結(jié)構(gòu)力學第3章靜定梁的內(nèi)力計算

1、結(jié)構(gòu)力學結(jié)構(gòu)力學教研組青島理工大學工程管理系 靜定梁的內(nèi)力分析第三章 靜定梁有單跨靜定梁和多跨靜定梁兩種形式。靜定梁是基本的結(jié)構(gòu)形式靜定梁是基本的結(jié)構(gòu)形式v 通過學習多跨靜定梁，了解靜定結(jié)構(gòu)幾何組成對內(nèi)力計算的影響，掌握靜定結(jié)構(gòu)內(nèi)力分析的基本途徑和方法。 v 通過學習單跨靜定梁，復習桿系結(jié)構(gòu)內(nèi)力概念及內(nèi)力計算基本方法；3.1 3.1 單跨靜定梁單跨靜定梁 單跨靜定梁分為 v 懸臂梁v 伸臂梁v 簡支梁 (a) (b) (c) (d)結(jié)構(gòu)的內(nèi)力反映其受力后結(jié)構(gòu)內(nèi)部的響應(yīng)狀態(tài)（產(chǎn)生應(yīng)變及相應(yīng)的應(yīng)力）。桿件結(jié)構(gòu)的內(nèi)力為桿件（垂直桿軸的）橫截面上分布的應(yīng)力，可以用一個合力來表示。在桿系結(jié)構(gòu)的內(nèi)力分析中

2、，將這個合力分解成作用在橫截面中性軸處的三個分量即軸力、剪力和彎矩。1. 1.結(jié)構(gòu)的內(nèi)力概念結(jié)構(gòu)的內(nèi)力概念v 軸力（FN） v 彎矩（M） v 剪力（FQ） 典型桿件截面上的內(nèi)力典型桿件截面上的內(nèi)力橫截面上應(yīng)力在截面法線（桿軸）方向上的投影（或橫截面上正應(yīng)力）的代數(shù)和稱為軸力。軸力使隔離體受拉為正（與截面法線方向相同）。軸力(FN)橫截面上應(yīng)力在截面切線（垂直于桿軸）方向上的投影（或橫截面上切應(yīng)力）的代數(shù)和稱為剪力。剪力使隔離體順時針轉(zhuǎn)動為正（左上、右下）。剪力（FQ）橫截面上應(yīng)力（或橫截面上正應(yīng)力）對截面中性軸的力矩代數(shù)和稱為彎矩。規(guī)定彎矩的豎標畫在受拉側(cè)。 彎矩（M）MA桿件截面上的內(nèi)力定

3、義圖桿件截面上的內(nèi)力定義圖MBMAMB基本方法：基本方法：內(nèi)力計算基本方法為截面法。靜定結(jié)構(gòu)的內(nèi)力計算可歸納為：選隔離體、建立隔離體的靜力平衡方程，和求解方程三部分主要工作。靜定結(jié)構(gòu)內(nèi)力計算基本方靜定結(jié)構(gòu)內(nèi)力計算基本方法和步驟：法和步驟：1. 1. 計算結(jié)構(gòu)的支座反力和約束計算結(jié)構(gòu)的支座反力和約束 取結(jié)構(gòu)整體（切斷結(jié)構(gòu)與大地的約束）、或取結(jié)構(gòu)的一部分（切開結(jié)構(gòu)的某些約束）為隔離體，建立平衡方程。截面法的一般截面法的一般步驟步驟：用假想的平面垂直于桿軸切開指定截面，取截面的任意一側(cè)為隔離體并在其暴露的橫截面上代以相應(yīng)的內(nèi)力（按正方向標出），建立平衡方程并求解。 2. 2. 計算計算控制截面控制截

4、面的內(nèi)力的內(nèi)力(指定指定截面的內(nèi)力截面的內(nèi)力) )v 彎矩圖 v 剪力圖 v 軸力圖 3. 3. 繪制結(jié)構(gòu)的內(nèi)力圖繪制結(jié)構(gòu)的內(nèi)力圖 在靜定結(jié)構(gòu)的受力分析中，正確有序地選取隔離體是解題的關(guān)鍵。 取隔離體的要點是，要保證隔離體的完全隔離，即隔離體與結(jié)構(gòu)其他部分的所有聯(lián)系都要切斷。 幾點注意：幾點注意： 隔離體上原有的已知力（荷載和已求出未知力）要保留，不能有遺漏。 隔離體上與其他部分聯(lián)系的截斷處，只標舍去的其他部分對隔離體的作用力。 用截面法，求圖用截面法，求圖(a)(a)所示伸臂梁截面所示伸臂梁截面1 1上上的內(nèi)力。的內(nèi)力。 M(a) MFAxFAyFBy(b) 例3-1-11)求支座反力 去掉

