小學(xué)數(shù)學(xué)典型應(yīng)用題問題與答案

1、第一章 行程問題1、相遇問題 2、追及問題 3 行船問題 4 列車問題 5 時鐘問題第二章 分數(shù)問題1 工程問題 2 百分數(shù)問題 3 存款利率問題 4 溶液濃度問題 5 商品利潤問題第三章 比例問題1、歸一問題 2、歸總問題 3 正反比例問題 4 按比例分配問題 5、盈虧問題第四章 和差倍比問題1 和差問題 2和倍問題 3. 差倍問題 4 倍比問題 5 年齡問題第五章 植樹與方陣問題1 植樹問題 2 方陣問題第六章 雞兔同籠問題第七章 條件最值問題1 公約公倍問題 2 最值問題第八章還原問題 第九章 列方程問題第十章“牛吃草”問題 第十一章 數(shù)學(xué)游戲1 構(gòu)圖布數(shù)問題 2 幻方問題 3 抽屜原則

2、問題第一章 行程問題1、相遇問題【含義】 兩個運動的物體同時由兩地出發(fā)相向而行，在途中相遇。這類應(yīng)用題叫做相遇問題。【數(shù)量關(guān)系】 相遇時間總路程（甲速乙速） 總路程（甲速乙速）相遇時間【解題思路和方法】 簡單的題目可直接利用公式，復(fù)雜的題目變通后再利用公式。例1 南京到上海的水路長392千米，同時從兩港各開出一艘輪船相對而行，從南京開出的船每小時行28千米，從上海開出的船每小時行21千米，經(jīng)過幾小時兩船相遇？例2 甲乙二人同時從兩地騎自行車相向而行，甲每小時行15千米，乙每小時行13千米，兩人在距中點3千米處相遇，求兩地的距離。 解 “兩人在距中點3千米處相遇”是正確理解本題題意的關(guān)鍵。從題中

3、可知甲騎得快，乙騎得慢，甲過了中點3千米，乙距中點3千米，就是說甲比乙多走的路程是（32）千米，因此， 相遇時間（32）（1513）3（小時） 兩地距離（1513）384（千米） 答：兩地距離是84千米。2、追及問題【含義】 兩個運動物體在不同地點同時出發(fā)（或者在同一地點而不是同時出發(fā)，或者在不同地點又不是同時出發(fā)）作同向運動，在后面的，行進速度要快些，在前面的，行進速度較慢些，在一定時間之內(nèi)，后面的追上前面的物體。這類應(yīng)用題就叫做追及問題?！緮?shù)量關(guān)系】 追及時間追及路程（快速慢速）追及路程（快速慢速）追及時間【解題思路和方法】 簡單的題目直接利用公式，復(fù)雜的題目變通后利用公式。例1 好馬每天

4、走120千米，劣馬每天走75千米，劣馬先走12天，好馬幾天能追上劣馬？例2 甲、乙二人練習(xí)跑步，若甲讓乙先跑10米，則甲跑5秒鐘可追上乙；若甲讓乙先跑2秒鐘，則甲跑4秒鐘就能追上乙.問：甲、乙二人的速度各是多少？分析 若甲讓乙先跑10米，則10米就是甲、乙二人的路程差，5秒就是追及時間，據(jù)此可求出他們的速度差為105=2（米/秒）；若甲讓乙先跑2秒，則甲跑4秒可追上乙，在這個過程中，追及時間為4秒，因此路程差就等于24=8（米），也即乙在2秒內(nèi)跑了8米，所以可求出乙的速度，也可求出甲的速度.綜合列式計算如下：解： 乙的速度為：10542=4（米/秒）甲的速度為：105+4=6（米/秒）答：甲的

5、速度為6米/秒，乙的速度為4米/秒.例3 幸福村小學(xué)有一條200米長的環(huán)形跑道，冬冬和晶晶同時從起跑線起跑，冬冬每秒鐘跑6米，晶晶每秒鐘跑4米，問冬冬第一次追上晶晶時兩人各跑了多少米，第2次追上晶晶時兩人各跑了多少圈？分析 這是一道封閉路線上的追及問題，冬冬與晶晶兩人同時同地起跑，方向一致.因此，當(dāng)冬冬第一次追上晶晶時，他比晶晶多跑的路程恰是環(huán)形跑道的一個周長（200米），又知道了冬冬和晶晶的速度，于是，根據(jù)追及問題的基本關(guān)系就可求出追及時間以及他們各自所走的路程.解： 冬冬第一次追上晶晶所需要的時間：200（6-4）=100（秒）冬冬第一次追上晶晶時他所跑的路程應(yīng)為：6100=600（米）晶

6、晶第一次被追上時所跑的路程：4100=400（米）冬冬第二次追上晶晶時所跑的圈數(shù)：（6002）200=6（圈）晶晶第2次被追上時所跑的圈數(shù)：（4002）200=4（圈）答：略.解答封閉路線上的追及問題，關(guān)鍵是要掌握從并行到下次追及的路程差恰是一圈的長度.3 行船問題【含義】 行船問題也就是與航行有關(guān)的問題。解答這類問題要弄清船速與水速，船速是船只本身航行的速度，也就是船只在靜水中航行的速度；水速是水流的速度，船只順?biāo)叫械乃俣仁谴倥c水速之和；船只逆水航行的速度是船速與水速之差。 順?biāo)俣?船速+水速，逆水速度=船速-水速.【數(shù)量關(guān)系】 （順?biāo)俣饶嫠俣龋?船速 （順?biāo)俣饶嫠俣龋?水速順

