《數(shù)學(xué)方法論》數(shù)學(xué)模型方法

1、數(shù)學(xué)方法論教案第三章 數(shù)學(xué)模型方法在現(xiàn)代社會(huì)，隨著數(shù)學(xué)和科學(xué)技術(shù)的飛速發(fā)展，以及電子計(jì)算機(jī)的廣泛使用，科學(xué)技術(shù)數(shù)學(xué)化的進(jìn)程正日益加速。任何科學(xué)技術(shù)要實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)化，都必須首先把研究對(duì)象用數(shù)學(xué)語(yǔ)言和方法表述為具有一定的數(shù)學(xué)體系，也就是說建立有關(guān)研究對(duì)象的數(shù)學(xué)模型，這是科學(xué)技術(shù)數(shù)學(xué)化的關(guān)鍵。從歷史上來(lái)看，一些傳統(tǒng)的自然科學(xué)學(xué)科，如力學(xué)、物理學(xué)，是比較容易建立數(shù)學(xué)模型的，原因是這些學(xué)科其對(duì)象的各因子之間的界限比較分明，對(duì)它們進(jìn)行量的測(cè)定也較為簡(jiǎn)便。但是在其他一些學(xué)科，如生物學(xué)、社會(huì)學(xué)科和人文科學(xué)，就不太容易建立數(shù)學(xué)模型。不過這種情況，由于數(shù)學(xué)本身的充分發(fā)展，尤其是現(xiàn)代數(shù)學(xué)向高維、高次、多變量的推進(jìn)，應(yīng)用

2、數(shù)學(xué)和模糊數(shù)學(xué)的建立，統(tǒng)計(jì)方法的廣泛運(yùn)用，計(jì)算工具的進(jìn)步。特別是運(yùn)算能力以數(shù)量級(jí)速度飛躍提高；再加上系統(tǒng)科學(xué)的發(fā)展以及各門科學(xué)技術(shù)自身的深入研究使得數(shù)學(xué)建模越出了自然科學(xué)、工程建設(shè)等傳統(tǒng)領(lǐng)域，迅速地向經(jīng)濟(jì)、管理、社會(huì)等領(lǐng)域擴(kuò)展，成為一種解決問題的強(qiáng)有力的數(shù)學(xué)方法。我們可以這樣說，沒有不需使用數(shù)學(xué)的科學(xué)，只有尚未使用數(shù)學(xué)的科學(xué)。一切科學(xué)只有在成功地運(yùn)用數(shù)學(xué)時(shí)，才算達(dá)到了真正完善的地步。數(shù)學(xué)模型方法越來(lái)越受到人們的重視，同時(shí)也引起了國(guó)際數(shù)學(xué)教育界的高度重視。這是因?yàn)椋旱谝唬S著科學(xué)技術(shù)向更高層次發(fā)展，要求人們解決各類實(shí)際問題更加精確化和定量化，而數(shù)學(xué)建模正是從定性和定量的角度去分析和解決實(shí)際問題；

3、第二，計(jì)算技術(shù)的日新月異，高速、大型計(jì)算機(jī)的驚人發(fā)展，便得過去即使有了數(shù)學(xué)模型也無(wú)法求解的問題迎刃而解；第三，21世紀(jì)，我們面臨最大的挑戰(zhàn)是人才的培養(yǎng)問題，教育的根本任務(wù)是提高人的基本素質(zhì)，而數(shù)學(xué)建模在培養(yǎng)學(xué)生分析問題和解決問題的能力、創(chuàng)新的思維能力等方面起到很好的作用。3.1 數(shù)學(xué)模型的意義所謂數(shù)學(xué)模型（mathematical model），就是用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言和方法對(duì)各種實(shí)際對(duì)象作出抽象或模仿而形成的一種數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。建立數(shù)學(xué)模型的過程叫做數(shù)學(xué)建模（mathematical modelling）。將所考察的實(shí)際問題，化為數(shù)學(xué)問題，構(gòu)造出相應(yīng)數(shù)學(xué)模型，通過對(duì)數(shù)學(xué)模型的研究和解答，使原來(lái)的實(shí)際問題得

