例說常用三角恒等變換技巧.doc

1、例說常用三角恒等變換技巧【摘要】 解答三角函數(shù)問題，幾乎都要通過恒等變換將復(fù)雜問題簡單化，將隱性問題明朗化。本文結(jié)合三角函數(shù)問題中常見的 “角的差異、函數(shù)名的差異和運算種類的差異 ”等特點，從 “角變換技巧 ”、 “名變換技巧 ”、“常數(shù)變換技巧 ”、 “邊角互化技巧 ”、“升降冪變換技巧 ”、 “公式變用技巧 ”、“輔助角變換技巧 ”、 “換元變換技巧 ”、“萬能置換技巧 ”九個方面解讀三角恒等變換的常用技巧?！娟P(guān)鍵詞】三角 公式 恒等變換技巧解答三角函數(shù)問題，幾乎都要通過恒等變換將復(fù)雜問題簡單化，將隱性問題明朗化。三角恒等變換的公式很多，主要有 “同角三角函數(shù)的基本關(guān)系 ”、 “誘導(dǎo)公式

2、”、 “和、差、倍、半角公式 ”、 “輔助角公式（ 化一公式） ”、 “萬能置換公式 ”等，這些公式間一般都存在三種差異，如角的差異、函數(shù)名的差異和運算種類的差異，只有靈活有序地整合使用這些公式，消除差異、化異為同，才能得心應(yīng)手地解決問題，這是三角問題的特點，也是三角問題“難得高分 ”的根本所在。本文從九個方面解讀三角恒等變換的常用技巧。1 “角變換 ”技巧角變換的基本思想是，觀察發(fā)現(xiàn)問題中出現(xiàn)的角之間的數(shù)量關(guān)系，把 “未知角 ”分解成 “已知角 ”的“和、差、倍、半角 ”，然后運用相應(yīng)的公式求解。例1已知，求的值?！痉治觥靠紤]到 “已知角 ”是，而 “未知角 ”是和，注意到，可直接運用相關(guān)公

3、式求出和?！竞喗狻恳驗?，所以，又因為，所以，從而，.原式=.【反思】（ 1）若先計算出，則在計算時，要注意符號的選?。唬?2）本題的另一種自然的思路是，從已知出發(fā)，用和角公式展開，結(jié)合“平方關(guān)系 ”通過解二元二次方程組求出和. 但很繁瑣，易出現(xiàn)計算錯誤；（3）本題也可由，運用誘導(dǎo)公式和倍角公式求出。例 2已知，其中，求證：【分析】所給條件中出現(xiàn)的，將三個角比較分析發(fā)現(xiàn)“已知角 ”是，與，涉及的 “未知角 ”是與，把 “未知 ”角轉(zhuǎn)化為兩個 “已知 ”角的代數(shù)和，然后用相關(guān)公式求解?！竞喿C】【反思】（ 1）以上除了用到了關(guān)鍵的角變換技巧以外，還用到了“弦化切 ”技巧 .；（ 2）本題也可由已知直

4、接求出與的關(guān)系，但與目標(biāo)相差甚遠，一是函數(shù)名稱不同，二是角不同，所以較為困難；（3）善于發(fā)現(xiàn)所求的三角函數(shù)的角與已知條件的角的聯(lián)系，是有效進行角變換的前提。常用的角變換關(guān)系還有：，等.2 “名變換 ”技巧名變換是為了減少函數(shù)名稱或統(tǒng)一函數(shù)而實施的變換，需要進行名變換的問題常常有明顯的特征，如已知條件中弦、切交互呈現(xiàn)時，最常見的做法是 “切弦互化 ”，但實際上，誘導(dǎo)公式、倍角公式和萬能置換公式，平方關(guān)系也能進行名變換。例3 已知向量，求的定義域和值域；【分析】易知 ，這是一個 “切弦共存 ”且“單、倍角共在 ”的式子，因此既要通過 “切化弦 ”減少函數(shù)名稱，又要用倍角公式來統(tǒng)一角，使函數(shù)式更簡明