7、水速船速2逆水速逆水速水速2 逆水速船速2順?biāo)夙標(biāo)偎?船速 水速 順?biāo)俣?逆水速度，其中三個的關(guān)系【解題思路和方法】 大多數(shù)情況可以直接利用數(shù)量關(guān)系的公式。例1某船在靜水中的速度是每小時15千米，它從上游甲地開往下游乙地共花去了8小時，水速每小時3千米，問從乙地返回甲地需要多少時間？例2 .已知一條小船，順?biāo)叫?0千米需5小時，逆水航行72千米需9小時?，F(xiàn)在小船從上游甲城到下游乙城，已知兩城間的水路距離是96千米，開船時，船夫扔了一塊木板到水里，當(dāng)船到乙城時，木板離乙城還有多遠？ 順?biāo)叫?0千米需5小時 順?biāo)俣龋?05=12 逆水航行72千米需9小時 逆水速度：729=8 水流速

8、度：（12-8）2=2 現(xiàn)在小船從上游甲城到下游乙城，已知兩城間的水路距離是96千米，開船時，船夫扔了一塊木板到水里，當(dāng)船到乙城時，木板離乙城還有多遠？ 96-2（9612）=80 小船從上游甲城到下游乙城：（9612） 木板行的距離2（9612） 例3.一摩托車頂風(fēng)行40千米用了2小時，風(fēng)速為每小時2千米，則這輛摩托車行駛時每小時行多少千米？4 列車問題【含義】 這是與列車行駛有關(guān)的一些問題，解答時要注意列車車身的長度?！緮?shù)量關(guān)系】 火車過橋：過橋時間（車長橋長）車速 火車追及： 追及時間（甲車長乙車長距離）（甲車速乙車速） 火車相遇： 相遇時間（甲車長乙車長距離）（甲車速乙車速）【解題思路

9、和方法】 大多數(shù)情況可以直接利用數(shù)量關(guān)系的公式。將列車簡縮為一個點例1 一座大橋長2400米，一列火車以每分鐘900米的速度通過大橋，從車頭開上橋到車尾離開橋共需要3分鐘。這列火車長多少米？解 火車3分鐘所行的路程，就是橋長與火車車身長度的和。 （1）火車3分鐘行多少米？ 90032700（米） （2）這列火車長多少米？ 27002400300（米） 列成綜合算式 90032400300（米） 答：這列火車長300米。例2 一列火車穿越一條長2000米的隧道用了88秒，以同樣的速度通過一條長1250米的大橋用了58秒。求這列火車的車速和車身長度各是多少？解 車速和車長都沒有變，但通過隧道和大橋

10、所用的時間不同，是因為隧道比大橋長。可知火車在（8858）秒的時間內(nèi)行駛了（20001250）米的路程，因此，火車的車速為每秒 （20001250）（8858）25（米） 進而可知，車長和橋長的和為（2558）米， 因此，車長為 25581250200（米） 答：這列火車的車速是每秒25米，車身長200米。例3 一列快車長184米，一列慢車長168米，兩車相向而行，從相遇到離開需4秒鐘，如果同向而行，從快車追及慢車到離開，需16秒種，問快車和慢車速度各是多少？解、由于兩車兩車相向而行，從相遇到離開所行的距離為兩車的長度和184+168=352米，用時4秒，則兩車的速度和為3524=88米/秒；

11、如果同向而行，從快車追用慢車到離開的追及距離同為兩車的長度為352米，用時16秒，則兩車的速度差為35216=22米/秒根據(jù)和差問題公式可知，快車的速度為：（88+22）2=55米/秒慢車為55-22=33米/秒例4 一列長225米的慢車 以每秒17米的速度行駛，一列長140米的快車以每秒22米的速度在后面追趕，求快車從追上到追過慢車需要多長時間？解 從追上到追過，快車比慢車要多行（225140）米，而快車比慢車每秒多行（2217）米，因此，所求的時間為 （225140）（2217）73（秒） 答：需要73秒。5 時鐘問題【含義】 就是研究鐘面上時針與分針關(guān)系的問題，如兩針重合、兩針垂直、兩針

12、成一線、兩針夾角為60度等。時鐘問題可與追及問題相類比?！緮?shù)量關(guān)系】 分針的速度是時針的12倍， 二者的速度差為11/12。 通常按追及問題來對待，也可以按差倍問題來計算。鐘面的一周分為60格，分針每分鐘走一格，分針的速度是1；時針每小時走5格，每分鐘走5/601/12格。速度是【解題思路和方法】 變通為“追及問題”后可以直接利用公式。例1. 從時針指向4點開始，再經(jīng)過多少分鐘時針正好與分針重合？解 鐘面的一周分為60格，分針每分鐘走一格，每小時走60格；時針每小時走5格，每分鐘走5/601/12格。每分鐘分針比時針多走（11/12）11/12格。4點整，時針在前，分針在后，兩針相距20格。所