4、以解決，這種解決問題的方法叫做數(shù)學(xué)模型方法。在許多場(chǎng)合下，數(shù)學(xué)建模與數(shù)學(xué)模型方法是作為同義詞運(yùn)用的。數(shù)學(xué)模型是通過抽象和簡(jiǎn)化，使用數(shù)學(xué)語(yǔ)言對(duì)實(shí)際問題的一個(gè)近似的刻畫，以便于人們更深刻地認(rèn)識(shí)所研究的對(duì)象。因此它不能等同于實(shí)際對(duì)象本身，它必須舍棄實(shí)際對(duì)象的質(zhì)的規(guī)定性，而是從量的關(guān)系上對(duì)實(shí)際對(duì)象作形式化的描述和刻畫，在這一過程中常常略去實(shí)際對(duì)象的某些次要性質(zhì)和因素，抓住其主要性質(zhì)和因素。因此數(shù)學(xué)模型雖然能從某些數(shù)量關(guān)系上反映實(shí)際對(duì)象的原形，但這種反映僅僅是一種近似和模擬。然而，正是由于用與之相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型去代替實(shí)際對(duì)象，才有可能把所研究的問題表達(dá)為數(shù)學(xué)問題，并使用與對(duì)象的質(zhì)的規(guī)定性無(wú)關(guān)的數(shù)學(xué)工具去分

5、析和處理問題，才能充分發(fā)揮數(shù)學(xué)工具在解決問題時(shí)的巨大作用。使我們能夠深化對(duì)所研究的實(shí)際問題的認(rèn)識(shí)。例如力學(xué)中著名的牛頓第二定律就是描述受力物體的運(yùn)動(dòng)規(guī)律的一個(gè)成功的數(shù)學(xué)模型。其中x(t)表示運(yùn)動(dòng)物體在時(shí)刻t的位置，m為物體的質(zhì)量，而F表示運(yùn)動(dòng)期間物體所受的外力。模型忽略了物體的形狀和大小，由于它抓住了物體受力運(yùn)動(dòng)的主要因素，這一定律的出現(xiàn)大大深化了力與物體運(yùn)動(dòng)規(guī)律的研究工作。又如1.3中的“哥尼斯堡七橋問題”，歐拉成功解決這一問題的精彩之處在于他構(gòu)造了一個(gè)僅由點(diǎn)、線組成的簡(jiǎn)單圖形，歐拉使用的就是典型的數(shù)學(xué)模型方法，圖1.2就是實(shí)際的哥尼斯堡七橋問題的一個(gè)數(shù)學(xué)模型。歐拉在構(gòu)造這一數(shù)學(xué)模型時(shí)，舍棄

6、了那些非本質(zhì)的因素（例如，兩岸的長(zhǎng)短，兩島的大小，橋面的寬窄以及岸、島、橋 的形狀等），抓住了問題的本質(zhì)，把岸、島、橋抽象為點(diǎn)和線，而這些點(diǎn)和線的連接關(guān)系準(zhǔn)確地反映了實(shí)際問題的本質(zhì)，正因?yàn)檫@一點(diǎn)，使得我們對(duì)數(shù)學(xué)模型分析求解所得的答案返回到實(shí)際問題中去的時(shí)候保證是有效的。歐拉解決哥尼斯堡七橋問題不只是解決了一個(gè)具體問題，他的方法具有極為重要的意義，這是一件具有開創(chuàng)意義的工作。七橋問題作為一個(gè)一筆畫問題，實(shí)際上是典型的拓?fù)鋵W(xué)問題，它不考慮度量性質(zhì)，而只考慮在拓?fù)渥儞Q下的不變性質(zhì)，即不管圖形的壓縮或延伸，只管點(diǎn)與點(diǎn)的位置關(guān)系。歐拉在1751年還證明了另一定理：任何一個(gè)閉凸多面體的頂點(diǎn)數(shù)、棱數(shù)和面數(shù)之

