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文檔簡(jiǎn)介

1、本 科 畢 業(yè) 論 文題 目 矩陣的QR分解及應(yīng)用 系 別 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院 專 業(yè) 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué) 指導(dǎo)教師 劉 熠 評(píng)閱教師 班 級(jí) 2008級(jí)3班 姓 名 楊 秀 忠 學(xué) 號(hào) 2011年 5月 16 日目 錄摘要IAbstractI引言12 利用Schmidt正交化求矩陣的QR分解13 利用Householder變換求矩陣的QR分解44 利用Givens變換求矩陣的QR分解75 利用初等變換求矩陣的QR分解106矩陣QR分解的應(yīng)用12參考文獻(xiàn)13結(jié)束語13致謝14摘要:矩陣是數(shù)學(xué)研究中一類重要的工具之一,有著非常廣泛的應(yīng)用,矩陣分解對(duì)矩陣?yán)碚摷敖?jì)算數(shù)學(xué)的發(fā)展起了關(guān)鍵作用矩陣的QR分

2、解可以利用Schmidt正交化、Householder矩陣變換、Givens矩陣變換以及矩陣的初等變換等方法進(jìn)行本文給出了這幾種方法的證明及簡(jiǎn)單的應(yīng)用關(guān)鍵詞:QR分解;Schmidt正交化、Householder矩陣變換、Givens矩陣變換、初等變換Abstract:The matrix is a important tool in class of mathematical research, and it has a very wide range of applications plays a key role in matrix theory and development of m

3、odern computational mathematics. The methods of matrix QR decompose have such as Schmidt orthogonalization method, Householder matrix transformation, Givens matrix transformation and elementary transformation to matrix. in this paper , the proof of these methods and simple applications.Key words: QR

4、 decompose;Schmidt orthogonalization;Householder matrix transformation;Givens matrix transformation;elementary transformation1引言如果實(shí)非奇異矩陣A能夠化成正交矩陣Q與實(shí)非奇異上三角矩陣R的乘積,即A=QR (1) 則稱(1)為A的QR分解矩陣的QR分解是一種特殊的三角分解,在解決矩陣特征值的計(jì)算、最小二乘法等問題中起到重要的作用,而且得到他們的精確解非常重要,但其計(jì)算一直是很繁瑣的數(shù)學(xué)問題特別是當(dāng)矩陣的階數(shù)較高時(shí),計(jì)算量非常大,且不易求其精確解時(shí),故在工程技術(shù)上,用Q

5、R分解可以得到其在某一精度水平上的近似解QR分解也是特征值算法及QR算法的基礎(chǔ)下面給出4種求求矩陣QR分解的方法及一個(gè)簡(jiǎn)單的應(yīng)用,以加強(qiáng)對(duì)QR分解思想及方法的深刻理解2利用Schmidt正交化求矩陣的QR分解定理11設(shè),則可以唯一地分解為 其中是正交矩陣,是實(shí)非奇異上三角矩陣證明設(shè),則,是線性無關(guān)的用Schmidt方法將,正交化,得 , , 其中 ,將上式改寫為 , , 記 , ,則上述各式可以寫成 , , 于是 顯然,是正交矩陣,是實(shí)非奇異上三角矩陣接下來證明這種分解的唯一性設(shè)有兩個(gè)分解式:,則 所以,既是正交舉證有是實(shí)非奇異上三角矩陣,又易知:既是正交舉證有是實(shí)非奇異上三角矩陣只能是單位矩

6、陣,即有 于是,根據(jù)逆矩陣的唯一性知 ,注由上述證明過程可得 ,其中,例1試求矩陣的分解解令 ,經(jīng)過Schmidt正交化,得 , , ,令,由注得: 則 利用相同的證明思路,定理1可以推廣位為列滿秩矩陣的情形定理12設(shè),則可以唯一的分解為其中是實(shí)矩陣,滿足,是實(shí)非奇異上三角陣,容易看出3利用Householder變換求矩陣的QR分解定義21設(shè)且,稱為Householder矩陣,由Householder所確定的變換稱為Householder變換Householder矩陣有如下性質(zhì):(1) (對(duì)稱矩陣)(2) (正交矩陣) (3) (對(duì)合矩陣)(4) (自逆矩陣)(5)是階Householder矩

7、陣(6)定理22設(shè)為非零列向量,為單位列向量,則存在Householder矩陣,使得證明當(dāng)時(shí),取單位列向量滿足,則有 當(dāng)時(shí),取 則有 這里利用了等式 定理23利用Householder變換證明任意都可以進(jìn)行QR分解證明將進(jìn)行列分塊,即,由定理知,存在階Householder矩陣,使得,則 式中 再將按列分塊,即同理,有階Householder矩陣,使得,其中則有階Householder矩陣,使得 式中:同理,繼續(xù)上述步驟,則在第步有 由于皆為Householder矩陣,則有,其中為正交矩陣,為上三角矩陣?yán)?利用Householder變換求矩陣的分解解由的第一列,利用Householder變換公

8、式得 ,則 再對(duì)的第一列做Householder變換,得 ,則 ,則為上三角矩陣,而.4利用Givens變換求矩陣的QR分解定義31設(shè)實(shí)數(shù)與滿足,稱 為Givens矩陣,有時(shí)也記為由Givens矩陣所確定的變換稱為Givens變換,且當(dāng)時(shí),必有角度,使得,Givens矩陣有如下性質(zhì):(1)Givens矩陣是正交矩陣,且有(2)設(shè),則有 上式表明,時(shí),選取,就可使,定理32設(shè),則存在有限個(gè)Givens矩陣的乘積,記做,使得,其中證明先考慮的情形,對(duì)構(gòu)造Givens矩陣,其中,再對(duì)構(gòu)造Givens矩陣;,重復(fù)上述步驟,最后對(duì)構(gòu)造Givens矩陣:其中,令,則有若,考慮,的情形此時(shí),上面的步驟從開始