13、以分針追上時針的時間為 20（11/12） 22（分） 答：再經(jīng)過22分鐘時針正好與分針重合。例2 四點和五點之間，時針和分針在什么時候成直角？解 鐘面上有60格，它的1/4是15格，因而兩針成直角的時候相差15格（包括分針在時針的前或后15格兩種情況）。四點整的時候，分針在時針后（54）格，如果分針在時針后與它成直角，那么分針就要比時針多走 （5415）格，如果分針在時針前與它成直角，那么分針就要比時針多走（5415）格。再根據(jù)1分鐘分針比時針多走（11/12）格就可以求出二針成直角的時間。 （5415）（11/12） 6（分） （5415）（11/12） 38（分） 答：4點06分及4點3

14、8分時兩針成直角。例3 六點與七點之間什么時候時針與分針重合？解 六點整的時候，分針在時針后（56）格，分針要與時針重合，就得追上時針。這實際上是一個追及問題。（56）（11/12） 33（分） 答：6點33分的時候分針與時針重合例4 一只鐘的時針與分針均指在4與6之間，且鐘面上的“5”字恰好在時針與分針的正中央，問這時是什么時刻？分析 由于現(xiàn)在可以是4點多，也可以是5點多，所以分兩種情況進行討論：先設(shè)此時是4點多：4點整時，時針指4，分針指12.從4點整到現(xiàn)在“5在時針與分針的正中央”，分針走的格數(shù)多于25，少于30，時針走不足5格.由于5到分針的格數(shù)等于5到時針的格數(shù)，所以時針與分針在這段

15、時間內(nèi)共走30格.時針和分針的路程和是30，除以速度和，可得時間。再設(shè)此時是5點多： 5點整時，時針指5，分針指12.從5點整到現(xiàn)在“5在時針與分針的正中央”，分針走的格數(shù)多于20格少于25格，時針走的格數(shù)不足5格，由于5到分針的格數(shù)等于5到時針的格數(shù)，所以時針與分針在這段時間內(nèi)共走25格.因此，時針和分針的路程和是25，除以速度和，可得時間。第二章 分數(shù)問題1 工程問題【含義】 工程問題主要研究工作量、工作效率和工作時間三者之間的關(guān)系。這類問題在已知條件中，常常不給出工作量的具體數(shù)量，只提出“一項工程”、“一塊土地”、“一條水渠”、“一件工作”等，在解題時，常常用單位“1”表示工作總量?！緮?shù)

16、量關(guān)系】 解答工程問題的關(guān)鍵是把工作總量看作“1”，這樣，工作效率就是工作時間的倒數(shù)（它表示單位時間內(nèi)完成工作總量的幾分之幾），進而就可以根據(jù)工作量、工作效率、工作時間三者之間的關(guān)系列出算式。工作量工作效率工作時間工作時間工作量工作效率工作時間總工作量（甲工作效率乙工作效率）【解題思路和方法】 變通后可以利用上述數(shù)量關(guān)系的公式例1 一件工作，甲獨做12小時完成，乙獨做10小時完成，丙獨做15小時完成。現(xiàn)在甲先做2小時，余下的由乙丙二人合做，還需幾小時才能完成？解 必須先求出各人每小時的工作效率。如果能把效率用整數(shù)表示，就會給計算帶來方便，因此，我們設(shè)總工作量為12、10、和15的某一公倍數(shù)，例

17、如最小公倍數(shù)60，則甲乙丙三人的工作效率分別是 60125 60106 60154因此余下的工作量由乙丙合做還需要 （6052）（64）5（小時） 答：還需要5小時才能完成。例2 一批零件，甲獨做6小時完成，乙獨做8小時完成。現(xiàn)在兩人合做，完成任務(wù)時甲比乙多做24個，求這批零件共有多少個？解 設(shè)總工作量為1，則甲每小時完成1/6，乙每小時完成1/8，甲比乙每小時多完成（1/61/8），二人合做時每小時完成（1/61/8）。因為二人合做需要1（1/61/8）小時，這個時間內(nèi)，甲比乙多做24個零件，所以（1）每小時甲比乙多做多少零件？ 241（1/61/8）7（個）（2）這批零件共有多少個？ 7（

18、1/61/8）168（個） 答：這批零件共有168個。解二 上面這道題還可以用另一種方法計算：兩人合做，完成任務(wù)時甲乙的工作量之比為 1/61/843由此可知，甲比乙多完成總工作量的1/7所以，這批零件共有 241/7168（個）例3 一個水池，底部裝有一個常開的排水管，上部裝有若干個同樣粗細的進水管。當(dāng)打開4個進水管時，需要5小時才能注滿水池；當(dāng)打開2個進水管時，需要15小時才能注滿水池；現(xiàn)在要用2小時將水池注滿，至少要打開多少個進水管？解 注（排）水問題是一類特殊的工程問題。往水池注水或從水池排水相當(dāng)于一項工程，水的流量就是工作量，單位時間內(nèi)水的流量就是工作效率。要2小時內(nèi)將水池注滿，即要