7、間有如下關(guān)系：這一定理連同七橋問題的解決（在一般意義下），這是組合拓?fù)鋵W(xué)最早的兩項(xiàng)重要成果。因此，歐拉為拓?fù)鋵W(xué)的建立做了開創(chuàng)性工作。上述的例子，足以說明數(shù)學(xué)模型方法的巨大意義，在這里我們還需要指出的是，數(shù)學(xué)模型能夠在研究中代替實(shí)際對(duì)象，它就必須與所反映的原形具有近似性和一致性，并且能夠把通過分析模型所得到的規(guī)律和結(jié)論返回到原型中去應(yīng)用和檢驗(yàn)，如果由數(shù)學(xué)模型得到的結(jié)論不合原型的實(shí)際，就需要調(diào)整或重新建立數(shù)學(xué)模型。3.2 數(shù)學(xué)模型的類型建立數(shù)學(xué)模型，會(huì)涉及到許多數(shù)學(xué)分支。一個(gè)問題，往往可以利用不同方法建立不同的模型。數(shù)學(xué)模型可以按照問題本身所處的領(lǐng)域和解決問題的方法，以及按照人們的各種不同意愿有各

8、種不同的分類方式。但作為數(shù)學(xué)領(lǐng)域來(lái)說，數(shù)學(xué)模型大體可分為三類：第一類是確定性數(shù)學(xué)模型。這類模型所反映的實(shí)體對(duì)象（或稱現(xiàn)實(shí)原型）具有確定性或固定性，這里所反映的是一種必然現(xiàn)象，反映的是因果律。這類模型的數(shù)學(xué)形式可以是各種各樣的方程式、關(guān)系式（包括邏輯關(guān)系式）、網(wǎng)絡(luò)圖等等。這種模型方法實(shí)際上是經(jīng)典的數(shù)學(xué)方法。第二類是隨機(jī)性數(shù)學(xué)模型。這類模型是處理大數(shù)現(xiàn)象的，它所反映的實(shí)體對(duì)象具有隨機(jī)性或或然性，它反映的是機(jī)遇律（與因果律相別）。這種模型使用的數(shù)學(xué)工具是概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)中的各種概念與方法，也包括隨機(jī)過程論、隨機(jī)微分方程式論等。第三類是模糊性數(shù)學(xué)模型。當(dāng)涉及人類系統(tǒng)的行為或處理與人類系統(tǒng)行為可相比擬的

9、復(fù)雜系統(tǒng)時(shí)，確定性、隨機(jī)性數(shù)學(xué)模型不再是十分有效的。例如，在研究用電子計(jì)算機(jī)如何去模擬人腦并代替人去執(zhí)行一些任務(wù)（如識(shí)別圖像等）時(shí)，就需要把人們常用的模糊語(yǔ)言如“個(gè)子不高”、“比較年輕”、“胖胖的”等等設(shè)計(jì)成機(jī)器能接受的指令和程序（機(jī)器“語(yǔ)言”），以便機(jī)器能象人腦那樣簡(jiǎn)捷靈活地作出相應(yīng)的判斷，從而提高機(jī)器自動(dòng)識(shí)別和控制模糊現(xiàn)象的效率。這就需要建立模糊性的數(shù)學(xué)模型，其實(shí)體對(duì)象及其關(guān)系均具有模糊性。這類模型使用的基本數(shù)學(xué)工具是1965年美國(guó)數(shù)學(xué)家查德提出的模糊集合和模糊邏輯。下面我們就三類數(shù)學(xué)模型分別列舉實(shí)例?？紤]鈾的衰變。問題是：現(xiàn)在鈾的質(zhì)量為，經(jīng)過多長(zhǎng)時(shí)間之后衰減到只剩一半？如何構(gòu)成這一實(shí)際問

