中考數(shù)學(xué)壓軸題動點(diǎn)問題專題講解

1、 中考動點(diǎn)專題所謂“動點(diǎn)型問題”是指題設(shè)圖形中存在一個(gè)或多個(gè)動點(diǎn),它們在線段、射線或弧線上運(yùn)動的一類開放性題目.解決這類問題的關(guān)鍵是動中求靜,靈活運(yùn)用有關(guān)數(shù)學(xué)知識解決問題.關(guān)鍵:動中求靜.數(shù)學(xué)思想：分類思想 函數(shù)思想 方程思想 數(shù)形結(jié)合思想 轉(zhuǎn)化思想注重對幾何圖形運(yùn)動變化能力的考查從變換的角度和運(yùn)動變化來研究三角形、四邊形、函數(shù)圖像等圖形，通過“對稱、動點(diǎn)的運(yùn)動”等研究手段和方法，來探索與發(fā)現(xiàn)圖形性質(zhì)及圖形變化，在解題過程中滲透空間觀念和合情推理。選擇基本的幾何圖形，讓學(xué)生經(jīng)歷探索的過程，以能力立意，考查學(xué)生的自主探究能力，促進(jìn)培養(yǎng)學(xué)生解決問題的能力圖形在動點(diǎn)的運(yùn)動過程中觀察圖形的變化情況，需

2、要理解圖形在不同位置的情況，才能做好計(jì)算推理的過程。在變化中找到不變的性質(zhì)是解決數(shù)學(xué)“動點(diǎn)”探究題的基本思路,這也是動態(tài)幾何數(shù)學(xué)問題中最核心的數(shù)學(xué)本質(zhì)。二期課改后數(shù)學(xué)卷中的數(shù)學(xué)壓軸性題正逐步轉(zhuǎn)向數(shù)形結(jié)合、動態(tài)幾何、動手操作、實(shí)驗(yàn)探究等方向發(fā)展這些壓軸題題型繁多、題意創(chuàng)新，目的是考察學(xué)生的分析問題、解決問題的能力，內(nèi)容包括空間觀念、應(yīng)用意識、推理能力等從數(shù)學(xué)思想的層面上講：（1）運(yùn)動觀點(diǎn)；（2）方程思想；（3）數(shù)形結(jié)合思想；（4）分類思想；（5）轉(zhuǎn)化思想等研究歷年來各區(qū)的壓軸性試題，就能找到今年中考數(shù)學(xué)試題的熱點(diǎn)的形成和命題的動向，它有利于我們教師在教學(xué)中研究對策，把握方向只的這樣，才能更好的培

3、養(yǎng)學(xué)生解題素養(yǎng)，在素質(zhì)教育的背景下更明確地體現(xiàn)課程標(biāo)準(zhǔn)的導(dǎo)向本文擬就壓軸題的題型背景和區(qū)分度測量點(diǎn)的存在性和區(qū)分度小題處理手法提出自己的觀點(diǎn)專題一：建立動點(diǎn)問題的函數(shù)解析式函數(shù)揭示了運(yùn)動變化過程中量與量之間的變化規(guī)律,是初中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容.動點(diǎn)問題反映的是一種函數(shù)思想,由于某一個(gè)點(diǎn)或某圖形的有條件地運(yùn)動變化,引起未知量與已知量間的一種變化關(guān)系,這種變化關(guān)系就是動點(diǎn)問題中的函數(shù)關(guān)系.那么,我們怎樣建立這種函數(shù)解析式呢?下面結(jié)合中考試題舉例分析.一、應(yīng)用勾股定理建立函數(shù)解析式例1(2000年上海)如圖1,在半徑為6,圓心角為90的扇形oab的弧ab上,有一個(gè)動點(diǎn)p,phoa,垂足為h,oph的重心

4、為g.(1)當(dāng)點(diǎn)p在弧ab上運(yùn)動時(shí),線段go、gp、gh中,有無長度保持不變的線段?如果有,請指出這樣的線段,并求出相應(yīng)的長度.(2)設(shè)ph,gp,求關(guān)于的函數(shù)解析式，并寫出函數(shù)的定義域(即自變量的取值范圍).hmngpoab圖1(3)如果pgh是等腰三角形,試求出線段ph的長.解:(1)當(dāng)點(diǎn)p在弧ab上運(yùn)動時(shí),op保持不變,于是線段go、gp、gh中,有長度保持不變的線段，這條線段是gh=nh=op=2.(2)在rtpoh中, , .在rtmph中,.=gp=mp= (06).(3)pgh是等腰三角形有三種可能情況:gp=ph時(shí),解得. 經(jīng)檢驗(yàn), 是原方程的根,且符合題意.gp=gh時(shí), ,

5、解得. 經(jīng)檢驗(yàn), 是原方程的根,但不符合題意.ph=gh時(shí),.綜上所述,如果pgh是等腰三角形,那么線段ph的長為或2.二、應(yīng)用比例式建立函數(shù)解析式 例2（2006年山東）如圖2,在abc中,ab=ac=1,點(diǎn)d,e在直線bc上運(yùn)動.設(shè)bd=ce=. (1)如果bac=30,dae=105,試確定與之間的函數(shù)解析式； aedcb圖2 (2)如果bac的度數(shù)為,dae的度數(shù)為,當(dāng),滿足怎樣的關(guān)系式時(shí),(1)中與之間的函數(shù)解析式還成立?試說明理由.解:(1)在abc中,ab=ac,bac=30, abc=acb=75, abd=ace=105.bac=30,dae=105, dab+cae=75,