19、使2小時內(nèi)的進水量與排水量之差剛好是一池水。為此需要知道進水管、排水管的工作效率及總工作量（一池水）。只要設(shè)某一個量為單位1，其余兩個量便可由條件推出。我們設(shè)每個同樣的進水管每小時注水量為1，則4個進水管5小時注水量為（145），2個進水管15小時注水量為（1215），從而可知每小時的排水量為 （1215145）（155）1即一個排水管與每個進水管的工作效率相同。由此可知一池水的總工作量為 1451515又因為在2小時內(nèi)，每個進水管的注水量為 12，所以，2小時內(nèi)注滿一池水至少需要多少個進水管？ （1512）（12） 8.59（個）答：至少需要9個進水管。2 百分數(shù)問題【含義】 百分數(shù)是表示一

20、個數(shù)是另一個數(shù)的百分之幾的數(shù)。百分數(shù)是一種特殊的分數(shù)。分數(shù)常?？梢酝ǚ?、約分，而百分數(shù)則無需；分數(shù)既可以表示“率”，也可以表示“量”，而百分數(shù)只能表示“率”；分數(shù)的分子、分母必須是自然數(shù)，而百分數(shù)的分子可以是小數(shù)；百分數(shù)有一個專門的記號“%”。在實際中和常用到“百分點”這個概念，一個百分點就是1%，兩個百分點就是2%?！緮?shù)量關(guān)系】 掌握“百分數(shù)”、“標(biāo)準(zhǔn)量”“比較量”三者之間的數(shù)量關(guān)系： 百分數(shù)比較量標(biāo)準(zhǔn)量 標(biāo)準(zhǔn)量比較量百分數(shù)【解題思路和方法】 一般有三種基本類型： （1） 求一個數(shù)是另一個數(shù)的百分之幾； （2） 已知一個數(shù)，求它的百分之幾是多少； （3） 已知一個數(shù)的百分之幾是多少，求這個數(shù)

21、。例1.紅旗化工廠有男職工420人，女職工525人，男職工人數(shù)比女職工少百分之幾？女職工比男職工人數(shù)多百分之幾？男、女職工各占全廠職工總數(shù)的百分之幾？例2 一桶水，用去70%后，又向桶里倒入10千克的水，這是桶內(nèi)的水正好是原來整桶水的一半，原來一桶水有多少千克？ 例3.果品公司儲存一批蘋果，售出這批蘋果的30后，又運來160箱，這時比原來儲存的蘋果多1/10 ，這時有蘋果多少箱？3 存款利率問題【含義】 把錢存入銀行是有一定利息的，利息的多少，與本金、利率、存期這三個因素有關(guān)。利率一般有年利率和月利率兩種。年利率是指存期一年本金所生利息占本金的百分數(shù)；月利率是指存期一月所生利息占本金的百分數(shù)。

22、【數(shù)量關(guān)系】 年（月）利率利息本金存款年（月）數(shù)100% 利息本金存款年（月）數(shù)年（月）利率 本利和本金利息本金1年（月）利率存款年（月）數(shù)【解題思路和方法】 簡單的題目可直接利用公式，復(fù)雜的題目變通后再利用公式。例1 李大強存入銀行1200元，月利率0.8%，到期后連本帶利共取出1488元，求存款期多長。解 因為存款期內(nèi)的總利息是（14881200）元，所以總利率為 （14881200）1200 又因為已知月利率，所以存款月數(shù)為 （14881200）12000.8%30（月） 答：李大強的存款期是30月即兩年半。例2 銀行定期整存整取的年利率是：二年期7.92%，三年期8.28%，五年期9%

23、。如果甲乙二人同時各存入1萬元，甲先存二年期，到期后連本帶利改存三年期；乙直存五年期。五年后二人同時取出，那么，誰的收益多？多多少元？解 甲的總利息100007.92%210000（17.92%2）8.28%31584115848.28%34461.47（元）乙的總利息 100009%54500（元）45004461.4738.53（元） 答：乙的收益較多，乙比甲多38.53元。4 溶液濃度問題【含義】 在生產(chǎn)和生活中，我們經(jīng)常會遇到溶液濃度問題。這類問題研究的主要是溶劑（水或其它液體）、溶質(zhì)、溶液、濃度這幾個量的關(guān)系。例如，水是一種溶劑，被溶解的東西叫溶質(zhì)，溶解后的混合物叫溶液。溶質(zhì)的量在溶

24、液的量中所占的百分數(shù)叫濃度，也叫百分比濃度?！緮?shù)量關(guān)系】 溶液溶劑溶質(zhì) 濃度溶質(zhì)溶液100%【解題思路和方法】 簡單的題目可直接利用公式，復(fù)雜的題目變通后再利用公式。例1 爺爺有16%的糖水50克，（1）要把它稀釋成10%的糖水，需加水多少克？（2）若要把它變成30%的糖水，需加糖多少克？ 解 （1）需要加水多少克？ 5016%10%5030（克） （2）需要加糖多少克？ 50（116%）（130%）50 10（克） 答：（1）需要加水30克，（2）需要加糖10克。例2 要把30%的糖水與15%的糖水混合，配成25%的糖水600克，需要30%和15%的糖水各多少克？ 解 假設(shè)全用30%的糖水溶