5、支座約束，取整體為隔離體，見圖(b)。建立隔離體的平衡方程并解之： 求解：求解：0542333aFaaqMaFPAyaFaaqMaFPAy5423331 0BM0AMaFaaqMaFPBy4542333104542333aFaaqMaFPBy 0XF053PAxFFPAxFF53 0YF由 可校核所得支座反力。 截開截面1，取左側(cè)為隔離體，見圖（c），建立平衡方程并解之： 2)求截面1處的內(nèi)力FAxMFAyM1FQ1FByFQ1M1(d)(c) 0XF01AxNFFAxNFF1 0YF01aqFFAyQqaFFAyQ1 01M021MaFaaqMAyMaFqaMAy2121取截面1右側(cè)為隔離體

6、計算可得同樣結(jié)果用文字寫明受拉側(cè)由例3-1-1內(nèi)力計算結(jié)果分析，指定截面的內(nèi)力可用該截面一側(cè)的外力直接表示，即： 直接法直接法求指定截面的內(nèi)力求指定截面的內(nèi)力截面一側(cè)所有外力在指定截面法線方向投影的代數(shù)和，以與截面外法線方向相反為正。即軸力按外力左左、右右為正。 軸力（FN）截面一側(cè)所有外力在指定截面切線方向投影的代數(shù)和，左上、右下為正。 剪力（FQ）截面一側(cè)所有外力對指定截面形心力矩的代數(shù)和。左順、右逆為正。彎矩（M） 用直接法，求例3-1-1圖(a)所示伸臂梁截面2上的內(nèi)力。 M(a)例3-1-2MFAxFAyFBy支座反力計算同例3-1-1。內(nèi)力可由下圖所示受力圖直接計算： 求解：求解：

7、AxNFF2aqFFAyQ22aaqMaFMAy222取截面2左側(cè)：532PNFFqaFFFByPQ54222542aaqaFaFMPBy取截面2右側(cè)：4. 4. 荷載與內(nèi)力的關(guān)系荷載與內(nèi)力的關(guān)系( (未考慮未考慮沿桿件軸向的荷載作用沿桿件軸向的荷載作用) ) dx圖3-1-3 對于直桿段上，見圖3-1-3在圖3-1-3所示桿件的連續(xù)分布荷載段截取微段dx，見圖3-1-4(a),建立微段的平衡方程： 荷載與內(nèi)力之間有下列關(guān)系：荷載與內(nèi)力之間有下列關(guān)系：(1)(1)微分關(guān)系微分關(guān)系d x圖3-1-4(a) 0YF0qdxFdFFQQQqdxdFQ(a) 0M02)(2dxqdxFMdMMQQFd

8、xdM(b) qdxMd22(c) 以上三式，為荷載與內(nèi)力的微分關(guān)系。式(b)忽略了二階微量。 由(a)、(b)兩式得:v 若直桿段上無荷載作用，則剪力圖是與軸線平行的一條直線，彎矩圖是一條斜直線；微分關(guān)系的幾何意義：微分關(guān)系的幾何意義：v 若直桿段上作用均布荷載，則剪力圖為一條斜直線，彎矩圖為拋物線；v 若直桿段上作用三角形分布荷載，則剪力圖為拋物線，彎矩圖為三次曲線； 以此類推以此類推v 荷載圖、剪力圖和彎矩圖的特征依次為：零、平、斜；平、斜、二曲；斜、二曲、三曲；(2)(2)荷載與內(nèi)力的荷載與內(nèi)力的增量關(guān)系增量關(guān)系 在圖3-1-3所示桿件上，取含有集中力和集中力偶在內(nèi)的微段dx，見圖 3