6、 又dab+adb=abc=75, cae=adb, adbeac, , , .ofpdeacb3(1)(2)由于dab+cae=,又dab+adb=abc=,且函數(shù)關(guān)系式成立,=, 整理得.當(dāng)時(shí),函數(shù)解析式成立.例3(2005年上海)如圖3(1),在abc中,abc=90,ab=4,bc=3. 點(diǎn)o是邊ac上的一個(gè)動點(diǎn),以點(diǎn)o為圓心作半圓,與邊ab相切于點(diǎn)d,交線段oc于點(diǎn)e.作eped,交射線ab于點(diǎn)p,交射線cb于點(diǎn)f.pdeacb3(2)of(1)求證: adeaep.(2)設(shè)oa=,ap=,求關(guān)于的函數(shù)解析式,并寫出它的定義域. (3)當(dāng)bf=1時(shí),求線段ap的長.解:(1)連結(jié)od

7、.根據(jù)題意,得odab,oda=90,oda=dep.又由od=oe,得ode=oed.ade=aep, adeaep.(2)abc=90,ab=4,bc=3, ac=5. abc=ado=90, odbc, ,od=,ad=. ae=. adeaep, , . ().(3)當(dāng)bf=1時(shí)， 若ep交線段cb的延長線于點(diǎn)f,如圖3(1)，則cf=4.ade=aep, pde=pec. fbp=dep=90, fpb=dpe,f=pde, f=fec, cf=ce. 5-=4,得.可求得,即ap=2.若ep交線段cb于點(diǎn)f,如圖3(2), 則cf=2.類似,可得cf=ce.5-=2,得.可求得,即

8、ap=6.綜上所述, 當(dāng)bf=1時(shí),線段ap的長為2或6.三、應(yīng)用求圖形面積的方法建立函數(shù)關(guān)系式abco圖8h例4（2004年上海）如圖,在abc中,bac=90,ab=ac=,a的半徑為1.若點(diǎn)o在bc邊上運(yùn)動(與點(diǎn)b、c不重合),設(shè)bo=,aoc的面積為.(1)求關(guān)于的函數(shù)解析式,并寫出函數(shù)的定義域.(2)以點(diǎn)o為圓心,bo長為半徑作圓o,求當(dāng)o與a相切時(shí),aoc的面積.解:(1)過點(diǎn)a作ahbc,垂足為h.bac=90,ab=ac=, bc=4,ah=bc=2. oc=4-., ().(2)當(dāng)o與a外切時(shí),在rtaoh中,oa=,oh=, . 解得.此時(shí),aoc的面積=.當(dāng)o與a內(nèi)切時(shí),

9、在rtaoh中,oa=,oh=, . 解得.此時(shí),aoc的面積=.綜上所述,當(dāng)o與a相切時(shí),aoc的面積為或.專題二：動態(tài)幾何型壓軸題動態(tài)幾何特點(diǎn)-問題背景是特殊圖形，考查問題也是特殊圖形，所以要把握好一般與特殊的關(guān)系；分析過程中，特別要關(guān)注圖形的特性（特殊角、特殊圖形的性質(zhì)、圖形的特殊位置。）動點(diǎn)問題一直是中考熱點(diǎn)，近幾年考查探究運(yùn)動中的特殊性：等腰三角形、直角三角形、相似三角形、平行四邊形、梯形、特殊角或其三角函數(shù)、線段或面積的最值。下面就此問題的常見題型作簡單介紹，解題方法、關(guān)鍵給以點(diǎn)撥。一、以動態(tài)幾何為主線的壓軸題 （一）點(diǎn)動問題1（09年徐匯區(qū)）如圖，中，點(diǎn)在邊上，且，以點(diǎn)為頂點(diǎn)作，

10、分別交邊于點(diǎn)，交射線于點(diǎn)（1）當(dāng)時(shí)，求的長； （2）當(dāng)以點(diǎn)為圓心長為半徑的和以點(diǎn)為圓心長為半徑的相切時(shí)，求的長； （3）當(dāng)以邊為直徑的與線段相切時(shí)，求的長 題型背景和區(qū)分度測量點(diǎn)本題改編自新教材九上相似形24.5(4)例六,典型的一線三角(三等角)問題,試題在原題的基礎(chǔ)上改編出第一小題,當(dāng)e點(diǎn)在ab邊上運(yùn)動時(shí)，滲透入圓與圓的位置關(guān)系(相切問題)的存在性的研究形成了第二小題,加入直線與圓的位置關(guān)系(相切問題)的存在性的研究形成了第三小題區(qū)分度測量點(diǎn)在直線與圓的位置關(guān)系和圓與圓的位置關(guān)系,從而利用方程思想來求解區(qū)分度性小題處理手法1直線與圓的相切的存在性的處理方法：利用d=r建立方程2圓與圓的位置

