《數(shù)值計算方法》試題集及答案

1、數(shù)值計算方法復(fù)習試題一、填空題：1、，則a的lu分解為 。答案：3、，則過這三點的二次插值多項式中的系數(shù)為 ，拉格朗日插值多項式為 。答案：-1， 4、近似值關(guān)于真值有( 2 )位有效數(shù)字；5、設(shè)可微,求方程的牛頓迭代格式是( )；答案6、對,差商( 1 ),( 0 )；7、計算方法主要研究( 截斷 )誤差和( 舍入 )誤差；8、用二分法求非線性方程f (x)=0在區(qū)間(a,b)內(nèi)的根時，二分n次后的誤差限為( )；9、求解一階常微分方程初值問題= f (x,y)，y(x0)=y0的改進的歐拉公式為( )；10、已知f(1)2，f(2)3，f(4)5.9，則二次newton插值多項式中x2系數(shù)

2、為( 0.15 )；11、 兩點式高斯型求積公式( )，代數(shù)精度為( 5 )；12、 解線性方程組ax=b的高斯順序消元法滿足的充要條件為(a的各階順序主子式均不為零)。13、 用二分法求方程在區(qū)間0,1內(nèi)的根,進行一步后根的所在區(qū)間為 0.5，1 ,進行兩步后根的所在區(qū)間為 0.5，0.75 。 14、 求解方程組的高斯塞德爾迭代格式為 ，該迭代格式的迭代矩陣的譜半徑= 。15、 設(shè),則 ，的二次牛頓插值多項式為 。21、如果用二分法求方程在區(qū)間內(nèi)的根精確到三位小數(shù)，需對分（ 10 ）次。26、改變函數(shù) ()的形式，使計算結(jié)果較精確 。30、寫出求解方程組的gauss-seidel迭代公式

3、，迭代矩陣為 ，此迭代法是否收斂 收斂 。31、設(shè),則 9 。33、若，則差商 3 。35、 線性方程組的最小二乘解為 。二、單項選擇題：1、 jacobi迭代法解方程組的必要條件是（ c ）。 aa的各階順序主子式不為零 b c d 2、設(shè)，則為( c ) a 2 b 5 c 7 d 34、求解線性方程組ax=b的lu分解法中，a須滿足的條件是( b )。a 對稱陣 b 正定矩陣 c 任意陣 d 各階順序主子式均不為零 5、舍入誤差是( a )產(chǎn)生的誤差。a. 只取有限位數(shù) b模型準確值與用數(shù)值方法求得的準確值c 觀察與測量 d數(shù)學(xué)模型準確值與實際值 6、3.141580是的有( b )位有

4、效數(shù)字的近似值。 a 6 b 5 c 4 d 7 7、用 1+x近似表示ex所產(chǎn)生的誤差是( c )誤差。a 模型 b 觀測 c 截斷 d 舍入 8、解線性方程組的主元素消去法中選擇主元的目的是( a )。a控制舍入誤差 b 減小方法誤差c防止計算時溢出 d 簡化計算 9、用1+近似表示所產(chǎn)生的誤差是( d )誤差。 a 舍入 b 觀測 c 模型 d 截斷 10、-3247500是舍入得到的近似值，它有( c )位有效數(shù)字。 a 5 b 6 c 7 d 811、設(shè)f (-1)=1,f (0)=3,f (2)=4,則拋物插值多項式中x2的系數(shù)為( a )。 a 05 b 05 c 2 d -21

5、3、( d )的3位有效數(shù)字是0.236102。(a) 0.0023549103 (b) 2354.82102 (c) 235.418 (d) 235.5410114、用簡單迭代法求方程f(x)=0的實根，把方程f(x)=0表示成x=j(x)，則f(x)=0的根是( b )。(a) y=j(x)與x軸交點的橫坐標 (b) y=x與y=j(x)交點的橫坐標(c) y=x與x軸的交點的橫坐標 (d) y=x與y=j(x)的交點15、用列主元消去法解線性方程組，第1次消元，選擇主元為( a ) 。(a) 4 (b) 3 (c) 4 (d)916、拉格朗日插值多項式的余項是( b ),牛頓插值多項式的

6、余項是( c ) 。(a) f(x,x0,x1,x2,xn)(xx1)(xx2)(xxn1)(xxn)，(b) (c) f(x,x0,x1,x2,xn)(xx0)(xx1)(xx2)(xxn1)(xxn)，(d) 18、用牛頓切線法解方程f(x)=0，選初始值x0滿足( a ),則它的解數(shù)列xnn=0,1,2,一定收斂到方程f(x)=0的根。19、為求方程x3x21=0在區(qū)間1.3,1.6內(nèi)的一個根，把方程改寫成下列形式，并建立相應(yīng)的迭代公式，迭代公式不收斂的是(a )。(a) (b)(c)(d)21、解方程組的簡單迭代格式收斂的充要條件是（ ）。（1）, (2) , (3) , (4) 23

