D114對面積曲面積分(7)課件

1、D114對面積曲面積分(7)第四節(jié)一、對面積的曲面積分的概念與性質(zhì)一、對面積的曲面積分的概念與性質(zhì) 二、對面積的曲面積分的計(jì)算法二、對面積的曲面積分的計(jì)算法 對面積的曲面積分 第十一章 D114對面積曲面積分(7)Oxyz一、對面積的曲面積分的概念與性質(zhì)一、對面積的曲面積分的概念與性質(zhì)引例引例: 設(shè)曲面形構(gòu)件具有連續(xù)面密度),(zyx類似求平面薄板質(zhì)量的思想, 采用kkkkS),(可得nk 10limM),(kkk求質(zhì) “大化小, 常代變, 近似和, 求極限” 的方法,量 M.其中, 表示 n 小塊曲面的直徑的 (曲面的直徑為其上任意兩點(diǎn)間距離的最大者). 最大值D114對面積曲面積分(7)S

2、zyxMd),(定義定義: 設(shè) 為光滑曲面,“乘積和式極限” kkkkSf),(nk 10lim都存在,的曲面積分Szyxfd),(其中 f (x, y, z) 叫做被積據(jù)此定義, 曲面形構(gòu)件的質(zhì)量為曲面面積為SSdf (x, y, z) 是定義在 上的一 個(gè)有界函數(shù),記作或第一類曲面積分.若對 做任意分割和局部區(qū)域任意取點(diǎn), 則稱此極限為函數(shù) f (x, y, z) 在曲面 上對面積函數(shù), 叫做積分曲面.D114對面積曲面積分(7)則對面積的曲面積分存在. 對積分域的可加性.,21則有Szyxfd),(1d),(Szyxf2),(SzyxfdSzyxgkzyxfkd),(),(21 線性性質(zhì)

3、.則為常數(shù)設(shè),21kkSzyxgkSzyxfkd),(d),(21),(zyxf若在光滑曲面 上連續(xù), 對面積的曲面積分與對弧長的曲線積分性質(zhì)類似. 積分的存在性. 若 是分片光滑的,例如分成兩片光滑曲面D114對面積曲面積分(7)Oxyz定理定理: 設(shè)有光滑曲面yxDyxyxzz),(),(:f (x, y, z) 在 上連續(xù),存在, 且有Szyxfd),(yxDyxf),(Szyxfd),(),(yxzyxyxzyxzyxdd),(),(122二、對面積的曲面積分的計(jì)算法二、對面積的曲面積分的計(jì)算法 則曲面積分證明證明: 由定義知Szyxfd),(kkkkSf),(nk 10limyxD)

4、,(kkkyxk)(D114對面積曲面積分(7)kSyxyxzyxzyxkyxdd),(),(1)(22yxkkkykkxzz)(),(),(1220limnk 1yxkkkykkxzz)(),(),(1220limnk 1yxkkkykkxzz)(),(),(122yxyxzyxzyxfyxDyxdd),(),(1),(22),(yxz),(,(kkkkzf),(,(kkkkzfSzyxfd),(而( 光滑)D114對面積曲面積分(7)說明說明:zyDzyzyxx),(),(zxDzxzxyy),(),(或可有類似的公式.1) 如果曲面方程為2) 若曲面為參數(shù)方程, 只要求出在參數(shù)意義下dS

5、 的表達(dá)式 , 也可將對面積的曲面積分轉(zhuǎn)化為對參數(shù)的二重積分. (見本節(jié)后面的例4, 例5) D114對面積曲面積分(7)yxD例例1. 計(jì)算曲面積分,dzS其中 是球面222zyx被平面)0(ahhz截出的頂部.解解: :yxDyxyxaz),( ,:2222222:hayxDyx221yxzz 222yxaazSd20da0)ln(2122222haraahaaln2yxDyxayxa222dd22022dhararr2axzyhaOD114對面積曲面積分(7)思考思考:若 是球面2222azyx被平行平面 z =h 截出的上下兩部分,) (dzS) (dzS04lnhaa則hhxzyOD

6、114對面積曲面積分(7)例例2. 計(jì)算,dSzyx其中 是由平面坐標(biāo)面所圍成的四面體的表面. 解解: 設(shè)上的部分, 則4321,4dSzyx,1:4yxz1010:),(xxyDyxyxxyyxy10d)1 (12031zyx與, 0, 0, 0zyx10d3xx1zyx4321Szyxd 原式 = 分別表示 在平面 zyx111OD114對面積曲面積分(7)xzyO例例3. 設(shè)2222:azyx),(zyxf計(jì)算.d),(SzyxfI解解: 錐面22yxz的222yxaz.,2122122azayx1設(shè),),(22122ayxyxDyx,22yx ，022yxz當(dāng)22yxz當(dāng)與上半球面交線