9、-1-4(b)，建立微段平衡方程：dx圖3-1-4 (b) 0YF0PQQQFFFFPQFF(d) 0M0mdxFMMMQmM 以上兩式，為荷載與內(nèi)力的增量關(guān)系。式(e)忽略了一階微量。 (e) v 在集中力作用點（集中力垂直與桿軸或有垂直于桿軸的分量）兩側(cè)截面，剪力有突變，突變值即為該集中力或垂直于桿軸的分量；彎矩有轉(zhuǎn)折點（即尖點），且尖點方向與集中荷載方向一致。增量關(guān)系的幾何意義：增量關(guān)系的幾何意義：v 在集中力偶作用截面兩側(cè)，彎矩有突變，突變值即為該集中力偶；剪力相同。(3)(3)荷載與內(nèi)力的荷載與內(nèi)力的積分關(guān)系積分關(guān)系取圖3-1-3所示桿件的連續(xù)分布荷載段（AB段），見圖3-1-5，建

10、立平衡方程并求解： dx圖3-1-5 0YFBAQAQBqdxFF (f) 0MBAABABQAABdxxlqlFMM)(g)BAQABdxFMM 即以下兩式，為荷載與內(nèi)力的積分關(guān)系。 式(g)原式等號右側(cè)的第二、三項可寫成： BABAQABQAdxFdxqxqlF)(f)、(g)兩式又可由前述微分關(guān)系得出注：注：有連續(xù)分布荷載（荷載垂直于桿軸）的直桿段AB，B端的剪力等于A端的剪力減去該段分布荷載圖的面積。B端的彎矩等于A端的彎矩加上該段剪力圖的面積。積分關(guān)系的幾何意義積分關(guān)系的幾何意義 ：5.5.區(qū)段疊加法區(qū)段疊加法作彎矩圖作彎矩圖疊加法的基本含義是，若結(jié)構(gòu)在線彈性階段且為小變形時，若干荷

11、載作用下結(jié)構(gòu)的內(nèi)力或位移，可由各荷載單獨作用下的內(nèi)力或位移疊加求得。自然彎矩圖（剪力圖、軸力圖）也可按疊加法得到根據(jù)疊加法的基本含義，下圖(a)上所示簡支梁在兩端力偶和均布荷載所用下，其總彎矩圖（圖(a)下）等于，兩端力偶、均布荷載分別單獨作用下彎矩圖（圖(b)右、圖(c)右）的疊加。(1)(1)簡支梁的彎矩疊加法簡支梁的彎矩疊加法BAq圖3-1-6(a)BA82qlCBABAqBA82qlC圖3-1-6(c)圖3-1-6(b)CBA2ABMM將先分別計算和繪制各荷載單獨作用下的彎矩圖后再疊加的過程在總彎矩圖上一次完成，其步驟是: 上一步所作的直線為新的基線，疊加梁中部荷載作用下的彎矩圖 。

12、梁的軸線為原始基線，將梁兩端的彎矩豎標連以直線。 簡支梁在兩支座端有外力偶作用時，梁兩端截面有等于該端力偶的彎矩，無外力偶在端部作用時端部截面的彎矩為零。所以簡支梁兩端支座處的彎矩值豎標可直接繪出。v 圖的疊加是彎矩豎標的疊加，而不是圖形的簡單疊加。 v 每疊加一個彎矩圖，都以緊前一次彎矩圖外包線為新基線，并由此基線為所疊加的彎矩圖的拉壓分界線。見圖3-1-6。注意：注意：區(qū)段疊加法區(qū)段疊加法指結(jié)構(gòu)的任意一段直桿段的彎矩圖疊加方法。見下圖3-1-7圖(a)上所示一剛架結(jié)構(gòu)，要繪制直桿AB區(qū)段的彎矩圖。 （2 2）區(qū)段疊加法區(qū)段疊加法作彎矩圖作彎矩圖 qABFQBABAqFQABFNABFNBA