25、液，那么含糖量就會多出 600（30%25%）30（克）這是因為30%的糖水多用了。于是，我們設(shè)想在保證總重量600克不變的情況下，用15%的溶液來“換掉”一部分30%的溶液。這樣，每“換掉”100克，就會減少糖 100（30%15%）15（克） 所以需要“換掉”30%的溶液（即“換上”15%的溶液） 100（3015）200（克）由此可知，需要15%的溶液200克。需要30%的溶液 600200400（克） 答：需要15%的糖水溶液200克，需要30%的糖水400克。例3 甲容器有濃度為12%的鹽水500克，乙容器有500克水。把甲中鹽水的一半倒入乙中，混合后再把乙中現(xiàn)有鹽水的一半倒入甲中，

26、混合后又把甲中的一部分鹽水倒入乙中，使甲乙兩容器中的鹽水同樣多。求最后乙中鹽水的百分比濃度。解 由條件知，倒了三次后，甲乙兩容器中溶液重量相等，各為500克，因此，只要算出乙容器中最后的含鹽量，便會知所求的濃度。下面列表推算： 甲容器乙容器原 有鹽水500鹽50012%60水500第一次把甲中一半倒入乙中后鹽水5002250鹽60230鹽水500250750鹽30第而次把乙中一半倒入甲中后鹽水250375625鹽301545鹽水7502375鹽30215第三次使甲乙中鹽水同樣多 鹽水500 鹽45936 鹽水500 鹽45361524 由以上推算可知， 乙容器中最后鹽水的百分比濃度為 2450

27、04.8% 答：乙容器中最后的百分比濃度是4.8%。5 商品利潤問題【含義】 這是一種在生產(chǎn)經(jīng)營中經(jīng)常遇到的問題，包括成本、利潤、利潤率和虧損、虧損率等方面的問題?！緮?shù)量關(guān)系】 利潤售價進貨價利潤率（售價進貨價）進貨價100% 售價進貨價（1利潤率） 虧損進貨價售價 虧損率（進貨價售價）進貨價100%【解題思路和方法】 簡單的題目可以直接利用公式，復(fù)雜的題目變通后利用公式。例1 某服裝店因搬遷，店內(nèi)商品八折銷售。苗苗買了一件衣服用去52元，已知衣服原來按期望盈利30%定價，那么該店是虧本還是盈利？虧（盈）率是多少？解 要知虧還是盈，得知實際售價52元比成本少多少或多多少元，進而需知成本。因為5

28、2元是原價的80%，所以原價為（5280%）元；又因為原價是按期望盈利30%定的，所以成本為 5280%（130%）50（元）可以看出該店是盈利的，盈利率為 （5250）504% 答：該店是盈利的，盈利率是4%。例2 成本0.25元的作業(yè)本1200冊，按期望獲得40%的利潤定價出售，當(dāng)銷售出80%后，剩下的作業(yè)本打折扣，結(jié)果獲得的利潤是預(yù)定的86%。問剩下的作業(yè)本出售時按定價打了多少折扣？解 問題是要計算剩下的作業(yè)本每冊實際售價是原定價的百分之幾。從題意可知，每冊的原定價是0.25（140%），所以關(guān)鍵是求出剩下的每冊的實際售價，為此要知道剩下的每冊盈利多少元。剩下的作業(yè)本售出后的盈利額等于實

29、際總盈利與先售出的80%的盈利額之差，即 0.25120040%86%0.25120040%80%7.20（元）剩下的作業(yè)本每冊盈利 7.201200（180%）0.03（元）又可知 （0.250.03）0.25（140%）80% 答：剩下的作業(yè)本是按原定價的八折出售的。例3 某種商品，甲店的進貨價比乙店的進貨價便宜10%，甲店按30%的利潤定價，乙店按20%的利潤定價，結(jié)果乙店的定價比甲店的定價貴6元，求乙店的定價。解 設(shè)乙店的進貨價為1，則甲店的進貨價為 110%0.9 甲店定價為 0.9（130%）1.17 乙店定價為 1（120%）1.20 由此可得 乙店進貨價為 6（1.201.17

30、）200（元） 乙店定價為 2001.2240（元） 答：乙店的定價是240元。第三章 比例問題1、歸一問題【含義】 在解題時，先求出一份是多少（即單一量），然后以單一量為標(biāo)準(zhǔn)，求出所要求的數(shù)量。這類應(yīng)用題叫做歸一問題?！緮?shù)量關(guān)系】 總量份數(shù)1份數(shù)量 1份數(shù)量所占份數(shù)所求幾份的數(shù)量 另一總量（總量份數(shù)）所求份數(shù)【解題思路和方法】 先求出單一量，以單一量為標(biāo)準(zhǔn)，求出所要求的數(shù)量。例1 一個糧食加工廠要磨面粉20000千克，3小時磨了6000千克.照這樣計算，磨完剩下的面粉還要幾小時？例2 某車間要加工一批零件，原計劃由18人，每天工作8小時，7.5天完成任務(wù).由于縮短工期，要求4天完成任務(wù)，可是

