大學數(shù)學論文

1、本 科 畢 業(yè) 論 文題 目 矩陣的QR分解及應用 系 別 數(shù)學與信息科學學院 專 業(yè) 數(shù)學與應用數(shù)學 指導教師 劉 熠 評閱教師 班 級 2008級3班 姓 名 楊 秀 忠 學 號 2011年 5月 16 日目 錄摘要IAbstractI引言12 利用Schmidt正交化求矩陣的QR分解13 利用Householder變換求矩陣的QR分解44 利用Givens變換求矩陣的QR分解75 利用初等變換求矩陣的QR分解106矩陣QR分解的應用12參考文獻13結(jié)束語13致謝14摘要：矩陣是數(shù)學研究中一類重要的工具之一，有著非常廣泛的應用，矩陣分解對矩陣理論及近代計算數(shù)學的發(fā)展起了關(guān)鍵作用矩陣的QR分

2、解可以利用Schmidt正交化、Householder矩陣變換、Givens矩陣變換以及矩陣的初等變換等方法進行本文給出了這幾種方法的證明及簡單的應用關(guān)鍵詞：QR分解;Schmidt正交化、Householder矩陣變換、Givens矩陣變換、初等變換Abstract：The matrix is a important tool in class of mathematical research, and it has a very wide range of applications plays a key role in matrix theory and development of m

3、odern computational mathematics. The methods of matrix QR decompose have such as Schmidt orthogonalization method, Householder matrix transformation, Givens matrix transformation and elementary transformation to matrix. in this paper , the proof of these methods and simple applications.Key words： QR

4、 decompose;Schmidt orthogonalization;Householder matrix transformation;Givens matrix transformation;elementary transformation1引言如果實非奇異矩陣A能夠化成正交矩陣Q與實非奇異上三角矩陣R的乘積，即A=QR (1) 則稱（1）為A的QR分解矩陣的QR分解是一種特殊的三角分解，在解決矩陣特征值的計算、最小二乘法等問題中起到重要的作用，而且得到他們的精確解非常重要，但其計算一直是很繁瑣的數(shù)學問題特別是當矩陣的階數(shù)較高時，計算量非常大，且不易求其精確解時，故在工程技術(shù)上，用Q

5、R分解可以得到其在某一精度水平上的近似解QR分解也是特征值算法及QR算法的基礎(chǔ)下面給出4種求求矩陣QR分解的方法及一個簡單的應用，以加強對QR分解思想及方法的深刻理解2利用Schmidt正交化求矩陣的QR分解定理11設(shè)，則可以唯一地分解為 其中是正交矩陣，是實非奇異上三角矩陣證明設(shè)，則，是線性無關(guān)的用Schmidt方法將，正交化，得 ， ， 其中 ，將上式改寫為 ， ， 記 ， ，則上述各式可以寫成 ， ， 于是 顯然，是正交矩陣，是實非奇異上三角矩陣接下來證明這種分解的唯一性設(shè)有兩個分解式：，則 所以，既是正交舉證有是實非奇異上三角矩陣，又易知：既是正交舉證有是實非奇異上三角矩陣只能是單位矩

6、陣，即有 于是，根據(jù)逆矩陣的唯一性知 ，注由上述證明過程可得 ，其中，例1試求矩陣的分解解令 ，經(jīng)過Schmidt正交化，得 ， ， ，令，由注得： 則 利用相同的證明思路，定理1可以推廣位為列滿秩矩陣的情形定理12設(shè)，則可以唯一的分解為其中是實矩陣，滿足，是實非奇異上三角陣，容易看出3利用Householder變換求矩陣的QR分解定義21設(shè)且，稱為Householder矩陣，由Householder所確定的變換稱為Householder變換Householder矩陣有如下性質(zhì)：（1） （對稱矩陣）（2） （正交矩陣） （3） （對合矩陣）（4） （自逆矩陣）（5）是階Householder矩

7、陣（6）定理22設(shè)為非零列向量，為單位列向量，則存在Householder矩陣，使得證明當時，取單位列向量滿足，則有 當時，取 則有 這里利用了等式 定理23利用Householder變換證明任意都可以進行QR分解證明將進行列分塊，即，由定理知，存在階Householder矩陣，使得，則 式中 再將按列分塊，即同理，有階Householder矩陣，使得，其中則有階Householder矩陣，使得 式中：同理，繼續(xù)上述步驟，則在第步有 由于皆為Householder矩陣，則有，其中為正交矩陣，為上三角矩陣例2利用Householder變換求矩陣的分解解由的第一列，利用Householder變換公

8、式得 ，則 再對的第一列做Householder變換，得 ,則 ,則為上三角矩陣，而.4利用Givens變換求矩陣的QR分解定義31設(shè)實數(shù)與滿足，稱 為Givens矩陣，有時也記為由Givens矩陣所確定的變換稱為Givens變換，且當時，必有角度，使得，Givens矩陣有如下性質(zhì)：(1)Givens矩陣是正交矩陣，且有(2)設(shè)，則有 上式表明，時，選取，就可使，定理32設(shè)，則存在有限個Givens矩陣的乘積，記做，使得，其中證明先考慮的情形，對構(gòu)造Givens矩陣，其中，再對構(gòu)造Givens矩陣;，重復上述步驟，最后對構(gòu)造Givens矩陣：其中，令，則有若，考慮，的情形此時，上面的步驟從開始

