【數學】高二文科數學-復數

1、學習必備歡迎下載高二文科數學復數1. 復數的概念及其表示形式：（1）形如 abi（a,br）的數稱為復數，a, b分別叫做復數的實部、虛部當b0時， abi表示實數；當 b0時， abi表示虛數；當a0，b當a0，b當a0，b0時， abi表示純虛數，明顯， 純虛數虛數 ，0時， abi表示純虛數，明顯， 純虛數虛數 ，0時， abi表示純虛數，明顯， 純虛數虛數 ，實數虛數復數c通常復數 z 的實部記作 rez；復數 z 的虛部記作 imz.兩個重要命題：定理 1：復數定理 2 ：復數z是實數的充要條件是 z是純虛數的充要條件是zz； zz0（ z0）（ 2）復數的幾何形式：復數集與平面上的

2、點集之間能建立一一對應關系，故可用平面上的點來表示復數，一般地，可用點z（ a,b）表示復數a + bi ，（ a, br），或用向量oz 表示復數abi .（ 3）復數相等：abicdiac且bd.abi0a0且b=0這是解決復數問題時進行虛實轉化的工具：（ 4 ）共軛復數： zabi 與zabi （ a,br）互為共軛復數；在復平面上，互為共軛復數的兩個點關于實軸對稱：另外 z| z|注：復數的分類：復數 zabi實數 b=0虛數 b0一般虛數 b純虛數 b0,a00, a0虛數不能比較大小，只有等與不等；即使是3i ,62i 也沒有大?。唬?）復數的模：設zabi a,br 在復平面上對

3、應的點為z（ a, b），就把向量oz 的模（即線段oz的長度）叫做復數z的模；|z|a2b 2 0積或商的?？衫媚５男再|（1）zzzzz，（ 2） z1z1z021（ 6）共軛復數的運算性質：n12nz2z2zzzz； zzzzz1z1； zzzz ；（）z1212121212122z2zn zn ；z z|z|2|z|2（ 7）復數的模的運算性質：| z1 | |z2 | | z1z2 | |z1| |z2 |（當與z1， z2 對應的向量oz 1 ， oz 2同向時，右邊的等號成立：當oz 1 ，oz 2 反向時，左邊的等號成立）|z1| |z2| | z1z2| |z1 | |z2

4、|（取等號的情形與以上相反）|zz| |z | z|； z1|z1 | ； zn|z|n .1212z2（ 8 ）關于復數 i 與|z2 |123 i .2i 4 n 1i ， i 4n 2i 21， i 4n 3i 3i， i 4 n 4i 4132231， 2，120 ；1，10.注：熟記常用算式：1ii， 1i 22i ， 1i 21i2i ，1ii ， 1ii1i2. 復數的運算：（ 1）四就運算法就（可類比多項式的運算）加法： abicdi acbdia,b,c, dr減法： abicdiacbdi乘法： abi cdi acbd bcad i除法： abi cdi abicdiab

5、i cdi cdi cdi 轉化為乘法運算簡記為“分母實數化” ；特例： abi abi a 2b 2 ； 1i 22i ， 1i 22i .（ 2 ）開平方運算:a + bi 的平方根x + yi （ a, b, x, yr）可由 xyi 2abi利用復數相等的充要條件轉化為解實方程組；（ 3）復數加法、減法的幾何意義：復數的加法即向量的加法，滿意平行四邊形法就；復數減法即向量的減法，滿意三角形法就；z1-z2 對應的向量，是以 z2 的對應點為起點，指向z1 的對應點的向量， |z1-z2 |表示復平面內與 z1， z2 對應的兩點的距離，如：|z-i|表示 z 與 i 的對應的點的距離；

