2.1知識(shí)回顧-概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)ppt課件

1、數(shù)理統(tǒng)計(jì)基礎(chǔ)數(shù)理統(tǒng)計(jì)基礎(chǔ)u 求和運(yùn)算及相關(guān)性質(zhì)求和運(yùn)算及相關(guān)性質(zhì)u 隨機(jī)變量及其數(shù)值特征隨機(jī)變量及其數(shù)值特征u 從總體到樣本從總體到樣本u 幾個(gè)重要的抽樣分布幾個(gè)重要的抽樣分布內(nèi)容提要內(nèi)容提要數(shù)學(xué)期望數(shù)學(xué)期望定義定義1離散型隨機(jī)變量數(shù)學(xué)期望的定義離散型隨機(jī)變量數(shù)學(xué)期望的定義假定有一個(gè)離散型隨機(jī)變量假定有一個(gè)離散型隨機(jī)變量X有有n個(gè)不同的可能取值個(gè)不同的可能取值x1,x2,xn，而，而p1,p2,pn是是X取這些值相應(yīng)的概取這些值相應(yīng)的概率，則這個(gè)隨機(jī)變量率，則這個(gè)隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望定義如下：的數(shù)學(xué)期望定義如下： 數(shù)學(xué)期望描述的是隨機(jī)變量總體的一般水平。數(shù)學(xué)期望描述的是隨機(jī)變量總體的一般水平。

2、定義定義2連續(xù)型隨機(jī)變量數(shù)學(xué)期望的定義連續(xù)型隨機(jī)變量數(shù)學(xué)期望的定義 Xxxx dxE xxx dxX 若若連連續(xù)續(xù)型型隨隨機(jī)機(jī)變變量量 有有分分布布密密度度函函數(shù)數(shù)，若若積積分分絕絕對(duì)對(duì)收收斂斂，則則稱稱為為 的的數(shù)數(shù)學(xué)學(xué)期期望望。 12121nniniiE xE XXppppxxxx 實(shí)實(shí)際際上上，是是隨隨機(jī)機(jī)變變量量 的的所所有有可可能能取取值值的的加加權(quán)權(quán)平平均均數(shù)數(shù)。期望的性質(zhì)期望的性質(zhì)（1如果如果a、b為常數(shù)，那么為常數(shù)，那么 E(aX+b)=aE(X)+b（2如果如果X、Y為兩個(gè)隨機(jī)變量，那么為兩個(gè)隨機(jī)變量，那么 E(X+Y)=E(X)+E(Y)（3如果如果g(x)和和f(x)分別

3、為分別為X的兩個(gè)函數(shù)，那么的兩個(gè)函數(shù)，那么 Eg(X)+f(X)=Eg(X)+Ef(X)（4如果如果X、Y是兩個(gè)獨(dú)立的隨機(jī)變量，那么是兩個(gè)獨(dú)立的隨機(jī)變量，那么 E(X.Y)=E(X).E(Y) 方差反映隨機(jī)變量的離散程度。方差反映隨機(jī)變量的離散程度。 對(duì)于隨機(jī)變量對(duì)于隨機(jī)變量X，若，若EX-EX2存在，則稱存在，則稱EX-EX2為隨機(jī)變量為隨機(jī)變量X的方差，記為的方差，記為D(X)或或Var(X)，即即D(X)=EX-EX2 稱為隨機(jī)變量稱為隨機(jī)變量X的均方差或標(biāo)準(zhǔn)差。的均方差或標(biāo)準(zhǔn)差。)()(XDX 方差方差由方差的定義可知，由方差的定義可知，D(X)0。 當(dāng)當(dāng)X為離散型隨機(jī)變量時(shí)，且分布律

4、為為離散型隨機(jī)變量時(shí)，且分布律為 P(X=xk)=pk，那么，那么12)()(kkkpXExXD當(dāng)當(dāng)X為連續(xù)型隨機(jī)變量時(shí)，且密度函數(shù)為為連續(xù)型隨機(jī)變量時(shí)，且密度函數(shù)為f(x)，那么，那么dxxfXEXXD)()()(2在實(shí)際計(jì)算中，通常使用如下公式在實(shí)際計(jì)算中，通常使用如下公式222)()(2)()(XEXXEXEXEXEXD22)()()(2)(XEXEXEXE22)()(XEXE即方差是即方差是“隨機(jī)變量平方的期望減去隨機(jī)變量期望的隨機(jī)變量平方的期望減去隨機(jī)變量期望的平方平方”。方差的性質(zhì)方差的性質(zhì)（a a、b b、c c為常數(shù)；為常數(shù)；x x、y y為隨機(jī)變量）為隨機(jī)變量）（1Var(c

