因式分解拓展題及解答

1、因式分解拓展題解板塊一：換元法例1分解因式：【解析】將x2 原式(x2例2分解因式：(x24x2u4x 8)2 3x(x28 u看成一個字母，23xu 2x (u x)(u8)(x2 6x 8) (x5x 2)( x2 5x 3)【解析】方法1:5x(x2將原式=(t2)(t3) 12 t24x 8) 2x2可利用十字相乘得2x)2)(x122 2(x 4x 8 x)(x 4x 82x)24)(x 5x 8)方法2 :x2 5x看作一個整體，設將x2 5x 2看作一個整體， 原式=t(t 1) 12 t2 將x2x2 5x t，那么5t 6 (t 1)(t6)設x2 5x 2 t，t 12 (

2、t 3)(t4) (x(x 2)(x 3)(x2 5x 1)那么22)(x 3)(x5x 1)方法3:連換元都不用，直接把5x 3看作一個整體，過程略如果學生的能力到一定的程度，2x 5x看作一個整體，將原式展開，分組分解即可，5x甚至那么原式(x25x)25(x25x)6(x2 5x1)(x2【穩(wěn)固】分解因式:(x1)(x3)(x5)(x7)15【解析】(x 2)(x6)( x28x10)【穩(wěn)固】分解因式:(x2x1)(x2x 2)12【解析】(x 1)(x2)(x2x5)5x 6) (x 2)(x3) (x21).例3證明：四個連續(xù)整數(shù)的乘積加 1是整數(shù)的平方.【解析】設這四個連纟賣整數(shù)為

3、：x1、x2、x 3、x4(x 1)(x2)( x3)(x4) 1(x 1)(x 4：)(x 2)( x3)1(x25x24)( x5x6) 124 6u x5x2原式(x225x 5) 1(x5x5) 1 1(x25x5)21 1(x2 5x5)2【穩(wěn)固】假設x ,y是!整數(shù)，求證：x yx 2y x3yx4yy是一個完全平方數(shù).【解析】x yx2y x 3y x4y4yx :y x4yx2yx 3y4y(x25xy2 24y )(x 5xy6y2)4y令x25xy4y2 u上式u(u42y ) y (u2 2y )2(x 5xy25y2)即xy x:2y x 3yx 4y2y (x5xyc

4、 2 x25y )例 4 分解因式(2a 5)(a29)(2a 7) 91【解析】原式(2 a 5)(a 3)( a 3)(2 a 7) 91(2 a2 a 15)(2 a2 a 21) 91設 2a2 a 15 x,原式(2 a2a 28)(2a2 a 8)x(x 6) 91 x2 6x 91 (x 13)(x 7)(a 4)(2a7)(2 a2 a 8)【穩(wěn)固】分解因式(x2 3x 2)(3 8x 4x2)90【解析】原式 (x 1)(x y 2x2 5x2)(2 x1)(2x3)90(2x25x原式(y 3)(y 2)90 y25y84(y12)(y7)23)(2 x 5x 2)90(2

5、x2 5x 12)(2 x 7)( x 1)例5分解因式：4(3x2 x 1)(x22x 3)(4x2 x 4)2【解析】咋一看，很不好下手，仔細田觀察發(fā)現(xiàn):(3x2 x1)(x2 2x 3)故可設3x2 x 1 A,x22x 3B，那么 4x2 x4A B .故原式=4AB (A B)2A2 B22 AB(AB)2222 22(3x x 1)(x 2x3)(2x3x2).4x2【穩(wěn)固】 分解因式：(a b 2ab)(a b 2)(1 ab)2【解析】由于題中以整體形式出現(xiàn)的式子有兩個，共4個地方，故采取換元法后會大大簡化計算過程，不妨設a b x, ab y，【解析】那么原式=(x 2y)(

6、x 2)(1 y)2 x2 2xy y2 2y 2x2 2 2 2 21 (x y) 2(x y) 1 (x y 1) (a b ab 1)(1 a) (1 b)例6分解因式：(x 1)4 (x 3)4272【解析】設 y x 1 x 3 x 2，那么原式=(y 1)4 (y 1)4 272 2(y4 6y2 1) 272 22(y4 6y2135)2(y2 9)( y2 15)2( y 3)( y 3)(y215)22(x 5)(x 1)(x 4x 19)【穩(wěn)固】分解因式：a444 (a 4)4【解析】為方便運算，更加對稱起見，我們令 x a 2a444 (a 4)4 (x 2)4 (x 2

7、)444 (x2 4x 4)2 (x2 4x 4)24442422222222(x24x16)2562(x24x144)2(x12)2(a 2)122(a 4a 16)板塊二：因式定理因式定理：如果xa時，多項式anxnan 1xn 1.a1xa0的值為0 ,那么x a是該多項式的一個因式2x2 3x 23x 1 2x2 x5x 2322x2x3x25x3x23xan的因數(shù).2x 22x 20有理根：有理根c P的分子p是常數(shù)項a的因數(shù)，分母q是首項系數(shù) q例7分解因式：2x3 x2 5x 2【穩(wěn)固】a。2的因數(shù)是 1，2，an 2的因數(shù)是1，2 .因此，原式的有理根只可能是1,2(分母為1)

8、,-.2因為 f (1) 2 1526 , f( 1)2 15 20 ,于是1是f(x)的一個根，從而x 1是f(x)的因式，這里我們可以利用豎式除法，此時一般將被除式按未知數(shù)的降幕排列，沒有的補0：可得原式(2x2 3x 2)(x 1) (x 2)(2 x 1)(x 1)點評：觀察，如果多項式f(x)的奇數(shù)次項與偶數(shù)次項的系數(shù)和互為相反 數(shù)，那么說明f (1) 0 ；f( 1) 0.如果多項式的奇數(shù)次項與偶數(shù)次項的系數(shù)和相等，那么說明2x54 3 23x 4x 3x 2 x 1) ，經(jīng)檢驗 1原式 ( x1)( x5x42x32x2&x1)容易驗證1 也是 x543x 2x2x2x 1的根，

9、54xx2 x32 x2x1 ( x1)(x42x21) (x1)(x2所以 x65 4 3 2 2x 3x 4 x 3x2x1 ( x221)2(x21)2分解因式32 ： x 9 x y26xy224y39x2y2326xy224 y3(x 2y)( x3y)(x4y)1.1，1)2，【穩(wěn)固】 分 解因式： x6 解析：此題有理根只可能為 是根，所以原式有因式 x【穩(wěn)固】 解析： x31當然不可能為根 ( 因為多項式的系數(shù)全是正的例 8 分解因式： 【解析】a3 (ax3 (a b c)x 2 (ab bc 常數(shù)項abc的因數(shù)為 a , b , 把 x a 代入原式，得 b c)a2 (a

10、b bc ca)a abc a 3a，ca) x abc c ， ab ，a3 ba 2bc，ca，abc2ca a2b abc2acabc 0所以a是原式的根，x a是原式的因式，并且x3 (a b c) x2 (ab bc ca)x abc3 2 2(x3 ax2) ( b c)x2 a(b c)x (bcx abc)穩(wěn)固】2(x a) x (b c)x bc (x分解因式： (l m)x3(3l 2ma)( x b)( x c).2n)x (2l m 3n)x2( m n)(l n) (3l 2m n) (2 l m 3n) 2(m n)o所以 x 1是原式的因式，并且32(l m) x

11、3 (3l 2m n)x2 (2l m 3n)x 2(mn)( l m)x3 (l m) x2 (2l m n) x2 (2l mn)x2( m n) x2( m n)2(x 1)(l m)x2 (2l m n)x 2(m n)( x1)(x2)(lx mxm n)板塊三： 待定系數(shù)法如果兩個多項式恒等，那么左右兩邊同類項的系數(shù)相等.即，如果anxnan1xn1an2xn 2 La1x1aobnxnbn 1xn1n 2bn 2 xLb1 x1 bo解析】 如果多項式的系數(shù)的和等于 和減去奇次項系數(shù)的和等于0 ，那么 1 一定是它的根； 如果多項式的偶次項系數(shù)的0，那么 1一定是它的根現(xiàn)在正是這

12、樣：那么 an bn , an 1bn 1，印 J , a。bo.例 9 用待定系數(shù)法分解因式：x5 x 1解析】 原式的有理根只可能為1，但是這 2 個數(shù)都不能使原式的值為 o ，所以原式?jīng)]有有理根，因而也沒有 故 x5 x 1 ( x2 ax 1)(x3 52x x 1 ( xax( 有理系數(shù)的 )一次因式bx2 cx 1) 或 x5 x 1 (x2 ax 1)(x3 bx2 cx 1) x5 (a b)x41)(x3(abbx2 cx 1)32 c 1)x3 ( ac b 1)x2(a c) x 1a b o a1c ab 1 o 5 2 3 2故，解得 b 1，所以 x5 x 1 (

