大學(xué)數(shù)學(xué)論文

1、本 科 畢 業(yè) 論 文題 目 矩陣的QR分解及應(yīng)用 系 別 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院 專(zhuān) 業(yè) 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué) 指導(dǎo)教師 劉 熠 評(píng)閱教師 班 級(jí) 2008級(jí)3班 姓 名 楊 秀 忠 學(xué) 號(hào) 2011年 5月 16 日目 錄摘要IAbstractI引言12 利用Schmidt正交化求矩陣的QR分解13 利用Householder變換求矩陣的QR分解44 利用Givens變換求矩陣的QR分解75 利用初等變換求矩陣的QR分解106矩陣QR分解的應(yīng)用12參考文獻(xiàn)13結(jié)束語(yǔ)13致謝14摘要：矩陣是數(shù)學(xué)研究中一類(lèi)重要的工具之一，有著非常廣泛的應(yīng)用，矩陣分解對(duì)矩陣?yán)碚摷敖?jì)算數(shù)學(xué)的發(fā)展起了關(guān)鍵作用矩陣的QR分

2、解可以利用Schmidt正交化、Householder矩陣變換、Givens矩陣變換以及矩陣的初等變換等方法進(jìn)行本文給出了這幾種方法的證明及簡(jiǎn)單的應(yīng)用關(guān)鍵詞：QR分解;Schmidt正交化、Householder矩陣變換、Givens矩陣變換、初等變換Abstract：The matrix is a important tool in class of mathematical research, and it has a very wide range of applications plays a key role in matrix theory and development of m

3、odern computational mathematics. The methods of matrix QR decompose have such as Schmidt orthogonalization method, Householder matrix transformation, Givens matrix transformation and elementary transformation to matrix. in this paper , the proof of these methods and simple applications.Key words： QR

4、 decompose;Schmidt orthogonalization;Householder matrix transformation;Givens matrix transformation;elementary transformation1引言如果實(shí)非奇異矩陣A能夠化成正交矩陣Q與實(shí)非奇異上三角矩陣R的乘積，即A=QR (1) 則稱(chēng)（1）為A的QR分解矩陣的QR分解是一種特殊的三角分解，在解決矩陣特征值的計(jì)算、最小二乘法等問(wèn)題中起到重要的作用，而且得到他們的精確解非常重要，但其計(jì)算一直是很繁瑣的數(shù)學(xué)問(wèn)題特別是當(dāng)矩陣的階數(shù)較高時(shí)，計(jì)算量非常大，且不易求其精確解時(shí)，故在工程技術(shù)上，用Q

5、R分解可以得到其在某一精度水平上的近似解QR分解也是特征值算法及QR算法的基礎(chǔ)下面給出4種求求矩陣QR分解的方法及一個(gè)簡(jiǎn)單的應(yīng)用，以加強(qiáng)對(duì)QR分解思想及方法的深刻理解2利用Schmidt正交化求矩陣的QR分解定理11設(shè)，則可以唯一地分解為 其中是正交矩陣，是實(shí)非奇異上三角矩陣證明設(shè)，則，是線性無(wú)關(guān)的用Schmidt方法將，正交化，得 ， ， 其中 ，將上式改寫(xiě)為 ， ， 記 ， ，則上述各式可以寫(xiě)成 ， ， 于是 顯然，是正交矩陣，是實(shí)非奇異上三角矩陣接下來(lái)證明這種分解的唯一性設(shè)有兩個(gè)分解式：，則 所以，既是正交舉證有是實(shí)非奇異上三角矩陣，又易知：既是正交舉證有是實(shí)非奇異上三角矩陣只能是單位矩

6、陣，即有 于是，根據(jù)逆矩陣的唯一性知 ，注由上述證明過(guò)程可得 ，其中，例1試求矩陣的分解解令 ，經(jīng)過(guò)Schmidt正交化，得 ， ， ，令，由注得： 則 利用相同的證明思路，定理1可以推廣位為列滿秩矩陣的情形定理12設(shè)，則可以唯一的分解為其中是實(shí)矩陣，滿足，是實(shí)非奇異上三角陣，容易看出3利用Householder變換求矩陣的QR分解定義21設(shè)且，稱(chēng)為Householder矩陣，由Householder所確定的變換稱(chēng)為Householder變換Householder矩陣有如下性質(zhì)：（1） （對(duì)稱(chēng)矩陣）（2） （正交矩陣） （3） （對(duì)合矩陣）（4） （自逆矩陣）（5）是階Householder矩