9、進(jìn)行即得定理結(jié)論定理33利用Givens變換證明任意都可以進(jìn)行QR分解證明將進(jìn)行列分塊,即,由定理知存在Givens矩陣,使得 則 其中,同理,對(duì)于第二列,又存在階Givens矩陣,使得從而其中,同理,繼續(xù)上述過程,使有,其中為正交矩陣,R為實(shí)可逆上三角陣?yán)?用Givens求矩陣的分解解由的第一列,利用Givens變換公式得,則由于第一列對(duì)角線以下元素已全部為,下面開始對(duì)的第二列進(jìn)行計(jì)算有,進(jìn)而有,則為上三角矩陣為正交矩陣5利用初等變換求矩陣的QR分解矩陣的初等變換共有三種,其中把數(shù)域上矩陣的某一行(列)的倍加到另一行(列),這種初等變換稱為第種行(列)初等變換(其中是中任意一個(gè)數(shù))結(jié)論41設(shè)

10、是一個(gè)實(shí)矩陣,若是列滿秩矩陣,則對(duì)稱正定,因而有唯一的三角分解式,其中:是單位下三角矩陣;是對(duì)角元全為正數(shù)的對(duì)角矩陣結(jié)論 42若是一個(gè)列滿秩矩陣,則總可經(jīng)過一對(duì)第種行和列的初等變換分解為的形式其中是一個(gè)列正交矩陣,是一個(gè)非奇異上三角矩陣步驟:1、首先求出正定對(duì)稱矩陣;2、對(duì)同時(shí)進(jìn)行相應(yīng)的第種行和列初等變換,得到對(duì)角矩陣且主對(duì)角線上的元素全為正實(shí)數(shù),又對(duì)矩陣施行行初等變換等價(jià)于用相應(yīng)的初等矩陣左乘該矩陣,對(duì)矩陣施行行列初等變換等價(jià)于用相應(yīng)的初等矩陣右乘該矩陣,故存在下三角矩陣和上三角矩陣(顯然可逆),使得;3、設(shè),則 其中為單位矩陣;4、令,是一個(gè)列正交矩陣,是一個(gè)非奇異上三角矩陣,的出分解式例

11、4用初等變換求矩陣的QR分解解,對(duì)只用第種初等變換得:有,則,因此,可得:,6 矩陣QR分解的應(yīng)用例5設(shè)為實(shí)數(shù)域上的三階矩陣,則參數(shù)方程 表示中的拋物線證因?yàn)闉榭赡婢仃嚕蚀嬖谌A正交矩陣使 (2)為上三角矩陣,且因可逆,故令,則(1)式可寫成 (3)因?yàn)檎痪仃?,所以也是正交矩陣作空間的坐標(biāo)變換這里,則由(3)式知即 (4)化此參數(shù)方程為一般方程得: (5)其中方程表示新坐標(biāo)系下,平面上的拋物線結(jié)束語通過對(duì)矩陣QR分解的幾種方法的介紹及簡(jiǎn)單的應(yīng)用,掌握了對(duì)矩陣進(jìn)行QR分解的過程,以及矩陣QR分解在實(shí)際中的應(yīng)用至于矩陣的QR分解方法除了本文討論的幾種情況外,是否還有其他的方法并沒有進(jìn)行討論矩陣

12、的QR分解作用很廣泛,在不同的領(lǐng)域都發(fā)揮著其獨(dú)特的作用,只要應(yīng)用好,肯定可以使原有的問題簡(jiǎn)單而易于理解參考文獻(xiàn)1 周海云,陳青東矩陣?yán)碚摵?jiǎn)明教程M北京:國(guó)防工業(yè)出版社,20112 張禾瑞,郝鈵新高等代數(shù)M北京:高等代數(shù)出版設(shè),2007,第5版3 朱元國(guó),饒玲矩陣分析與計(jì)算M北京:國(guó)防工業(yè)出版社,20104 時(shí)寶,蓋明久矩陣分析引論及其應(yīng)用M北京:國(guó)防工業(yè)出版社,20105 程云鵬,張凱院矩陣論M西安:西北工業(yè)大學(xué)出版社,2006,第5版6 李建東矩陣QR分解的三種方法J呂梁高等??茖W(xué)校學(xué)報(bào),2011,25(1):16-197 馬建榮,劉三陽線性代數(shù)選講M北京:電子工業(yè)出版社,20118 王萼芳

13、,石生明高等代數(shù)M高等教育出版社,2003,第5版9 喻方圓矩陣QR分解的一個(gè)簡(jiǎn)單應(yīng)用J工科數(shù)學(xué),1997,13(1):139-140致謝歷時(shí)兩個(gè)月的時(shí)間終于將這篇論文寫完,在論文的寫作過程中遇到了很多的困難和障礙,都在老師和同學(xué)的幫助下度過了在準(zhǔn)備過程中,我學(xué)會(huì)了怎樣在網(wǎng)上查找電子期刊,在寫作過程中,我學(xué)會(huì)了怎樣利用公式編輯器編輯需要的公式,怎樣在word中加入頁眉頁腳、插入目錄等等以前不知道的東西在此向幫助和指導(dǎo)過我的老師和同學(xué)表示最衷心的感謝!最后我還要感謝培養(yǎng)我長(zhǎng)大含辛菇苦的父母,謝謝你們!tgKQcWA3PtGZ7R4I30kA1DkaGhn3XtKknBYCUDxqA7FHYi2C

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