7、為為上半球面夾于錐面間的部分, 它在 xOy 面上的投影域?yàn)閯t 1d)(22SyxI1yxDD114對面積曲面積分(7)1d)(22SyxIyxDyx)(22rrraraadd202222021)258(614a222yxaayxdd思考思考: 若例3 中被積函數(shù)改為),(zyxf,22yx ，022yxz當(dāng)22yxz當(dāng)計(jì)算結(jié)果如何 ? xzyO1yxDD114對面積曲面積分(7)例例4. 求半徑為R 的均勻半球殼 的重心.解解: 設(shè) 的方程為yxDyxyxRz),( ,222利用對稱性可知重心的坐標(biāo),0 yx而 z 2223RRR用球面坐標(biāo)cosRz ddsind2RS SdSzd20032

8、dcossindR2002dsindR思考題思考題: 例 3 是否可用球面坐標(biāo)計(jì)算 ?D114對面積曲面積分(7)例例5. 計(jì)算),(dRzSI.:2222Rzyx解解: 取球面坐標(biāo)系, 則,cosRz I0cos)cosd(2RRRRRRln2ddsind2RS 02dcossinRR20dD114對面積曲面積分(7)例例6. 計(jì)算,d)(22SyxI其中 是球面22yx 利用對稱性可知SzSySxddd222SzSySxdddSzyxId)(32222Szyxd)(34Sxd4Sxd448)3(4142解解: 顯然球心為, ) 1 , 1 , 1 (半徑為3x利用重心公式SxdSd).(2

9、2zyxzD114對面積曲面積分(7)zzd例例7. 計(jì)算,d222zyxSI其中 是介于平面之間的圓柱面.222Ryx分析分析: 若將曲面分為前后(或左右)zRSd2d則HzRzRI022d2RHarctan2Hzz,0Hxyz解解: 取曲面面積元素兩片, 則計(jì)算較繁. OD114對面積曲面積分(7)yxzLO例例8. 求橢圓柱面19522yx位于 xOy 面上方及平面 z = y 下方那部分柱面 的側(cè)面積 S . 解解: )0(sin3,cos5:ttytxL取SSdszLdtt cosdcos45302sd5ln4159zszSddttttdcos9sin5sin3220syLdD114

10、對面積曲面積分(7)例例9. 設(shè)有一顆地球同步軌道通訊衛(wèi)星, 距地面高度 h = 36000 km, 運(yùn)行的角速度與地球自轉(zhuǎn)角速度相同, 試計(jì)算該通訊衛(wèi)星的覆蓋面積與地球表面積的比. (地球半徑 R = 6400 km )解解: hRR建立坐標(biāo)系如圖, 記覆蓋曲面 的半頂角為 , 利用球面坐標(biāo)系, 則 ddsind2RS 衛(wèi)星覆蓋面積為SAd)cos1 (22RhRRcoshRhR220202dsindRyzxOD114對面積曲面積分(7)故通訊衛(wèi)星的覆蓋面積與地球表面積的比為24 RA)(2hRh6610)4 . 636(21036%5 .40由以上結(jié)果可知, 衛(wèi)星覆蓋了地球 31以上的面積

11、, 故使用三顆相隔32角度的通訊衛(wèi)星就幾乎可以覆蓋地球全表面. 說明說明: 此題也可用二重積分求 A . hRRyzxOD114對面積曲面積分(7)內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)1. 定義:Szyxfd),(iiiiSf),(ni 10lim2. 計(jì)算: 設(shè),),( , ),(:yxDyxyxzz則Szyxfd),(yxDyxf,(),(yxz)221yxzz yxdd(曲面的其他兩種情況類似) 注意利用球面坐標(biāo)、柱面坐標(biāo)、對稱性、質(zhì)心公式簡化計(jì)算的技巧. D114對面積曲面積分(7)思考與練習(xí)思考與練習(xí)P217 題1；3；4 (1) ; 7 解答提示解答提示:P217 題1.SzyxzyIxd),()(2

12、2P217 題3. ,),( ,0:yxDyxzyxDyxyxfSzyxfdd),(d),(設(shè)則0P244 題2D114對面積曲面積分(7)P217 題4 (1).Oyz2x 在 xOy 面上的投影域?yàn)?:22 yxDyxyxzzSyxdd1d22yxyxdd)(4122yxDSyxyxSdd)(41d22rrrd41d20220313這是 的面積 !2xyD)(2:22yxzD114對面積曲面積分(7)P218 題7. 如圖所示, 有yxyxyxSzyxDdd1)(21d2222rrrd1d21202320354tttd) 1(302221rt令2zyx1OD114對面積曲面積分(7)P24

13、4 題2. ),0(:2222zazyx在第一卦為1限中的部分, 則有( ).;d4d)(1SxSxA;d4d)(1SxSyB;d4d)(1SxSzC.d4d)(1SzyxSzyxDC( 2000 考研 )D114對面積曲面積分(7)備用題備用題 1. 已知曲面殼)(322yxz,22zyx求此曲面殼在平面 z =1以上部分 的的面密度質(zhì)量 M . 解解: 在 xOy 面上的投影為 ,2:22 yxDyx故SMdrrrd41d322020)41d(418162202rryxyxyxDdd)(4132213yxD2xzyOD114對面積曲面積分(7)2. 設(shè) 是四面體的表0,0,0,1zyxzyx面, 計(jì)算.d)1 (12SyxI解解: 在四面體的四個(gè)面上yxz1yxdd3xyxDyx10,10:1zyx11O0zyxdd0yxzddzxzDxz10,10: