高等數(shù)學(xué)微分方程二修改后課件

1、高等數(shù)學(xué)微分方程二修改后 第十二章第十二章 微微 分分 方方 程程高階微分方程高階微分方程 高等數(shù)學(xué)微分方程二修改后一、可降階的高階微分方程一、可降階的高階微分方程 1高階微分方程的定義高階微分方程的定義( )( ,)0nF x yyy 2可降階的高階微分方程類型可降階的高階微分方程類型(1)( )( )nyf x (2)( ,)yf x y (3)( ,)yf y y 3可降階的高階微分方程的解題方法流程圖可降階的高階微分方程的解題方法流程圖 可降階的高階微分方程，是通過引入變量進(jìn)行降階，可降階的高階微分方程，是通過引入變量進(jìn)行降階，轉(zhuǎn)化為成一階微分方程，通過判定一階微分方程的類型，轉(zhuǎn)化為成

2、一階微分方程，通過判定一階微分方程的類型，求出通解。解題方法流程圖如下圖所示求出通解。解題方法流程圖如下圖所示。高等數(shù)學(xué)微分方程二修改后解題方法流程圖解題方法流程圖逐次積分逐次積分),(yxfy 解一階微分方程解一階微分方程解一階微分方程解一階微分方程),(yyfy 可降階的高階微分方程可降階的高階微分方程)()(xfyn特點(diǎn)特點(diǎn):不顯含不顯含y轉(zhuǎn)化為一階方程轉(zhuǎn)化為一階方程),(pxfp 特點(diǎn)特點(diǎn):不顯含不顯含x),(ncccxy21通解通解YesNo令令)(xPy 令令)(yPy 轉(zhuǎn)化為一階方程轉(zhuǎn)化為一階方程),(Pyfpp高等數(shù)學(xué)微分方程二修改后二、二階常系數(shù)線性微分方程二、二階常系數(shù)線性

3、微分方程1定義定義(1)二階常系數(shù)線性齊次微分方程：二階常系數(shù)線性齊次微分方程： 0ypyqy (2)二階常系數(shù)線性非齊次微分方程二階常系數(shù)線性非齊次微分方程: ( )ypyqyf x 2解的結(jié)構(gòu)性質(zhì)解的結(jié)構(gòu)性質(zhì)(1)若若 和和1y2y是齊次方程的解是齊次方程的解,則則1 122C yC y 是齊次方程的解。是齊次方程的解。(2)若若 1y和和 2y是齊次方程的線性無關(guān)解是齊次方程的線性無關(guān)解,則則 是齊次是齊次1 122C yC y 方程的通解。方程的通解。(3)若若 1 12 2Y CyC y 是齊次方程的通解，是齊次方程的通解，*y是非齊次方程的特解，是非齊次方程的特解，則則*Yy 是非

4、齊次方程的通解。是非齊次方程的通解。和和 (4)若若 1y2y分別是非齊次方程的特解，則分別是非齊次方程的特解，則12yy 是對應(yīng)是對應(yīng) 齊次方程的特解。齊次方程的特解。高等數(shù)學(xué)微分方程二修改后 特征根特征根 通通 解解 21rr 21rr ir 2, 1)sincos(21xCxCeYx xrexCCY1)(21 xrxreCeCY2121 3. 齊次方程的解題方法齊次方程的解題方法2）求齊次線性方程的通解）求齊次線性方程的通解 ;Y1）寫出特征方程）寫出特征方程 , 并求特征根并求特征根 ； 02 qprr21,rr高等數(shù)學(xué)微分方程二修改后xmkexQxy )(* 4. 非齊次方程的特解非

5、齊次方程的特解)()(xPexfmx (1) 若若設(shè)特解為設(shè)特解為 0 k不是特征方程的根不是特征方程的根 是特征方程的單根是特征方程的單根 是特征方程的重根是特征方程的重根 1 k2 k設(shè)特解為設(shè)特解為(2) 若若sin)(cos)()(xxPxxPexfnlx sin)(cos)()2()1(*xxRxxRexymmxk 0 k不是特征方程的根不是特征方程的根 i 1 k是特征方程的根是特征方程的根 i 高等數(shù)學(xué)微分方程二修改后5. 非齊次方程的解題方法非齊次方程的解題方法求二階常系數(shù)非齊次線性微分方程的通解，一般分為四步：求二階常系數(shù)非齊次線性微分方程的通解，一般分為四步： 2）求對應(yīng)的

6、齊次線性方程的通解）求對應(yīng)的齊次線性方程的通解 ;Y3）根據(jù)不同類型的自由項）根據(jù)不同類型的自由項 ( )f x，利用待定系數(shù)法求出，利用待定系數(shù)法求出一個特解一個特解 *y4）寫出原方程的通解）寫出原方程的通解 。 *Yy 解題方法流程圖如下圖所示解題方法流程圖如下圖所示。1）寫出特征方程）寫出特征方程 , 并求特征根并求特征根 ； 02 qprr21,rr高等數(shù)學(xué)微分方程二修改后解題方法流程圖解題方法流程圖特征方程：特征方程：20rprq 有實(shí)根有實(shí)根12(cossin)xYeCxCx 的類型的類型( )f x混合混合型型對對 分別分別求特解求特解12( ),( )f x f x12*,y

