怎樣教學雞兔同籠問題

1、 怎樣教學“雞兔同籠”問題 甘肅甘南合作市藏族小學徐忠 關(guān)鍵詞：“雞兔同籠”問題、思維方式、畫圖法、列表法、置換法、砍足減半法、設(shè)元法、 理解算理、一題多解、一法多用。 關(guān)于“雞兔同籠”問題在原來的“九年義務(wù)教育小學教科書”中 很少涉及此類問題，只是偶爾在練習或復習資料中出現(xiàn)三兩道變式性 “雞兔同籠”問題的類解題，但現(xiàn)在這個問題在“（小學）義務(wù)教育 課程標準實驗教科書”六年級上冊中不但涉及而且以“數(shù)學廣角”知 識已獨立成章，作為小學數(shù)學教學內(nèi)容的一部分必學知識再現(xiàn)。既然 “雞兔同籠”問題在“新標實驗教材”中已作為小學數(shù)學教學中的必 學知識再現(xiàn)，那么，怎樣才能教學好“雞兔同籠”問題呢？ 首先，我

2、們要根據(jù)具體的問題情境，搞清楚何為“雞兔同籠”問 題。 “雞兔同籠”顧名思義，就是雞和兔同居在一個籠中，也就是雞 和兔混放在一塊兒，根據(jù)一些必要的數(shù)量求證計算一些未知的數(shù)量， 來解決問題的一種生活情境題。一般情況下這類問題都是已知雞兔共 有多少只，雞兔混在一起共有多少條腿，或在問題情境中隱含必要的 數(shù)量，然后來計算雞兔各有多少只。其特點是已知雞兔的頭數(shù)和總腳 數(shù)，求雞兔各有多少只。這也是一個典型的古代趣味數(shù)學問題。 女口：今有稚兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足，問稚兔各幾 何？ 即“今有雞兔同籠，上有35個頭，下有94條腿，雞和兔各有多少只？”象這樣的數(shù)學問題，就是典型的“雞兔同籠”問題。

3、其次，在明析問題后，如何根據(jù)問題情境，探求解答方法呢？ 在數(shù)學中，當一個問題提出后，最關(guān)鍵的是如何來解決這個問題， 這就要通過正確的數(shù)學思維方法和嚴密的數(shù)學邏輯推理來尋求解答 方案。 現(xiàn)就以“籠子里有若干只雞和兔，從上面數(shù)，有 8個頭，從下面 數(shù)，有26只腳，雞和兔各有多少只？”這個問題為例疏理一下如何 解答“雞兔同籠”問題。 解法一，觀察問題情境，利用畫圖法，猜想嘗試解決一一畫圖法。 一只雞2只腳r 一對雞兔6只腳。 一只兔4只腳 猜想1雞兔四對共24只腳，頭數(shù)正好，腳還少2只，猜想錯誤。 猜想2雞兔三對共18只腳，還缺2個頭，8只腳，那就正好是2 只兔子，所以籠中有雞3只，兔子5只。 這樣

4、通過畫圖排對子，猜測比較計算就得知籠中有雞3只，兔5 只，用這種方法如果數(shù)量較大，一時就很難解決問題，只有數(shù)量較少 時才比較方便可用。 解法二，根據(jù)問題情境，列表推理計算，湊碰篩選解決一列表法。 雞 0 1 2 3 . . . 兔 8 7 6 5 . . . 總腳數(shù) 32 30 28 26 . . . T 符合題意，有雞3只，兔5只。 利用列表猜湊計算篩選解決這類問題時， 一般從腳數(shù)最少的雞開 始假定為0個算起，逐次增加個數(shù)，來列表求解，這種方法對于數(shù)量 較大時還是顯得比較麻煩，不太方便，對于數(shù)量少的情況比較適用。 解法三，通過假設(shè)改變問題情境，轉(zhuǎn)化代換，比較置換計算來解 決問題置換法 假定籠

5、子里全是雞，把籠子里的兔都用雞代換掉，那么，籠中就 共有8只雞，每只雞有2只腳，8只雞就共有16只腳，而這就與題 中已知的“籠中共有26只腳”在數(shù)量上產(chǎn)生出入。為什么會有這種 出入呢？原因是用一只雞代換一只兔， 那就少2只腳，現(xiàn)在把籠中的 兔全用雞代換了，那就肯定在總腳數(shù)上會有出入，當把籠中的兔全部 用雞代換后，現(xiàn)有總腳數(shù)和題中已知的總腳數(shù)比，少了10只腳。一 只雞代換一只兔少2只腳，共少了 10只腳，就相當于10只+ 2只=5 倍數(shù)，也就是5只雞代換了 5只兔，這樣回過頭再用5只兔置換假定 代換的5只雞，正好就符合題意，所以，籠中有兔 5只，有雞8只一 5只=3只。 這種思維方法實際上就是用

