曲面積分習題課2PPT學習教案

1、會計學1曲面積分習題課曲面積分習題課2Gauss) 、2.了解散度、旋度的概念及其計算了解散度、旋度的概念及其計算1. 了解兩類曲面積分的概念及高斯了解兩類曲面積分的概念及高斯并會并會計算兩類曲面積分計算兩類曲面積分.斯托克斯斯托克斯(Stokes)公式公式,方法方法.3. 會用曲面積分求一些會用曲面積分求一些幾何量與幾何量與物理量物理量.一、教學要求一、教學要求第1頁/共34頁1.定積分與不定積分的聯(lián)系定積分與不定積分的聯(lián)系)()()()()(xfxFaFbFdxxfba 牛頓牛頓-萊布尼茨公式萊布尼茨公式2.二重積分與曲線積分的聯(lián)系二重積分與曲線積分的聯(lián)系)()(的正向的正向沿沿LQdyP

2、dxdxdyyPxQLD 格林公式格林公式第2頁/共34頁3.三重積分與曲面積分的聯(lián)系三重積分與曲面積分的聯(lián)系 RdxdyQdzdxPdydzdvzRyQxP)(高斯公式高斯公式4.曲面積分與曲線積分的聯(lián)系曲面積分與曲線積分的聯(lián)系 dxdyyPxQdzdxxRzPdydzzQyR)()()( RdzQdyPdx斯托克斯公式斯托克斯公式第3頁/共34頁梯度梯度kzujyuixugradu 通量通量旋度旋度環(huán)流量環(huán)流量zRyQxPAdiv RdxdyQdzdxPdydzkyPxQjxRzPizQyRArot)()()( RdzQdyPdx散度散度（三）（三）場論初步場論初步第4頁/共34頁;1),

3、(,22dxdyzzyxzyxfxyDyx dSzyxf),(),(:)1yxzz 若曲面若曲面則則 如果曲面方程為以下三種：如果曲面方程為以下三種：;1),(,22dxdzyyzzxyxfxzDzx dSzyxf),(則則),(:)2zxyy 若曲面若曲面對面積的曲面積分的計算法對面積的曲面積分的計算法第5頁/共34頁.1,),(22dydzxxzyzyxfyzDzy dSzyxf),(),()3zyxx ：若曲面若曲面則則計算的關鍵是看所給曲面方程的形式！計算的關鍵是看所給曲面方程的形式！曲面方程以哪兩個變量為自變量，就向這兩個曲面方程以哪兩個變量為自變量，就向這兩個變量所確定的坐標平面投

4、影，得到積分區(qū)域。變量所確定的坐標平面投影，得到積分區(qū)域。第6頁/共34頁對坐標的曲面積分的計算法對坐標的曲面積分的計算法解法有三種解法有三種1. 利用高斯公式利用高斯公式)1(vzRyQxPd)( yxRxzQzyPdddddd 閉閉曲曲面面具有具有則則取取其中其中 外側(cè)外側(cè). .在在若若RQP,中中所圍成的空間域所圍成的空間域 一階連續(xù)偏導數(shù)一階連續(xù)偏導數(shù), ,第7頁/共34頁)2(,比較復雜比較復雜非閉而非閉而若若RQP 在在RQP,后后加面加面 )(為閉為閉 中中所構成的空間域所構成的空間域 具有具有一階連續(xù)偏導數(shù)一階連續(xù)偏導數(shù), ,則則 I 1. 利用高斯公式利用高斯公式第8頁/共3

5、4頁2. 通過投影化為二重積分通過投影化為二重積分yxzyxRxzzyxQzyzyxPIdd),(dd),(dd),( yzDzyzyzyxPdd),),( zxDxzzxzyxQdd),(,( xyDyxyxzyxRdd),(,(注意注意 的確定的確定!第9頁/共34頁3. 向量的點積法向量的點積法 yxRxzQzyPIdddddd SnAd0)dd,dd,dd(),( yxxzzyRQP面投影面投影在在將將xOy yxzzSyxdd1d22 )1 ,(yxzz 的法向量為的法向量為 ,1)1 ,(220yxyxzzzzn ),(yxfz 的方程為的方程為設曲面設曲面yxzzRQPyxdd)

