專(zhuān)題五立體幾何.doc

1、專(zhuān)題五立體幾何第三講空間向量與立體幾何一、選擇題1以下命題中，不正確的命題個(gè)數(shù)為()A 0B1C2D3解析： 由向量的和運(yùn)算知正確a， b， c 為空間一個(gè)基底，則a， b， c 為兩兩不共線的非零向量不妨假設(shè)a b x(b c)y( ca)，即 (1 y)a (1 x)b (x y)c 0.1 x 0a、 b、 c 兩兩不共線，1 y 0，x y 0不存在實(shí)數(shù)x、 y 使假設(shè)成立，故正確中若加入x y z1 則結(jié)論正確，故錯(cuò)誤答案： B2在正方體ABCD A1B1C1D1 中，給出以下向量表達(dá)式：答案： ADBC 是銳角同理可證DCB ，BDC 都是銳角BCD 是銳角三角形答案： B24如圖

2、所示，在正方體 ABCD A1B1C1D 1 中 E、 F 分別在A1D、 AC 上，且 A1E3A1D，1AF 3AC，則()A EF 至多與 A D、 AC 之一垂直1B EF 是 A1D 、AC 的公垂線C EF 與 BD1 相交D EF 與 BD1 異面解析： 設(shè) AB 1，以 D 為原點(diǎn)， DA 所在直線為 x 軸， DC 所在直線為 y 軸， DD1所在直線為 z 軸建立空間直角坐標(biāo)系則A (1,0,1) ，111D (0,0,0) ，A(1,0,0) ， C(0,1,0)， E 3， 0， 3 ，答案： D5.(2010 山東煙臺(tái) )二面角的棱上有A、B 兩點(diǎn)，直線AC、BD 分

3、別在這個(gè)二面角的兩個(gè)半平面內(nèi)，且都垂直于AB.已知 AB 4， AC 6， BD 8，CD 217，則該二面角的大小為()A.150 B 45C 60D 120答案： C二、填空題答案： 3a 3b 5c7.如圖，在直三棱柱ABC A1B1C1 中， ACB 90， AA1 2， AC BC 1，則異面直線A1B 與 AC 所成角的余弦值是_ ,解析： 以 C 為坐標(biāo)原點(diǎn)， CA 、CB 、CC1 所在直線分別為x、y、z 軸建立空間直角坐標(biāo)系，A1 (1,0,2)，B(0,1，0)，A(1,0,0) ，C(0,0,0) ，,8.設(shè) M、N 是直角梯形ABCD 兩腰的中點(diǎn)， DE AB 于 E

4、(如圖 )現(xiàn)將 ADE 沿 DE 折起，使二面角A DE B 為 45，此時(shí)點(diǎn)A 在平面 BCDE 內(nèi)的射影恰為點(diǎn)B，則的連線與AE 所在角的大小等于_答案： 90M、 N9.如圖所示，在正方體ABCD A1B1C1D 1 中，棱長(zhǎng)為a， M，N 分別為 A1B 和 AC 上的點(diǎn)，A1 MAN2a，則 MN 與平面 BB 1C1C 的位置關(guān)系是 _,解析： 分別以 C1 B1、3C D， C C 所在直線為 x， y， z 軸，建立空間直角坐標(biāo)系 ,11122 aA1M AN3 a， ,M a，3a，3，22N 3a，3a， a ，答案： 平行三、解答題10.如圖，在直四棱柱ABCD A1B1

5、C1D1 中， AB AD2， DC 23， AA13， AD DC， AC BD ， E 為垂足(1) 求證： BD A1C；(2) 求二面角 A1 BD C1 的大??；(3) 求異面直線 AD 與 BC1 所成角的余弦解： (1)在直四棱柱 ABCD A1B1 C1D 1 中， A1A底面 ABCD ， AC 是 A1C 在平面 ABCD 上的射影 BD AC， BD A1C.(2) 如圖所示，以D 為坐標(biāo)原點(diǎn)， DA 、 DC 、DD 1 所在的直線分別為x 軸、 y 軸、 z 軸建立空間直角坐標(biāo)系連結(jié) A1E、 C1E、 A1C1，與 (1)同理可證BD A1E， BD C1E. A1

6、EC1 為二面角A1BD C1 的平面角，由 A1，1(0,23，3，3，0 ，(2,03)， C3)，E 2211(2010 東，山19)如圖，在五棱錐 P ABCDE 中，PA平面 ABCDE ，AB CD ，AC ED ， AE BC ， ABC 45，AB 2 2， BC 2AE 4，三角形 PAB 是等腰三角形(1) 求證：平面 PCD平面 PAC ；(2) 求直線 PB 與平面 PCD 所成角的大?。?3) 求四棱錐 P ACDE 的體積解： (1)證明：在 ABC 中，因?yàn)?ABC 45， BC 4，AB 22，所以 AC 2 AB 2 BC2 2ABBCcos45 8，因此 A

