2015年七年級上數(shù)學寒假作業(yè)_一元一次方程應用題專題講解_第1頁
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文檔簡介

1、word版 數(shù)學列方程解應用題,是初中數(shù)學的重要內容之一。許多實際問題都歸結為解一種方程或方程組,所以列出方程或方程組解應用題是數(shù)學聯(lián)系實際,解決實際問題的一個重要方面;同時通過列方程解應用題,可以培養(yǎng)我們分析問題,解決問題的能力。因此我們要努力學好這部分知識。一、列方程解應用題的一般步驟(解題思路)(1)審審題:認真審題,弄清題意,找出能夠表示本題含義的相等關系(找出等量關系)(2)設設出未知數(shù):根據(jù)提問,巧設未知數(shù)(3)列列出方程:設出未知數(shù)后,表示出有關的含字母的式子,然后利用已找出的等量關系列出方程(4)解解方程:解所列的方程,求出未知數(shù)的值(5)答檢驗,寫答案:檢驗所求出的未知數(shù)的值

2、是否是方程的解,是否符合實際,檢驗后寫出答案(注意帶上單位)二、各類題型解法分析一元一次方程應用題歸類匯集:行程問題,工程問題,和差倍分問題(生產、做工等各類問題),等積變形問題,調配問題,分配問題,配套問題,增長率問題,數(shù)字問題,方案設計與成本分析 ,古典數(shù)學,濃度問題等。(一)和、差、倍、分問題讀題分析法這類問題主要應搞清各量之間的關系,注意關鍵詞語。仔細讀題,找出表示相等關系的關鍵字,例如:“大,小,多,少,是,共,合,為,完成,增加,減少,配套”,利用這些關鍵字列出文字等式,并且據(jù)題意設出未知數(shù),最后利用題目中的量與量的關系填入代數(shù)式,得到方程.1.倍數(shù)關系:通過關鍵詞語“是幾倍,增加

3、幾倍,增加到幾倍,增加百分之幾,增長率”來體現(xiàn)。2.多少關系:通過關鍵詞語“多、少、和、差、不足、剩余”來體現(xiàn)。增長量原有量增長率 現(xiàn)在量原有量增長量例1某單位今年為災區(qū)捐款2萬5千元,比去年的2倍還多1000元,去年該單位為災區(qū)捐款多少元?解:設去年該單位為災區(qū)捐款x元,則2x+1000=25000 2x=24000 x=12000答:去年該單位為災區(qū)捐款12000元.例2旅行社的一輛汽車在第一次旅程中用去油箱里汽油的25%,第二次旅程中用去剩余汽油的40%,這樣油箱中剩的汽油比兩次所用的汽油少1公斤,求油箱里原有汽油多少公斤?解:設油箱里原有汽油x公斤,則 x-25%x+40%(1-25%

4、)x+1=25%x+40%(1-25%)x 即 10%x=1 x=10答:油箱里原有汽油10公斤.(二)等積變形問題等積變形是以形狀改變而體積不變?yōu)榍疤?。常用等量關系為:原料體積=成品體積。常見幾何圖形的面積、體積、周長計算公式,依據(jù)形雖變,但體積不變圓柱體的體積公式 V=底面積高Sh長方體的體積 V長寬高abc例3現(xiàn)有直徑為0.8米的圓柱形鋼坯30米,可足夠鍛造直徑為0.4米,長為3米的圓柱形機軸多少根?解:設可足夠鍛造直徑為0.4米,長為3米的圓柱形機軸x根,則 3.143x=3.1430 0.12x=4.8 x=40答:可足夠鍛造直徑為0.4米,長為3米的圓柱形機軸40根。(三)數(shù)字問題

5、1.要搞清楚數(shù)的表示方法:一個三位數(shù),一般可設百位數(shù)字為a,十位數(shù)字是b,個位數(shù)字為c(其中a、b、c均為整數(shù),且1a9, 0b9, 0c9),則這個三位數(shù)表示為:100a+10b+c2.數(shù)字問題中一些表示:兩個連續(xù)整數(shù)之間的關系,較大的比較小的大1;偶數(shù)用2n表示,連續(xù)的偶數(shù)用2n+2或2n-2表示;奇數(shù)用2n+1或2n1表示。例4有一個三位數(shù),個位數(shù)字為百位數(shù)字的2倍,十位數(shù)字比百位數(shù)字大1,若將此數(shù)個位與百位順序對調(個位變百位)所得的新數(shù)比原數(shù)的2倍少49,求原數(shù)。解:設原數(shù)百位數(shù)為x,則十位數(shù)為10(x+1),個位數(shù)為2x ,于是 100 2x +10(x+1)+x+49=2100x