31、又要增加6人.求每天加班工作幾小時？例3 學(xué)校買來一些足球和籃球.已知買3個足球和5個籃球共花了281元；買3個足球和7個籃球共花了355元.現(xiàn)在要買5個足球、4個籃球共花多少元？2、歸總問題【含義】 解題時，常常先找出“總數(shù)量”，然后再根據(jù)其它條件算出所求的問題，叫歸總問題。所謂“總數(shù)量”是指貨物的總價、幾小時（幾天）的總工作量、幾公畝地上的總產(chǎn)量、幾小時行的總路程等。【數(shù)量關(guān)系】 1份數(shù)量份數(shù)總量 總量1份數(shù)量份數(shù) 總量另一份數(shù)另一每份數(shù)量【解題思路和方法】 先求出總數(shù)量，再根據(jù)題意得出所求的數(shù)量例1 小華每天讀24頁書，12天讀完了紅巖一書。小明每天讀36頁書，幾天可以讀完紅巖？例2 食

32、堂運來一批蔬菜，原計劃每天吃50千克，30天慢慢消費完這批蔬菜。后來根據(jù)大家的意見，每天比原計劃多吃10千克，這批蔬菜可以吃多少天？3 正反比例問題【含義】 兩種相關(guān)聯(lián)的量，一種量變化，另一種量也隨著變化，如果這兩種量中相對應(yīng)的兩個數(shù)的比的比值一定（即商一定），那么這兩種量就叫做成正比例的量，它們的關(guān)系叫做正比例關(guān)系。正比例應(yīng)用題是正比例意義和解比例等知識的綜合運用。兩種相關(guān)聯(lián)的量，一種量變化，另一種量也隨著變化，如果這兩種量中相對應(yīng)的兩個數(shù)的積一定，這兩種量就叫做成反比例的量，它們的關(guān)系叫做反比例關(guān)系。反比例應(yīng)用題是反比例的意義和解比例等知識的綜合運用?！緮?shù)量關(guān)系】 判斷正比例或反比例關(guān)系是

33、解這類應(yīng)用題的關(guān)鍵。許多典型應(yīng)用題都可以轉(zhuǎn)化為正反比例問題去解決，而且比較簡捷?！窘忸}思路和方法】 解決這類問題的重要方法是：把分率（倍數(shù)）轉(zhuǎn)化為比，應(yīng)用比和比例的性質(zhì)去解應(yīng)用題。正反比例問題與前面講過的倍比問題基本類似。例1 下列各題中的兩種量是否成比例？成什么比例？速度一定，路程與時間路程一定，速度與時間路程一定，已走的路程與未走的路程總時間一定，要制造的零件總數(shù)和制造每個零件所用的時間總產(chǎn)量一定，畝產(chǎn)量和播種面積整除情況下被除數(shù)一定，除數(shù)和商同時同地，竿高和影長半徑一定，圓心角的度數(shù)和扇形面積兩個齒輪嚙合轉(zhuǎn)動時轉(zhuǎn)速和齒數(shù)圓的半徑和面積(11)長方體體積一定，底面積和高(12)正方形的邊長

34、和它的面積(13)乘公共汽車的站數(shù)和票價(14)房間面積一定，每塊地板磚的面積與用磚的塊數(shù)(15)汽車行駛時每公里的耗油量一定，所行駛的距離和耗油總量分析 以上每題都是兩種相關(guān)聯(lián)的量，一種量變化，另一種量也隨著變化，那么怎樣來確定這兩種量成哪種比例或不成比例呢？關(guān)鍵是能否把兩個兩種形式，或只能寫出加減法關(guān)系，那么這兩種量就不成比例例如零件數(shù)總時間，總時間一定，制造每個零件用的時間與要制造的零件總數(shù)成反比例路程一定，已走的路程和未走的路程是加減法關(guān)系，不成比例解：成正比例的有：、(15)成反比例的有：、(11)、(14)不成比例的有：、(12)、(13)例2 一條路全長60千米，分成上坡、平路、

35、下坡三段，各段路程長的比依次是1：2：3，某人走各段路程所用時間之比依次是456，已知他上坡的速度是每小時3千米，問此人走完全程用了多少時間？分析 要求此人走完全程用了多少時間，必須根據(jù)已知條件先求出此人走上坡路用了多少時間，必須知道走上坡路的速度（題中每小時行3千米）和上坡路的路程，已知全程60千米，又知道上坡、平路、下坡三段路程比是123，就可以求出上坡路的路程例3 修一條公路，已修的是未修的1/3，再修300米后，已修的變成未修的1/2，求這條公路總長是多少米？解 由條件知，公路總長不變。 原已修長度總長度1（13）14312 現(xiàn)已修長度總長度1（12）13412比較以上兩式可知，把總長

36、度當(dāng)作12份，則300米相當(dāng)于（43）份，從而知公路總長為 300（43）123600（米） 答： 這條公路總長3600米例4 一個大矩形被分成六個小矩形，其中四個小矩形的面積如圖所示，求大矩形的面積。a252036b16解 由面積寬長可知，當(dāng)長一定時，面積與寬成正比，所以每一上下兩個小矩形面積之比就等于它們的寬的正比。又因為第一行三個小矩形的寬相等，第二行三個小矩形的寬也相等。因此， a362016 25b2016 解這兩個比例，得 a45 b20 所以，大矩形面積為 453625202016162答：大矩形的面積是1624 按比例分配問題【含義】 所謂按比例分配，就是把一個數(shù)按照一定的比分