13、圖3-1-7(a)將直桿段AB取出，見圖(a)右，兩端截開截面上的彎矩MAB、MBA已求出（其它桿端內(nèi)力也可求出）。 另做一與區(qū)段AB等長的簡支梁，見圖(b)左，其上作用有桿端力偶MA、MB和與剛架相同的均布荷載q。 ABqFAyFByABq圖3-1-7(b)v 若簡支梁的桿端外力偶分別等于區(qū)段AB兩端的彎矩，MA=MAB,MB=MBA,容易看出，區(qū)段AB兩端的剪力與簡支梁的支座反力將相等，即，F(xiàn)QAB=FAy, FQBA=FBy 比較比較(a)(a)右、右、(b)(b)右兩受力圖右兩受力圖v 又由于區(qū)段AB兩端的軸力在彎曲小變形的假設(shè)下對彎矩不產(chǎn)生影響v 所以從彎矩圖的角度說，(a)右、(b

14、)右兩受力圖是相同的。 求出直桿區(qū)段兩端的彎矩值，在桿軸原始基線相應(yīng)位置上畫出豎標，并將兩端彎矩豎標連直線。區(qū)段AB的彎矩圖可以利用與簡支梁相同的疊加法制作。其步驟相類似： 在新的基線上疊加相應(yīng)簡支梁與區(qū)段相同荷載的彎矩圖。（相應(yīng)簡支梁，指與所考慮區(qū)段等長且其上荷載也相同的，相應(yīng)于該區(qū)段的簡支梁） 上述方法即為直桿區(qū)段彎矩圖的疊加法。 計算圖示簡支梁，并作彎矩圖和剪力圖。 4mq=14kN/m1m1m1m例3-1-3去掉支座約束，以整體為隔離體，由靜力平衡條件得 0BM 0AM求解：求解：注：結(jié)構(gòu)力學繪制內(nèi)力圖，主要采取按注：結(jié)構(gòu)力學繪制內(nèi)力圖，主要采取按控制點內(nèi)力值控制點內(nèi)力值分段連線分段連

15、線的方法。的方法。1)求支座反力mkNFAy30) 673414(71mkNFBy33) 174414(71() () F =0AxF =30kNA yq=14kN/mF =33kNByF =33kNBy(a) mkNFFMPAyD531723012kNFFFPAyQD237302)計算控制截面彎矩值取D截面以左（下側(cè)受拉）mkNFMByC331331kNFFByQC33取C截面以右(下側(cè)受拉)彎矩圖：見圖(b)，以梁軸線為基線，畫出控制截面彎矩豎標并連以直線；分段疊加各段相應(yīng)簡支梁的彎矩圖，并計算各段中點的彎矩值。 3)3)作內(nèi)力圖作內(nèi)力圖AD段中點： mkNME30427253DC段中點：

16、 mkNMDC718414233532130kN/m53kN/m71kN/m33kN/m(b) M圖 30kN33kN/m(c) FQ圖 剪力圖：見圖(c) ，按圖(a)外力從梁的任意一端開始逐段繪制。注意剪力正負號的確定。計算圖示伸臂梁，并作彎矩圖和剪力圖。 1mq=20kN/m2m1m1m例3-1-21)求支座反力（略） F =5kNAyF=75kNByq=20kN/m(a) 求解：求解：取截面C以左（上側(cè)受拉） mkNqFMAyC301220251222)求控制截面彎矩值mkNMAC52308220213)作內(nèi)力圖各區(qū)段中點彎矩值：AC段中點mkNMDl653024030D右： mkNM

17、Dr53024030CB段中點：D左： 彎矩圖：見圖(b)，剪力圖：見圖(c)。 5kNm65kNm5kNm40kNm30kNm40kN35kN5kN(b) M圖(c) FQ圖 v 區(qū)段疊加法作彎矩圖時，需要熟練計算簡支梁的內(nèi)力，并應(yīng)熟記簡支梁在單一荷載形式下的彎矩圖，如下圖3-1-8所示。說明：說明：Lbaqq2qL82qL2qLLbaPFLa bPFLaPFLb圖3-1-8 (a) (b) LbaMLbMLaLMLM圖3-1-8(c) v 集中力在跨中，簡支梁跨中彎矩為 。 4LFPv 在均布荷載所用下，簡支梁跨中彎矩為 。 82qL結(jié)論：v 集中力偶作用點兩側(cè)截面的彎矩豎標異側(cè)，絕對值之