6、假設(shè)法來改變問題情境，在推理過程 中利用假設(shè)數(shù)與已知數(shù)之間的差額和固定不變的差額一一一只雞與 一只兔差2只腳的這“兩個差”（總的腳數(shù)差；一對雞兔腳數(shù)差）來 求未知數(shù)量，從而謀求解決問題。實質(zhì)上就是假定全是甲數(shù)，后來要用乙數(shù)去置換；假定全是乙數(shù)，就要用甲數(shù)去置換。也就是說利用“兩 個差”求差倍數(shù)，假定全是甲，求出的差倍數(shù)就是乙；假設(shè)全是乙， 求出的差倍數(shù)就是甲。這種假設(shè)性比較置換法，對于教師來說似乎簡 單明了，算起來簡單方便，但對于學生來說，從算理上雖然能夠接受 和理解，但容易發(fā)生混亂，易于出錯。此法的掌握只有在教學中反復 應(yīng)用，強化訓練才能牢固記憶，在學習中需要耗時耗力，深刻留下“烙 印”，在

7、解決問題中根據(jù)具體情境細心區(qū)分，才能正確用運。 解法四：以想象性假設(shè)改變問題情境，用減半求差來解決問題一 砍足減半法。 假設(shè)將雞和兔的腿各砍掉一半，即假如雞有一條腿（另一條腿砍 掉或抬藏起來）；兔有兩條腿（另兩條腿砍掉或抬藏起來），這時一只 雞只有一只腳，一只兔只有兩只腳，那么一只兔就比一只雞多1只腳。 如果雞兔混居，籠中只要有一只兔，雞兔總腳數(shù)就比總頭數(shù)多 1,那 么籠中有幾只兔子，總腳數(shù)就比總頭數(shù)多幾。 把題中的總腳數(shù)砍半，26只+ 2=13只腳，砍半后腳的總數(shù)減去 總頭數(shù)就應(yīng)是兔子的數(shù)量，即13只一8只=5只兔子，所以籠中有兔 5只，有雞8只5只=3只。 這種求解方法實際是一種理想性的假

8、設(shè)法，通過理想性想象假設(shè) 改變問題情境，使問題便于解決，算理易于理解，計算較為簡便，但 這種思維方法一般都不易想到，是一種奇思妙想性的非常規(guī)思考性解 題法。 解法五：根據(jù)問題情境順向思維，用字母代替未知數(shù)，利用方程 求解設(shè)元法 可設(shè)籠中有兔X只，那么籠中就有（8-X ）只雞，雞兔共有26 只腳，貝肪艮據(jù)“兔子的總腳數(shù)+雞的總腳數(shù)二雞兔的總腳數(shù)”來列出方 程，通過解方程來解決問題。 一只兔4只腳，X只兔就有4X只腳；一只雞有2只腳，（8-X） 只雞就有2 （8-X）只腳。 貝卩：4X+2 （8-X） =26,通過解方程X=5，即籠中有兔5只，那 么籠中就有雞8只一5只=3只。 這種利用方程解答“

9、雞兔同籠”問題的方法，是一種順向思維法。 從算理上講便于理解，列方程，解方程對于小學高年級學生來說也不 存在什么大的難度，這種方法實際上是一種實用性強，能與初中代數(shù) 知識接軌的一種通解方法。 在教學中應(yīng)要求學生全面掌握這種通解法， 以便一法多用，對于 “雞兔同籠”問題在小學范圍內(nèi)一般習慣設(shè)兔子（也就是腳多的）為 X，來列方程求解， 也可以設(shè)雞（腳少的）為 X，列出方程也同樣 可以求解，但相對而言，設(shè)腳多的為 X列方程和求解都相對容易些， 這也是人們常用的一種定勢解題習慣。 最后，在理解算理，掌握計算方法中，領(lǐng)悟數(shù)學思維方式，形成 知識遷移，活學活用。 “雞兔同籠”問題雖然是由古代趣味題引出的，但類似于“雞兔 同籠”問題的變式性數(shù)學問題還是比較多的。象“龜鶴”問題，“做 題錯對”問題，“松鼠摘果晴陰天”問題，“租船”問題等等，這些類 同于“雞兔同籠”問題的生活情境題，只要理清題意、理解其算理， 都可以應(yīng)用“雞兔同籠”問題的數(shù)學多極思維法，利用一題多解和一 法多用來解決變式性的“雞兔同籠”問題。因此在數(shù)學教學中一定