7、陣（6）定理22設(shè)為非零列向量，為單位列向量，則存在Householder矩陣，使得證明當(dāng)時(shí)，取單位列向量滿足，則有 當(dāng)時(shí)，取 則有 這里利用了等式 定理23利用Householder變換證明任意都可以進(jìn)行QR分解證明將進(jìn)行列分塊，即，由定理知，存在階Householder矩陣，使得，則 式中 再將按列分塊，即同理，有階Householder矩陣，使得，其中則有階Householder矩陣，使得 式中：同理，繼續(xù)上述步驟，則在第步有 由于皆為Householder矩陣，則有，其中為正交矩陣，為上三角矩陣?yán)?利用Householder變換求矩陣的分解解由的第一列，利用Householder變換公

8、式得 ，則 再對(duì)的第一列做Householder變換，得 ,則 ,則為上三角矩陣，而.4利用Givens變換求矩陣的QR分解定義31設(shè)實(shí)數(shù)與滿足，稱(chēng) 為Givens矩陣，有時(shí)也記為由Givens矩陣所確定的變換稱(chēng)為Givens變換，且當(dāng)時(shí)，必有角度，使得，Givens矩陣有如下性質(zhì)：(1)Givens矩陣是正交矩陣，且有(2)設(shè)，則有 上式表明，時(shí)，選取，就可使，定理32設(shè)，則存在有限個(gè)Givens矩陣的乘積，記做，使得，其中證明先考慮的情形，對(duì)構(gòu)造Givens矩陣，其中，再對(duì)構(gòu)造Givens矩陣;，重復(fù)上述步驟，最后對(duì)構(gòu)造Givens矩陣：其中，令，則有若，考慮，的情形此時(shí)，上面的步驟從開(kāi)始

9、進(jìn)行即得定理結(jié)論定理33利用Givens變換證明任意都可以進(jìn)行QR分解證明將進(jìn)行列分塊，即，由定理知存在Givens矩陣，使得 則 其中，同理，對(duì)于第二列，又存在階Givens矩陣，使得從而其中，同理，繼續(xù)上述過(guò)程，使有，其中為正交矩陣，R為實(shí)可逆上三角陣?yán)?用Givens求矩陣的分解解由的第一列，利用Givens變換公式得，則由于第一列對(duì)角線以下元素已全部為，下面開(kāi)始對(duì)的第二列進(jìn)行計(jì)算有，進(jìn)而有，則為上三角矩陣為正交矩陣5利用初等變換求矩陣的QR分解矩陣的初等變換共有三種，其中把數(shù)域上矩陣的某一行（列）的倍加到另一行（列），這種初等變換稱(chēng)為第種行（列）初等變換（其中是中任意一個(gè)數(shù)）結(jié)論41設(shè)

10、是一個(gè)實(shí)矩陣，若是列滿秩矩陣，則對(duì)稱(chēng)正定，因而有唯一的三角分解式，其中：是單位下三角矩陣;是對(duì)角元全為正數(shù)的對(duì)角矩陣結(jié)論 42若是一個(gè)列滿秩矩陣，則總可經(jīng)過(guò)一對(duì)第種行和列的初等變換分解為的形式其中是一個(gè)列正交矩陣，是一個(gè)非奇異上三角矩陣步驟：1、首先求出正定對(duì)稱(chēng)矩陣;2、對(duì)同時(shí)進(jìn)行相應(yīng)的第種行和列初等變換，得到對(duì)角矩陣且主對(duì)角線上的元素全為正實(shí)數(shù)，又對(duì)矩陣施行行初等變換等價(jià)于用相應(yīng)的初等矩陣左乘該矩陣，對(duì)矩陣施行行列初等變換等價(jià)于用相應(yīng)的初等矩陣右乘該矩陣，故存在下三角矩陣和上三角矩陣（顯然可逆），使得;3、設(shè)，則 其中為單位矩陣;4、令，是一個(gè)列正交矩陣，是一個(gè)非奇異上三角矩陣，的出分解式例

11、4用初等變換求矩陣的QR分解解，對(duì)只用第種初等變換得：有，則，因此，可得：，6 矩陣QR分解的應(yīng)用例5設(shè)為實(shí)數(shù)域上的三階矩陣，則參數(shù)方程 表示中的拋物線證因?yàn)闉榭赡婢仃嚕蚀嬖谌A正交矩陣使 (2)為上三角矩陣，且因可逆，故令，則（1）式可寫(xiě)成 (3)因?yàn)檎痪仃?，所以也是正交矩陣作空間的坐標(biāo)變換這里，則由（3）式知即 （4）化此參數(shù)方程為一般方程得： （5）其中方程表示新坐標(biāo)系下，平面上的拋物線結(jié)束語(yǔ)通過(guò)對(duì)矩陣QR分解的幾種方法的介紹及簡(jiǎn)單的應(yīng)用，掌握了對(duì)矩陣進(jìn)行QR分解的過(guò)程，以及矩陣QR分解在實(shí)際中的應(yīng)用至于矩陣的QR分解方法除了本文討論的幾種情況外，是否還有其他的方法并沒(méi)有進(jìn)行討論矩陣