6、+10(x+1)+2x 即 211x+59=224x+20 13x=39 x=3 故原數(shù)為:1002+104+23=246答:原數(shù)為246.例5一個三位數(shù),三個數(shù)位上的數(shù)字之和是17,百位上的數(shù)比十位上的數(shù)大7,個位上的數(shù) 是十位上的數(shù)的3倍,求這個三位數(shù).分析由已知條件給出了百位和個位上的數(shù)的關系,若設十位上的數(shù)為x,則百位上的數(shù)為x+7,個位上的數(shù)是3x,等量關系為三個數(shù)位上的數(shù)字和為17。解:設這個三位數(shù)十位上的數(shù)為x,則百位上的數(shù)為x+7,個位上的數(shù)是3x,則 x+x+7+3x=17 解得 x=2 x+7=9,3x=6 答:這個三位數(shù)是926。(四)商品利潤問題(市場經濟問題或利潤贏虧

7、問題)(1)銷售問題中常出現(xiàn)的量有:進價(或成本)、售價、標價(或定價)、利潤等。(2)利潤問題常用等量關系:商品利潤商品售價商品進價商品標價折扣率商品進價 (3)商品銷售額商品銷售價商品銷售量商品的銷售利潤(銷售價成本價) 銷售量(4)商品打幾折出售,就是按原標價的百分之幾十出售,如商品打8折出售,即按原標價的80%出售即商品售價=商品標價折扣率例6:一家商店將某種服裝按進價提高40%后標價,又以8折優(yōu)惠賣出,結果每件仍獲 利15元,這種服裝每件的進價是多少?分析探究題目中隱含的條件是關鍵,可直接設出成本為x元,進價折扣率標價優(yōu)惠價利潤x元8折(1+40%)X元80%(1+40%)X15元等

8、量關系:(利潤=折扣后價格進價)折扣后價格進價=15解:設這種服裝每件的進價為x元,則 80%x(1+40%)x=15, 解得x=125答:這種服裝每件的進價是125元。例6*:某商品的進價為800元,出售時標價為1200元,后來由于該商品積壓,商店準備打折出售,但要保持利潤率不低于5%,則至多打幾折? 解:設至多打x折,則根據(jù)題意有 100%=5% 解得 x=0.7=70% 答:至多打7折出售(五)行程問題畫圖分析法利用圖形分析數(shù)學問題是數(shù)形結合思想在數(shù)學中的體現(xiàn),仔細讀題,依照題意畫出有關圖形,使圖形各部分具有特定的含義,通過圖形找相等關系是解決問題的關鍵,從而取得布列方程的依據(jù),最后利用

9、量與量之間的關系(可把未知數(shù)看做已知量),填入有關的代數(shù)式是獲得方程的基礎.1.行程問題中的三個基本量及其關系: 路程速度時間 時間路程速度 速度路程時間2.行程問題基本類型 (1)相遇問題: 快行距慢行距原距 (2)追及問題: 快行距慢行距原距 (3)航行問題: 順水(風)速度靜水(風)速度水流(風)速度 逆水(風)速度靜水(風)速度水流(風)速度 水流速度=(順水速度-逆水速度)2 (4)環(huán)路問題 甲乙同時同地背向而行:甲路程乙路程=環(huán)路一周的距離 甲乙同時同地同向而行:快者的路程慢者的路程=環(huán)路一周的距離抓住兩碼頭間距離不變,水流速和船速(靜不速)不變的特點考慮相等關系即順水逆水問題常用

10、等量關系:順水路程=逆水路程常見的還有:相背而行;行船問題;環(huán)形跑道問題。例7:甲、乙兩站相距480公里,一列慢車從甲站開出,每小時行90公里,一列快車從乙站開出,每小時行140公里。 (1)慢車先開出1小時,快車再開。兩車相向而行。問快車開出多少小時后兩車相遇?(2)兩車同時開出,相背而行多少小時后兩車相距600公里? (3)兩車同時開出,慢車在快車后面同向而行,多少小時后快車與慢車相距600公里? (4)兩車同時開出同向而行,快車在慢車的后面,多少小時后快車追上慢車? (5)慢車開出1小時后兩車同向而行,快車在慢車后面,快車開出后多少小時追上慢車? (此題關鍵是要理解清楚相向、相背、同向等

11、的含義,弄清行駛過程。) 解析:(1)分析:相遇問題,畫圖表示為: 等量關系是:慢車走的路程+快車走的路程=480公里。解:設快車開出x小時后兩車相遇,由題意得,140x+90(x+1)=480 解這個方程,230x=390答:快車開出小時兩車相遇(2)分析:相背而行,畫圖表示為:等量關系是:兩車所走的路程和+480公里=600公里。 解:設x小時后兩車相距600公里,由題意得,(140+90)x+480=600解這個方程,230x=120 x= 答:小時后兩車相距600公里。 (3)分析:等量關系為:快車所走路程慢車所走路程+480公里=600公里。 解:設x小時后兩車相距600公里,由題意

