GCT線性代數(shù)輔導講義

1、GCT線性代數(shù)輔導第一講行列式行列式的定義 一階行列式楚義為問=山 二階行列式定義為12 =|i22 122121 22 在階行列式中，劃去元素為所在的第i行第丿列，剩余元素構成川-1階行列式，稱為元素5的余子式，記作M廠 令碼=(-1)旳M#,稱每為s的代數(shù)余子式.階行列式立義為al a2Si 。22Cln= llAl +422+（仏州5 % 二.行列式的性質(zhì)1 行列式中行列互換，其值不變.】11213Cl Cl2 Cl321a22。23=1222“325 幻2 52352 行列式中兩行對換，其值變號.ai25212223a22。23=25&3355幻33 行列式中如果某行元素有公因子，可以

2、將公因子提到行列式外.ai25ax1213kg忌23=k21如35Cl32554行列式中如果有一行每個元素都由兩個數(shù)之和組成，行列式可以拆成兩個行列式的和.aa2a3Cl a2 Cl3Clal13。21 +”21。22 +“22。23 +“23=。2122。23+“21h22“23a3Cl32a33Ci3a32 Ci3355由以上四條性質(zhì)，還能推出下而幾條性質(zhì)5行列式中如果有兩行元素對應相等，則行列式的值為06. 行列式中如果有兩行元素對應成比例，則行列式的值為0 .7. 行列式中如果有一行元素全為0 ,則行列式的值為0 .&行列式中某行元素的k倍加到另一行，其值不變.555112aia2如。

3、23=a2la a235幻25 +切a32 +kanCl33 + k%三階行列式展開性質(zhì)5 an2 %等于它的任意一行的各元素與其對應代數(shù)余子式的乘積的和，即D =+ 勺2 人2 + + ，九山 1, 2,n 按列展開立理D = jAj +“2/人2/ + +(%丿= 1,2,2階行列式D的某一行的各元素與另一行對應元素的代數(shù)余子式的乘積的和等于 零即知碼+勺22+僉徭=i=j 按列展開的性質(zhì)+ 2丿2丿 + + 5,4 =0 心 j四特殊行列式5n(zt-l) =(j)h 上（下）三角行列式和上而的對角行列式的結(jié)果相同.五計算行列式 消零降階法. 消為特殊行列式（上（下）三角行列式或和對角行

4、列式）(F-13x + 13)典型習題1 Z)3 = 322設18一1-256的代數(shù)余子式A21 =4,則67 =(-2)-11X2-12x-10(2)4.X2(-xx2x3x4)X3 1.v -3 y - 3 乙 一 35.設y0 1=1,則524z2 11 1 1(1)6.111x + 1-1-1xl-11x+11x-1-1一1-17.3333130131-122-122,則 A2 + A22 + A32 + 人42 =()，(0)a2-11-42則a = ( ) /?=(5 an %_2d_22_2q3a2l“22“23=M H 0,則2心和2a 和2g；3a3Cl32 33_221_2

5、幺22_2“23y設(8M)Xx-12x2x 13x3x 310. j (x)=x-42x-33x 5=0的根的個數(shù)是(1)A-l -1011. 解方程 g(x)= -1 x -1 = 0(x = -l, 1, 2 )0-1 x-a b c12*.設Q,b,c是方程x3-2x + 4 = 0的三個根，則行列式b c a =0的值為()(0)c a b第二講矩 陣一 矩陣概念和運算1. 矩陣的定義和相等.2. 加法擻乘，乘法，轉(zhuǎn)置，方陣的幕乘的定義及性質(zhì). 尤其是矩陣乘法不滿足交換律和消去律滿足結(jié)合律，左(右)乘分配律等. 若A, 3是/I階方陣，則AB = |A|B| 特殊方陣3. 逆矩陣定義

6、：AB=BA = I A 可逆o|A|hO 公式：加 A1 =|A|_，|A| 可逆矩陣的運算性質(zhì)4. 伴隨矩陣定義：a=(a. y 基本關系式：九4=同/ 與逆矩陣的關系：A1 =4*行列式：|A| = |a|tn. r(A) = n 秩：r(/T) = 1, r(A) = n-0, r(A) 77 -15. 矩陣方程 設A是階方陣，B是n x /矩陣，若A可逆，則矩陣方程AX = B有解，其解為X = AB 設A是“階方陣，B是in x矩陣，若A可逆，則矩陣方程XA=B有解，其解為X = BA-1二初等變換 矩陣的初等行（列）變換：（1 ）交換兩行（列）：（2）用一個非零常數(shù)乘某一行（列）