7、、有下列數(shù)表x00.511.522.5f(x)-2-1.75-10.2524.25所確定的插值多項式的次數(shù)是（ ）。（1）二次； （2）三次； （3）四次； （4）五次25、取計算，下列方法中哪種最好？（）(a)； (b)； (c) ； (d) 。27、由下列數(shù)表進行newton插值，所確定的插值多項式的最高次數(shù)是（）1.52.53.5-10.52.55.08.011.5(a)； (b)； (c) ； (d) 。28、形如的高斯（gauss）型求積公式的代數(shù)精度為（）(a)； (b)； (c) ； (d) 。29、計算的newton迭代格式為( )(a) ；(b)；(c) ；(d) 。 30、

8、用二分法求方程在區(qū)間內(nèi)的實根，要求誤差限為，則對分次數(shù)至少為( ) (a)10； (b)12； (c)8； (d)9。35、已知方程在附近有根，下列迭代格式中在不收斂的是( )(a)； (b)； (c)； (d)。36、由下列數(shù)據(jù)012341243-5確定的唯一插值多項式的次數(shù)為( )(a) 4； (b)2； (c)1； (d)3。37、5個節(jié)點的gauss型求積公式的最高代數(shù)精度為( )(a)8； (b)9； (c)10； (d)11。三、是非題（認為正確的在后面的括弧中打，否則打）1、 表示在節(jié)點x1的二次(拉格朗日)插值基函數(shù)。 ( )4、牛頓插值多項式的優(yōu)點是在計算時，高一級的插值多項

9、式可利用前一次插值的結(jié)果。 ( ) 四、計算題：1、 用高斯-塞德爾方法解方程組 ，取，迭代四次(要求按五位有效數(shù)字計算)。答案：迭代格式 k000012.75003.8125 2.537520.20938 3.17893.680530.240432.59973.183940.504202.48203.70192、 已知13452654分別用拉格朗日插值法和牛頓插值法求的三次插值多項式，并求的近似值（保留四位小數(shù)）。答案： 差商表為一階均差二階均差三階均差1236245-1-154-10 5、已知-2-101242135求的二次擬合曲線，并求的近似值。答案：解：0-244-816-8161-1

10、21-11-2220100000313111334254816102001510034341正規(guī)方程組為 6、已知區(qū)間0.4，0.8的函數(shù)表0.4 0.5 0.6 0.7 0.80.38942 0.47943 0.56464 0.64422 0.71736如用二次插值求的近似值，如何選擇節(jié)點才能使誤差最?。坎⑶笤摻浦?。答案：解： 應(yīng)選三個節(jié)點，使誤差 盡量小，即應(yīng)使盡量小，最靠近插值點的三個節(jié)點滿足上述要求。即取節(jié)點最好，實際計算結(jié)果， 且 8利用矩陣的lu分解法解方程組 。答案：解： 令得，得. 9對方程組 （1） 試建立一種收斂的seidel迭代公式，說明理由；（2） 取初值，利用（1）

11、中建立的迭代公式求解，要求。解：調(diào)整方程組的位置，使系數(shù)矩陣嚴格對角占優(yōu)故對應(yīng)的高斯塞德爾迭代法收斂.迭代格式為取,經(jīng)7步迭代可得：. 11、用列主元素消元法求解方程組 。解： 回代得 。 12、取節(jié)點,求函數(shù)在區(qū)間0,1上的二次插值多項式,并估計誤差。解： 又 故截斷誤差 。14、給定方程1) 分析該方程存在幾個根；2) 用迭代法求出這些根，精確到5位有效數(shù)字；3) 說明所用的迭代格式是收斂的。解：1）將方程 （1）改寫為 （2） 作函數(shù)，的圖形（略）知（2）有唯一根。2) 將方程（2）改寫為 構(gòu)造迭代格式 計算結(jié)果列表如下：k123456789xk1.223131.294311.27409

12、1.279691.278121.278561.278441.278471.278463) ，當時，且所以迭代格式 對任意均收斂。15、用牛頓(切線)法求的近似值。取x0=1.7, 計算三次，保留五位小數(shù)。解：是的正根，牛頓迭代公式為， 即 取x0=1.7, 列表如下：1231.732351.732051.7320516、已知f (-1)=2，f (1)=3，f (2)=-4，求拉格朗日插值多項式及f (1，5)的近似值，取五位小數(shù)。解：18、用gauss-seidel迭代法求解線性方程組 =，取x(0)=(0,0,0)t,列表計算三次，保留三位小數(shù)。解：gauss-seidel迭代格式為：系數(shù)

