導(dǎo)數(shù)及其運(yùn)用

1、導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用一、相關(guān)概念1導(dǎo)數(shù)的概念函數(shù)y=f(x),如果自變量x在x0處有增量 x，那么函數(shù)y相應(yīng)地有增量 y =f (x0+ x ) f ( x 0)，比值一叫做函數(shù)y=f ( x)在x 0到x 0 + x之間的平均變化率，即xy =x)f (x)。如果當(dāng)x 0時(shí)，一y 有極限，我們就說(shuō)函數(shù) y=f(x) 在點(diǎn)x 0xxx處可導(dǎo)，并把這個(gè)極限叫做f (x)在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)，記作f( x 0)或y| x勺。即 f (x0) = limx 0-=limf(Xx) f(X)。x求函數(shù)的增量y=f (x0 + x ) f (x 0)；求平均變化率 亠=x)一心；xx取極限，得導(dǎo)數(shù)(X 0)=譏2

2、導(dǎo)數(shù)的幾何意義函數(shù)y=f (x)在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)的幾何意義是曲線y=f (x)在點(diǎn)p (x0, f (x0)處的切線的斜率。也就是說(shuō)，曲線y=f (x)在點(diǎn)p (x0, f (x0)處的切線的斜率是f( x0 )。相應(yīng)地，切線方程為y y0=f，(x0) (x x0 )。3.導(dǎo)數(shù)的物理意義如果物體運(yùn)動(dòng)的規(guī)律是s=s (t),那么該物體在時(shí)刻t的瞬間速度v=s (t )。如果物體運(yùn)動(dòng)的速度隨時(shí)間的變化的規(guī)律是v=v( t)，則該物體在時(shí)刻t的加速度a=v (t )。二.求導(dǎo)數(shù)的方法1幾個(gè)常用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)1 .若 f (x) c,則 f (x)；2 .若 f (x)x，則 f (x);23.若 f

3、(x) x ,則 f (x)；4 .若 f(x)1一，則 f (x)x。2基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)1.若 f (x) c,則 f (x)；2 .若 f (x) xn ( nQ*)，則 f (x);3. 若 f (x) sinx，貝U f (x) ； 4 .若 f (x) cosx，貝U f (x) 5若 f(x) ax，則 f (x) ( a 0) ; 6 .若 f(x) ex，則 f (x) 7.若 f (x) log a，則 f (x) ( a 0且 a 1) ;8 .若 f (x) In x，則 f (x)_3. 導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算(u v) = Cf(x)=(uv) =, (-U) = (v 0

4、)4. 復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)設(shè)u (x)在點(diǎn)x處可導(dǎo)，y f(u)在點(diǎn)u (x)處可導(dǎo)，則復(fù)合函數(shù)f (x)在點(diǎn)x處可導(dǎo)，且f (x) =,即卩 yx yu ux三，導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用1. 函數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間 的一般步驟： 求出f (x)的導(dǎo)數(shù)f (x)； 求出方程f (x)0的根； f (x)0的解集與定義域的交集的對(duì)應(yīng)區(qū)間為增區(qū)間；f (x)=m恒成立，求 m的最大值；(2) 若方程f(x)=0有且僅有一個(gè)實(shí)根，求a的取值范圍;例9 實(shí)際運(yùn)用1. ( 2007重慶文)用長(zhǎng)為18 m的鋼條圍成一個(gè)長(zhǎng)方體形狀的框架，要求長(zhǎng)方體的長(zhǎng)與寬 之比為2: 1,問(wèn)該長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高各為多少時(shí)，其體

5、積最大？最大體積是多 少？2. (湖南文)某工廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品，已知該產(chǎn)品的月生產(chǎn)量x(噸)與每噸產(chǎn)品的價(jià)格 p(元/、 1 2噸)之間的關(guān)系式為：p 24200 x ,且生產(chǎn)x噸的成本為R 50000 200x (元)。問(wèn)5該產(chǎn)每月生產(chǎn)多少?lài)嵁a(chǎn)品才能使利潤(rùn)達(dá)到最大？最大利潤(rùn)是多少？(利潤(rùn)=收入 成本)練習(xí)1.(全國(guó)卷I文)函數(shù)f (x) a=()(A) 2(B) 33時(shí)取得極值,則32x ax 3x 9 ,已知 f (x)在 x(C) 4(D) 52.(海南、寧夏文)設(shè) f(x) xlnx，若 f(x0) 2，則 x0()3.4.5.A. e2 B. e C. 2(廣東)函數(shù)f(x) x3A.

6、 (2,) B .(安徽文)設(shè)函數(shù)f(x)D. ln23x21是減函數(shù)的區(qū)間為(,2),0) D . ( 0, 2)2xA.有最大值B .有最小值1-1(x xC .0),則 f(x)(是增函數(shù)D.是減函數(shù)(福建文、理)已知對(duì)任意實(shí)數(shù)g (x)0 ,則x0 , g (x)0x 有 f( x)= f(x) , g(-x)=g(x)，且 x0 時(shí)，f (x)0 ,B f ( x)0 , g (x)0C f (x)02.( 2009寧夏銀川)若函數(shù)(x)0 , g (x)0)有極大值9.29. (2007海南、寧夏文)設(shè)函數(shù)f(x) In(2x 3) x2(I)討論f (x)的單調(diào)性;(n)求f (x)在區(qū)間3 1，-的最大值和最小值.4 430. (2009陜西20 )已知函數(shù)f(x)=x 3 3ax 1,a不等于0.(1 )求f(x)的單調(diào)區(qū)間;(2)若f(x)在x= 1處取得極值，直線 的取值范圍。y=m與y=f(x)的圖像有三個(gè)不同的交點(diǎn)，求3 2 231.已知函數(shù)f (x) x ax bx c在x 與x 1時(shí)都取得極值 3(1)求a, b的值與函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；2若對(duì)任意x 1,2,不等式f(x) c恒成立，求C的取值范圍.32