10、題的數(shù)學(xué)模型并通過對(duì)模型的數(shù)學(xué)加工（演算和推理）來(lái)最后解答問題？首先，實(shí)際上還是由觀察（或測(cè)定）入手的，要先弄清楚衰變有沒有一定的規(guī)律。這里，實(shí)際的觀測(cè)告訴我們，當(dāng)鈾的質(zhì)量越大時(shí)，其衰減的速度越大；反之，質(zhì)量越小其衰減的速度較小，而且呈現(xiàn)線性關(guān)系。這表明這個(gè)問題屬于確定性類型，因此必定由經(jīng)典的數(shù)學(xué)模型方法解決。用表示時(shí)間，表示鈾在時(shí)刻的質(zhì)量。和這些符號(hào)實(shí)際上也就是時(shí)間、質(zhì)量這些物理量的數(shù)學(xué)模型。而我們要求的是整個(gè)問題的數(shù)學(xué)模型。由微積分知識(shí)即知， 表示鈾的變化速度，那么，表達(dá)上述確定關(guān)系的是以下微分方程式0）于是，整個(gè)問題就是以下微分方程的初值問題的求解：這就是所要求的教學(xué)模型。下一步就是對(duì)此

11、模型的數(shù)學(xué)處理，在此是求解，我們知道，這個(gè)初值問題的解是最終要回答“何時(shí)衰減到只剩一半？”這個(gè)問題實(shí)際上是由另一個(gè)模型來(lái)刻劃的：這是一個(gè)簡(jiǎn)單的函數(shù)方程，其解為，即經(jīng)過這段時(shí)間之后鈾衰減一半。很明顯，若經(jīng)過之后鈾便衰減到只剩三分之一。對(duì)數(shù)學(xué)模型的這些分析工作，提供了一系列新的信息。一個(gè)好的數(shù)學(xué)模型就在于它不僅準(zhǔn)確地刻劃了實(shí)體對(duì)象，而且能由它進(jìn)一步得到許多新的信息。概率論中的各種分布分別是一些相應(yīng)的隨機(jī)現(xiàn)象的數(shù)學(xué)模型。舉例如下：在同一生產(chǎn)條件下制造的電燈泡，其使用時(shí)數(shù)隨著燈泡的不同而不同，比如說，有的可用1200小時(shí)，有的可用1280小時(shí)等等，因此是一個(gè)變量。然而這個(gè)變量是隨機(jī)的。我們要從隨機(jī)性中

12、也找出規(guī)律（這種規(guī)律只是或然律，而區(qū)別于具有必然性的因果律）。實(shí)踐證明，在生產(chǎn)條件固定不變的情況下，使用時(shí)數(shù)特別長(zhǎng)的燈泡和特別短的燈泡都是少數(shù)，即呈現(xiàn)出“中間大、兩頭小”的形態(tài)。一般說來(lái)，在生產(chǎn)條件不變的前提下，許多產(chǎn)品的某些量度（如磚的抗壓強(qiáng)度、細(xì)紗的強(qiáng)力、螺絲的口徑等等），都呈現(xiàn)出這種形態(tài)。這種情況在許多自然科學(xué)中也出現(xiàn)。如熱力學(xué)中理想氣體分子的速度分量、射擊時(shí)命中位置的偏差、物理學(xué)中測(cè)量同一物體的測(cè)量誤差、生物學(xué)中對(duì)同一種生物機(jī)體的某一量度（如身高、體重）的測(cè)量等等。這些量都有一個(gè)共同特點(diǎn)，它們可以視為許多獨(dú)立的隨機(jī)因素影響的結(jié)果，而每一種隨機(jī)因素的作用都是微小的，都不起決定性的主導(dǎo)作用

13、。例如燈泡的使用時(shí)數(shù)受著原料、工藝、保管條件等因素的影響，而每種影響在正常情況下都不起主導(dǎo)作用?？虅澾@一類現(xiàn)象的數(shù)學(xué)模型就是所謂正態(tài)分布，的分布密度為 有了這一模型可以有效地解決許多問題。例1，某單位有200臺(tái)電話分機(jī)，根據(jù)實(shí)際使用情況統(tǒng)計(jì)，在上班時(shí)間內(nèi)，每個(gè)分機(jī)平均有5%的時(shí)間要使用外線通話。設(shè)各分機(jī)是否使用外線是彼此不相關(guān)的。問總機(jī)至少要裝多少條外線才能以90%的概率保證各分機(jī)在要使用外線時(shí)不被占線？此時(shí)，每個(gè)分機(jī)是否使用外線是一次獨(dú)立試驗(yàn)，而且只有使用與不使用兩種結(jié)果。因此屬于貝努利概型，刻劃它的應(yīng)該是二項(xiàng)式分布，故其中p=0.05,q=0.95.我們的目的要求出滿足不等式的最小正數(shù)m。