12、得,(14090)x+480=600 50x=120 x=2.4 答:2.4小時后兩車相距600公里。 (4)分析:追及問題,畫圖表示為:等量關系為:快車的路程=慢車走的路程+480公里。 解:設x小時后快車追上慢車。 由題意得,140x=90x+480 解這個方程,50x=480 x=9.6答:9.6小時后快車追上慢車。 (5)分析:追及問題,等量關系為:快車的路程=慢車走的路程+480公里。解:設快車開出x小時后追上慢車。由題意得,140x=90(x+1)+480 50x=570 x=11.4 答:快車開出11.4小時后追上慢車。 例8:一輪船在甲、乙兩碼頭之間航行,順水航行需要4小時,逆

13、水航行需要5小時,水流的速度為2千米/時,求甲、乙兩碼頭之間的距離。解:設甲、乙兩碼頭之間的距離為x千米,則 x=80答:甲、乙兩碼頭之間的距離為80千米.(六)工程問題1工程問題中的三個量及其關系為: 工作總量工作效率工作時間 2經常在題目中未給出工作總量時,設工作總量為單位1。即完成某項任務的各工作量的和總工作量1工程問題常用等量關系:先做的+后做的=完成量例9:將一批工業(yè)最新動態(tài)信息輸入管理儲存網絡,甲獨做需6小時,乙獨做需4小時,甲先做30分鐘,然后甲、乙一起做,則甲、乙一起做還需多少小時才能完成工作?解:設甲、乙一起做還需x小時才能完成工作 根據(jù)題意,得+(+)x=1 解這個方程,得

14、x= =2小時12分 答:甲、乙一起做還需2小時12分才能完成工作例10:一個蓄水池有甲、乙兩個進水管和一個丙排水管,單獨開甲管6小時可注滿水池;單獨開乙管8小時可注滿水池,單獨開丙管9小時可將滿池水排空,若先將甲、乙管同時開放2小時,然后打開丙管,問打開丙管后幾小時可注滿水池? 分析等量關系為:甲注水量+乙注水量-丙排水量=1。 解:設打開丙管后x小時可注滿水池, 則由題意得, 答:打開丙管后小時可注滿水池。例11:一項工程甲單獨做需要10天,乙需要12天,丙單獨做需要15天,甲、丙先做3天后,甲因事離去,乙參與工作,問還需幾天完成?解:設還需x天,則答:還需 天完成。(七)儲蓄問題1顧客存

15、入銀行的錢叫做本金,銀行付給顧客的酬金叫利息,本金和利息合稱本息和,存入銀行的時間叫做期數(shù),利息與本金的比叫做利率.2儲蓄問題中的量及其關系為:利息本金利率期數(shù) 本息和本金+利息 利息稅=利息稅率(20%)例12:某同學把250元錢存入銀行,整存整取,存期為半年。半年后共得本息和252.7元,求銀行半年期的年利率是多少?(不計利息稅) 分析等量關系:本息和=本金(1+利率)解:設半年期的實際利率為X,依題意得方程250(1+X)=252.7, 解得X=0.0108所以年利率為0.01082=0.0216 答:銀行的年利率是21.6%(八)配套問題:這類問題的關鍵是找對配套的兩類物體的數(shù)量關系。

16、例13:某車間有28名工人生產螺栓和螺母,每人每小時平均能生產螺栓12個或螺母18個,應如何分配生產螺栓和螺母的工人,才能使螺栓和螺母正好配套(一個螺栓配兩個螺母)?解:設生產螺栓的人有x名,則生產螺母的有28-x名工人,于是 212x=18(28-x) 即 42x=504 x=12 28-x=16答:應分配12名工人生產螺栓,16名工人生產螺母。例14:機械廠加工車間有85名工人,平均每人每天加工大齒輪16個或小齒輪10個,已知2個大齒輪與3個小齒輪配成一套,問需分別安排多少名工人加工大、小齒輪,才能使每天加工的大小齒輪剛好配套?解:設分配x名工人加工大齒輪,則加工小齒輪的有85-x名工人,

17、于是 16x2=10(85-x)3 34x=850 x=25 85-x=60答:應分配25名工人加工大齒輪,60名工人加工小齒輪。(九)勞力調配問題這類問題要搞清人數(shù)的變化,常見題型有:(1)既有調入又有調出;(2)只有調入沒有調出,調入部分變化,其余不變;(3)只有調出沒有調入,調出部分變化,其余不變。例15某廠一車間有64人,二車間有56人。現(xiàn)因工作需要,要求第一車間人數(shù)是第二車間人數(shù)的一半。問需從第一車間調多少人到第二車間? 解:設需從第一車間調x人到第二車間,則 2(64-x)=56+x即3x=72則 x=24答:需從第一車間調24人到第二車間.例16學校分配學生住宿,如果每室住8人,

