(yīng)成比例，兩三角形相似。 （4）直角三角形相似的判定定理如果一個(gè)直角三角形的斜邊和一條直角邊與另一個(gè)直角三角形的斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)成比例，那么這兩個(gè)直角三角形相似。 說(shuō)明：以上四個(gè)判定定理不難證明，以下判定三角形相似的命題是正確的，在解題時(shí)，也可以用它們來(lái)判定兩個(gè)三角形的相似。 第一：頂角（或底角）相等的兩個(gè)等腰三角形相似。 第二：腰和底對(duì)應(yīng)成比例的兩個(gè)等腰三角形相似。 第三：有一個(gè)銳角相等的兩個(gè)直角三角形相似。 第四：直角三角形被斜邊上的高分成的兩個(gè)直角三角形和原三角形相似。 第五：如果一個(gè)三角

8、形的兩邊和其中一邊上的中線(xiàn)與另一個(gè)三角形的兩邊和其中一邊上的中線(xiàn)對(duì)應(yīng)成比例，那么這兩個(gè)三角形相似。 5、相似三角形的性質(zhì)： （1）相似三角形性質(zhì)1：相似三角形對(duì)應(yīng)高的比、對(duì)應(yīng)中線(xiàn)的比、對(duì)應(yīng)角平分線(xiàn)的比都等于相似比。 （2）相似三角形性質(zhì)2：相似三角形周長(zhǎng)的比等于相似比。 說(shuō)明：以上兩個(gè)性質(zhì)簡(jiǎn)單記為：相似三角形對(duì)應(yīng)線(xiàn)段的比等于相似比。 （3）相似三角形面積的比等于相似比的平方。 說(shuō)明：兩個(gè)三角形相似，根據(jù)定義可知它們具有對(duì)應(yīng)角相等、對(duì)應(yīng)邊成比例這個(gè)性質(zhì)。 6、介紹有特點(diǎn)的兩個(gè)三角形 （1）共邊三角形指有一條公共邊的兩個(gè)三角形叫做共邊三角形。 （2）共角三角形有一個(gè)角相等或互補(bǔ)的兩個(gè)三角形叫做共角

9、三角形，如圖46 （3）公邊共角有一個(gè)公共角，而且還有一條公共邊的兩個(gè)三角形叫做公邊共角三角形。 說(shuō)明：具有公邊共角的兩個(gè)三角形相似，則公邊的平方等于疊在一條直線(xiàn)上的兩邊的乘積：如圖47若ACDABC，則AC2ADAB例題： 例1、已知：的值.分析：已知等比條件時(shí)常有以下幾種求值方法：(1)設(shè)比值為k;(2)比例的基本性質(zhì)；(3)方程的思想，用其中一個(gè)字母表示其他字母.解：由，得a:b=2:3,b:c=5:4,即a:b:c=10:15:12.設(shè)a=10k,b=15k,c=12k, 則(a+b):(bc)=25:3.例2 已知：如圖5126(a)，在梯形ABCD中，ADBC，對(duì)角線(xiàn)交于O點(diǎn)，過(guò)O

10、作EFBC，分別交AB，DC于E，F(xiàn).求證：(1)OE=OF;(2);(3)若MN為梯形中位線(xiàn)，求證AFMC.分析：(1)利用比例證明兩線(xiàn)段相等的方法.若,a=c(或b=d或a=b)，則b=d(或a=c或c=d)；若,則a=b(只適用于線(xiàn)段，對(duì)實(shí)數(shù)不成立)；若,a=a,b=b,c=c,則d=d.(2)利用平行線(xiàn)證明比例式及換中間比的方法.(3)證明時(shí)，可將其轉(zhuǎn)化為“”類(lèi)型后：化為直接求出各比值，或可用中間比求出各比值再相加，證明比值的和為1；直接通分或移項(xiàng)轉(zhuǎn)化為證明四條線(xiàn)段成比例.(4)可用分析法證明第(3)題，并延長(zhǎng)兩腰將梯形問(wèn)題轉(zhuǎn)化為三角形問(wèn)題.延長(zhǎng)BA，CD交于S，AFMC AFMC成立

11、.(5)用運(yùn)動(dòng)的觀(guān)點(diǎn)將問(wèn)題進(jìn)行推廣.若直線(xiàn)EF平行移動(dòng)后不過(guò)點(diǎn)O，分別交AB，BD，AC，CD于E，O1，O2，F(xiàn)，如圖5126(b),O1F與O2F是否相等?為什么?(6)其它常用的推廣問(wèn)題的方法有：類(lèi)比、從特殊到一般等例3 已知：如圖5127，在A(yíng)BC中，AB=AC，D為BC中點(diǎn)，DEAC于E，F(xiàn)為DE中點(diǎn)，BE交AD于N，AF交BE于M.求證：AFBE.分析：(1)分解基本圖形探求解題思路.(2)總結(jié)利用相似三角形的性質(zhì)證明兩角相等，進(jìn)一步證明兩直線(xiàn)位置關(guān)系(平行、垂直等)的方法，利用ADEDCE得到結(jié)合中點(diǎn)定義得到,結(jié)合3=C,得到BECAFD，因此1=2.進(jìn)一步可得到AFBE.(3)

