專題一阿基米德三角形的性質(zhì)

1、阿基米德三角形的性質(zhì)阿基米德三角形：拋物線的弦與過弦的端點(diǎn)的兩條切線所圍成的三角形。阿基米德最早利用逼近的思想證明了：拋物線的弦與拋物線所圍成的封閉圖形的面積等于阿基米德三角形面積的 。阿基米德三角形的性質(zhì)：設(shè)拋物線方程為x2=2py，稱弦AB為阿基米德三角形的底邊，M為底邊AB的中點(diǎn)，Q為兩條切線的交點(diǎn)。性質(zhì)1 阿基米德三角形底邊上的中線與拋物線的軸 。性質(zhì)2 阿基米德三角形的底邊即弦AB過拋物線內(nèi)定點(diǎn) C,則另一頂點(diǎn)Q的軌跡為。性質(zhì)3拋物線以C為中點(diǎn)的弦與 Q點(diǎn)的軌跡。性質(zhì)4若直線I與拋物線沒有公共點(diǎn)，以I上的點(diǎn)為頂點(diǎn)的阿基米德三角形的底邊過定 點(diǎn)。性質(zhì)5底邊長為a的阿基米德三角形的面積的

2、最大值為 。性質(zhì)6若阿基米德三角形的底邊過焦點(diǎn)，則頂點(diǎn)Q的軌跡為拋物線的 ，且阿基米德三角形的面積的最小值為 。性質(zhì)7 在阿基米德三角形中，/ QFA= / QFB。性質(zhì)8在拋物線上任取一點(diǎn)I (不與A、B重合)，過I作拋物線切線交 QA、QB于S、T,則QST 的垂心在上。性質(zhì) 9 |AF| |BF|=|QF|2.性質(zhì)10 QM的中點(diǎn)P在拋物線上，且 P處的切線與 AB。性質(zhì)11在性質(zhì)8中，連接AI、BI，則ABI的面積是QST面積的倍。高考題中的阿基米德三角形例1 (2005江西卷，理22題)如圖，設(shè)拋物線C : y = x2的焦點(diǎn)為F，動點(diǎn)P在直線l :x- y- 2= 0上運(yùn)動，過P作

3、拋物線C的兩條切線FA、PB，且與拋物線 C分別相切于A、B兩點(diǎn). (1 )求APB的重心G的軌跡方程(2)證明/ PFA= / PFB.解：(1)設(shè)切點(diǎn) A、B 坐標(biāo)分別為(x,x：)和(x1,x)(x1 1 x0),切線AP的方程為:2X/- y -2X。0;切線BP的方程為:2xx - y -2x10;X。+ X1 丁,所以APB的重心G的坐標(biāo)為，解得P點(diǎn)的坐標(biāo)為:Xp=xX1G的軌跡方程為:1 UUU 2 1 嚴(yán)=2 - 4).所以yp = -+ 4xG，由點(diǎn)P在直線I上運(yùn)動，從而得到重心(2)方法 1：因?yàn)?FA = (x0,x02 -丄),FP =(xJ,x0x1-0 042由于P

4、點(diǎn)在拋物線外，則uurr|FP |1 0.uuu uuuFP FA cos? AFP-uuu|FPUlB|FA |x0 + x11 2 1(心嚴(yán)-?-4)2uuu|FP L X02 + (X02X0X1 +UUBb-|FP |同理有cos? BFPuuu uuuFP FB-UUB UUUH| FP | FB |X0 + x1 1?x12 1uur|FP L X1-1 1(x0X1- 4)(X1 - )X0X1 + 4 uiu 4 |FP |+ (X12 - A/ AFP = / PFB.方法2:當(dāng)x1x0=0時(shí)，由于x1 ?X0,不妨設(shè)x00,則y = 0,所以xP點(diǎn)坐標(biāo)為(，0)，則P2點(diǎn)到

5、直線AF的距離為:| x |1d1 =-;而直線BF的方程：y- - 24Xi即(x： - .x - x1y +41 x1 = 0.4所以P點(diǎn)到直線BF的距離為：d221 X1X1|(X1 工 +( 1)2 + (X1)24(x2-所以d1 = d2，即得/ AFP= / PFB.當(dāng)XiXo 1 0 時(shí),直線AF的方程:y-2 1X。- 4 4(X- 0X0直線BF的方程:2X1所以P點(diǎn)到直線X1AF的距離為:2 10)，即(x1- 4)x-d1|(X0 - 1)(4)- x2X1 (x； - 1)2 + X2 . _ 2：014X0x0 - x12| | 七 W。22X0 +(x! +1 |