5、 )=0（2Var(c+x)=Var(x )（3Var(cx)=c2Var(x)（4） Var(x-y)= Var(x )+Var(y )-2cov(x,y) Var(x+y)= Var(x )+Var(y )+2cov(x,y) 若若x，y獨(dú)立，那么：獨(dú)立，那么：Var(x+y)= Var(x )+Var(y )（5Var(a+bx)=b2Var(x)（6a,b為常數(shù)，為常數(shù)，x,y為兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，為兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，則則Var(ax+by)=a2Var(x)+b2Var(y)（7Var(x)=E(x2)-(E(x)2證明:22)()()(YXEYXEYXD)()()( 2)

6、(22222YEYEXEXEYXYXE)()(2)(2)()(YEXEXYEYDXD= D(x )+D(y ) +2cov(x,y)證明：D(x+y)= D(x )+D(y )+2cov(x,y) 協(xié)方差協(xié)方差 A.協(xié)方差定義協(xié)方差定義 隨機(jī)變量隨機(jī)變量X 和和Y，假設(shè)，假設(shè) X的期望的期望E(X)和和Y的期望的期望E(Y)存在存在, 則稱則稱COV(X, Y)=EXE(X)YE(Y).為為X與與Y的協(xié)方差的協(xié)方差, 易見易見 COV(X, Y)=E(XY）-E(X)E(Y). 12121(1)cov( , )var( )(2)cov( , )cov( , )(3)cov(,)cov( , )

7、(4)cov(, )cov(, )cov(, )(5)cov(,)cov( , )ababac bdab 協(xié)協(xié)方方差差的的性性質(zhì)質(zhì)：111221222111221222( , )() ()()()()() cccccEEcEEEcEEEcEE 的的協(xié)協(xié)方方差差矩矩陣陣：B.相關(guān)系數(shù)相關(guān)系數(shù) A. 定義定義 若隨機(jī)變量若隨機(jī)變量 X，Y的方差和協(xié)方的方差和協(xié)方差均存在差均存在, 且且DX0,DY0，那么，那么DYDX)Y,Xcov(XY 稱為稱為X與與Y的相關(guān)系數(shù)的相關(guān)系數(shù). B. 相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)相關(guān)系數(shù)的性質(zhì) (1) |XY|1； (2) |XY|=1存在常數(shù)存在常數(shù)a, b 使使PY= aX

8、+b=1； (3) X與與Y不相關(guān)不相關(guān) XY=0;（一統(tǒng)計(jì)量樣本均值、樣本方差、標(biāo)準(zhǔn)（一統(tǒng)計(jì)量樣本均值、樣本方差、標(biāo)準(zhǔn)差）差）（二抽樣分布（二抽樣分布 （正態(tài)分布、（正態(tài)分布、 、t分布、分布、 F分布）分布）（三幾個(gè)重要的抽樣分布定理（三幾個(gè)重要的抽樣分布定理幾個(gè)重要的抽樣分布幾個(gè)重要的抽樣分布分布2 由樣本值去推斷總體情況，需要對(duì)樣本由樣本值去推斷總體情況，需要對(duì)樣本值進(jìn)行值進(jìn)行“加工加工”，這就要構(gòu)造一些樣本的函，這就要構(gòu)造一些樣本的函數(shù)，它把樣本中所含的某一方面的信數(shù)，它把樣本中所含的某一方面的信息集中起來息集中起來. 這種不含任何未知參數(shù)的樣本的函數(shù)這種不含任何未知參數(shù)的樣本的函數(shù)

9、稱為統(tǒng)計(jì)量稱為統(tǒng)計(jì)量. 它是完全由樣本決定的量它是完全由樣本決定的量.（一統(tǒng)計(jì)量（一統(tǒng)計(jì)量 幾個(gè)常見統(tǒng)計(jì)量幾個(gè)常見統(tǒng)計(jì)量樣本均值：樣本均值：樣本方差：樣本方差：niiXnX11niiXXnS122)(11它反映了總體均值它反映了總體均值的信息的信息它反映了總體方差它反映了總體方差的信息的信息樣本標(biāo)準(zhǔn)差：樣本標(biāo)準(zhǔn)差：S 統(tǒng)計(jì)量既然是依賴于樣本的，統(tǒng)計(jì)量既然是依賴于樣本的，而后者又是隨機(jī)變量，故統(tǒng)計(jì)量而后者又是隨機(jī)變量，故統(tǒng)計(jì)量也是隨機(jī)變量，因而就有一定的也是隨機(jī)變量，因而就有一定的分布，這個(gè)分布叫做統(tǒng)計(jì)量的分布，這個(gè)分布叫做統(tǒng)計(jì)量的“抽樣分布抽樣分布” . （二抽樣分布（二抽樣分布幾種重要分布幾