6、注： | zz1點的| | zz2|z 對應的點的軌跡是線段z1z2 的垂直平分線；| zz0 |r ， z 對應的軌跡是一個圓；| zz1 | zz2 |2az1z 22a ， z對應的點的軌跡是一個橢圓；| zz1 | zz23. 復數與方程：|2 az1z 22a ， z 對應的點的軌跡是雙曲線；（ 1）含 z 的復數方程：可設出z 的代數形式，利用復數相等轉化為實方程組；2（ 2）實系數一元二次方程：ax +bx+c=0 （ a 0） 0 時，方程有兩個不等實根；=0 時，方程有兩個相等實根； 0 ，但該方程并無實根；但韋達定理以及求根公式仍適用；注 1. 解決復數問題，留意虛實轉化的

7、方法；2. 解決復數問題，留意充分利用共軛， 模的運算性質；高二數學文科試題（復數）一、挑選題1. 設a,b, cr, 就復數 abi cdi 為實數的充要條件是（）（ a） adbc0（ b） acbd0（c） acbd0（ d） adbc02. 復數 13i等于（）3ia ib ic 3id 3i3. 如復數 z 滿意方程 z220 ，就z3 的值為（）a. 22b.22c.22 id.22 i4. 對于任意的兩個實數對（a,b ）和 c,d,規(guī)定（ a,b ） c,d當且僅當 a c,b d; 運算“”為 ：a, bc, d acbd ,bcad ，運 算“”為 ：a,bc, d ac,

8、bd ，設p, qr ，如1,2 p, q5,0 就 1,2 p, q（）a. 4,01b.i 102,0c. 0,2d.0, 45. 復數等于（）1ia. 1ib；1ic； 1id； 1i36 1 i 2 3（a） 2i（ b）32i（ c） i（ d） i7. i 是虛數單位，i（）1ia 11 i22b 11 i22c 11 i22d11 i228. 假如復數m2i1mi 是實數，就實數 m（）a 1b 1c 2d29. 已知復數 z 滿意（3 3i ） z 3i ，就 z（）a 3 3 i33b. i33c. i33d. i2210. 在復平面內，復數1i442244i 對應的點位于a

9、. 第一象限b.其次象限c.第三象限d. 第四象限二、填空題11. 已知 m1i1ni，其中 m， n是實數，i 是虛數單位， 就mni 12 在復平面內，如復數z 滿意 | z1 | |zi|，就 z 所對應的點的集合構成的圖形是；13. 設 x 、 y 為實數，且x1iy12i513i，就 x + y =.14. 如復數 z 同時滿意 z z 2 i ， z iz （ i 為虛數單位） ，就 z 15. 已知 z1i , 就1z502z100 的值為 16. 非空集合 g 關于運算滿意：（1）對任意 a,bg ，都有 abg ；（ 2）存在 eg ，使得對一切 ag ，都有 aeeaa ，

10、就稱 g 關于運算為“融洽集”；現給出以下集合和運算： g非負整數 ,為整數的加法 g偶數 ,為整數的乘法 g平面對量 ,為平面對量的加法 g二次三項式 ,為多項式的加法 g虛數 ,為復數的乘法2其中 g 關于運算為“融洽集”; （寫出全部“融洽集”的序號）18已知復數 z 滿意2（i ）求 z ；| z |2 ， z 的虛部為 2，（ii ）設 z ，z ， zz2 在復平面對應的點分別為a，b， c，求abc的面積 .題號12345678910答案dadbdaabdd11、 2+i12、直線 y= -x13、414、-1+i15、 i16、17、 解法一 w12 i 43i,w43i12i2i ， 4 分z5|i |32ii . 8 分如 實 系 數 一 元 二 次 方 程 有 虛 根 z3i， 就 必 有 共 軛 虛 根 z3i.zz6,z z10 ，所求的一個一元二次方程可以是x 26x100 . 10 分解法二 設 wab ia、brab i43i2ai2b ，a 42b,得b 32a,a 2,b 1,w2i ， 4 分以下解法同 解法一 .18、解：（ i ）設zxyi x, yrx2y221由題意得 z 2xy2x2y22 xyi2 xy12