13、x2 x 1)(x3 x2 1)ac b 1 ocoac1事實上，分解式是惟一的，所以不用再考慮其它情況 .【穩(wěn)固】 x4 x2 1是否能分解成兩個整系數(shù)的二次因式的乘積 解析： 我們知道 x4 x2 1 ( x2 x 1)(x2 x 1) .x4 x2 1不能分解成兩個整系數(shù)的二次因式的乘積如 果 x4 x2 1 能 夠 分 解 ， 那 么 一 定 分 解 為 (x2 ax 1)( x2 bx 1) 或22(x 2 ax 1)(x2 bx 1)比擬x3與x2的系數(shù)可得ab0 ab 2 1(1)(2)1 ，沒有整數(shù) a 能滿足這兩個方程由得b a，代入得a22 1，即a23或a2所以， x4

14、x21 不能分解成兩個整系數(shù)的二次因式的積( 從而也不能分解成兩個有理系數(shù)的二次因式的積)【穩(wěn)固】 x6 x3 1 能否分解為兩個整系數(shù)的三次因式的積 解析： 設 x6 x31 (x3 ax2 bx 1)(x3 cx2 dx 1)，ac0比擬 x5 ， x3 及 x 的系數(shù)，得 ad bc 1b d 0由第一個方程與第三個方程可得 c a ， d b , 再把它們代入第二個方程中，得ab ab 1矛盾 !所以， x6 x31不可能分解為兩個整系數(shù)的三次因式的積例 10 分解因式： x4 x3 2x2 x 3【解析】 原式的有理根只可能為 1，3，但是這四個數(shù)都不能使原式的值為 0 ，所以原式?jīng)]

15、有有理根，因而也沒有 (有理系數(shù)的 ) 一次因式我們設想 x4 x3 2x2 x 3可 以分為兩個整系數(shù)的二次因式的乘積 由于原式是首 1 的(首項系數(shù)為 1) ，兩個二 次因式也應當是首 1 的于是，設 x4 x3 2x2 x 3 (x2 ax b)(x2 cx d)其中整系數(shù)a、b、c、d有待我們?nèi)ゴ_定比擬式兩邊x3, x2, x的系數(shù)ac1(2)及常數(shù)項，得 b d ac 2(3)bc ad 1(4)bd 3(5)這樣的方程組，一般說來是不容易解的不過，別忘了b、 d 是整數(shù) ! 根據(jù)這一點，從 (5) 可以得出 b 1 或 b 1 ，當然也可能是 b 3 或 b 3d 3 d 3d 1

16、 d1在這個例子中由于因式的次序無關緊要，我們可以認為只有b1或b1這兩種情況.d3d3將 b 1 ， d 3，代入(4) ，得c3a 1將與相減得2a2，于二曰疋a1 ，再由得 c 2這一組數(shù)(a 1 , b 1 , c 2 , d 3)不僅適合、，而且適合.因此 x4 x3 2x2 x 3 (x2 x 1)(x2 2x 3)將b 1 , d 3，代人，得 c 3a 1將與 相加得 2a 0. 于是 a 0，再由 得 c 1.這一組數(shù)(a 0 , b 1 , c 1, d 3)，雖然適合、，卻不適合，因而 x4 x3 2x2 x 3 (x21)(x2 x 3) .事實上，分解式是惟一的，找出

17、一組滿足方程組的數(shù)，就可以寫出分解式， 考慮有沒有其他的解純屬多余，毫無必要.板塊四：輪換式與對稱式對稱式： x、y 的多項式 x y , xy , x2 y2, x3 y3 , x2 y xy2， 在字母x與y互換時，保持不變.這樣的多項式稱為 x、y的對稱式.類似地，關于 x、y、z 的多項式 x y z, x2 y2 z2, xy yz zx, x3 y3 z3,2 2 2 2 2 2x y x z y z y x z x z y , xyz，在字母 x、y、z中任意兩字互換時，保持不變. 這樣的多項式稱為 x、y z 的對稱式輪 換 式 ： 關 于 x、 y、 z 的 多項 式 x y