9、進行即得定理結(jié)論定理33利用Givens變換證明任意都可以進行QR分解證明將進行列分塊，即，由定理知存在Givens矩陣，使得 則 其中，同理，對于第二列，又存在階Givens矩陣，使得從而其中，同理，繼續(xù)上述過程，使有，其中為正交矩陣，R為實可逆上三角陣例3用Givens求矩陣的分解解由的第一列，利用Givens變換公式得，則由于第一列對角線以下元素已全部為，下面開始對的第二列進行計算有，進而有，則為上三角矩陣為正交矩陣5利用初等變換求矩陣的QR分解矩陣的初等變換共有三種，其中把數(shù)域上矩陣的某一行（列）的倍加到另一行（列），這種初等變換稱為第種行（列）初等變換（其中是中任意一個數(shù)）結(jié)論41設(shè)

10、是一個實矩陣，若是列滿秩矩陣，則對稱正定，因而有唯一的三角分解式，其中：是單位下三角矩陣;是對角元全為正數(shù)的對角矩陣結(jié)論 42若是一個列滿秩矩陣，則總可經(jīng)過一對第種行和列的初等變換分解為的形式其中是一個列正交矩陣，是一個非奇異上三角矩陣步驟：1、首先求出正定對稱矩陣;2、對同時進行相應的第種行和列初等變換，得到對角矩陣且主對角線上的元素全為正實數(shù)，又對矩陣施行行初等變換等價于用相應的初等矩陣左乘該矩陣，對矩陣施行行列初等變換等價于用相應的初等矩陣右乘該矩陣，故存在下三角矩陣和上三角矩陣（顯然可逆），使得;3、設(shè)，則 其中為單位矩陣;4、令，是一個列正交矩陣，是一個非奇異上三角矩陣，的出分解式例

11、4用初等變換求矩陣的QR分解解，對只用第種初等變換得：有，則，因此，可得：，6 矩陣QR分解的應用例5設(shè)為實數(shù)域上的三階矩陣，則參數(shù)方程 表示中的拋物線證因為為可逆矩陣，故存在三階正交矩陣使 (2)為上三角矩陣，且因可逆，故令，則（1）式可寫成 (3)因為正交矩陣，所以也是正交矩陣作空間的坐標變換這里，則由（3）式知即 （4）化此參數(shù)方程為一般方程得： （5）其中方程表示新坐標系下，平面上的拋物線結(jié)束語通過對矩陣QR分解的幾種方法的介紹及簡單的應用，掌握了對矩陣進行QR分解的過程，以及矩陣QR分解在實際中的應用至于矩陣的QR分解方法除了本文討論的幾種情況外，是否還有其他的方法并沒有進行討論矩陣

12、的QR分解作用很廣泛，在不同的領(lǐng)域都發(fā)揮著其獨特的作用，只要應用好，肯定可以使原有的問題簡單而易于理解參考文獻1 周海云，陳青東矩陣理論簡明教程M北京：國防工業(yè)出版社，20112 張禾瑞，郝鈵新高等代數(shù)M北京：高等代數(shù)出版設(shè)，2007，第5版3 朱元國，饒玲矩陣分析與計算M北京：國防工業(yè)出版社，20104 時寶，蓋明久矩陣分析引論及其應用M北京：國防工業(yè)出版社，20105 程云鵬，張凱院矩陣論M西安：西北工業(yè)大學出版社，2006，第5版6 李建東矩陣QR分解的三種方法J呂梁高等?？茖W校學報，2011，25(1)：16-197 馬建榮，劉三陽線性代數(shù)選講M北京：電子工業(yè)出版社，20118 王萼芳

13、，石生明高等代數(shù)M高等教育出版社，2003，第5版9 喻方圓矩陣QR分解的一個簡單應用J工科數(shù)學，1997，13(1)：139-140致謝歷時兩個月的時間終于將這篇論文寫完，在論文的寫作過程中遇到了很多的困難和障礙，都在老師和同學的幫助下度過了在準備過程中，我學會了怎樣在網(wǎng)上查找電子期刊，在寫作過程中，我學會了怎樣利用公式編輯器編輯需要的公式，怎樣在word中加入頁眉頁腳、插入目錄等等以前不知道的東西在此向幫助和指導過我的老師和同學表示最衷心的感謝！最后我還要感謝培養(yǎng)我長大含辛菇苦的父母，謝謝你們！tgKQcWA3PtGZ7R4I30kA1DkaGhn3XtKknBYCUDxqA7FHYi2C

14、HhI92tgKQcWA3PtGshLs50cLmTWN60eo8Wgqv7XAv2OHUm32WGeaUwYDIAWGMeR4I30kA1DkaGhn3XtKknBYCUDxqA7FHYi2CHhI92tgKQcWA3PtGZ7R4I30kA1DkaGtgKQcWA3PtGZ7R4I30kA1DkaGhn3XtKknBYCUDxqA7FHYi2CHhI92tgKQcWA3PtGshLs50cLmTWN60eo8Wgqv7XAv2OHUm32WGeaUwYDIAWGMeR4I30kA1DkaGhn3XtKknBYCUDxqA7FHYi2CHhI92tgKQcWA3PtGZ7R4I30kA1Dk

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