6、1 ,(),( xyD 的側(cè)與的側(cè)與若題設中曲面若題設中曲面 ,)1 ,(相相同同yxzz ., 否則取否則取取取規(guī)定規(guī)定yxzzRQPyxdd)1 ,(),( 第10頁/共34頁,122222的上半部分的上半部分為橢球面為橢球面設設 zyxS,),(處的切平面處的切平面在點在點為為點點PSSzyxP ,)0 , 0 , 0(的距離的距離到平面到平面為點為點O解解,),(上上任任意意一一點點為為設設 ZYX的的方方程程為為則則得得出出 122 zZyYxX由點由點O到平面的距離公式到平面的距離公式,得得例例),(zyx .d),(SzyxzS 求求222441),(zyxzyx 第11頁/共3

7、4頁22122yxz 由由,221222yxxxz 221222yxyyz yxyzxzSdd1d22 得得yxyxyxdd221242222 的上半部分的上半部分為橢球面為橢球面設設122222 zyxS第12頁/共34頁所以所以SzyxzSd),( xyDyxyxdd)4(4122 23 122:22 yxDxyyxyxyxSdd22124d2222 221441),(22222yxzzyxzyx rrrd)4(d412022 0 q q第13頁/共34頁2222d ,06xSxyaz求其中為柱面 22ddxSyS222231ddd622axSxySSa解：由于解：由于 關于變量關于變量

8、x, y 輪換對稱性輪換對稱性 例例第14頁/共34頁在第四卦限部分的上側(cè)在第四卦限部分的上側(cè)為平面為平面為連續(xù)函數(shù)為連續(xù)函數(shù)其中其中計算計算1,),(,),(),(2),(zyxzyxfdxdyzzyxfdzdxyzyxfdydzxzyxfI例例xyoz111 解解利用向量的點積法利用向量的點積法,1 , 1, 11 ,yxzzn的法向量為的法向量為dxdyzzyxfyzyxfxzyxfI1),()1(),(21),(第15頁/共34頁dxdyzyxI)(xyDdxdy1.21 在第四卦限部分的上側(cè)在第四卦限部分的上側(cè)為平面為平面為連續(xù)函數(shù)為連續(xù)函數(shù)其中其中1,),(,),(),(2),(z

9、yxzyxfdxdyzzyxfdzdxyzyxfdydzxzyxfI1-1yx1 yxxyD第16頁/共34頁所截部分的外側(cè)所截部分的外側(cè)被平面被平面錐面錐面為為其中其中計算計算2, 1,222 zzyxzdxdyzxdzdxydydzI例例解解,2222yxyzyxxzyxD 法一：法一：利用向量點積利用向量點積法法第17頁/共34頁 q q 21220rdrrd.215 dxdyz2 xyDdxdyyx)(22dxdyyxyyxxzxyI122222,41:22 yxDxy所截部分的外側(cè)所截部分的外側(cè)被平面被平面錐面錐面為為其中其中計算計算2, 1,222zzyxzdxdyzxdzdxyd

10、ydzI第18頁/共34頁用高斯公式用高斯公式.補面：補面： 取下面，取下面，221:1,1zxy取上面。取上面。222:2,4zxy則則 構成封閉曲面，且取外側(cè)。構成封閉曲面，且取外側(cè)。12 122,ydydzxdzdxz dxdy 計算計算2,Py Qx Rz 由高斯公式由高斯公式()PQRPdydzQdzdxRdxdydvxyz法法2 2：第19頁/共34頁122,ydydzxdzdxz dxdy 2zdv2221115222zDzdzdxdyz z dz12()ydydzxdzdxz dxdy 下側(cè)22()16ydydzxdzdxz dxdy上側(cè)1212I 下外下上152 第20頁/共