14、可以證明，當(dāng)n很大時(shí)可用正態(tài)分布來(lái)近似計(jì)算。令 =1,2,200 顯然所以 其中 由于 故所要求的從以下不等式解出： 由正態(tài)分布表查出 因此由 得14.故得答案：總機(jī)應(yīng)至少裝14條外線才能以90%的概率保證分機(jī)要使用外線時(shí)不被占線。例2 服裝的綜合評(píng)判模型。對(duì)商店里出售的服裝，顧客往往要從衣服的幾個(gè)方面進(jìn)行評(píng)價(jià)。設(shè)因素集 評(píng)價(jià)集 對(duì)花色式樣這個(gè)因素，經(jīng)過市場(chǎng)調(diào)查，有20%的顧客對(duì)某類服裝很歡迎，70%的顧客表示較歡迎，10%的表示不太歡迎，沒有人表示不歡迎，由此可得出的單因素評(píng)判向量同樣對(duì)因素,分別作單因素評(píng)判，得到對(duì)耐穿程度、價(jià)格費(fèi)用的單因素評(píng)判向量 于是構(gòu)成一個(gè)單因素評(píng)判矩陣 各種顧客由于

15、性別、年齡、職業(yè)和經(jīng)濟(jì)條件的不同，對(duì)服裝的三個(gè)因素所賦予的權(quán)重也不相同，假設(shè)某類顧客對(duì)因素集的權(quán)重確定如下：花色式樣 0.5耐穿程度 0.2價(jià)格費(fèi)用 0.3此時(shí)對(duì)重分配向量為 =(0.5,0.2,0.3)當(dāng)合成運(yùn)算“ ”取為“-”(即“最大最小”)時(shí)， 這里T是矩陣轉(zhuǎn)置運(yùn)算， 進(jìn)一步將評(píng)判結(jié)果歸一化 0.2+0.5+0.3+0.1=1.1用1.1除各項(xiàng)得 (0.182 0.455 0.272 0.091)從最后的結(jié)果知，該類服裝顧客很歡迎的占18.2%，比較歡迎的占45.5%，不太歡迎的占27.2%，不歡迎的9.1%，生產(chǎn)廠家和商店可根據(jù)這個(gè)結(jié)果來(lái)決定生產(chǎn)或進(jìn)貨銷售。3.3 數(shù)學(xué)模型的構(gòu)造 數(shù)

16、學(xué)建模的方法大體上可分為兩大類，一類是機(jī)理分析法，一類是測(cè)試分析法。所謂機(jī)理分析法就是根據(jù)實(shí)際問題的特性，找出反映內(nèi)部機(jī)理規(guī)律的變量以及它們之間的關(guān)系和類型，用教學(xué)結(jié)構(gòu)的式子表示出來(lái)。如果實(shí)際問題中變量之間的關(guān)系是確定性變量，則建模時(shí)所用的數(shù)量工具多數(shù)是微積分、微分方程、運(yùn)籌學(xué)等；如果實(shí)際問題中變量之間的關(guān)系是隨機(jī)性變量，則建模時(shí)多數(shù)用概率、統(tǒng)計(jì)以及與它們有關(guān)的一些數(shù)學(xué)方法。所謂測(cè)試分析法就是將研究對(duì)象視為一個(gè)“黑箱”系統(tǒng)，內(nèi)部機(jī)理無(wú)法直接尋求，找不到反映實(shí)際問題的變量之間的關(guān)系，只是可以測(cè)量出輸入與輸出的數(shù)據(jù)，并在多次測(cè)量的數(shù)據(jù)基礎(chǔ)上運(yùn)用統(tǒng)計(jì)分析法，按照事先確定的標(biāo)準(zhǔn)在某一類模型中選出一個(gè)與