11、關(guān)系的存在性(相切問題)的處理方法：利用d=rr()建立方程3解題的關(guān)鍵是用含的代數(shù)式表示出相關(guān)的線段. 略解解：（1） 證明 ，代入數(shù)據(jù)得，af=2（2）設(shè)be=,則利用（1）的方法， 相切時(shí)分外切和內(nèi)切兩種情況考慮： 外切，；內(nèi)切，當(dāng)和相切時(shí)，的長為或（3）當(dāng)以邊為直徑的與線段相切時(shí)，類題 一個(gè)動點(diǎn)：09楊浦25題（四月、五月）、09靜安25題、 兩個(gè)動點(diǎn)：09閘北25題、09松江25題、09盧灣25題、09青浦25題（二）線動問題在矩形abcd中，ab3，點(diǎn)o在對角線ac上，直線l過點(diǎn)o，且與ac垂直交ad于點(diǎn)e.(1)若直線l過點(diǎn)b，把a(bǔ)be沿直線l翻折，點(diǎn)a與矩形abcd的對稱中心a

12、重合，求bc的長；abcdeola(2)若直線l與ab相交于點(diǎn)f，且aoac，設(shè)ad的長為，五邊形bcdef的面積為s.求s關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式，并指出的取值范圍；探索：是否存在這樣的，以a為圓心，以長為半徑的圓與直線l相切，若存在，請求出的值；若不存在，請說明理由題型背景和區(qū)分度測量點(diǎn)abcdeolf本題以矩形為背景,結(jié)合軸對稱、相似、三角等相關(guān)知識編制得到第一小題考核了學(xué)生軸對稱、矩形、勾股定理三小塊知識內(nèi)容；當(dāng)直線沿ab邊向上平移時(shí)，探求面積函數(shù)解析式為區(qū)分測量點(diǎn)一、加入直線與圓的位置關(guān)系(相切問題)的存在性的研究形成了區(qū)分度測量點(diǎn)二區(qū)分度性小題處理手法1找面積關(guān)系的函數(shù)解析式，規(guī)則圖形套用

13、公式或用割補(bǔ)法，不規(guī)則圖形用割補(bǔ)法2直線與圓的相切的存在性的處理方法：利用d=r建立方程3解題的關(guān)鍵是用含的代數(shù)式表示出相關(guān)的線段. 略解(1)a是矩形abcd的對稱中心abaaacabab，ab3ac6 (2)， ()若圓a與直線l相切，則，(舍去)，不存在這樣的，使圓a與直線l相切類題09虹口25題（三）面動問題 如圖，在中，、分別是邊、上的兩個(gè)動點(diǎn)（不與、重合），且保持，以為邊，在點(diǎn)的異側(cè)作正方形.（1）試求的面積；（2）當(dāng)邊與重合時(shí)，求正方形的邊長；（3）設(shè)，與正方形重疊部分的面積為，試求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式，并寫出定義域；（4）當(dāng)是等腰三角形時(shí)，請直接寫出的長 題型背景和區(qū)分度測量點(diǎn)本題

14、改編自新教材九上相似形24.5(4)例七,典型的共角相似三角形問題,試題為了形成坡度，在原題的基礎(chǔ)上改編出求等腰三角形面積的第一小題,當(dāng)d點(diǎn)在ab邊上運(yùn)動時(shí)，正方形整體動起來，gf邊落在bc邊上時(shí)，恰好和教材中的例題對應(yīng)，可以說是相似三角形對應(yīng)的小高比大高=對應(yīng)的小邊比大邊，探尋正方形和三角形的重疊部分的面積與線段ad的關(guān)系的函數(shù)解析式形成了第三小題，仍然屬于面積類習(xí)題來設(shè)置區(qū)分測量點(diǎn)一，用等腰三角形的存在性來設(shè)置區(qū)分測量點(diǎn)二 區(qū)分度性小題處理手法1找到三角形與正方形的重疊部分是解決本題的關(guān)鍵，如上圖3-1、3-2重疊部分分別為正方形和矩形包括兩種情況2正確的抓住等腰三角形的腰與底的分類，如上

15、圖3-3、3-4、3-5用方程思想解決3解題的關(guān)鍵是用含的代數(shù)式表示出相關(guān)的線段. 略解解：（1）.（2）令此時(shí)正方形的邊長為，則，解得.（3）當(dāng)時(shí)， ，當(dāng)時(shí)， . （4）.類題 改編自09奉賢3月考25題，將條件（2）“當(dāng)點(diǎn)m、n分別在邊ba、ca上時(shí)”,去掉，同時(shí)加到第（3）題中.abfdemnc已知：在abc中，ab=ac，b=30，bc=6，點(diǎn)d在邊bc上，點(diǎn)e在線段dc上，de=3，def是等邊三角形，邊df、ef與邊ba、ca分別相交于點(diǎn)m、n （1）求證：bdmcen； （2）設(shè)bd=，abc與def重疊部分的面積為，求關(guān)于的函數(shù)解析式，并寫出定義域（3）當(dāng)點(diǎn)m、n分別在邊ba、