11、34頁122,ydydzxdzdxz dxdy 2zdv2122220010122rdrdrzdzdrdrzdzqq（柱坐標）注意：若用柱面坐標計算三重積分，要分區(qū)域考慮注意：若用柱面坐標計算三重積分，要分區(qū)域考慮。第21頁/共34頁23xyzO解解 333,zRyQxP zyxzyxIddd)(3222 q q dddsin322rrr,32xxP rrRdsindd320004 q q 球球 例例 yxzxzyzyxI,dddddd333計算計算的的為球面為球面2222Rzyx ,32yyQ 23zzR .5125R 外側(cè)外側(cè). . yxRxzQzyPddddddvzRyQxPd)( 第2

12、2頁/共34頁zyxo y,xzxzyzyxdddddd其中其中 222yxRz 的上側(cè)的上側(cè). .且取下側(cè)且取下側(cè) , , 提示提示: : 以半球底面以半球底面0原式原式 = 3323R 0 32R 0zyxddd3 0ddddddyxzxzyzyx記半球域為記半球域為 ,高斯公式有高斯公式有計算計算為輔助面為輔助面, , 利用利用為半球為半球面面例例第23頁/共34頁 2121I2221: zxy9)1(16)2(5122 yxz 23222dddddd)zy(xyxzxzyzyxI解解: : 取足夠小的正數(shù)取足夠小的正數(shù) , , 作曲面作曲面取下側(cè)取下側(cè) 使其包在使其包在 內(nèi)內(nèi), , 為

13、 xoy 平面上夾于平面上夾于之間的部分之間的部分, ,且取下側(cè)且取下側(cè) ,1 與與21ozyx取上側(cè)取上側(cè), , 計算計算, )0( z則則2第24頁/共34頁21ozyx)2(133 I 2121I 1dddddd13yxzxzyzyx 2 第二項添加輔助面第二項添加輔助面, , 再用高斯公式再用高斯公式計算計算, , 得得232220 d d()xyxyvd0 第25頁/共34頁證明證明: : 設設(常向量常向量) )則則單位外法向向量單位外法向向量, , 試證試證 Sdcoscoscoscoscoscos 0 vzyxd)cos()cos()cos( zyddcos xzddcos y

14、xddcos 設設 為簡單閉曲面為簡單閉曲面, , a 為為任意固定任意固定向量向量, n 為為 的的 . 0d)cos( Sa,n Sa,nd)cos( Sand0)cos,cos,(cos n)cos,cos,(cos0 a第26頁/共34頁 其其,d2)(22SzyzyxI 中中 是球面是球面.22222zxzyx 解解: : Szxd)22( 32 SzyxId )(222 zyyx22 Syzxd)(2 Szxd)(20利用對稱性利用對稱性用重心公式用重心公式( (曲面關于曲面關于xoz面面對稱）對稱）第27頁/共34頁29例例 計算曲線積分計算曲線積分其中其中 為曲線為曲線 0,2

15、222zyxRzyxR zxyzxy,d)3(d)2()d1(若從若從x軸正向看過去軸正向看過去, 為取逆時針方向為取逆時針方向.解解 設設 為為 所圍的圓盤所圍的圓盤, 所在的曲面方程為所在的曲面方程為 , 0 zyx取上側(cè)取上側(cè), 其單位法向量為其單位法向量為 31,31,31按按斯托克斯公式斯托克斯公式, ),cos,cos,(cos zxyOn第28頁/共34頁30SRQPzyxdcoscoscos zRyQxPddd 原式原式Sxzyzyxd321313131 31,31,31)cos,cos,(cos Sd3 .32R RzxyOn設設 為為 所圍的圓盤所圍的圓盤 第29頁/共34頁222xyz1.設為球面+=1的上半部分的上側(cè)，則下列式子錯誤的是( ) 20Ax dydz 0Bydydz 0Cxdydz20Dy dydzC選擇題選擇題：第30頁/共34頁222221,.yozyzxyz ds2.設是平面上的圓域則等于 0;A ;B ;4C.2D22221,.xyzxyzDxoyxyzdydz3.設是旋轉(zhuǎn)拋物面+,1的外側(cè)，是平面上圓域則可化為二重積分 222;xyDAxyxdxdy 222;xyDBxyx dxdy 222;xyDCxyydxdy22;xyDDxydxdyDA第31