37、成若干份。這類題的已知條件一般有兩種形式：一是用比或連比的形式反映各部分占總數(shù)量的份數(shù)，另一種是直接給出份數(shù)?！緮?shù)量關(guān)系】 從條件看，已知總量和幾個部分量的比；從問題看，求幾個部分量各是多少。 總份數(shù)比的前后項之和【解題思路和方法】 先把各部分量的比轉(zhuǎn)化為各占總量的幾分之幾，把比的前后項相加求出總份數(shù)，再求各部分占總量的幾分之幾（以總份數(shù)作分母，比的前后項分別作分子），再按照求一個數(shù)的幾分之幾是多少的計算方法，分別求出各部分量的值。例1 學(xué)校把植樹560棵的任務(wù)按人數(shù)分配給五年級三個班，已知一班有47人，二班有48人，三班有45人，三個班各植樹多少棵？解 總份數(shù)為 474845140 一班植樹

38、 56047/140188（棵） 二班植樹 56048/140192（棵） 三班植樹 56045/140180（棵） 答：一、二、三班分別植樹188棵、192棵、180棵例2 從前有個牧民，臨死前留下遺言，要把17只羊分給三個兒子，大兒子分總數(shù)的1/2，二兒子分總數(shù)的1/3，三兒子分總數(shù)的1/9，并規(guī)定不許把羊宰割分，求三個兒子各分多少只羊。解 如果用總數(shù)乘以分率的方法解答，顯然得不到符合題意的整數(shù)解。如果用按比例分配的方法解，則很容易得到 1/21/31/9962 96217 179/179176/176 172/172 答：大兒子分得9只羊，二兒子分得6只羊，三兒子分得2只羊。5、盈虧問題

39、【含義】 根據(jù)一定的人數(shù)，分配一定的物品，在兩次分配中，一次有余（盈），一次不足（虧），或兩次都有余，或兩次都不足，求人數(shù)或物品數(shù)，這類應(yīng)用題叫做盈虧問題?！緮?shù)量關(guān)系】 一般地說，在兩次分配中，如果一次盈，一次虧，則有： 參加分配總?cè)藬?shù)（盈虧）分配差如果兩次都盈或都虧，則有： 參加分配總?cè)藬?shù)（大盈小盈）分配差參加分配總?cè)藬?shù)（大虧小虧）分配差【解題思路和方法】 大多數(shù)情況可以直接利用數(shù)量關(guān)系的公式。例1.一筐蘋果分給一些學(xué)生吃，如果每人吃4個，要多出48個蘋果；如果每人吃6個，則又（多）少8個蘋果.那么有多少人，多少蘋果？例2 少先隊員去植樹.如果每人種5棵，還有3棵沒人種；如果其中2人各種4棵

40、，其余的人各種6棵，這些樹苗正好種完.問有多少少先隊員參加植樹，一共種多少樹苗？分析 這是一道較難的盈虧問題，主要難在對第二個已知條件的理解上：如果其中2人各種4棵，其余的人各種6棵，就恰好種完.這組條件中包含著兩種種樹的情況2人各種4棵，其余的人各種6棵。如果我們把它統(tǒng)一成一種情況，讓每人都種6棵，那么，就可以多種樹（6-4）24（棵）.因此，原問題就轉(zhuǎn)化為：如果每人各種5棵樹苗，還有3棵沒人種；如果每人種6棵樹苗，還缺4棵.問有多少少先隊員，一共種多少樹苗？解：3+（6-4）2（6-5）7（人）57+338（棵）或67-438（棵）答：有7個少先隊員，一共種38棵樹。例3 參加美術(shù)小組的同

41、學(xué)，每個人分的相同的支數(shù)的色筆，如果小組10人，則多25支，如果小組有12人，色筆多余5支。求每人分得幾支？共有多少支色鉛筆？ 分析：每個同學(xué)分到的色筆相等。這個活動小組有12人，比10人多2人，而色筆多出了（25-5）=20支，2個人多出20支，一個人分得10支。列式為（25-5）（12-10）=10（支）1012+5=125（支）。第四章 和差倍比問題1 和差問題【含義】 已知兩個數(shù)量的和與差，求這兩個數(shù)量各是多少，這類應(yīng)用題叫和差問題?！緮?shù)量關(guān)系】 大數(shù)（和差） 2 小數(shù)（和差） 2【解題思路和方法】 簡單的題目可以直接套用公式；復(fù)雜的題目變通后再用公式。例1 小明期末考試時語文和數(shù)學(xué)的