18、 z ， x y z ， xy yz zx ， x3 y3 z3 ，2 2 2 2 2 2x y y z z x , xy yz zx , xyz 在將字母x、y、z輪換(即將x換成y , y換成z , z換成x)時，保持不變. 這樣的多項式稱為x、y、z 的輪換式. 顯然，關于x、y、z 的對稱式一定是x、y、z 的輪換式.但是，關于 x、 y ， z 的輪換式不一定是對稱式.例如， x y y z z x 就不是對稱式.次數(shù)低于 3 的輪換式同時也是對稱式.兩個輪換式 ( 對稱式 )的和、差、積、商 (假定被除式能被除式整除 )仍然是輪換式 ( 對稱式 ) . 例 11：分解因式： x (

19、y z) y (z x) z (x y)解析： x (y z) y (z x) z (x y) 是關于 x、 y、 z 的輪換式.如果把x2(y z) y2(z x) z2(x y)看作關于x的多項式，那么在 x y時， 它的值為 y (y z) y (z y) z (y y) 0.QQQ因此，x y是 x (y z) y (z x) z (x y)的因式.由于 x (y z) y (z x) z (x y) 是 x、 y、 z 的輪換式，可知 y z 與 z x 也是它的因式.從而它們的積 (x y)(y z)(z x) 是 x (y z) y (z x) z (x y) 的因式.由于 、都

20、是 x、 y、 z 的三次多項式， 所以兩者至多相差一個常數(shù)因數(shù) k ，即有x (y z) y (z .x) z (x y) k(x y)(y z)(z x) 現(xiàn)在我們來確定常數(shù) k的值為此，比擬的兩邊x2y的系數(shù)：左邊系數(shù)為 1,右邊系數(shù)為 k .因此， k 1.于是 x (y z) y (z x) z (x y) (x y)(y z)(z x)思路 2 ：利用 y z = (y x) - (z x).例 1 分解因式： xy(x y ) yz(y z ) zx(z x )【解析】 此式是關于 x， y ， z 的四次齊次輪換式，注意到 x y 時，原式 0，故 x y 是 原式的一個因式.

21、同理，y z , z x均是原式的因式， 而(x y)(y z)(z x)是三次輪換式，故還應 有一個一次輪換式，設其為 k(x y z) ，故原式k(xyz)(xy)(yz)(zx) ，展開并比擬系數(shù)可知，k 1，故原式(xyz)(xy)(yz)(zx).思路 2：利用 x2 y2= (x2 z2)+(z 2 y2).家庭作業(yè)Q練習 1 .分解因式：4(x5)(x 6)(x10)(x12)3x原式 4(x2 17x 60)(x216x 60)3x24(x216x60) x (x216x 60) 3x22 2 2 24(x216x60)2 4x(x216x60) 3x2222(x216x60)

22、x2( x216x60)3x2 2 2(2x231x120)(2x235x 120)(2x15)(x 8)(2x235x 120)練習2 .要使x 1 x 3 x 4 x 8 m為完全平方式，那么常數(shù) m的值為【解析】 x 1 x 3 x 4 x 8 m2 2 2 2 2(x25x 4)(x25x 24) m (x25x)220(x25x)96 m ，那么 m 196練習 3 分解因式： (x2 6x 8)(x214x48)1222【解析】 原式 (x 2)(x 4)(x 6)(x 8)12 (x210x16)(x210x24)12設tx2原式 t(t10x 16，貝U(x2 10x218)(

23、 x 10x22)8) 12 (t2)(t6)練習4 .分解因式:(x xy2 2y )4xy(x2y2)【解析】設 x2 y2a , xy b，那么原式(ab)24ab (ab)2(x2練習5 .分解因式:322x x5x 2【解析】322x x5x 2 (x2)(2x1)(x1)練習6 .分解因式:32x 6x11x 6【解析】32x 6x11x 6 (x1)(x25x6)(x1)(x 2)(x3)練習7 .用待定系數(shù)法分解：54x x1【解析】原式的有理根只可能為1,但是這2個數(shù)都不能使原式的值為有理根，因而也沒有(有理系數(shù)的)一次因式.故 x5x4 1(x2ax 1)(x3bx2ex 1)或 x5x41z2(x ax1)(x3x5x41z2(x ax1)(x3bx2 ex51) x(a b)x4(ab ea b1a1故e ab1 00，所以54x x1 (x2x 1)(x3，解得bae b1 0c 1a c 02 、2y xy).0 ,所以原式?jīng)]有bx2 ex 1)1)x3 (ae b 1)x2x 1)(a e)x 1事實上，分解式是惟一的，所以不用再考慮其它情況練習 8 .分解因式：a3(b e)