16、ca上時(shí),是否存在點(diǎn)d，使以m為圓心, bm為半徑的圓與直線ef相切, 如果存在，請求出x的值；如不存在，請說明理由例1：已知o的弦ab的長等于o的半徑，點(diǎn)c在o上變化（不與a、b）重合，求acb的大小 .分析：點(diǎn)c的變化是否影響acb的大小的變化呢?我們不妨將點(diǎn)c改變一下,如何變化呢？可能在優(yōu)弧ab上，也可能在劣弧ab上變化，顯然這兩者的結(jié)果不一樣。那么，當(dāng)點(diǎn)c在優(yōu)弧ab上變化時(shí)，acb所對的弧是劣弧ab，它的大小為劣弧ab的一半，因此很自然地想到它的圓心角，連結(jié)ao、bo，則由于ab=oa=ob，即三角形abc為等邊三角形，則aob=600，則由同弧所對的圓心角與圓周角的關(guān)系得出：acb=

17、aob=300，當(dāng)點(diǎn)c在劣弧ab上變化時(shí)，acb所對的弧是優(yōu)弧ab，它的大小為優(yōu)弧ab的一半，由aob=600得，優(yōu)弧ab的度數(shù)為3600-600=3000，則由同弧所對的圓心角與圓周角的關(guān)系得出：acb=1500，因此，本題的答案有兩個(gè)，分別為300或1500.反思：本題通過點(diǎn)c在圓上運(yùn)動的不確定性而引起結(jié)果的不唯一性。從而需要分類討論。這樣由點(diǎn)c的運(yùn)動變化性而引起的分類討論在解題中經(jīng)常出現(xiàn)。變式1：已知abc是半徑為2的圓內(nèi)接三角形，若，求c的大小.本題與例1的區(qū)別只是ab與圓的半徑的關(guān)系發(fā)生了一些變化,其解題方法與上面一致,在三角形aob中,則,即,從而當(dāng)點(diǎn)c在優(yōu)弧ab上變化時(shí)，c所對的

18、弧是劣弧ab，它的大小為劣弧ab的一半，即,當(dāng)點(diǎn)c在劣弧ab上變化時(shí)，c所對的弧是優(yōu)弧ab，它的大小為優(yōu)弧ab的一半，由aob=1200得，優(yōu)弧ab的度數(shù)為3600-1200=2400，則由同弧所對的圓心角與圓周角的關(guān)系得出：c=1200，因此或c=1200.變式2: 如圖,半經(jīng)為1的半圓o上有兩個(gè)動點(diǎn)a、b，若ab=1，判斷aob的大小是否會隨點(diǎn)a、b的變化而變化，若變化，求出變化范圍，若不變化，求出它的值。四邊形abcd的面積的最大值。解：（1）由于ab=oa=ob，所以三角形aob為等邊三角形，則aob=600，即aob的大小不會隨點(diǎn)a、b的變化而變化。（2）四邊形abcd的面積由三個(gè)三

19、角形組成，其中三角形aob的面積為，而三角形aod與三角形boc的面積之和為，又由梯形的中位線定理得三角形aod與三角形boc的面積之和，要四邊形abcd的面積最大，只需eh最大，顯然ehoe=，當(dāng)abcd時(shí)，eh=oe，因此四邊形abcd的面積最大值為+=.對于本題同學(xué)們還可以繼續(xù)思考:四邊形abcd的周長的變化范圍.變式3: 如圖,有一塊半圓形的木板,現(xiàn)要把它截成三角形板塊.三角形的兩個(gè)頂點(diǎn)分別為a、b，另一個(gè)頂點(diǎn)c在半圓上，問怎樣截取才能使截出的三角形的面積最大？要求說明理由（廣州市2000年考題） 分析：要使三角形abc的面積最大，而三角形abc的底邊ab為圓的直徑為常量，只需ab邊上

20、的高最大即可。過點(diǎn)c作cdab于點(diǎn)d，連結(jié)co，由于cdco，當(dāng)o與d重合，cd=co，因此，當(dāng)co與ab垂直時(shí)，即c為半圓弧的中點(diǎn)時(shí)，其三角形abc的面積最大。本題也可以先猜想，點(diǎn)c為半圓弧的中點(diǎn)時(shí)，三角形abc的面積最大，故只需另選一個(gè)位置c1（不與c重合），證明三角形abc的面積大于三角形abc1的面積即可。如圖顯然三角形 abc1的面積=abc1d，而c1d c1o=co,則三角形 abc1的面積=abc1dabc1o=三角形 abc的面積,因此,對于除點(diǎn)c外的任意點(diǎn)c1,都有三角形 abc1的面積小于三角形三角形 abc的面積,故點(diǎn)c為半圓中點(diǎn)時(shí),三角形abc面積最大.本題還可研究三

21、角形abc的周長何時(shí)最大的問題。提示：利用周長與面積之間的關(guān)系。要三角形abc的周長最大，ab為常數(shù)，只需ac+bc最大，而（ac+bc）2=ac2+cb2+2acbc=ab2+4abc的面積，因此abc的面積最大時(shí)，ac+bc最大，從而abc的周長最大。從以上一道題及其三個(gè)變式的研究我們不難發(fā)現(xiàn),解決動態(tài)幾何問題的常見方法有:一、 特殊探路，一般推證例2：（2004年廣州市中考題第11題）如圖，o1和o2內(nèi)切于a，o1的半徑為3，o2的半徑為2，點(diǎn)p為o1上的任一點(diǎn)（與點(diǎn)a不重合），直線pa交o2于點(diǎn)c，pb切o2于點(diǎn)b，則的值為（a） （b） （c） （d）分析：本題是一道選擇題，給出四個(gè)