5、?！竞喗狻坑傻?，所以，.的定義域是，值域是.【反思】本題也可以利用萬能置換公式先進行“弦化切 ”，變形后再進行 “切化弦 ”求解 .例 4 已知都是銳角，且，求的值?！痉治觥恳阎獥l件中，等式的右邊是分式，符合和差解的正切公式特征，可考慮“弦化切 ”，另一方面，若是 “切化弦 ”，則很快出現(xiàn)待求式，與目標(biāo)很近.【簡解 1】顯然時，因為都是銳角，所以，所以，.【簡解 2】由得，設(shè)，則，所以，即.【反思】簡解1 說明當(dāng)分子分母都是同角的正弦、余弦的齊次式時，很容易“弦化切 ”；簡解 2 很巧妙，其基本思想是整體換元后利用平方關(guān)系消元.3 “常數(shù)變換 ”技巧在三角恒等變形過程中，有時需將問題中的常數(shù)寫

6、成某個三角函數(shù)值或式，以利于完善式子結(jié)構(gòu)，運用相關(guān)公式求解，如，等 .例 5 （1）求證 :；（ 2）化簡：.【分析】第（ 1）小題運用和把分子、分母都變成齊次式后進行轉(zhuǎn)化；第（2）小題實際上是把同一個角的正弦、余弦的代數(shù)和化為熟悉的的形式，有利于系統(tǒng)研究函數(shù)的圖象與性質(zhì).【簡解】（ 1）左邊 =.（2）原式 =【反思】 “1的”變換應(yīng)用是很多的，如萬能置換公式的推導(dǎo)，實際上是利用了把整式化成分式后進行的，又如例4 中，也是利用了，把分式變成了整式 .4 “邊角互化 ”技巧解三角形時，邊角交互呈現(xiàn)，用正、余弦定理把復(fù)雜的邊角關(guān)系或統(tǒng)一成邊，運用代數(shù)運算方法求解，或統(tǒng)一成角，運用三角變換求解.例

7、 6 在中，分別為角的對邊，且2a sinA = (2b+c sinB + (2c+bsinC，（ 1）求角的大??；（ 2）若，證明是等腰三角形.【分析】本題的條件集三角形的六元素于一身，看似復(fù)雜，但等式是關(guān)于三邊長和三個角的正弦的齊次式，所以可用正弦定理把“角 ”化為邊或把邊化為“角 ”來求解?！竞喗狻浚?1）（角化邊）由正弦定理得，整理得，所以，因為，所以.（2）法一：（邊化角）由已知和正弦定理得，即，從而，又，所以.所以，是等腰三角形 .法二：由（ 1）知，代入得，所以，所以，是等腰三角形 .【反思】第（1）小題 “化角為邊 ”后，把已知條件轉(zhuǎn)化為邊的二次齊次式，符合余弦定理的結(jié)構(gòu)，第（

8、2）小題的法一之所以“化邊為角 ”，是因為不易把條件化為邊的關(guān)系，而把條件轉(zhuǎn)化為邊的關(guān)系卻很容易；法二的基本思路是消元后統(tǒng)一角，再利用“化一公式 ”簡化方程 .5 “升降冪變換 ”技巧當(dāng)所給條件出現(xiàn)根式時，常用升冪公式去根號，當(dāng)所給條件出現(xiàn)正、余弦的平方時，常用 “降冪 ”技巧，常見的公式有：，可以看出，從左至右是“冪升角變半 ”，而從右至左則是“冪降角變倍 ”.例 7化簡：【分析】含有根號，需“升冪 ”去根號 .【簡解】原式=因為，所以，所以，原式.例 8 求函數(shù)，的最大值與最小值【分析】函數(shù)式中第一項是正弦的平方，若“降冪 ”后 “角變倍 ”，與第二項的角一致.【簡解】又，即，【反思】以上