7、C 22.故 BC2 AC 2 AB 2，所以 BAC 90.又 PA平面 ABCDE ， AB CD ，所以 CD PA， CD AC.又 PA、AC ? 平面 PAC，且 PA AC A ，所以 CD 平面 PAC，又 CD ? 平面 PCD，所以平面 PCD平面 PAC.(2) 解法一： 因?yàn)?PAB 是等腰三角形，所以PA AB 22，因此 PBPA2AB 24.又 AB CD.所以點(diǎn) B 到平面 PCD 的距離等于點(diǎn)A 到平面 PCD 的距離由于 CD 平面 PAC，在 Rt PAC 中， PA 22， AC 22，所以 PC4.故 PC 邊上的高為 2，此即為點(diǎn) A 到平面 PCD

8、 的距離所以 B 到平面 PCD 的距離為 h 2.設(shè)直線 PB 與平面 PCD 所成的角為 ，則 sin h21，又 0，2，所以 .PB426解法二： 由 (1)知 AB 、 AC 、 AP 兩兩相互垂直，分別以AB 、 AC 、AP 為 x 軸、 y 軸、z 軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，由于 PAB 是等腰三角形， 所以 PAAB 22，又 AC 2 2，因此 A(0,0,0) ， B(22， 0,0)，C(0,2 2， 0)， P(0，0,2 2)，因?yàn)?AC ED ， CD AC ，所以四邊形 ACDE 是直角梯形因?yàn)?AE 2， ABC 45， AE BC，所以 BAE 135

9、，因此 CAE 45，2故 CD AEsin 45 22 2，所以 D( 2，22， 0)2，22， 0,0)因?yàn)?CP (0， 22)，CD (設(shè) m= （ x， y， z）是平面PCD 的一個(gè)法向量，則mCP 0， mCD 0，解得 x 0，y z，取 y=1 ，得 m= （ 0，1，2，0,22)，1），又 BP (2設(shè) 表示向量 BP與平面 PCD 的法向量m 所成的角，因此直線PB 與平面 PCD 所成的角為(3) 因?yàn)?AC ED ， CD AC，所以四邊形 ACDE 是直角梯形因?yàn)?AE 2， ABC 45， AE BC，所以 BAE 135，因此 CAE 45，故 CD AEs

10、in 45 2 222，ED AC AEcos 45 22 222，2所以 S 四邊形 ACDE 2 22 23.2PA平面 ABCDE . VP ACDE 13 3 22 22.12 (2010建福 )如圖圓柱OO 1 內(nèi)有一個(gè)三棱柱ABC A1B1C1，棱柱的底面為圓柱底面的內(nèi)接三角形，且AB 是圓O 的直徑(1) 證明：平面 A1ACC1平面 B1BCC1；(2) 設(shè) AB AA1.在圓柱 OO 1 內(nèi)隨機(jī)選取一點(diǎn)，記該點(diǎn)取自于三棱柱ABC A1 B1C1 內(nèi)的概率為p.( )當(dāng)點(diǎn) C 在圓周上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求p 的最大值；( )記平面 A1ACC1 與平面 B1OC 所成的角為(0 90)當(dāng)

11、 p 取最大值時(shí)，求cos的值解：解法一：(1) 證明： A1A平面 ABC，BC? 平面 ABC， A1A BC. AB 是圓 O 的直徑， BCAC .又 AC A1 A A， BC平面 A1ACC1.而 BC? 平面 B1BCC1，所以平面 A1ACC 1平面 B1BCC1.(2)( )設(shè)圓柱的底面半徑為 r ，則 AB AA12r ，故三棱柱 ABC A1B1C1 的體積 V11 2ACBC2r ACBCr.又 AC2 BC2 AB2 4r 2， ACBC AC2BC22r 2，2當(dāng)且僅當(dāng) AC BC2r 時(shí)等號(hào)成立從而， V1 2r3.而圓柱的體積V r22r2r3，故 pV12r3

12、1，當(dāng)且僅當(dāng) AC BC2r ，即V32rOC AB 時(shí)等號(hào)成立所以，1p 的最大值等于 .( )由 ( )可知， p 取最大值時(shí)， OC AB.于是，以O(shè) 為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系O xyz(如圖 )，則 C(r,0,0)， B(0， r,0)，B1(0， r ， 2r ) BC平面 A1ACC1， BC (r ， r,0)是平面 A1ACC1 的一個(gè)法向量設(shè)平面 B1OC 的法向量n (x， y， z)，取 z 1，得平面B1OC 的一個(gè)法向量為n (0， 2,1)解法二： (1) 同解法一(2 )( )設(shè)圓柱的底面半徑為r ，則 AB AA1 2r ，故三棱柱ABC A1B1C1 的體積 V11 2ACBC2r ACBCr.設(shè) BAC(0 90)，則 AC ABcos 2rcos ， BC ABsin 2rsin ，由于ACBC 4r 2sin cos 2r2sin 2 2r2，當(dāng)且僅當(dāng)sin 2 1 即 45時(shí)等號(hào)成立故V1 2r 3.而圓柱的體積V r22r 2r3，故 p V1 2r31，當(dāng)且僅當(dāng) sin 2 1 即 3V2r 45時(shí)等號(hào)成立所以，