13、矩陣嚴格對角占優(yōu)，故gauss-seidel迭代收斂.取x(0)=(0,0,0)t，列表計算如下:11.6670.889-2.19522.3980.867-2.38332.4610.359-2.52622、（15分）方程在附近有根，把方程寫成三種不同的等價形式（1）對應(yīng)迭代格式；(2)對應(yīng)迭代格式；（3）對應(yīng)迭代格式。判斷迭代格式在的收斂性，選一種收斂格式計算附近的根，精確到小數(shù)點后第三位。解：（1），故收斂；（2），故收斂；（3），故發(fā)散。選擇（1）：， ，23、（8分）已知方程組，其中，（1） 列出jacobi迭代法和gauss-seidel迭代法的分量形式。（2） 求出jacobi迭代矩

14、陣的譜半徑。解：jacobi迭代法：gauss-seidel迭代法：， 31、(12分)以100,121,144為插值節(jié)點，用插值法計算的近似值，并利用余項估計誤差。用newton插值方法：差分表：1001211441011120.04761900.0434783-0.000094113610+0.0476190(115-100)-0.0000941136(115-100)(115-121)=10.722755533、(10分)用gauss列主元消去法解方程組： 3.0000 1.0000 5.0000 34.0000 0.0000 3.6667 0.3333 12.6667 0.0000 5

15、.3333 -2.3333 4.3333 3.0000 1.0000 5.0000 34.0000 0.0000 5.3333 -2.3333 4.33330.0 0000 1.9375 9.687534、(8分)求方程組 的最小二乘解。， 若用householder變換，則：最小二乘解： (-1.33333，2.00000)t.37、（15分）已知方程組，其中，（1）寫出該方程組的jacobi迭代法和gauss-seidel迭代法的分量形式；（2）判斷（1）中兩種方法的收斂性，如果均收斂，說明哪一種方法收斂更快；解：（1）jacobi迭代法的分量形式 gauss-seidel迭代法的分量形式

16、 （2）jacobi迭代法的迭代矩陣為， ，jacobi迭代法收斂 gauss-seidel迭代法的迭代矩陣為， ，gauss-seidel迭代法發(fā)散 40、(10分)已知下列函數(shù)表：012313927(1)寫出相應(yīng)的三次lagrange插值多項式；(2)作均差表，寫出相應(yīng)的三次newton插值多項式，并計算的近似值。解：（1） （2）均差表： 43、(10分)已知方程組，其中，(1)列出jacobi迭代法和gauss-seidel迭代法的分量形式；(2)討論上述兩種迭代法的收斂性。解：（1）jacobi迭代法： jacobi迭代矩陣： 收斂性不能確定 （2）gauss-seidel迭代法：

17、gauss-seidel迭代矩陣： 該迭代法收斂 數(shù)值計算方法試題一一、 填空題（每空1分，共17分）1、如果用二分法求方程在區(qū)間內(nèi)的根精確到三位小數(shù)，需對分（ ）次。2、迭代格式局部收斂的充分條件是取值在（）。4、是以整數(shù)點為節(jié)點的lagrange插值基函數(shù)，則( )，( )，當時( )。5、設(shè)和節(jié)點則 和。6、5個節(jié)點的牛頓-柯特斯求積公式的代數(shù)精度為 ，5個節(jié)點的求積公式最高代數(shù)精度為 10、設(shè)，當（ ）時，必有分解式，其中為下三角陣，當其對角線元素滿足（ ）條件時，這種分解是唯一的。二、 二、選擇題（每題2分）1、解方程組的簡單迭代格式收斂的充要條件是（ ）。（1）, (2) , (3

18、) , (4) 3、有下列數(shù)表x00.511.522.5f(x)-2-1.75-10.2524.25所確定的插值多項式的次數(shù)是（ ）。（1）二次； （2）三次； （3）四次； （4）五次三、1、（8分）用最小二乘法求形如的經(jīng)驗公式擬合以下數(shù)據(jù)：1925303819.032.349.073.3四、1、（15分）方程在附近有根，把方程寫成三種不同的等價形式（1）對應(yīng)迭代格式；(2)對應(yīng)迭代格式；（3）對應(yīng)迭代格式。判斷迭代格式在的收斂性，選一種收斂格式計算附近的根，精確到小數(shù)點后第三位。選一種迭代格式建立steffensen迭代法，并進行計算與前一種結(jié)果比較，說明是否有加速效果。2、（8分）已知方

19、程組，其中，（3） （1） 列出jacobi迭代法和gauss-seidel迭代法的分量形式。（4） （2） 求出jacobi迭代矩陣的譜半徑，寫出sor迭代法。數(shù)值計算方法試題一答案一、 一、填空題（每空1分，共17分）1、（ 10 ） 2、（） 4、( 1 )、 ( )、( ) 5、 6 、 6、 9 10、（ ）、（ ）二、 二、選擇題（每題2分）1、（(2)） 3、（1）三、1、（8分）解： 解方程組 其中 解得： 所以 ， 四、1、（15分）解：（1），故收斂；（2），故收斂；（3），故發(fā)散。選擇（1）：， ，steffensen迭代：計算結(jié)果：， 有加速效果。2、（8分）解：jac