22、答案有且只有一個(gè)是正確的，因此可以取一個(gè)特殊位置進(jìn)行研究，當(dāng)點(diǎn)p滿足pbab時(shí)，可以通過計(jì)算得出pb=bcap=bpab，因此 bc=， 在三角形bpc中，pc=，所以，=選（b）當(dāng)然，本題還可以根據(jù)三角形相似得，即可計(jì)算出結(jié)論。作為一道選擇題，到此已經(jīng)完成，但如果是一道解答題，我們得出的結(jié)論只是一個(gè)特殊情況，還要進(jìn)一步證明對一般情況也成立。例3：如圖，在等腰直角三角形abc中，斜邊bc=4，oabc于o,點(diǎn)e和點(diǎn)f分別在邊ab、ac上滑動并保持ae=cf,但點(diǎn)f不與a、c重合，點(diǎn)e不與b、a重合。判斷oef的形狀，并加以證明。判斷四邊形aeof的面積是否隨點(diǎn)e、f的變化而變化，若變化，求其變

23、化范圍，若不變化，求它的值. aef的面積是否隨著點(diǎn)e、f的變化而變化，若變化，求其變化范圍，若不變化，求它的值。分析：本題結(jié)論很難發(fā)現(xiàn)，先從特殊情況入手。最特殊情況為e、f分別為ab、ac中點(diǎn)，顯然有eof為等腰直角三角形。還可發(fā)現(xiàn)當(dāng)點(diǎn)e與a無限接近時(shí)，點(diǎn)f與點(diǎn)c無限接近，此時(shí)eof無限接近aoc，而aoc為等腰直角三角形，幾種特殊情況都可以得出eof為等腰直角三角形。一般情況下成立嗎？oe與of相等嗎？eof為直角嗎？能否證明。如果它們成立，便可以推出三角形ofc與三角形oea全等，一般情況下這兩個(gè)三角形全等嗎？不難從題目的條件可得：oa=oc，ocf=oae，而ae=cf，則oeaofc

24、，則oe=of，且foc=eoa，所以eof=eoa+aof=foc+foa=900，則eof為直角，故eof為等腰直角三角形。二、 動手實(shí)踐，操作確認(rèn)例4（2003年廣州市中考試題）在o中，c為弧ab的中點(diǎn)，d為弧ac上任一點(diǎn)（與a、c不重合），則（a）ac+cb=ad+db (b) ac+cbad+db (d) ac+cb與ad+db的大小關(guān)系不確定分析:本題可以通過動手操作一下,度量ac、cb、ad、db的長度，可以嘗試換幾個(gè)位置量一量，得出結(jié)論（c）例5：如圖，過兩同心圓的小圓上任一點(diǎn)c分別作小圓的直徑ca和非直徑的弦cd，延長ca和cd與大圓分別交于點(diǎn)b、e，則下列結(jié)論中正確的是（

25、* ） （a） （b） （c）（d）的大小不確定分析：本題可以通過度量的方法進(jìn)行，選（b）本題也可以可以證明得出結(jié)論，連結(jié)do、eo，則在三角形oed中，由于兩邊之差小于第三邊，則oeodde,即oboa3).動點(diǎn)m，n同時(shí)從b點(diǎn)出發(fā)，分別沿ba，bc運(yùn)動，速度是1厘米/秒.過m作直線垂直于ab，分別交an，cd于p，q.當(dāng)點(diǎn)n到達(dá)終點(diǎn)c時(shí)，點(diǎn)m也隨之停止運(yùn)動.設(shè)運(yùn)動時(shí)間為t秒. (1)若a=4厘米，t=1秒，則pm=厘米； (2)若a=5厘米，求時(shí)間t，使pnbpad，并求出它們的相似比； (3)若在運(yùn)動過程中，存在某時(shí)刻使梯形pmbn與梯形pqda的面積相等，求a的取值范圍； (4)是否存

26、在這樣的矩形：在運(yùn)動過程中，存在某時(shí)刻使梯形pmbn，梯形pqda，梯形pqcn的面積都相等?若存在，求a的值；若不存在，請說明理由. 評析 本題是以雙動點(diǎn)為載體，矩形為背景創(chuàng)設(shè)的存在性問題.試題由淺入深、層層遞進(jìn)，將幾何與代數(shù)知識完美的綜合為一題，側(cè)重對相似和梯形面積等知識點(diǎn)的考查，本題的難點(diǎn)主要是題(3)，解決此題的關(guān)鍵是運(yùn)用相似三角形的性質(zhì)用t的代數(shù)式表示pm，進(jìn)而利用梯形面積相等列等式求出t與a的函數(shù)關(guān)系式，再利用t的范圍確定的a取值范圍. 第(4)小題是題(3)結(jié)論的拓展應(yīng)用，在解決此問題的過程中，要有全局觀念以及對問題的整體把握. 4 以雙動點(diǎn)為載體，探求函數(shù)最值問題 例4 (20