12、總結(jié)證明四條線(xiàn)段成比例的常用方法：比例的定義；平行線(xiàn)分線(xiàn)段成比例定理；三角形相似的預(yù)備定理；直接利用相似三角形的性質(zhì)；利用中間比等量代換；利用面積關(guān)系.例4 已知：如圖5128，RtABC中，ACB=90，CDAB于D，DEAC于E，DFBC于F.求證：(1)CD3=AAEBFAB；(2)BC2：AC2=CE:EA;(3)BC3:AC3=BF:AE.分析：掌握基本圖形“RtABC，C=90，CDAB于D”中的常用結(jié)論.勾股定理：AC2+BC2=AB2.面積公式：ACBC=ABCD.三個(gè)比例中項(xiàng)：AC2=ADAB,BC2=BDBA,CD2=DADB.證明：第(1)題： CD2=ADBD, CD4

13、=AD2BD2=(AEAC)(BFBC)=(AEBF)(ACBC) =(AEBF)(ABCD).第(2)題： ,利用BDFDAE，證得,命題得證.第(3)題：, ,知識(shí)點(diǎn)： 一、銳角三角函數(shù)：在直角三角形ABC中，C是直角，如圖51 1、正弦：把銳角A的對(duì)邊與斜邊的比叫做A的正弦，記作 2、余弦：把銳角A的鄰邊與斜邊的比叫做A的余弦，記作 3、正切：把銳角A的對(duì)邊與鄰邊的比叫做A的正切，記作 4、余切：把銳角A的鄰邊與對(duì)邊的比叫做A的余切，記作 說(shuō)明：由定義可以看出tanAcotAl（或?qū)懗桑?5、銳角三角函數(shù)：銳角A的正弦、余弦、正切、余切都叫做A的銳角三角函數(shù) 說(shuō)明：銳角三角函數(shù)都不能取負(fù)

14、值。 0 sinA l； 0cosA；l 6、銳角的正弦和余弦之間的關(guān)系任意銳角的正弦值等于它的余角的余弦值，任意銳角的余弦值等于它的余角的正弦值。 即sinAcos（90一 A）cosB；cosAsin（90一A）sinB 7、銳角的正切和余切之間的關(guān)系任意銳角的正切值等于它的余角的余切值，任意銳角的余切值等于它的余角的正切值。 即tanAcot（90一 A）cotB；cotAtan（90A） tanB 說(shuō)明：式中的90一A = B 。 8、三角函數(shù)值的變化規(guī)律 （1）當(dāng)角度在0 90間變化時(shí)，正弦值（正切值隨著角度的增大（或減?。┒龃螅ɑ驕p小） （2）當(dāng)角度在090間變化時(shí)，余弦值（余切

15、值）隨著角度的增大（或減?。┒鴾p小（或增大）。 9、同角三角函數(shù)關(guān)系公式 （1）；（2）；（3） tanA 10一些特殊角的三角函數(shù)值二、解直角三角形由直角三角形中，除直角外的已知元素，求出所有未知元素的過(guò)程，叫做解直角三角形。若直角三角形ABC中，C90，那么A、B、C，a，b，c中除C90外，其余5個(gè)元素之間有關(guān)系： （l）；（2）A十B90； （3）； 所以，只要知道其中的2個(gè)元素（至少有一個(gè)是邊），就可以求出其余3個(gè)未知數(shù)。 例如RtABC中，C90，且A30，a5， 則由： 三、應(yīng)用舉例 是實(shí)際問(wèn)題中的解直角三角形，或者說(shuō)用解直角三角形的方法解決實(shí)際問(wèn)題。 例如一桿AB直立地面，從D

16、點(diǎn)看桿頂A，仰角為60，從C點(diǎn)看桿頂A，仰角為30（如圖52）若CD長(zhǎng)為10米，求桿AB的高。解：設(shè)ABx即，即，即桿高約866米，應(yīng)用題中要注意：（1）仰角，俯角見(jiàn)圖53（2）跨度、中柱：如房屋頂人字架跨度為AB，見(jiàn)圖54 （3）深度、燕尾角如燕尾槽的深度，見(jiàn)圖55（4）坡度、坡角 見(jiàn)圖5一6坡度i7坡度的垂直高度h水平寬度，例題：例1、根據(jù)下列條件，解直角三角形例2、在平地上一點(diǎn)C，測(cè)得山頂A的仰角為30，向山沿直線(xiàn)前進(jìn)20米到D處，再測(cè)得山頂A的仰角為45，求山高AB分析：此題一方面可引導(dǎo)學(xué)生復(fù)習(xí)仰角、俯角的概念，同時(shí)，可引導(dǎo)學(xué)生加以分析：如圖6-39，根據(jù)題意可得ABBC，得ABC=90，ABD和ABC都是直角三角形，且C、D、B在同一直線(xiàn)上，由ADB=45，AB=BD，CD=20米，可得BC=