7、：（3 ）某行（列）的k倍加到另一行（列）上. （A /） （/A1）（初等行變換）三矩陣的秩1定義 在m x n矩陣A中，任取k行&列，位于這k行R列交叉處的T個元素按其原來的次 序組成一個k階行列式，稱為矩陣A的一個R階子式. 若矩陣a中有一個，階子式不為零，而所有廠+1階子式全為零，則稱矩陣q的秩為 / 矩陣A的秩記作r（A）. 顯然有 r（A）= O A = 0r（A） r A中有一個r階子式不為零：r（A） rA中所有廣+1階子式全為零.對于n階方陣A , r（A） = h o兇H 0對于階方陣A,若r（A） = n ,則稱A是滿秩方陣.2. 重要定理對矩陣施行初等變換不改變矩陣的秩

8、.3. 矩陣的秩的求法 階梯形矩陣滿足以下條件的矩陣稱為階梯形：（1）所有零行都在矩陣的底部；（2 ）非零行的第一個元素稱為主元，每個主元在前一行主元的右方； A （初等變換）T階梯形（/,則r（A） = U中主元的個數(shù)4. 矩陣的秩有以下一些常用的性質(zhì)：（1 ） r（A） = r（A7 ）. r（M）=r（A） 伙工0）.（2 ） r（A + B）r（A） + r（5）.（3 ）r（AB）r（A）, r（AB）r（B）若仏Be =0，則r(A) + r(B)n.其中“為矩陣A的列數(shù).(5)若 A 可逆，則 r(AB) = r(B).若 B 可逆，則 r(AB) = r(A).典型習題1A3都

9、是畀階陣，則下列結(jié)論不正確的是()A.A + B = A + BB.|A7| = I 州 3|-a -2A*,2才滬2丿(10& 32/3)D. A + BA-B=A-BA + BC護=|仲|(zhì)1 0 0、仃10、4”.設 4 =0 2 0B =1 2 2、 0 3丿0 1 ,C = AB二則C中第3行第2列的元素是2 0 0 )10 0、fl)3. P =0 1 0M =0 2 0,則(廠期=()2甌10 0 -1丿W -2丿卩00 乙丿求2.ABeM3,且|4| = 2B| = 3,113、A.-B.-C. 1D. -(B)322仃0 1、2 0 1、5. A =0 2 0,ax + i =

10、 a2 + x，則X=()(0 3 0J 01丿1 0乙)6.都是階陣,AHO,AB = O.則下列結(jié)論正確的是()(B)A. B = O B|A| = 0或B = 0 C.BA = O D.(/l-B)2 = A2+B2 7設A, 5 C, I都是川階陣，滿足ABC= / 則A. BCA = I B. ACB = I C. BAC= I D. CBA = I(A)8. 設B? =B,A = I + B .則下列結(jié)論不正確的是()AA可逆.B.A不可逆.C.A-3/可逆D.A + 2/可逆(B)r i -1)r-i -i i9.設q =0 1 1,則(A*)1 =(0 一1 一1 )1 -b、

11、 0 1 丿10設 AwM4()=0,則廠(a) =(A)l 或 2(A)l 或 3(A)2 或 3(A)3 或 411. z= l 23)7,0 = (1 2 3), A = a僅則心)=()。(1)14、3/ =()時 r(A)= 2 o(-3)，200、r-i23、13.設人=34-1、B =2-4-6、245,、一 369 )-1,則 r(ABB)= () o(1)T14.設人=2.3-n01丿rl2(Tb，則A.AB=BAC.網(wǎng)=一8 D.陽=0(D)r 115*.設4= -2 3-260X-6，三階矩陣3 H 0，且滿足AB = 0側(cè)A. x = &廠(3) = 1B. x = &

12、r(B) = 2C. x = &廠(3) = 1D. x = &/ (3) = 2(A)第三講向一向量組線性相關與線性無關1 向量組的線性組合與線性表示 設,4是維向量，k、k是數(shù),如 +k2a2+ - + ksas稱為向的一個線性組合. 若0 = 如 +饑色+心乙,稱0可由,乙線性表出.2. 線性相關與線性無關左義設是“維向量，若存在不全為零的數(shù)使得ka+k2a2+-+ksas= 0,則稱卬?，線性相關.否則稱線性無關定理若少2,a,線性無關，而少,勺，-匕，0線性相關，則0可由0,如,線性表出,，且表示法惟一.判斷 設，勺，,匕是維向量,02,線性相關O r（6Zpa2,- aj5O存在某