10、種重要分布n正態(tài)分布含標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布）正態(tài)分布含標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布）n n t分布分布n F分布分布分布2 （1正態(tài)分布的定義：正態(tài)分布的定義：（2正態(tài)分布的數(shù)學(xué)期望和方差：正態(tài)分布的數(shù)學(xué)期望和方差：（3標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布：標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布： 2222102,xxxxxNe 若若連連續(xù)續(xù)型型隨隨機(jī)機(jī)變變量量 的的概概率率密密度度為為、 為為常常數(shù)數(shù)，則則稱稱 服服從從正正態(tài)態(tài)分分布布，簡(jiǎn)簡(jiǎn)記記為為。2,ExVarx 正正態(tài)態(tài)分分布布的的數(shù)數(shù)學(xué)學(xué)期期望望， 方方差差 222010,112xNxxe 當(dāng)當(dāng)，的的正正態(tài)態(tài)分分布布，稱稱為為標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)正正態(tài)態(tài)分分布布，記記作作。密密度度函函數(shù)數(shù)為為1.正態(tài)分布正態(tài)分布定理

11、：正態(tài)分布標(biāo)準(zhǔn)化定理：正態(tài)分布標(biāo)準(zhǔn)化 2X ,0,1XNZZN 如如果果且且，那那么么。根根據(jù)據(jù)以以上上定定理理，可可以以將將任任何何一一個(gè)個(gè)正正態(tài)態(tài)分分布布，化化為為標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)正正態(tài)態(tài)分分布布，即即將將其其標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)化化。定理：如果定理：如果XN0，1），則），則X2 X2 （1），），即服從具有即服從具有1個(gè)自由度的分布。個(gè)自由度的分布。XN(0,1),01 ,PXZPXZ 上上側(cè)側(cè)分分位位數(shù)數(shù)：設(shè)設(shè) 服服從從對(duì)對(duì)于于給給定定的的 （）滿滿足足的的 值值，稱稱為為標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)正正態(tài)態(tài)分分布布 水水平平上上上上側(cè)側(cè)分分位位數(shù)數(shù)，記記作作，這這時(shí)時(shí)有有Z分位數(shù)問題分位數(shù)問題2Z2Z222222XN(0

12、,1),01 ,P XZP XZPZXZ1 雙雙側(cè)側(cè)分分位位數(shù)數(shù)：設(shè)設(shè) 服服從從對(duì)對(duì)于于給給定定的的 （）滿滿足足的的 值值，稱稱為為標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)正正態(tài)態(tài)分分布布 水水平平上上雙雙側(cè)側(cè)分分位位數(shù)數(shù)，一一般般記記作作，這這時(shí)時(shí)有有即即：22n 記為記為2 分布分布2、定義定義: 設(shè)設(shè) 相互獨(dú)立相互獨(dú)立, 都服從標(biāo)準(zhǔn)都服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布正態(tài)分布N(0,1), 則稱隨機(jī)變量：則稱隨機(jī)變量： 所服從的分布為自由度為所服從的分布為自由度為 n 的的 分布分布.nXXX,21222212nXXX 22分布是由正態(tài)分布派生出來的一種分布分布是由正態(tài)分布派生出來的一種分布. .2由由 分布的定義，不難得到：分布的定

13、義，不難得到：),(2N1. 設(shè)設(shè) 相互獨(dú)立相互獨(dú)立, 都服從正態(tài)分布都服從正態(tài)分布nXXX,21那么那么22121nnXX,222121nnXX2. 設(shè)設(shè) 且且X1, X2相互獨(dú)立相互獨(dú)立，那么，那么這個(gè)性質(zhì)叫這個(gè)性質(zhì)叫 分布的可加性分布的可加性.2 X2分布的和仍然服從X2分布。 222211()( )niiXn22分布的分位數(shù)分布的分位數(shù)對(duì)于對(duì)于(0,1)(0,1)給定給定, ,稱滿足條件稱滿足條件: :的點(diǎn)的點(diǎn)n2(n2() )為為n2n2分布的上分布的上分位數(shù)。分位數(shù)。222()( )( )nnnPf x dx所服從的分布為自由度為所服從的分布為自由度為 n的的 t 分布分布. 定義