27、07年吉林省)如圖9，在邊長為82cm的正方形abcd中，e、f是對角線ac上的兩個(gè)動點(diǎn)，它們分別從點(diǎn)a、c同時(shí)出發(fā)，沿對角線以1cm/s的相同速度運(yùn)動，過e作eh垂直ac交rtacd的直角邊于h；過f作fg垂直ac交rtacd的直角邊于g，連結(jié)hg、eb.設(shè)he、ef、fg、gh圍成的圖形面積為s1，ae、eb、ba圍成的圖形面積為s2(這里規(guī)定：線段的面積為0).e到達(dá)c，f到達(dá)a停止.若e的運(yùn)動時(shí)間為x(s)，解答下列問題： (1)當(dāng)0x(2)若y是s1與s2的和，求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式； (圖10為備用圖) 求y的最大值. 解 (1)以e、f、g、h為頂點(diǎn)的四邊形是矩形，因?yàn)檎叫蝍

28、bcd的邊長為82，所以ac=16，過b作boac于o，則ob=89，因?yàn)閍e=x，所以s2=4x，因?yàn)閔e=ae=x，ef=16-2x，所以s1=x(16-2x)， 當(dāng)s1=s2時(shí)， 4x=x(16-2x)，解得x1=0(舍去)，x2=6，所以當(dāng)x=6時(shí)， s1=s2. (2)當(dāng)0x8時(shí)，y=x(16-2x)+4x=-2x2+20x， 當(dāng)8x16時(shí)，ae=x，ce=he=16-x，ef=16-2(16-x)=2x-16， 所以s1=(16-x)(2x-16)， 所以y=(16-x)(2x-16)+4x=-2x2+52x-256. 當(dāng)0x8時(shí)，y=-2x2+20x=-2(x-5)2+50，所以

29、當(dāng)x=5時(shí)，y的最大值為50. 當(dāng)8x16時(shí)，y=-2x2+52x-256=-2(x-13)2+82， 所以當(dāng)x=13時(shí)，y的最大值為82. 綜上可得，y的最大值為82. 評析 本題是以雙動點(diǎn)為載體，正方形為背景創(chuàng)設(shè)的函數(shù)最值問題.要求學(xué)生認(rèn)真讀題、領(lǐng)會題意、畫出不同情況下的圖形，根據(jù)圖形建立時(shí)間變量與其它相關(guān)變量的關(guān)系式，進(jìn)而構(gòu)建面積的函數(shù)表達(dá)式. 本題在知識點(diǎn)上側(cè)重對二次函數(shù)最值問題的考查，要求學(xué)生有扎實(shí)的基礎(chǔ)知識、靈活的解題方法、良好的思維品質(zhì)；在解題思想上著重對數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想、數(shù)學(xué)建模等思想的靈活運(yùn)用. 專題四：函數(shù)中因動點(diǎn)產(chǎn)生的相似三角形問題 例題 如圖1，已知拋物線的頂

30、點(diǎn)為a（2，1），且經(jīng)過原點(diǎn)o，與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為b。求拋物線的解析式；（用頂點(diǎn)式求得拋物線的解析式為）若點(diǎn)c在拋物線的對稱軸上，點(diǎn)d在拋物線上，且以o、c、d、b四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，求d點(diǎn)的坐標(biāo)；連接oa、ab，如圖2，在x軸下方的拋物線上是否存在點(diǎn)p，使得obp與oab相似？若存在，求出p點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，說明理由。例1題圖圖1圖2分析:1.當(dāng)給出四邊形的兩個(gè)頂點(diǎn)時(shí)應(yīng)以兩個(gè)頂點(diǎn)的連線為四邊形的邊和對角線來考慮問題以o、c、d、b四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形要分類討論:按ob為邊和對角線兩種情況 2. 函數(shù)中因動點(diǎn)產(chǎn)生的相似三角形問題一般有三個(gè)解題途徑 求相似三角形的第三個(gè)

31、頂點(diǎn)時(shí)，先要分析已知三角形的邊和角的特點(diǎn)，進(jìn)而得出已知三角形是否為特殊三角形。根據(jù)未知三角形中已知邊與已知三角形的可能對應(yīng)邊分類討論。 或利用已知三角形中對應(yīng)角，在未知三角形中利用勾股定理、三角函數(shù)、對稱、旋轉(zhuǎn)等知識來推導(dǎo)邊的大小。 若兩個(gè)三角形的各邊均未給出，則應(yīng)先設(shè)所求點(diǎn)的坐標(biāo)進(jìn)而用函數(shù)解析式來表示各邊的長度，之后利用相似來列方程求解。 練習(xí)1、已知拋物線經(jīng)過及原點(diǎn)（1）求拋物線的解析式（由一般式得拋物線的解析式為）（2）過點(diǎn)作平行于軸的直線交軸于點(diǎn)，在拋物線對稱軸右側(cè)且位于直線下方的拋物線上，任取一點(diǎn)，過點(diǎn)作直線平行于軸交軸于點(diǎn)，交直線于點(diǎn)，直線與直線及兩坐標(biāo)軸圍成矩形是否存在點(diǎn)，使得與