13、個向量可被其余s -1個向雖線性表出. 個維向量弘勺，67“線性相關opg,Q“| = 0 ” + 1個維向量,a”+必線性相關 增加向量組向量的個數(shù)，不改變向疑組的線性相關性.減少向量組向量的個數(shù)，不改變向雖組的線性無關性. 增加向量組向量的維數(shù)，不改變向雖組的線性無關性.減少向量組向量的維數(shù)，不改變向量組的線性相關性. 含有零向量的向戢組必線性相關.含有兩個相同向量的向量組必線性相關.二向量組的秩和極大線性無關組1. 定義設向量組%是向量組少,勺,a的一個部分組.滿足1 ）即叫,線性無關；2 ）向量組4，巾，匕的每一個向量都可以由向量組q線性表出，則稱部分組務，,匕是向量組ara2,-,a

14、v的一個極大線性無關組.且向量組 的極大線性無關組中所含向量的個數(shù)稱為這個向屋組的秩.2求法 任何矩陣都可以通過矩陣的行初等變換化作階梯形. 求極大線性無關組的步驟：1 .將向量依次按列寫成矩陣；2. 對矩陣施行行初等變換，化作階梯形；3 階梯形中主元所在列標對應到原向量構成一個極大線性無關組：rl0-102、例如(a,a2,a3.a4,a5)= A(f初等變換)t001020011-2主元所在列是第1列，第2列，第4列，因此印,巾,巾，勺，4的一個極大線性無關 組是aa2,a4.且尸(ara2,a3,z4,a5) = 3三.向量組的秩與矩陣的秩 設A是m x n矩陣，將矩陣的每個行看作行向量

15、，矩陣的加個行向量構成一個向量 組，該向量組的秩稱為矩陣的行秩. 將矩陣的每個列看作列向量，矩陣的個列向疑構成一個向量組，該向量組的秩稱為 矩陣的列秩. 矩陣的行秩=矩陣的列秩=矩陣的秩.(三秩相等)典型習題1. 下列向量組中線性相關性的向量組是()Aq=(l 0 0)r,a2 =(0 1 2)r,a3 =(0 3 4)7.B. 燉=(1 0 0 a)：02=(。1 203=(0 3 4 0)7.C. Q=(1 0 0 )7Z?2 =(0 1 2 bf py =(0 3 404=(4 1 -1 0)yD. (1 0 l)r, (1 0 2)? ,(3 1 2)丁,(2 1 1/(D)2. 設向

16、量組672,3線性無關，下列向量組無關的是()A. ax + Z2,a2 +a3,tz3 +a2.a2 +a3,a3 -aC. +2a2,a2+a2 +a5 D. a -a2,a2 -a3,a3 -a(A)3l設向量組a、隊丫線性無關，而向量組a + 20,20 + ky,3/ + Q線性相關，貝 =A. 3B.2C.-2D.-3(D)4”.設向量組a、隊丫線性無關，貝必工1是向量組a + kp./3 + ky.a-y線性無關的A.充分必要條件B.充分條件，但非必要是條件C.必要條件，但非充分是條件 D.既非充分條件，也非必要是條件(C)5.0 =(1 -/ 3)r,a2 =(0 t 一5)7

17、,巾=(一1 0 /),/=( )時，向量組幾色如 線 性無關.A. /工0 B。/ = 0 C./H2 D.心0且/工2(D)6”.設 q = (0,2,1,1),冬=(一1,一1,一1,一1)丁,。3 =(1，T，0)t，Q4 =(0，1，-1) 丁，則它們的一個極大線性無關組是()A.al5a2B. WSSS C. qsS D.(D)7.0 = a+ 2a2 + 3tz3, 02 = 一 + &2，03 = a + ai + 73 則A.向量組久02,03線性無關. B.向量組002，角線性相關. c僅當向量組dss線性無關時，向量組卩血卩3線性無關.D僅當向量組4心2，&3線性相關時，

18、向量組久“2，03線性相關.(B)&設A.B為滿足AB=O的任意兩個非零矩陣，則必有A. A的列向量組線性相關,B. A的列向量組線性相關,C. A的行向量組線性相關,D. A的行向量組線向相關,(A)B的行向量組線性相關。 B的列向量組線性相關。 B的行向量組線性相關。B的列向量組線性相關。9設向量組aE 線性無關,向量組a、隊6線性相關。則A.a必能被0/力線性表出.B.0必不能被久兒3線性表出.C. 5必能被a卩丫、線性表出.D. 5必不能被久0?線性表出.(C)101設X是”單維位向雖:，若G = XXT ,則G3、t 6 , BeM3”(B)=2,且AB = 0.則r=().6 9丿