7、 y*12yyy 令令 k為特征方程為特征方程含根含根 的重復(fù)次數(shù)的重復(fù)次數(shù)*( )kxmyx eQx 0 1 2(, , )k 代入原方程，用待定代入原方程，用待定系數(shù)法確定其參數(shù)系數(shù)法確定其參數(shù)令令 k為特征方程含根為特征方程含根 的重復(fù)次數(shù)的重復(fù)次數(shù)12*( )( )( )cos( )sinkxmmyx eRxx Rxxi0 1(, ).max( ,)kml n通解通解 *y Yy12rrYes12( )( )( )f xfxfxYes112()r xYCC x eYes1,2riNo1212r xr xYC eC eNo1( )( ) ( )cos( )sinxlnf xf xe P

8、xx P xxNo求求 通解通解( )ypyqyf x1( )( )( )xmf xf xepxNo高等數(shù)學(xué)微分方程二修改后【例【例1】求方程】求方程 的通解。的通解。 2xyyx 解：由于不顯含解：由于不顯含 ，令，令 ，則，則 y( )yp x yp 代入原方程整理得代入原方程整理得21xppx 即即 ()1px 因此因此 2ypCxx 再積分一次，即得原方程的通解為再積分一次，即得原方程的通解為：2321123yCxxC 此解可以寫成此解可以寫成321213yxC xC 高等數(shù)學(xué)微分方程二修改后【例【例2】求方程】求方程 (1)ln(1)x yyx 的通解。的通解。解：由于不顯含解：由于

9、不顯含 ，令，令 ( )yp x ，則，則 yp y代入原方程整理得代入原方程整理得(1)ln(1)x ppx 即即 ln(1)11pxpxx 為一階線性微分方程為一階線性微分方程 高等數(shù)學(xué)微分方程二修改后利用公式得利用公式得11111ln(1)()1dxdxxxxpeedxCx ln(1)ln(1)1ln(1)()1xxxeedxCx 11( ln(1)1x dxCx 1ln(1)11Cxx 即即 1ln(1)11Cyxx 積分得積分得 12(1)ln(1)21yxCxxC高等數(shù)學(xué)微分方程二修改后解：由于不顯含解：由于不顯含 ( )yp y ypp x,令令 ,則則 代入原方程整理得代入原方

10、程整理得20yppp 所以所以0p 或或0ypp 當(dāng)當(dāng)0ypp 時，此方程為可分離變量的方程，時，此方程為可分離變量的方程，分離變量得：分離變量得：dpdypy 【例【例3】求方程】求方程 2()0y yy 滿足初始條件滿足初始條件012xy 的特解。的特解。01,xy 高等數(shù)學(xué)微分方程二修改后積分得：積分得：1lnlnlnpyC 所以所以1Cpy 即即1Cyy 將將0011,2xxyy 代入得代入得112C ，從而，從而12yy 分離變量得：分離變量得：22yxC 將將01xy 代入得代入得21C 所求方程的特解為：所求方程的特解為：21yx 特解為特解為1y ，含在，含在 內(nèi)。內(nèi)。21yx

11、當(dāng)當(dāng) 時，即時，即0y 積分得積分得yC 0p 高等數(shù)學(xué)微分方程二修改后【例【例4】已知】已知 21xxyxee 2,xxyxee 23,xxxyxeee 是某個二階線性非齊次微分方程的三個特解，求通解是某個二階線性非齊次微分方程的三個特解，求通解及方程的表達(dá)式。及方程的表達(dá)式。解：因為解：因為 212xxyyee 13,xyye 是對應(yīng)齊次方程是對應(yīng)齊次方程的兩個線性無關(guān)的特解，可知特征方程有兩個根的兩個線性無關(guān)的特解，可知特征方程有兩個根122,1rr ，特征方程為，特征方程為22 0rr 高等數(shù)學(xué)微分方程二修改后對應(yīng)齊次方程為：對應(yīng)齊次方程為：20yyy 對應(yīng)齊次方程通解為：對應(yīng)齊次方程

12、通解為：212xxY CeCe 又因為又因為2xxxee 是非齊次微分方程的特解，將其代入是非齊次微分方程的特解，將其代入2( )yyyf x 有有222()()2() (1 2 )( )xxxxxxxxeexeexeex ef x 所求的方程為：所求的方程為：2(1 2 )xyyyx e 通解為：通解為：2212xxxxy Y yCeCexee 高等數(shù)學(xué)微分方程二修改后【例【例5】求方程】求方程 325yyy 滿足初始條件滿足初始條件 (0) 1y , (0) 2y 的特解。的特解。 解：所給的方程是二階常系數(shù)非齊次線性微分方程，解：所給的方程是二階常系數(shù)非齊次線性微分方程， 它的特征方程它