17、數(shù)據(jù)擬合得最好的模型。將這兩種方法結(jié)合起來(lái)也是常用建模方法，即用機(jī)理分析法建立模型的結(jié)構(gòu)，用測(cè)試分析法確定模型的參數(shù)。建立數(shù)學(xué)模型是一項(xiàng)創(chuàng)造性的勞動(dòng)，不管用什么方法，都必須根據(jù)具體問題具體分析的原則，靈活機(jī)動(dòng)，不斷修正，但一般都要經(jīng)過以下步驟：模型準(zhǔn)備 對(duì)于要解決解決的實(shí)際問題，必需搜集和掌握一定數(shù)量的信息（數(shù)據(jù)、圖表及與其他事物的關(guān)系等），由此了解問題的背景，確定目的要求，因此，常常需要進(jìn)行大量的統(tǒng)計(jì)工作和調(diào)查研究。模型假設(shè) 根據(jù)所掌握的信息和背景材料及建模的目的要求，對(duì)問題進(jìn)行必要的、合理的簡(jiǎn)化，用精確的語(yǔ)言作出假設(shè)，簡(jiǎn)化和假設(shè)都要適度，不同的簡(jiǎn)化和假設(shè)導(dǎo)致不同的數(shù)學(xué)模型，從而得出對(duì)具體問

18、題的不同解答。此外，若假設(shè)不合理或未能反映必要的因素，則模型與實(shí)際情況不吻合，或僅部分吻合，在這種情況下，就要修改假設(shè)，所以，合理的假設(shè)是建立模型最關(guān)鍵的一步。模型構(gòu)成 根據(jù)所作的假設(shè)，分析研究對(duì)象的因果關(guān)系，利用對(duì)象的內(nèi)在規(guī)律和適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)工具，構(gòu)造各個(gè)量之間數(shù)學(xué)關(guān)系或其他數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，構(gòu)建實(shí)際問題的數(shù)學(xué)模型。為了使所建立的數(shù)學(xué)模型為更多人所了解和運(yùn)用，應(yīng)該盡可能使用較簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)工具。建立的模型要實(shí)用，有效，以解決問題有效為原則。模型求解 不同的模型用不同的方法求解，例如解方程、畫圖形、邏輯推理、數(shù)值計(jì)算等方法，特別要用計(jì)算機(jī)技術(shù)為模型求解服務(wù)。在模型求解過程中，需要建立數(shù)學(xué)命題時(shí)，命題敘述要符合

19、數(shù)學(xué)命題的表述規(guī)范，盡可能論證嚴(yán)密。計(jì)算過程中，需要說明計(jì)算方法或算法的原理、思想、依據(jù)、步驟。應(yīng)設(shè)法算出合理的數(shù)值結(jié)果，最終數(shù)值結(jié)果的正確性或合理性是第一位的。 模型分析 對(duì)模型解答進(jìn)行數(shù)學(xué)上的分析，有時(shí)要根據(jù)問題的性質(zhì)分析變量間的依賴關(guān)系或穩(wěn)定狀況，有時(shí)是根據(jù)所得結(jié)果給出數(shù)學(xué)上的預(yù)報(bào)，有時(shí)則可能要給出數(shù)學(xué)上的最優(yōu)決策或控制。不論以哪種情況還常常需要進(jìn)行誤差分析、模型對(duì)數(shù)據(jù)的穩(wěn)定性或靈敏性分析等。在問題分析推導(dǎo)過程中，所用的原理、依據(jù)應(yīng)正確、明確；模型分析應(yīng)中肯、確切；所用術(shù)語(yǔ)應(yīng)專業(yè)、內(nèi)行；表述應(yīng)簡(jiǎn)明，關(guān)鍵步驟要列出。模型檢驗(yàn) 將對(duì)數(shù)學(xué)模型的解的分析結(jié)果“譯”成有關(guān)具體問題的答案，利用已有的