20、obi迭代法：gauss-seidel迭代法：， sor迭代法：數(shù)值計算方法試題二一、判斷題：（共16分，每小題分）、若是階非奇異陣，則必存在單位下三角陣和上三角陣，使唯一成立。（）、矩陣的范數(shù)。（）6、設(shè)，且有（單位陣），則有。（ ）8、對矩陣a作如下的doolittle分解：，則的值分別為2，2。（ ）二、填空題：（共20分，每小題2分）1、設(shè)，則均差 _，_。三、簡答題：（9分）1、 方程在區(qū)間內(nèi)有唯一根，若用迭代公式： ，則其產(chǎn)生的序列是否收斂于？說明理由。2、 使用高斯消去法解線性代數(shù)方程組，一般為什么要用選主元的技術(shù)？八、(10分)設(shè)函數(shù)在區(qū)間上具有四階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，試求滿足下列插值條

21、件的一個次數(shù)不超過3的插值多項式，并導(dǎo)出其余項。012012-1133十、（選做題8分）若，互異，求的值，其中。數(shù)值計算方法試題二答案一、 一、判斷題：（共10分，每小題分） 1、（） 4、（） 6、（ ） 8、（ ）二、 二、填空題：（共10分，每小題2分） 1、0 三、簡答題：（15分）1、 1、 解：迭代函數(shù)為 2、 2、 答：gauss消去法能進行到底的條件是各步消元的主元素全不為0，如果在消元過程中發(fā)現(xiàn)某個主元素為0，即使，則消元過程將無法進行；其次，即使主元素不為0，但若主元素的絕對值很小，用它作除數(shù)，將使該步消元的乘數(shù)絕對值很大，勢必造成舍入誤差的嚴重擴散，以致于方程組解的精確程

22、度受到嚴重影響，采用選主元的技術(shù)，可避免主元素=0或很小的情況發(fā)生，從而不會使計算中斷或因誤差擴大太大而使計算不穩(wěn)定。八、解：設(shè) 所以由得：所以令，作輔助函數(shù)則在上也具有4階連續(xù)導(dǎo)數(shù)且至少有4個零點：反復(fù)利用羅爾定理可得：，所以 十、解：數(shù)值計算方法試題三一、（24分）填空題(1) (2分)改變函數(shù) ()的形式，使計算結(jié)果較精確 。(2) (2分)若用二分法求方程在區(qū)間1,2內(nèi)的根，要求精確到第3位小數(shù)，則需要對分 次。(3) (2分)設(shè)，則 (6分)寫出求解方程組的gauss-seidel迭代公式 ，迭代矩陣為 ，此迭代法是否收斂 。二. (64分)(1) (6分)寫出求方程在區(qū)間0,1的根

23、的收斂的迭代公式，并證明其收斂性。(2) (12分)以100,121,144為插值節(jié)點，用插值法計算的近似值，并利用余項估計誤差。(3) (10分)求在區(qū)間0,1上的1次最佳平方逼近多項式。(4) (10分)用復(fù)化simpson公式計算積分的近似值，要求誤差限為。(5) (10分)用gauss列主元消去法解方程組： (6) (8分)求方程組 的最小二乘解。三(12分，在下列5個題中至多選做3個題)(1) (6分)求一次數(shù)不超過4次的多項式p(x)滿足：，數(shù)值計算方法試題三答案一.(24分)(1) (2分) (2) (2分) 10(3) (2分) (6) (6分) 收斂二. (64分)(1) (

24、6分)，n=0,1,2, 對任意的初值,迭代公式都收斂。(2) (12分) 用newton插值方法：差分表：1001211441011120.04761900.0434783-0.000094113610+0.0476190(115-100)-0.0000941136(115-100)(115-121)=10.7227555(3) (10分)設(shè)， ,=0.873127+1.69031x(4) (10分) 或利用余項： ，(5) (10分) 3.0000 1.0000 5.0000 34.0000 0.0000 3.6667 0.3333 12.6667 0.0000 5.3333 -2.3333 4.3333 3.0000 1.0000 5.0000 34.0000 0.0000 5.3333 -2.3333 4.3333 0.0000 0.0000 1.9375 9.6875(6) (8分) ， 若用householder變換，則：最小二乘解： (-1.33333，2.00000)t.(7) (8分)，三. (12分)(1) 差分表：11122151515575720204272152230781其他方法：設(shè)令，求出a和b一、選