13、的特征方程 232 0rr 解得兩個不同的實(shí)根解得兩個不同的實(shí)根 121,2rr 故齊次方程的通解為故齊次方程的通解為 212xxYCeCe 高等數(shù)學(xué)微分方程二修改后由于由于 是是 型型(其中其中 )，且，且( ) 5f x ( )xmP x e ( ) 5, 0mP x 0 不是特征方程根，所以應(yīng)設(shè)特解不是特征方程根，所以應(yīng)設(shè)特解 0*yaea ，求出，求出( ),( )yy 把它們代入原方程，得把它們代入原方程，得 52a 得非齊次方程的通解為得非齊次方程的通解為 21252xxy YyCeCe 將初始條件將初始條件 (0) 1, (0) 2yy 代入，有代入，有121251222CCCC

14、 解得解得 1275,2CC 所求的特解為所求的特解為 275522xxyee 高等數(shù)學(xué)微分方程二修改后【例【例6】求微分方程】求微分方程 323xyyyxe 的通解的通解 解：所給的方程是二階常系數(shù)非齊次線性微分方程，解：所給的方程是二階常系數(shù)非齊次線性微分方程， 它的特征方程為它的特征方程為 232 0rr 解得兩個不同的實(shí)根解得兩個不同的實(shí)根 121, 2rr 故齊次方程的通解為故齊次方程的通解為 212xxYCeC e 由于由于 是是 型型 ( ) 3xf xxe ( )xmP xe （其中（其中 ）( ) 3 , 1mP xx 且且 是特征方程的單根，是特征方程的單根，1 所以應(yīng)設(shè)特

15、解所以應(yīng)設(shè)特解 高等數(shù)學(xué)微分方程二修改后001223b xbbx 解之，得解之，得 013,32bb 由此求得一個特解為由此求得一個特解為比較等式兩邊的系數(shù)，得比較等式兩邊的系數(shù)，得 00123, 20bbb 22123+(3 )2xxxy Y yCeCexx e 01*()xyx b xb e 求出求出 把它們代入原方程，得把它們代入原方程，得 () ,()yy 高等數(shù)學(xué)微分方程二修改后【例【例7】求微分方程】求微分方程 25sin2xyyy ex 的通解的通解 解：特征方程為解：特征方程為 225 0rr ，其根為，其根為 1,21 2 ri 故齊次方程的通解為故齊次方程的通解為 12(c

16、os2sin2 )xYe Cx Cx （其中（其中 ( ) 0,( ) 1,1,2lnP xP x ）,因為因為1 2 ii 是特征方程根，所以應(yīng)設(shè)特解是特征方程根，所以應(yīng)設(shè)特解 *( cos2sin2 )xyxe Ax Bx 由于由于 ( )sin2xf xex 是是( ( )cos( )sin)xlneP xx P xx 型型( *)( cos2sin2 )( cos2sin2 )xxye Ax Bxxe Ax Bx ( 2 sin22 cos2 )xxeAxBx 高等數(shù)學(xué)微分方程二修改后( *)2 ( cos2sin2 ) 2 ( 2 cos2sin2 )xxye Ax BxeAx Bx

17、 2( 2 sin22 cos2 )( 3 cos23 sin2 )xxxeaxBxxeAxBx 代入原方程，解之得代入原方程，解之得 1, 04AB 故特解為故特解為 *cos24xxyex 于是所求通解為于是所求通解為12(cos2sin2 )cos24xxxy e Cx Cxex 注：不能因為自由項只出現(xiàn)正弦項，而將注：不能因為自由項只出現(xiàn)正弦項，而將 *y設(shè)為設(shè)為 sin2xxe Bx。此例可理解為。此例可理解為 cos2x的系數(shù)為的系數(shù)為0 。 高等數(shù)學(xué)微分方程二修改后【例【例 8】設(shè)】設(shè) ( )f x具有二階連續(xù)函數(shù)，且具有二階連續(xù)函數(shù)，且 (0) 0, (0) 1ff 已知曲線積

18、分已知曲線積分 2(6 ( )sin(5 ( )( )cosxLxef xydxf xf xydy 與積分路徑無關(guān)，求與積分路徑無關(guān)，求 ( )f x線積分與路徑無關(guān)的條線積分與路徑無關(guān)的條 解：因為曲線積分解：因為曲線積分 LPdx Qdy 與路徑無關(guān)，所以根據(jù)曲與路徑無關(guān)，所以根據(jù)曲PQyx ，得，得 2(5 ( )( )cos (6 ( )sin xf xf xyxef xyxy 即即 25 ( )( )cos6 ( )cosxf xf xyxef xy 高等數(shù)學(xué)微分方程二修改后可解得此二階常系數(shù)非齊次線性微分方程的通解為可解得此二階常系數(shù)非齊次線性微分方程的通解為亦即亦即 2( ) 5 ( ) 6 ( )xf xf xf xxe 23212( )(2)2xxxxf xCeCexe 再由再由 (0) 0,(0) 1ff ，可得特解，可得特解 232( )22(2)2xxxxf xeexe 高等數(shù)學(xué)微分方程二修改后00( )( )( )( )( )xxxxxex xt dt x xet dt 【例【例9】 設(shè)函數(shù)設(shè)