14、: 設(shè)XN(0,1) , Y , 且X與Y相互獨(dú)立，則稱變量2n3、t 分布分布記為記為T T . .nt當(dāng)當(dāng)n充分大時(shí)，其圖形類似于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分充分大時(shí)，其圖形類似于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布密度函數(shù)的圖形布密度函數(shù)的圖形. XTY n Ttn,對(duì)于(0,1)給定,稱滿足條件: t t分布的分位數(shù)分布的分位數(shù)的點(diǎn)tn()為t分布的上分位數(shù)。 )()()(ntndttftTP4、F分布分布,2221nnYX定義定義: 設(shè)設(shè) X與與Y相互獨(dú)相互獨(dú)立，則稱統(tǒng)計(jì)量立，則稱統(tǒng)計(jì)量服從自由度為服從自由度為n1及及 n2 的的F分布，分布，n1稱為稱為第一自由度，第一自由度，n2稱為第二自由度，記作稱為第二自由度，記作

15、F .21,nnF由定義可見，由定義可見，121nXnYF12,nnF12X nFY n FFm,n,對(duì)于(0,1)給定,稱滿足條件:F F分布的分位數(shù)分布的分位數(shù) 的點(diǎn)Fm,n()為F分布的上分位數(shù)。 )(,)()(nmFnmdxxfFFP定理定理 1 (樣本均值的分布樣本均值的分布)：定理定理 2 (樣本方差的分布樣本方差的分布)：定理定理 3 （三幾個(gè)重要的抽樣分布定理（三幾個(gè)重要的抽樣分布定理2212(1)nnS ),(2nNX 1nXtSn 定理定理 1 (樣本均值的分布樣本均值的分布)設(shè)設(shè)X1,X2,Xn是取自正態(tài)總體是取自正態(tài)總體),(2 N的樣本，則有的樣本，則有),(2nNX

16、 ) 1 , 0( NnX n取不同值時(shí)樣本均值取不同值時(shí)樣本均值 的分布的分布X 定理定理 2 (樣本方差的分布樣本方差的分布)2212(1)nnS設(shè)設(shè)X1,X2,Xn是取自正態(tài)總體是取自正態(tài)總體),(2 N的樣本的樣本,2SX和分別為樣本均值和樣本方差分別為樣本均值和樣本方差,則有則有 定理定理 3 設(shè)設(shè)X1,X2,Xn是取自正態(tài)總體是取自正態(tài)總體),(2 N的樣本的樣本,2SX和分別為樣本均值和樣本方差分別為樣本均值和樣本方差,則有則有1nXtSn 小結(jié)一、概念：隨機(jī)變量，總體，樣一、概念：隨機(jī)變量，總體，樣本本二、二、 統(tǒng)計(jì)量及其分布統(tǒng)計(jì)量及其分布 1. 幾個(gè)常見統(tǒng)計(jì)量幾個(gè)常見統(tǒng)計(jì)量

17、2. 統(tǒng)計(jì)四大分布統(tǒng)計(jì)四大分布 樣本均值樣本均值, 樣本方差樣本方差2 分布分布, ,t 分布分布, F分布分布正態(tài)分布，正態(tài)分布， 3. 抽樣分布定抽樣分布定理理 ),( )1(2nNX (0,1)XNn2122)1()2( nSn 1(3) nXtSn設(shè)設(shè)X1,X2,Xn是取自正態(tài)總體是取自正態(tài)總體),(2 N的樣本的樣本, 那那么么注意把握各種分布之間的聯(lián)系注意把握各種分布之間的聯(lián)系1. 一般正態(tài)分布與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的關(guān)系一般正態(tài)分布與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的關(guān)系 如果如果XN（，2），那么），那么X- ）/ N0，1）2. 標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布與X2分布之間的關(guān)系分布之間的關(guān)系 如果如果XN

18、0，1），則），則X2 X2 （1），即服從），即服從具有具有1個(gè)自由度的分布。個(gè)自由度的分布。3. 標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布與t分布之間的關(guān)系分布之間的關(guān)系 20,1/4.8NnTntTt nn 設(shè)設(shè)兩兩個(gè)個(gè)隨隨機(jī)機(jī)變變量量和和相相互互獨(dú)獨(dú)立立，且且，則則服服從從具具有有 個(gè)個(gè)自自由由度度的的 分分布布，即即定定理理。4. 標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布分布與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布分布與F分布之間的關(guān)系分布之間的關(guān)系5.關(guān)于正態(tài)分布的和關(guān)于正態(tài)分布的和 1122211212/21212/212 ,4,.9nFFFnFnnn nn nnn 設(shè)設(shè)兩兩個(gè)個(gè)隨隨機(jī)機(jī)變變量量和和相相互互獨(dú)獨(dú)立立，且且，則則有有。其其中中表表示示第第一一自自由由度度為為定定第第二二自自由由度度為為的的理理分分布布. . 2112211 ,04.10niiiniiiinniiiiiiNEVarxx