42、平均分數(shù)是94分，數(shù)學(xué)比語文多8分，問語文和數(shù)學(xué)各得了幾分？例2. 有甲乙丙三袋化肥，甲乙兩袋共重32千克，乙丙兩袋共重30千克，甲丙兩袋共重22千克，求三袋化肥各重多少千克。例3. 甲乙兩車原來共裝蘋果97筐，從甲車取下14筐放到乙車上，結(jié)果甲車比乙車還多3筐，兩車原來各裝蘋果多少筐？2 和倍問題【含義】 已知兩個數(shù)的和及大數(shù)是小數(shù)的幾倍（或小數(shù)是大數(shù)的幾分之幾），要求這兩個數(shù)各是多少，這類應(yīng)用題叫做和倍問題?！緮?shù)量關(guān)系】 將兩個數(shù)的關(guān)系轉(zhuǎn)換成比，按照比的關(guān)系來解決。 總和 （幾倍1）較小的數(shù) 總和 較小的數(shù) 較大的數(shù) 較小的數(shù) 幾倍 較大的數(shù)【解題思路和方法】 簡單的題目直接利用公式，復(fù)雜

43、的題目變通后利用公式。例1 甲站原有車52輛，乙站原有車32輛，若每天從甲站開往乙站28輛，從乙站開往甲站24輛，幾天后乙站車輛數(shù)是甲站的2倍？例2 甲乙丙三數(shù)之和是170，乙比甲的2倍少4，丙比甲的3倍多6，求三數(shù)各是多少？例3 一個長方形，周長是30厘米，寬是長的，求這個長方形的面積。3 差倍問題【含義】 已知兩個數(shù)的差及大數(shù)是小數(shù)的幾倍（或小數(shù)是大數(shù)的幾分之幾），要求這兩個數(shù)各是多少，這類應(yīng)用題叫做差倍問題?！緮?shù)量關(guān)系】將兩個數(shù)的關(guān)系轉(zhuǎn)換成比，按照比的關(guān)系來解決。兩個數(shù)的差（幾倍1）較小的數(shù) 較小的數(shù)幾倍較大的數(shù)【解題思路和方法】 簡單的題目直接利用公式，復(fù)雜的題目變通后利用公式。例1

44、1班的圖書角里故事書的本書是文藝書的4倍，故事書比文藝書多48本，兩種書各有多少本？例2有兩根同樣長的繩子，第一根截去12米，第二根接上14米，這時第二根長度是第一根長的3倍（第一根長度是第二根長的），兩根繩子原來各長多少米？例3 商場改革經(jīng)營管理辦法后，本月盈利比上月盈利的2倍還多12萬元，又知本月盈利比上月盈利多30萬元，求這兩個月盈利各是多少萬元？例4 糧庫有94噸小麥和138噸玉米，如果每天運出小麥和玉米各是9噸，問幾天后剩下的玉米是小麥的3倍？ 解 由于每天運出的小麥和玉米的數(shù)量相等，所以剩下的數(shù)量差等于原來的數(shù)量差（13894）。把幾天后剩下的小麥看作1倍量，則幾天后剩下的玉米就是

45、3倍量，那么，（13894）就相當(dāng)于（31）倍，因此 剩下的小麥數(shù)量（13894）（31）22（噸） 運出的小麥數(shù)量942272（噸） 運糧的天數(shù)7298（天）答：8天以后剩下的玉米是小麥的3倍 4 倍比問題【含義】 有兩個已知的同類量，其中一個量是另一個量的若干倍，解題時先求出這個倍數(shù)，再用倍比的方法算出要求的數(shù)，這類應(yīng)用題叫做倍比問題?！緮?shù)量關(guān)系】 總量一個數(shù)量倍數(shù) 另一個數(shù)量倍數(shù)另一總量【解題思路和方法】 先求出倍數(shù)，再用倍比關(guān)系求出要求的數(shù)。例1 今年植樹節(jié)這天，某小學(xué)300名師生共植樹400棵，照這樣計算，全縣48000名師生共植樹多少棵？解 （1）48000名是300名的多少倍？

46、48000300160（倍） （2）共植樹多少棵？40016064000（棵） 列成綜合算式 400（48000300）64000（棵）例2 鳳翔縣今年蘋果大豐收，田家莊一戶人家4畝果園收入11111元，照這樣計算，全鄉(xiāng)800畝果園共收入多少元？全縣16000畝果園共收入多少元？解 （1）800畝是4畝的幾倍？ 8004200（倍） （2）800畝收入多少元？ 111112002222200（元） （3）16000畝是800畝的幾倍？ 1600080020（倍） （4）16000畝收入多少元？ 22222002044444000（元）5 年齡問題【含義】 這類問題是根據(jù)題目的內(nèi)容而得名，它的主要特點是兩人的年齡差不變，但是，兩人年齡之間的倍數(shù)關(guān)系隨著年齡的增長在發(fā)生變化?！緮?shù)量關(guān)系】年齡問題往往與和差、和倍、差倍問題有著密切聯(lián)系，尤其與差倍問題的解題思路是一致的，要緊緊抓住“年齡差不變”這個特點?！窘忸}思路和方法】 可以利用“差倍問題”的解題思路和方法。例1 父親現(xiàn)年50歲，女兒現(xiàn)年14歲.問：幾年前父親年齡是女兒的5倍？例2 在一個家庭里，現(xiàn)在所有成員的年齡加在一起是73歲.家庭成員中有父親、母親、一個女兒和一個兒子.父親比母親大3歲，