12、的QR分解作用很廣泛，在不同的領(lǐng)域都發(fā)揮著其獨(dú)特的作用，只要應(yīng)用好，肯定可以使原有的問(wèn)題簡(jiǎn)單而易于理解參考文獻(xiàn)1 周海云，陳青東矩陣?yán)碚摵?jiǎn)明教程M北京：國(guó)防工業(yè)出版社，20112 張禾瑞，郝鈵新高等代數(shù)M北京：高等代數(shù)出版設(shè)，2007，第5版3 朱元國(guó)，饒玲矩陣分析與計(jì)算M北京：國(guó)防工業(yè)出版社，20104 時(shí)寶，蓋明久矩陣分析引論及其應(yīng)用M北京：國(guó)防工業(yè)出版社，20105 程云鵬，張凱院矩陣論M西安：西北工業(yè)大學(xué)出版社，2006，第5版6 李建東矩陣QR分解的三種方法J呂梁高等專(zhuān)科學(xué)校學(xué)報(bào)，2011，25(1)：16-197 馬建榮，劉三陽(yáng)線性代數(shù)選講M北京：電子工業(yè)出版社，20118 王萼芳

13、，石生明高等代數(shù)M高等教育出版社，2003，第5版9 喻方圓矩陣QR分解的一個(gè)簡(jiǎn)單應(yīng)用J工科數(shù)學(xué)，1997，13(1)：139-140致謝歷時(shí)兩個(gè)月的時(shí)間終于將這篇論文寫(xiě)完，在論文的寫(xiě)作過(guò)程中遇到了很多的困難和障礙，都在老師和同學(xué)的幫助下度過(guò)了在準(zhǔn)備過(guò)程中，我學(xué)會(huì)了怎樣在網(wǎng)上查找電子期刊，在寫(xiě)作過(guò)程中，我學(xué)會(huì)了怎樣利用公式編輯器編輯需要的公式，怎樣在word中加入頁(yè)眉頁(yè)腳、插入目錄等等以前不知道的東西在此向幫助和指導(dǎo)過(guò)我的老師和同學(xué)表示最衷心的感謝！最后我還要感謝培養(yǎng)我長(zhǎng)大含辛菇苦的父母，謝謝你們！tgKQcWA3PtGZ7R4I30kA1DkaGhn3XtKknBYCUDxqA7FHYi2C

14、HhI92tgKQcWA3PtGshLs50cLmTWN60eo8Wgqv7XAv2OHUm32WGeaUwYDIAWGMeR4I30kA1DkaGhn3XtKknBYCUDxqA7FHYi2CHhI92tgKQcWA3PtGZ7R4I30kA1DkaGtgKQcWA3PtGZ7R4I30kA1DkaGhn3XtKknBYCUDxqA7FHYi2CHhI92tgKQcWA3PtGshLs50cLmTWN60eo8Wgqv7XAv2OHUm32WGeaUwYDIAWGMeR4I30kA1DkaGhn3XtKknBYCUDxqA7FHYi2CHhI92tgKQcWA3PtGZ7R4I30kA1Dk

15、aGtgKQcWA3PtGZ7R4I30kA1DkaGhn3XtKknBYCUDxqA7FHYi2CHhI92tgKQcWA3PtGshLs50cLmTWN60eo8Wgqv7XAv2OHUm32WGeaUwYDIAWGeR4I30kA1DkaGhn3XtKknBYCUDxqA7FHYi2CHhI92tgKQcWA3PtGZ7R4I30kA1DkaGtgKQcWA3PtGZ7R4I30kA1DkaGhn3XtKknBYCUDxqA7FHYi2CHhI92tgKQcWA3PtGshLs50cLmTWN60eo8Wgqv7XAv2OHUm32WGeaUwYDIAWGMeR4I30kA1DkaGhn3XtKknBYCUDxqA7FHYi2CHhI92tgKQcWA3PtGZ7R4I30kA1DkaGtgKQcWA3PtGZ7R4I30kA1DkaGhn3XtKknBYCUDxqA7FHYi2CHhI92tgKQcWA3PtGshLs50cLmTWN60eo8Wgqv7XAv2OHUm32WGeaUwYDI