《電動力學第三版》chapter2s靜電場的標勢及其微分方程

1、?電動力學第三版?chapter2s靜電場的標勢及其微分方程靜止電荷產(chǎn)生的場靜止電荷產(chǎn)生的場靜電場靜電場. . 2.l 2.l 靜電場的標勢及其微分方程靜電場的標勢及其微分方程1. 靜電場的標勢靜電場的標勢靜電場是無旋場，故可引入標量場，靜電勢靜電場是無旋場，故可引入標量場，靜電勢E),(zyx21d)()(12PPlEPPPlEPd)(取無窮遠點電勢為零取無窮遠點電勢為零VxVr xxxExd)(41d)()(0)(xE)(x)(x2. 靜電勢的微分方程和邊值關(guān)系靜電勢的微分方程和邊值關(guān)系靜電場的問題靜電場的問題求解以下方程問題求解以下方程問題221f1122nn有導(dǎo)體時的邊值問題有導(dǎo)體時的

2、邊值問題在靜止情況下在靜止情況下, , 導(dǎo)體的靜電平衡條件為導(dǎo)體的靜電平衡條件為 (1) (1)導(dǎo)體內(nèi)部不帶電導(dǎo)體內(nèi)部不帶電, ,電荷只能分布于導(dǎo)體外表上電荷只能分布于導(dǎo)體外表上; ; (2) (2)導(dǎo)體內(nèi)部電場為零導(dǎo)體內(nèi)部電場為零; ; (3) (3)導(dǎo)體外表上電場沿法線方向?qū)w外表上電場沿法線方向, , 導(dǎo)體外表為等勢面導(dǎo)體外表為等勢面. .整個整個導(dǎo)體的電勢相等導(dǎo)體的電勢相等導(dǎo)體外表的邊界條件為導(dǎo)體外表的邊界條件為Cfn3. 靜電場能量靜電場能量在在線性線性介質(zhì)中介質(zhì)中靜靜電場的總能量為電場的總能量為VDVDEWd)(21d21DEVDDd)(21VSDSd21d21Vd21僅對靜電場成

3、立，僅對靜電場成立，/2不代表能量密度不代表能量密度. . 1/r, D 1/r2,面積 r2,r 電荷分布電荷分布所激發(fā)的電場總能量所激發(fā)的電場總能量 rxxVVW) ()(dd41211. 靜電問題的唯一性定理靜電問題的唯一性定理 唯一性定理唯一性定理：設(shè)區(qū)域：設(shè)區(qū)域V內(nèi)給定自由電荷分布內(nèi)給定自由電荷分布 , ,在邊界在邊界S上給定上給定 (i)(i)電勢電勢或或 (ii)(ii)電勢的法向?qū)?shù)電勢的法向?qū)?shù) , , 則則V內(nèi)的電場唯一地確定內(nèi)的電場唯一地確定. . 也就是說也就是說, ,在在V內(nèi)存在唯一內(nèi)存在唯一的解的解, ,它在每個均勻區(qū)域內(nèi)滿足泊松方程它在每個均勻區(qū)域內(nèi)滿足泊松方程,

4、 ,在兩均勻區(qū)在兩均勻區(qū)域分界面上滿足邊值關(guān)系域分界面上滿足邊值關(guān)系, ,并在并在V的邊界的邊界S上滿足給定上滿足給定的的或或/n值值. . xS|Sn2.2 2.2 唯一性定理唯一性定理唯一性定理唯一性定理的表述：的表述：空間區(qū)域空間區(qū)域V 內(nèi)靜電場唯一確定的條件為：內(nèi)靜電場唯一確定的條件為：(1)(1)在區(qū)域在區(qū)域 V中每個均勻的子區(qū)域中每個均勻的子區(qū)域 Vi 內(nèi)滿足泊松方程：內(nèi)滿足泊松方程：(2) (2) 在區(qū)域在區(qū)域 V 中每兩個子區(qū)域邊界上滿足邊值條件：中每兩個子區(qū)域邊界上滿足邊值條件：(4) (4) 給定區(qū)域給定區(qū)域V V 外表上外表上 或或/ /n n 之值之值. . (3) (

5、3) 區(qū)域區(qū)域V V內(nèi)的電荷密度內(nèi)的電荷密度 , , ；), 2 , 1( 2 ii)( ,n區(qū)域區(qū)域指向由jiennjjiiji2. 有導(dǎo)體存在時的唯一性定理有導(dǎo)體存在時的唯一性定理導(dǎo)體的靜電平衡條件：導(dǎo)體的靜電平衡條件：導(dǎo)體內(nèi)部電場為零，導(dǎo)體是等勢體導(dǎo)體內(nèi)部電場為零，導(dǎo)體是等勢體電荷以面電荷形式分布于外表電荷以面電荷形式分布于外表 對于第一類邊界條件，只要把導(dǎo)體存在的空間扣除，將導(dǎo)對于第一類邊界條件，只要把導(dǎo)體存在的空間扣除，將導(dǎo)體看成是區(qū)域邊界之一，即可證明電場被唯一確定體看成是區(qū)域邊界之一，即可證明電場被唯一確定. 兩類邊界條件：兩類邊界條件：第一類：給定導(dǎo)體外表上的第一類：給定導(dǎo)體外