6、 X1|X： +|Xi |0)，即(x0-1)x-xy + -X0 = 0,4+丄)_4_ 141；X1 = 0,|x0- 丨2，區(qū)-X |2例2 (2006全國卷n,理21題)已知拋物線x2= 4y的焦點(diǎn)為F, A、B是拋物線上的兩動點(diǎn),同理可得到P點(diǎn)到直線BF的距離d因此由d1=d2，可得到/ AFP = Z PFB-AF = ?FB ( X 0).過A、B兩點(diǎn)分別作拋物線的切線，設(shè)其交點(diǎn)為M.(I)證明FM AB為定值;()設(shè)厶ABM的面積為S,寫出S= f(力的表達(dá)式，并求 S的最小值.解：(I )由已知條件，得 F(0, 1),心0.設(shè) A(x1, y1), B(x2, y2).由

7、AF = ?FB ,即得 (一xl, 1 y)= Xx2, y2- 1),1 1將式兩邊平方并把 y1 = 4x12, y2= 4x22代入得 y1 =尼y21解、式得 y1 =入y2=入，且有x1x2 =入22 = 4入2 = 4,1 1拋物線方程為y= 4x2,求導(dǎo)得y= 2x.所以過拋物線上 A、B兩點(diǎn)的切線方程分別是1 1y = 2x1(x x1) + y1, y= 2x2(x x2) + y2,11 11即 y= 01x承12, y= 2x2x 4x22.X1 + X2 X1X2 X1 + X2解出兩條切線的交點(diǎn)m的坐標(biāo)為rr, )=r, 1).4分t t X1 + x2111所以

8、FM AB = (2, 2) (x2 x1, y2 y1) = 2(x22 x12) 2(4x22 4x12)= 0 所以FM AB為定值，其值為0.1X1 + X2(2 )2+( 2)2 =(II)由(I )知在 ABM 中，F(xiàn)M 丄 AB，因而 S= 2|AB|FM|.|FM |=1 112+ 4x2 2 + 2X1X2 + 4/1/_1丄(i= y1+ y2 + 2* 4)+ 4=、入+ 入 + 2=，入+,入.因?yàn)閨AF|、|BF|分別等于A、B到拋物線準(zhǔn)線y= 1的距離，所以|AB|= |AF|+ |BF|= y1 + y2 + 2=入+ 2=(，:心 打2 .冃1廠丄是S= 2|A

9、B|FM|=(.入 + 心3, 由寸-盲2知S4且當(dāng) 心1時(shí)，S取得最小值4.例3 (2007江蘇卷，理19題)如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，過y軸正方向上一點(diǎn)C(0,c)任 作一直線，與拋物線 y = x2相交于AB兩點(diǎn)，一條垂直于 x軸的直線，分別與線段 AB和直線1 :y = - c 交于 p,q ,urn uuu,，亠,(1 )右OA ?OB 2，求c的值；(5分)(2) 若P為線段AB的中點(diǎn)，求證：QA為此拋物線的切線；(5 分)1)c2= 2，即 c(2 ) 設(shè)過y - yi = ki (x - xi) , y2xki = 2xiy = 2xx-2xi2 +yi2xx -2Xi

10、,它與y = - c的交點(diǎn)2xi，-c ,又1 + x2yi + y2 土所以Q上,-c :,因?yàn)閄/2=-c ,所以-xxix2，所以X22,-ci=fc,-c郭以點(diǎn) M和點(diǎn)Q重合，也就是 QA為此拋物線的切線。(3) (2)的逆命題是成立，由(2)可知Q家-c j因?yàn)镻QA x軸,(3) 試問(2)的逆命題是否成立說明理由。(4分)urn /A(xi,yi),B(X22), OA =(x、uluurn uur：i,yj , OB =(X22),因?yàn)?OA3OB 2，所以X/2 + y“2 = 2，即 XiX2 + (:kxt + c)(kx2 + c) = 2 , xx + xix2 -

11、kc(xi + x2) + c? = 2解：(1)設(shè)過 C點(diǎn)的直線為y = kx + c，所以x2= kx +c (c 0)，即x2-kx- c = 0，設(shè)2c- 2= 0,所以c = 2(舍去c =所以-c - k2c + kc* +xi + x2 k因?yàn)?2 = k，所以P為AB的中點(diǎn)。2 2例4 (2008山東卷，理22題)如圖，設(shè)拋物線方程為x2 = 2py(p 0) , M為直線y = - 2p上任意一點(diǎn)，過M引拋物線的切線，切點(diǎn)分別為A, B .(I)求證：A, M , B三點(diǎn)的橫坐標(biāo)成等差數(shù)列；(H)已知當(dāng)M點(diǎn)的坐標(biāo)為(2,- 2p)時(shí)，AB|= 4求此時(shí)拋物線的方程;(川)是否