9、兩例表明，“升降冪技巧 ”僅僅是解題過程中的一個關(guān)鍵步驟，只有有效地整合各種技巧與方法才能順利地解題。如例 7 中用到了常數(shù) “變換技巧 ”，例 8 中用到了 “輔助角 ”變換技巧 .6 “公式變用 ”技巧幾乎所有公式都能變形用或逆向用，如，等，實際上，“常數(shù)變換 ”技巧與 “升降冪 ”技巧等也是一種公式變用或逆用技巧.例9求值：（ 1）；（2）。【分析】第（1）小題中，除是特殊角外，其他角成倍角，于是考慮使用倍角公式；第（ 2）小題中兩角差為，而是兩角差的正切值，所以與兩角差的正切公式有關(guān)?！竞喗狻浚?1）原式。（ 2）原式。【反思】第（1）小題的一般性結(jié)論是：.例 10求證：?！痉治觥孔筮?/p>

10、通項是兩角正切的積，且兩角差為定值，而在正切的和、差角公式中出現(xiàn)了兩角正切的積，可嘗試 .【簡證】因為，所以，左邊 =【反思】這里通過 “角變換 ”和公式變形得出裂項公式，然后累加消項，這也是數(shù)列求和的一種常見技巧 .7 “輔助角變換 ”技巧通常把是把 同角的正弦、余弦的代數(shù)和化為叫做輔助角公式（也叫化一公式），其作用的形式， 來研究其圖象與性質(zhì). 尤其是當(dāng)，時，要熟記其變換式，如，等 .例 11 求函數(shù)的值域.【分析】初看此題，似無從下手，若把分式變成整式，就出現(xiàn)了利用三角函數(shù)的有界性建立關(guān)于y 的不等式 .，然后【簡解】由得，所以，從而，其中輔助角由，決定.所以，由解得.【反思】（ 1）解

11、答本題的方法很多，比較多用的方法是類比斜率計算公式，把問題轉(zhuǎn)化為直線斜率問題，也有用萬能置換后，轉(zhuǎn)化為分式函數(shù)求解的.（ 2）輔助角公式的形成，也可以看成是“常數(shù)變換 ”的結(jié)果 . 事實上，=，可設(shè)，再進行 “切化弦 ”變換，就得到了“化一公式 ”.8 “換元變換 ”技巧有些函數(shù)，式子里同時出現(xiàn)（或）與，這時，可設(shè)（或），則（或），把三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為熟悉的函數(shù)來求解.例 12 求函數(shù)的值域【分析】同時出現(xiàn)與時，可用.【簡解】設(shè)，因為，所以，又由得，所以，由得，.【反思】（ 1）本題若不換元，則需要用到 “添、湊、配 ”技巧，而怎樣進行 “添、湊、配 ”，則是因題而異，無明顯特征 .；（ 2）引進

12、 “新元 ”后，一定要說明 “新元 ”的取值范圍；（ 3）平方關(guān)系的變式應(yīng)用廣泛，如在解答命題“已知，是方程的兩根，求的值 ”時，關(guān)鍵步驟是在運用韋達定理后，利用變式消元后求解。例 13求證：?！痉治觥克C等式中每個分式與兩角差的正切相似，而所證等式與三角形中的結(jié)論相似，從而嘗試換元，利用三角知識證代數(shù)問題。【簡解】設(shè)，因為，所以，變形整理得所以，即，【反思】本題解法也體現(xiàn)了類比思維的作用，若用常規(guī)方法處理，則運算十分繁瑣.9 “萬能置換 ”技巧“萬能置換 ”技巧，實際從屬于 “名變換 ”技巧，其特征是用半角的正切值表示原角的正弦、余弦與正切 .例 14 討論函數(shù)的最大值與最小值.【分析】本題可通過求導(dǎo)或利用基本不等式求解. 但類比函數(shù)式的結(jié)構(gòu)與萬能置換公式相同，于是問題得到轉(zhuǎn)化.【簡解】設(shè)，則，當(dāng)且僅當(dāng)也就是時，當(dāng)且僅當(dāng)也就是時，.【反思】（ 1）當(dāng)問題條件中出現(xiàn)單角的正切與倍角三角函數(shù)問題時，可考慮使用萬能置換公式；（ 2）運用萬能置換技巧既可以把代數(shù)問題轉(zhuǎn)化成三角函數(shù)問題，也可以把三角問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題，如例11 中，可設(shè)，則，即，然后可用判別式法求解.最后還要指出，這里介紹的所謂技巧只是解決問題時關(guān)鍵步驟的一種特定的做法，每一個問題的