18、還少12個床位,如果每室住9人,則空出兩個房間。求房間的個數(shù)和學生的人數(shù)。解:設房間數(shù)為x個,則有學生8x+12人,于是 8x+12=9(x-2) 解得 x=30 則 8x+12=252答:房間數(shù)為30個,學生252人。(十)比例分配問題比例分配問題的一般思路為:設其中一份為x ,利用已知的比,寫出相應的代數(shù)式。常用等量關系:各部分之和=總量。例17:甲、乙、丙三個人每天生產機器零件數(shù)為甲、乙之比為4:3;乙、丙之比為6:5,又知甲與丙的和比乙的2倍多12件,求每個人每天生產多少件?解:設甲每天生產x件,則乙每天生產x件,丙每天生產x件,于是 x+x-12=2x解得 x=96 則 x=72 ,

19、 x=60答:甲每天生產96件,則乙每天生產72件,丙每天生產60件.(十一)年齡問題例19:兄弟二人今年分別為15歲和9歲,多少年后兄的年齡是弟的年齡的2倍?解:設x年后,兄的年齡是弟的年齡的2倍, 則x年后兄的年齡是15+x,弟的年齡是9+x 由題意,得 2(9+x)=15+x 18+2x=15+x 2x-x=15-18 x= -3 答:3年前兄的年齡是弟的年齡的2倍 (點撥:-3年的意義,并不是沒有意義,而是指以今年為起點前的3年,是與3年后具有相反意義的量)例20:三位同學甲乙丙,甲比乙大1歲,乙比丙大2歲,三人的年齡之和是41,求乙同學的年齡。解:設乙同學的年齡為x歲,則甲的年齡為(

20、x+1)歲,丙同學的年齡為(x-2)歲,于是 x+(x+1)+(x-2)= 41即 3x=42 x=14答:乙同學的年齡為14歲,甲同學的年齡為15歲,丙同學的年齡為12歲.(十二)比賽積分問題例21:某企業(yè)對應聘人員進行英語考試,試題由50道選擇題組成,評分標準規(guī)定:每道題的答案選對得3分,不選得0分,選錯倒扣1分。已知某人有5道題未作,得了103分,則這個人選錯了 8 道題。解:設這個人選對了x道題目,則選錯了45-x道題,于是 3x-(45-x)=103 4x=148解得 x=37則 45-x=8答:這個人選錯了8道題.例22:某學校七年級8個班進行足球友誼賽,采用勝一場得3分,平一場得

21、1分,負一場得0分的記分制。某班與其他7個隊各賽1場后,以不敗的戰(zhàn)績積17分,那么該班共勝了幾場比賽?解:設該班共勝了x場比賽,則 3x+(7-x)=17解得 x=5答:該班共勝了5場比賽.(13) 方案選擇問題例23:某家電商場計劃用9萬元從生產廠家購進50臺電視機已知該廠家生產3種不同型號的電視機,出廠價分別為A種每臺1500元,B種每臺2100元,C種每臺2500元(1)若家電商場同時購進兩種不同型號的電視機共50臺,用去9萬元,請你研究一下商場的進貨方案(2)若商場銷售一臺A種電視機可獲利150元,銷售一臺B種電視機可獲利200元,銷售一臺C種電視機可獲利250元,在同時購進兩種不同型

22、號的電視機方案中,為了使銷售時獲利最多,你選擇哪種方案?解:按購A,B兩種,B,C兩種,A,C兩種電視機這三種方案分別計算,設購A種電視機x臺,則B種電視機y臺(1)當選購A,B兩種電視機時,B種電視機購(50-x)臺,可得方程 1500x+2100(50-x)=90000 即 5x+7(50-x)=300 2x=50 x=25 50-x=25當選購A,C兩種電視機時,C種電視機購(50-x)臺,可得方程 1500x+2500(50-x)=90000 3x+5(50-x)=1800 x=35 50-x=15當購B,C兩種電視機時,C種電視機為(50-y)臺 可得方程 2100y+2500(50-y)=90000 21y+25(50-y)=900,4y=350,不合題意由此可選擇兩種方案:一是購A,B兩種電視機25臺;二是購A種電視機35臺,C種電視機15臺 (2)若選擇(1)中的方案,可獲利 15025+25015=8750(元) 若選擇(1)中的方案,可獲利 15035+250

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