32、相似？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，說明理由（3）如果符合（2）中的點(diǎn)在軸的上方，連結(jié)，矩形內(nèi)的四個(gè)三角形之間存在怎樣的關(guān)系？為什么？練習(xí)2、如圖，四邊形oabc是一張放在平面直角坐標(biāo)系中的矩形紙片，點(diǎn)a在x軸上，點(diǎn)c在y軸上，將邊bc折疊，使點(diǎn)b落在邊oa的點(diǎn)d處。已知折疊，且。（1）判斷與是否相似？請說明理由；（2）求直線ce與x軸交點(diǎn)p的坐標(biāo)；（3）是否存在過點(diǎn)d的直線l，使直線l、直線ce與x軸所圍成的三角形和直線l、直線ce與y軸所圍成的三角形相似？如果存在，請直接寫出其解析式并畫出相應(yīng)的直線；如果不存在，請說明理由。oxy練習(xí)2圖cbed練習(xí)3、在平面直角坐標(biāo)系中，已知二次函數(shù)的

33、圖象與軸交于兩點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)的左邊），與軸交于點(diǎn)，其頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1，且過點(diǎn)和（1）求此二次函數(shù)的表達(dá)式；（由一般式得拋物線的解析式為）（2）若直線與線段交于點(diǎn)（不與點(diǎn)重合），則是否存在這樣的直線，使得以為頂點(diǎn)的三角形與相似？若存在，求出該直線的函數(shù)表達(dá)式及點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；cba練習(xí)4圖pyycxba練習(xí)3圖（3）若點(diǎn)是位于該二次函數(shù)對稱軸右邊圖象上不與頂點(diǎn)重合的任意一點(diǎn)，試比較銳角與的大小（不必證明），并寫出此時(shí)點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍o練習(xí)4 (2008廣東湛江市) 如圖所示，已知拋物線與軸交于a、b兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)c（1）求a、b、c三點(diǎn)的坐標(biāo)（2）過點(diǎn)a作apcb交拋物線于點(diǎn)p

34、，求四邊形acbp的面積（3）在軸上方的拋物線上是否存在一點(diǎn)m，過m作mg軸于點(diǎn)g，使以a、m、g三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形與pca相似若存在，請求出m點(diǎn)的坐標(biāo)；否則，請說明理由練習(xí)5、已知：如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，是直角三角形，點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，acobxy（1）求過點(diǎn)的直線的函數(shù)表達(dá)式；點(diǎn)，（2）在軸上找一點(diǎn)，連接，使得與相似（不包括全等），并求點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）在（2）的條件下，如分別是和上的動點(diǎn)，連接，設(shè)，問是否存在這樣的使得與相似，如存在，請求出的值；如不存在，請說明理由參考答案例題、解:由題意可設(shè)拋物線的解析式為拋物線過原點(diǎn)，.圖1拋物線的解析式為,即 如圖1,當(dāng)ob為邊即四邊形ocdb是平

35、行四邊形時(shí),cdob,由得,b(4,0),ob4.d點(diǎn)的橫坐標(biāo)為6 將x6代入,得y3,d(6,3); 圖2根據(jù)拋物線的對稱性可知,在對稱軸的左側(cè)拋物線上存在點(diǎn)d,使得四邊形odcb是平行四邊形,此時(shí)d點(diǎn)的坐標(biāo)為(2,3), 當(dāng)ob為對角線即四邊形ocbd是平行四邊形時(shí),d點(diǎn)即為a點(diǎn),此時(shí)d點(diǎn)的坐標(biāo)為(2,1)如圖2，由拋物線的對稱性可知:aoab,aobabo.若bop與aob相似,必須有pobboabpo 設(shè)op交拋物線的對稱軸于a點(diǎn),顯然a(2,1)直線op的解析式為 由,得.p(6,3)過p作pex軸,在rtbep中,be2,pe3,pb4.pbob,bopbpo,pbo與bao不相似

36、, 同理可說明在對稱軸左邊的拋物線上也不存在符合條件的p點(diǎn).所以在該拋物線上不存在點(diǎn)p,使得bop與aob相似. 練習(xí)1、解：（1）由已知可得： 解之得，因而得，拋物線的解析式為：（2）存在設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則，要使，則有，即解之得，當(dāng)時(shí)，即為點(diǎn)，所以得要使，則有，即oxy圖1cbed312a解之得，當(dāng)時(shí)，即為點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，所以得故存在兩個(gè)點(diǎn)使得與相似點(diǎn)的坐標(biāo)為（3）在中，因?yàn)樗援?dāng)點(diǎn)的坐標(biāo)為時(shí)，所以因此，都是直角三角形又在中，因?yàn)樗约从兴?，圖2oxycbedpmglnaf又因?yàn)?，所以練?xí)2解：（1）與相似。理由如下：由折疊知，又，。（2），設(shè)ae=3t，則ad=4t。由勾股定理得de=5t。由（