6、表上的 i/n 或或 i第二類：給定每個導(dǎo)體上的第二類：給定每個導(dǎo)體上的電荷電荷 QikSk 對于第二類邊界條件，在導(dǎo)體外，電荷分布給定，大區(qū)域外對于第二類邊界條件，在導(dǎo)體外，電荷分布給定，大區(qū)域外表上電勢或電勢的法向?qū)?shù)給定；每個導(dǎo)體上的總電荷給定表上電勢或電勢的法向?qū)?shù)給定；每個導(dǎo)體上的總電荷給定. 2.3 2.3 別離變量法解拉普拉斯方程別離變量法解拉普拉斯方程 2泊松方程泊松方程 產(chǎn)生電場的電荷分布在區(qū)域的邊界上產(chǎn)生電場的電荷分布在區(qū)域的邊界上, , 其作用其作用通過邊界條件反映出來通過邊界條件反映出來. . 這類問題的解法是求解拉這類問題的解法是求解拉普拉斯方程的滿足邊界條件的解普拉

7、斯方程的滿足邊界條件的解. . 拉普拉斯方程拉普拉斯方程02球坐標系下拉普拉斯方程的通解：球坐標系下拉普拉斯方程的通解：mrdrcmrbrarmnmnnnmnnmmnmnnnmnnmsin)(cosP cos)(cosP),(,)1(,)1(假設(shè)系統(tǒng)具有軸對稱性，取對稱軸為假設(shè)系統(tǒng)具有軸對稱性，取對稱軸為z z軸，軸，00m)(cosP),()1(nnnnnnrbrar唯一性定理唯一性定理具有邊界條件的泊松方程求解是很困難的具有邊界條件的泊松方程求解是很困難的. . 電場分布電場分布 區(qū)域內(nèi)只有區(qū)域內(nèi)只有一個或幾個點電荷一個或幾個點電荷, ,區(qū)域邊界是導(dǎo)體或區(qū)域邊界是導(dǎo)體或介質(zhì)界面時求解電場分

8、布的一種特殊方法介質(zhì)界面時求解電場分布的一種特殊方法鏡像法鏡像法. 嘗試解嘗試解QQ+ + + + +點電荷點電荷Q的映像的映像代換滿足邊界條件代換滿足邊界條件代換沒有改變電荷分布代換沒有改變電荷分布泊松方程不變泊松方程不變假想電荷代替假想電荷代替感應(yīng)電荷分布感應(yīng)電荷分布問題解決問題解決2.4 2.4 鏡像法鏡像法電荷為電荷為Q的的點電荷密度點電荷密度：) ()(xxQx函數(shù)應(yīng)具有下面性質(zhì)：函數(shù)應(yīng)具有下面性質(zhì)：)0( 0)(xx)0( )(xx)( 1d)(VxVxV函數(shù)的選擇性質(zhì)：函數(shù)的選擇性質(zhì)：)( ) (d) ()(VxxfVxxxfV)0( )0(d)()(VfVxxfV)(xOQx

9、xx)( x2.5 2.5 格林函數(shù)格林函數(shù) 1. 點電荷密度的點電荷密度的函數(shù)表示函數(shù)表示 x位于位于 點的點的單位點電荷單位點電荷產(chǎn)生的電勢滿足泊松方程：產(chǎn)生的電勢滿足泊松方程：) (1)(02xxx加上邊界條件：加上邊界條件：0| SSnS01| 或那么那么在在S S為邊界的區(qū)域為邊界的區(qū)域V V中，有唯一的解中，有唯一的解. . 稱此解稱此解為此區(qū)域內(nèi)的格林為此區(qū)域內(nèi)的格林GreenGreen函數(shù)函數(shù). .2. 格林函數(shù)格林函數(shù)VOQx x) ,(1xxG第一類格林函數(shù)：第一類格林函數(shù)：第二類格林函數(shù)：第二類格林函數(shù)：) ,(2xxG0) ,() (1) ,(1012SxxGxxxxG

10、SnxxGxxxxGS020221) ,() (1) ,(設(shè)區(qū)域設(shè)區(qū)域V內(nèi)有兩個函數(shù)內(nèi)有兩個函數(shù)和和: :SVSnnVdd22格林格林( (Green) )公式公式利用格林函數(shù)求解靜電場利用格林函數(shù)求解靜電場邊界條件和電荷對空間電場的奉獻可以別離，具有疊加性質(zhì)邊界條件和電荷對空間電場的奉獻可以別離，具有疊加性質(zhì)SSVSnxxxGVxxxGxd) (), (d) (), ()(202SVSnxxGxVxxxGxd), () (d) (), ()(1013. 格林公式格林公式2.6 2.6 電多極矩電多極矩rVO xlx| | | | | xrxRxxr記處展開在將0 xr| | |xxRxxDRpRQrVxxjijiijV1611414d) ()(,200真空中給定電荷密度激發(fā)的電場電勢為真空中給定電荷密度激發(fā)的電場電勢為d ) (VxQV體系的電荷體系的電荷d ) (VxxpVi體系的電偶極矩體系的電偶極矩VjiijVxxxDd) (3體系的電四極矩體系的電四極矩電荷零極矩與外場相互作用能：電荷零極矩與外場相互作用能：電偶極矩與外場相互作