18、和等于該集中力偶（突變值）。注意到力偶作用點兩側(cè)的彎矩圖斜直線相互平行，由此幾何關(guān)系可確定兩側(cè)截面上的實際彎矩值。當集中力偶在跨中時，梁中點兩側(cè)截面的彎矩值的絕對值相等，均為集中力偶的一半。v 當內(nèi)力圖完成后，注意用荷載與內(nèi)力的微分和增量關(guān)系定性檢查。并熟練掌握用疊加法作直桿的彎矩圖。3.2 3.2 多跨靜定梁多跨靜定梁多跨靜定梁可看作是由若干個單跨靜定梁順序首尾鉸接構(gòu)成的靜定結(jié)構(gòu)。常見于橋梁、屋面檁條等。它有兩種基本的形式，即階梯式和懸跨式。 q 階梯式 圖3-2-1q(b)懸跨式 1. 1. 多跨靜定梁的組成特征多跨靜定梁的組成特征 以階梯式為例。見圖3-2-1（a），這類形式的多跨靜定梁

19、的外在組成形式是，以一根與大地獨立形成幾何不變體的桿件開始，以后各桿件順序首尾鉸接，并每根桿有一根落地支座鏈桿，逐一按兩個剛片的規(guī)則（或依次加二元體的方式）組成。各單桿（單跨靜定梁）之間有互為依賴關(guān)系，即，除與大地獨立有三個支座鏈桿連接的梁外，按加二元體的順序，后續(xù)的每根梁都以前面已形成的剛片為依托形成擴大的剛片。換句話說，若切斷后續(xù)的桿件與緊前桿件的聯(lián)系，或去掉前面任意一根梁或任意約束，則切斷處剩下的部分便成為幾何可變體系，見圖3-2-2FByFBxFByqFBx圖3-2-2-(a) FCxqFCyFCyFCx圖3-2-2-(b) 從受力的角度看，其中AB可獨立承受荷載，并可承受其他部分由鉸

20、B傳來的力，而其他部分則不能。 分析上圖：分析上圖：在多跨靜定梁中，可多跨靜定梁中，可獨立承受獨立承受荷載荷載的部分，叫做的部分，叫做基本部分基本部分；依賴于其他部分才能承受荷載依賴于其他部分才能承受荷載的部分，叫做的部分，叫做附屬部分附屬部分。 由以上可定義:多跨靜定梁的組成順序是，先基本部分，后附屬部分。用分層圖表示見下圖3-2-3，并容易看出，多跨靜定梁的傳力順序是組成順序的反方向，即，由附屬部分傳向基本部分。 qFDyFCyFCxFByFCyFCxqFBxFAyFByFAxFBx(a) (b) 圖3-2-3q圖3-2-3 (c) 多跨靜定梁的實用計算方法，是以各獨立的桿件為隔離體，其計

21、算順序是：先附屬部分，后基本部分。2.2.多跨靜定梁的實用計算方法多跨靜定梁的實用計算方法基本部分上的荷載對附屬部分不產(chǎn)生影響，而附屬部分上的荷載對其以下的基本和相對基本部分均產(chǎn)生影響。 計算圖(a)所示多跨靜定梁，并作內(nèi)力圖。 2m1mq=6kN/m2m1m1m1m3m(a) 例3-1-2該多跨靜定梁為階梯式，分層圖如圖(b) (b) 求解：從最高層附屬部分依次取單根桿件計算，見圖(e)以從右向左的順序計算。據(jù)此作內(nèi)力圖見圖(c)、(d)。 F =2kNAyFByqF =6kNCyF =1kN2FByF =11kNByF=6kNDyF =6kNCy(c)M圖2kN(d)FQ圖 計算圖示多跨靜

22、定梁，并作內(nèi)力圖。 q =32kN/m13m1m1m3m1m4m1m1m2mq =12kN/m2(a)例3-1-2計算見下圖(b)(c)(d)(e)示 ：(b)F =10kNAyF=20kNByq =12kN/m2F=18kNCyF=18kNDyq =32kN/m1F =77.5kN2F =120.5kN120kN18kNF =10kN3F =8kNEy18kN(c)q =32kN/m1(d)M圖 20kN68.5kN52kN59.5kN18kN18kN8kN10kN(e)FQ圖 本例為懸跨式多跨靜定梁，見圖(a)中CD（和AB）桿，該類桿沒有直接與大地的聯(lián)系，懸起用兩單鉸與兩端的其他部分相連，稱有這樣的桿