(線性代數(shù)課后習題答案）線代習題第五六章

1、( (線性代數(shù)課后習題答案線代習題線性代數(shù)課后習題答案線代習題第五六章第五六章det( )1det()0 det()det()det() =det(E) )=det(E)det =det() )detdet() =det( ()( 1) det() =dTTTTTnTAEAA AEAAA AEAAAAAAEAAEEAEAEA A 十七、（）設(shè)A是奇數(shù)階正交矩陣，且 第五章第1 證明： 因為A6題證是正交矩陣，et()det()0EAEA 所以，11111111n m, ()()() 0, 0 00mmmmmmAOPAP PAP PP PP PPPAPPPPAPAP 十八、（）設(shè) 階非零矩陣A滿

2、足（為大于1的整數(shù)），證明A不能與對角矩陣相似。：反證法。 則存在可逆矩陣使得由于則，假第五章設(shè)對角矩第陣27題證111211 = = 0, = . , A 0000mmmnnnaaOaaaaaOAP PPOPOAO令，不能則這與矛盾與對角矩。所以，陣相似。12312311111000 1, 01011002012,012110 det()0 det()detxAxyByBABABxAEAEA十九、（）求x,y的值，使得下列矩陣A與B相似。：求B的特征值。因為 是對角陣，其特征值為：，由于則 與 有相同的特征值：，第五章第 0，對，3 題解221()0 11011)0 0 )det()020

3、100 xyxxyyyxEEAExxxyxxx 22對，det(A-det(A-所以，111111n,.n, (,) (,) (,) (nTTnnTTnXX AXcX XQQ AQdiagAQ diagQX Q diagQ XAQXX二十、（）設(shè)A為 階實對稱矩陣，證明存在實數(shù)c, 對一切有：A為 階實對稱矩陣，則存在正交矩陣使得 第五章第22題 證R R122211222121122)(,) () max |, , | ,(),)(,TTTnnTTTTnTTnnnTTTTQ X YXdiagQ Xcc yyycY Yc Q XQ XcX QQ XYdiagYyyyX AXcX X令 則121

4、21122312313 0(1,2,2) ,(2,1, 2) ,.0, 0, 0, 0 02 =3A(,)=3(,)=TTTAXAAAAAAx xx 二一、（）設(shè)A是3階實對稱矩陣， =3是其一特征值，方程組的基礎(chǔ)解系為求： 是 的 重特征值。是 的特征值，設(shè)是第五章第24題解對應(yīng)的特征向量。123323123121233121230220 (2, 2,1)(,)=0220(,)=0,1/32/32/31221(,)2/31/32/321232/32/31/3221Txxxxxx 由于，,兩兩正交。令Q,1100, 30122012211 0212021233322132214421 4423

5、221QAQAQQ第六章 二次型 局部習題211()n 0, 1,2,0,0,0,1,0,0,1,0 0 (1,2, )0, 10, 0ijn niiTijnnTijijiiiiiTijiiAaAainAXxxX AXa x xa xXXainaiAX） 設(shè)為 階實對稱陣，試證：(1)若 是正定的，則：因為 是正定的， 取即例（習題六第8題證對任意總，有其余所以,2,n121111211221222212()n,1,2, )()rijn nnijiijjijn nnnnnnnnnrrAaccbc a ci jnBbcaaaccaaacBcaaacBB例（習題六第12題證（方法1） 設(shè)為 階正定

6、矩陣，c , , 是非零實數(shù)， =,(，試證：也是正定矩陣。：的 階順序主子式1111211221222222212120, (1,2, )0, (1,2, ) rrnrrrrrrrrrrcaaaccaaacc cccaaacAArnBBrnB 因為 正定，所以 的順序主子式的順序主子式所以， 是正定矩陣。1111111122111211n(,)002,()(),00()(), nnnnTijijijijnnijiijjijTnnTnnijiijjijnnTijijijiijjniTjX BXx xx xac xc xYc x c xc xYAY AYac xc xa y yY AYXxxxX

7、 BXbc a c方法 ：令則由于 是正定的，對任意 維向則量所以，B也是正定的。21,3,(),n0,21,(0)()kkTkkkTkTTmmmTTmABABN AaAaEAAAAXkkmmX A XAAA AXXXXXAAT） 證明：（1）設(shè) ， 為對稱正定矩陣，則也是。（略） （2）若A是對稱正定矩陣，則對任意k也是對稱正定的； （ ）若A是實對稱矩陣，則必可找到使得也是對稱正定的。：(例（習題六第9題證（)所以是對稱的。對任意 維向量若 為奇數(shù)，2）R R(),0. 0()()()0),2 ,(0)() ()0,TmTmTTmmmmTmTmTkTkmTmTkkA XA A XAA XYA XYAY AYA XAA XY AYAkkm mX A XA XA XXY YXAAAX A X令則由于 是正定的，所以，是正定的。若 為偶數(shù)，所以，是正定的。12221122123, n0,() (max|,|0),nTTTTTTnnnTnAaAaEAaEAaEAaEAaEXXAaE XXXaX EXXQYXXyAAXdyyAT（ ）若 是實對稱矩陣，則必可找到使得也是對稱正定的。：()所以是對稱的。對任意 維向量要證明其值存在正交變換使得：令|,| |證（ 其中， ，是 個,值3）實特征。R R22222211221222212()()()0,0,