19、 =()A GB . 土GC 1D 人(A)11設向量組a.a2,a3線性無關，向雖:組 a,a2,aa4線性相關，設向雖:組aa2.a3,a5 線性無關。則 r(aa2.aa4 -2as)=()A.2B.3C.4D.5T12.設 A= 2、3A.2B.4C.-2D.4(B)第四講線性方程組解的理論一齊次線性方程組設元齊次線性方程組勺內(nèi)+也2勺+ 5后=0 勺內(nèi)+如勺+吆=0 mXl+am2x2 + +aMnxn=Q% 12 偽I g a”系數(shù)矩陣4= J 一 . . wH 加2mn)令x=6,吃，兀y，則線性方程組可寫成矩陣方程的形式：AX = O若令0=(%吆，,J 02=(如，如，J，久

20、=(%，叫，仏了，則齊次線性方程組又可以寫成向量方程的形 式：xial + x2a2 + + xnan = 0 .1 .齊次線性方程組有非零解的判世條件 設A已M, ”，齊次線性方程組AX=0有非零解o r(A) o r(A) = n.即系數(shù)矩陣A列滿秩. 設A是階方陣，齊次線性方程組AX = 0有非零解o卜| = 0 .AX= 0只有零解0國工0. 設A e Mm n，當m n時，齊次線性方程組AX =0必有非零解.2 .齊次線性方程組的解的性質(zhì)若芻，爲是齊次線性方程組AX= 0的解，則和+%)仍是AX=0的解.若纟是齊次線性方程組AX = 0的解，則纟的任意常數(shù)倍伙)仍是AX = 0的解.

21、3. 齊次線性方程組AX=0的解的結(jié)構 ax=o的一個基礎解系芻,芻.貝要點為：(1)芻,參，芻都是ax=o的解，它們是線性無關的，(3)qx=o的任何一個解都可以由它們線性表岀.因此基礎解系往往不是惟一的. 若“元齊次線性方程組AX = 0的系數(shù)矩陣A的秩r(A) = r,則基礎解系中含有n - r個線性無關的解向量.(這一點和上面的(3)等價，即t = n-r). 若,2,W是齊次線性方程組AX=O的一個基礎解系，則齊次線性方程組AX=0的通解(一般解)是X =岷+他冬+ + &其中也，出是任意常數(shù)4. 解齊次線性方程組AX=O的基本方法解n元齊次線性方程組AX=O的基本步驟：(1) 對系

22、數(shù)矩陣作矩陣的初等行變換，化作行階梯形；(2) 假設有r個非零行，則基礎解系中有n - r個解向量. 選非主元所在列的變量為自由未知量；(3) 將自由變量依次設為單位向量，求得所需的線性無關的解向量為一個基礎解系.二非齊次線性方程組設非齊次線性方程組如西+如吃+ 5丿“=勺內(nèi)+ a22x2 + G加兀=b2內(nèi)+勺,2花+ %”心=4記系數(shù)矩陣為4 e，常數(shù)項向量為e R,則非齊次線性方程組可寫作AX=b方程組的增廣矩陣12細X勺|an aln b2 . “1加2“I 丿記作 A = ( A | Z?). 對應的齊次線性方程組AX=O稱為非齊次線性方程組AX = b的導岀組.1 .非齊次線性方程

23、組有解的判定 非齊次線性方程組AX=b有解的充分必要條件是系數(shù)矩陣的秩等于增廣矩陣的 秩.即r(A) = r(Ab) 若元非齊次線性方程組AX=b有解，即r(A) = r(Ab) = r當時，方程組AX=b有惟一解;r A可對角化.1.方陣的相似對角化的步驟（1）解A的特征多項式:2 q辦(2) = pU-A|=幻求岀A的“個特征值入，兄2,人（英中可能有相重的特征值）（2）解齊次方程組：（2tZ-A）X=0.仃= 1,2,“），求出A的每個特征值對應的線性無關 的特征向量即求（人/ A）X=O的基礎解系.若A共有川個線性無關的特征向量XX2,X”，則令P = （X“X2,X”）,有PAP= 心注意人與X,的對應關系.(-3.0)典型習題2 -11. . = (11 -1)/是人=5 a-1 b2、3的特征向量，則 = （ ）0 = （）. 一2丿V -12”.設人=20A.(l 0 1)7 B.(l _1 0)7C.(0 1 _1) D.(l 1 0)7(D)3. 設階矩陣A中任一行的個元素之和都為匕則A必有一個特征值為（）.（a）4. 設階矩陣A的特征值為2 , X是A的屬于特征值兄的特征向量，則kA.AA2+I.A2+A的特征值為（），屬于特征值的特征向量是（）.kA, 22, z2 +