12、存在點(diǎn) M，使得點(diǎn)C關(guān)于直線AB的對稱點(diǎn)D在拋物線x2 = 2py(p 0)上，其中，uuu uur uuu點(diǎn)C滿足oc = OA + OB ( O為坐標(biāo)原點(diǎn))若存在，求出所有適合題意的點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.解：（I）證明：由題意設(shè)驏B x桫2X22,2pX1 x2,M(x。，- 2p).2丄 2Xc X由 x = 2py 得 y = ，得 y ,2pP所以kMAxikMBPx2P因此直線MA的方程為2p = X1(x -pXo），直線MB的方程為y + 2p =x2(x - xo). p2所以乞+2pXi2p =-(Xi -pXo），2X2 +2p2p =X2(X2 - Xo).

13、 px + X由、得X1 X22x1 + x2一，即 2x0 = X12因此x0X1 + x2Xo，+ X2 .(n)解:由（I）知，當(dāng)xo =2時(shí)，將其代入、并整理得:x12 - 4x1-4p2=0，2X2-4x2 -4p2 = 0，所以X“X2是方程2X -4x -4p2 :=0的兩根,因此X1 +X2 =4X1X2= -4p2，2空2又k = kAB =2p2p=X1+ X2=xo，所以kABX2-X12pp2PB三點(diǎn)的橫坐標(biāo)成等差數(shù)列.所以A，M，由弦長公式得AB1+4 .16+ 16p2 .= 1+ k2 (x- + X2)2 - 4x-X2又 AB = 4 ，所以 p = 1 或

14、p = 2，因此所求拋物線方程為x2 = 2y或x2 = 4y .（川）解：設(shè) D（x3，y3），由題意得 C（x1 + x2，y1 + y2），3則CD的中點(diǎn)坐標(biāo)為Q?1 + X2 + X3y1 + y2 + y3:?設(shè)直線AB的方程為y- y1 = (x-Pxi),由點(diǎn)Q在直線AB上，并注意到點(diǎn)冬lit I二比詆在直線AB上，代入得y3X0Xp若D(X3，3)在拋物線上,2則 X3 = 2py3 = 2X0X3 ,因此 X3 = 0 或 X3 = 2x0 .即 D(0,0)或 D 家x0，22x0 土(1 )當(dāng) X。= 0 時(shí)，則 X!+ X2 = 2X0 = 0，此時(shí),點(diǎn) M(0,-2p

15、)適合題意.(2)當(dāng) x 1 0，對于 D(0,0)，此時(shí) C 傘x。.2X1 +2p2X2 kCD =又kABX0 , AB A CD，所以 kAB *CD2 、 2Xo X1 + X22X1P 4px04p2p2X1+ x22x04px02 2x2 = - 4p，矛盾.對于D銀0,絕圭因?yàn)镃紜0,又kAB所以x0綜上所述,2X2+ x?-工此時(shí)直線cd平行于y軸,2px0-? 0，所以直線AB與直線CD不垂直，與題設(shè)矛盾,P0時(shí)，不存在符合題意的 M點(diǎn).僅存在一點(diǎn) M(0,- 2p)適合題意.例5 ( 2008江西卷，理21題)設(shè)點(diǎn)P(x,y。)在直線x= m(y 貢 m,0 m 1)上，

16、 過點(diǎn)p作雙曲線切線PA、PB，切點(diǎn)為A、B，定點(diǎn)M (丄,0).(1)過點(diǎn)A作直線x- y= 0的垂線，垂足為N，試求 AMN2 2x - y =1的兩條的重心G所在的曲線萬程；(2)求證：A、M、B三點(diǎn)共線.證明：(1 )設(shè) AXyJ, B(X2,y2),由已知得到 y/1 0，且 x； - y；2 2x2 - y2 = 1 , 釦-y1 = k(x - xj設(shè)切線PA的方程為：y- 丫勺=k(x- xj由丿 22得? x - y = 12 2 2 2 2從而 D = 4k y - kxj + 4(1- k )卜！ - kxj + 4(1 - k ) = 0 ,x,解得k=y1因此PA的方程為：y = Xx - 1 同理PB的方程為：目2 = X2X- 1又 P(m,y。)在 PA、PB 上，所以= mx! - 1,、劌。=mx?- 1 即點(diǎn) A(x1,y1), B(X2，y2)都在直線 yy = mx - 1 上1又M (-,0)也