37、1），得，。在中，解得t=1。oc=8，ae=3，點(diǎn)c的坐標(biāo)為（0，8），點(diǎn)e的坐標(biāo)為（10，3），設(shè)直線ce的解析式為y=kx+b，解得，則點(diǎn)p的坐標(biāo)為（16，0）。（3）滿足條件的直線l有2條：y=2x+12，y=2x12。如圖2：準(zhǔn)確畫出兩條直線。練習(xí)3解：（1）二次函數(shù)圖象頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1，且過點(diǎn)和，由解得此二次函數(shù)的表達(dá)式為（2）假設(shè)存在直線與線段交于點(diǎn)（不與點(diǎn)重合），使得以為頂點(diǎn)的三角形與相似yxbeaocd在中，令，則由，解得令，得設(shè)過點(diǎn)的直線交于點(diǎn)，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為要使或，已有，則只需，或成立若是，則有而在中，由勾股定理，得解得（負(fù)值舍去）點(diǎn)的坐標(biāo)

38、為將點(diǎn)的坐標(biāo)代入中，求得滿足條件的直線的函數(shù)表達(dá)式為或求出直線的函數(shù)表達(dá)式為，則與直線平行的直線的函數(shù)表達(dá)式為此時(shí)易知，再求出直線的函數(shù)表達(dá)式為聯(lián)立求得點(diǎn)的坐標(biāo)為若是，則有而在中，由勾股定理，得解得（負(fù)值舍去）點(diǎn)的坐標(biāo)為將點(diǎn)的坐標(biāo)代入中，求得滿足條件的直線的函數(shù)表達(dá)式為存在直線或與線段交于點(diǎn)（不與點(diǎn)重合），使得以為頂點(diǎn)的三角形與相似，且點(diǎn)的坐標(biāo)分別為或（3）設(shè)過點(diǎn)的直線與該二次函數(shù)的圖象交于點(diǎn)將點(diǎn)的坐標(biāo)代入中，求得此直線的函數(shù)表達(dá)式為設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，并代入，得xbeaocp解得（不合題意，舍去）點(diǎn)的坐標(biāo)為此時(shí)，銳角又二次函數(shù)的對稱軸為，點(diǎn)關(guān)于對稱軸對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為當(dāng)時(shí)，銳角；圖1cpbya當(dāng)時(shí)，

39、銳角；當(dāng)時(shí)，銳角練習(xí)四解：（1）令，得 解得令，得 a b c （2）oa=ob=oc= bac=aco=bco=apcb， pab=過點(diǎn)p作pe軸于e，則ape為等腰直角三角形令oe=，則pe= p點(diǎn)p在拋物線上 解得，（不合題意，舍去）pe=四邊形acbp的面積=aboc+abpe=(3) 假設(shè)存在pab=bac = paacgm圖2cbypamg軸于點(diǎn)g， mga=pac =在rtaoc中，oa=oc= ac=在rtpae中，ae=pe= ap= 設(shè)m點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，則m 點(diǎn)m在軸左側(cè)時(shí)，則() 當(dāng)amg pca時(shí)，有=gm圖3cbypaag=，mg=即 解得（舍去） （舍去）() 當(dāng)ma

40、g pca時(shí)有=即 解得：（舍去） m 點(diǎn)m在軸右側(cè)時(shí)，則 () 當(dāng)amg pca時(shí)有=ag=，mg= 解得（舍去） m () 當(dāng)magpca時(shí)有= 即 解得：（舍去） m存在點(diǎn)m，使以a、m、g三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形與pca相似m點(diǎn)的坐標(biāo)為，練習(xí)5、解：（1）點(diǎn)，點(diǎn)坐標(biāo)為設(shè)過點(diǎn)的直線的函數(shù)表達(dá)式為，圖1由 得，直線的函數(shù)表達(dá)式為（2）如圖1，過點(diǎn)作，交軸于點(diǎn)，在和中， ，點(diǎn)為所求又，（3）這樣的存在圖2在中，由勾股定理得如圖1，當(dāng)時(shí)，則，解得如圖2，當(dāng)時(shí)，則，解得例1(2008福建福州)如圖，已知abc是邊長為6cm的等邊三角形，動點(diǎn)p、q同時(shí)從a、b兩點(diǎn)出發(fā)，分別沿ab、bc勻速運(yùn)動，其中點(diǎn)p

41、運(yùn)動的速度是1cm/s，點(diǎn)q運(yùn)動的速度是2cm/s，當(dāng)點(diǎn)q到達(dá)點(diǎn)c時(shí)，p、q兩點(diǎn)都停止運(yùn)動，設(shè)運(yùn)動時(shí)間為t（s），解答下列問題：（1）當(dāng)t2時(shí)，判斷bpq的形狀，并說明理由；（2）設(shè)bpq的面積為s（cm2），求s與t的函數(shù)關(guān)系式；（3）作qr/ba交ac于點(diǎn)r，連結(jié)pr，當(dāng)t為何值時(shí)，aprprq？分析:由t2求出bp與bq的長度,從而可得bpq的形狀;作qebp于點(diǎn)e,將pb,qe用t表示,由=bpqe可得s與t的函數(shù)關(guān)系式;先證得四邊形eprq為平行四邊形,得pr=qe,再由aprprq,對應(yīng)邊成比例列方程,從而t值可求.解:(1)bpq是等邊三角形,當(dāng)t=2時(shí),ap=21=2,bq=22=4,所以bp=ab-ap=6-2=4,