20、資料、數(shù)據(jù)，驗(yàn)證這一解答的正確程度和適用范圍。這一步對(duì)于建模的成敗是非常重要的。如果發(fā)現(xiàn)這一解答不符合實(shí)際情況，就應(yīng)該檢查數(shù)學(xué)模型的求解過程是否有誤，若確認(rèn)無(wú)誤，則應(yīng)修改或補(bǔ)充假設(shè)，有時(shí)可能要去掉一些變量，改變一些變量的性質(zhì)，如把連續(xù)變量改成離散變量，把變量間的非線性關(guān)系改為線性關(guān)系等，重新建立數(shù)學(xué)模型。有些模型要經(jīng)過幾次反復(fù)，不斷完善，直到檢驗(yàn)結(jié)果獲得某種程度上的滿意。數(shù)學(xué)模型方法的步驟如下圖所示模型準(zhǔn)備模型檢驗(yàn)?zāi)Ｐ蜆?gòu)成模型假設(shè)模型術(shù)解模型分析下面我們將給出一些數(shù)學(xué)建模的例子：例1 方桌平衡問題：一張四條腿等長(zhǎng)的方桌放在不平的地面上，是否總有辦法使小條腿同時(shí)著地？圖3.1ABCDA B C

21、D O x y這個(gè)問題似乎與數(shù)學(xué)沒有什么關(guān)系，但實(shí)際情況并非如此，我們完全可以將它數(shù)學(xué)化，建立一個(gè)簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)模型，在下列的假設(shè)下，可以得到肯定的答案。假設(shè)（1）地面是一個(gè)連續(xù)曲面；（2）對(duì)于地面的彎曲程度而言，桌腿有足夠的長(zhǎng)度；（3）桌腿底部的面積可忽略不計(jì)，即當(dāng)桌腿底部與地面接觸時(shí)，可看成幾何中的點(diǎn)與面的關(guān)系。建立模型的關(guān)鍵在于恰當(dāng)?shù)貙ふ冶硎咀滥_的位置的變量，并把要證明的“四條腿同時(shí)著地”這個(gè)結(jié)論歸結(jié)為簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)關(guān)系?，F(xiàn)以、分別表示方桌的四條腿的終端，則是一個(gè)正方形，以表示它的中心，如圖3.1所示。建立以為原點(diǎn)，為軸，為軸的平面直角坐標(biāo)系。當(dāng)方桌繞點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，對(duì)角線與軸的夾角來(lái)表示方桌的位置（

22、在圖3.1中，正方形繞點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)至、，此時(shí)與軸的夾角為）。“四條腿同時(shí)著地”就是四條桌腿的終端與地面的距離都等于零。方桌位于不同的位置，桌腿的終端與地面的距離情況不同，因此這距離是的函數(shù)。用與分別表示兩腿與兩腿到地面的距離之和。由假設(shè)（1）可知，與都是非負(fù)的連續(xù)函數(shù)；由假設(shè)（2）可知，至少有三條桌腿可以同時(shí)著地，即對(duì)于任意的，與中總有一個(gè)為零，因此=0。特別地，有。如果，則問題已經(jīng)解決，即四條腿同時(shí)著地。因此，不妨設(shè)，這樣可建立方桌平衡問題的數(shù)學(xué)模型。問題：已知連續(xù)的非負(fù)函數(shù)與，滿足條件=0，問是否存在0，使得，其中00。現(xiàn)在證明，這樣的0是存在的。事實(shí)上，若將方桌繞O點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)，即與互換位置，則有。

23、記，則也是連續(xù)函數(shù)，并且滿足條件 。利用連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)，可知必存在0,00 使得 即 又因?qū)θ我猓?，?duì)0也應(yīng)有 由，易得。即總有辦法使方桌的四條腿同時(shí)著地。此問題解決得非常巧妙而簡(jiǎn)單，從中可學(xué)到一些建立數(shù)學(xué)模型的具體技巧：用一元變量表示方桌的位置，將距離表示為的函數(shù)，桌子有四條腿，但只設(shè)兩個(gè)函數(shù)和；證明時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)；設(shè)輔助函數(shù)并利用連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)等。例2 核武器競(jìng)爭(zhēng)問題自從核武器問世以來(lái)，核大國(guó)之間從未停止過競(jìng)爭(zhēng)，單純?cè)黾雍宋淦鲾?shù)量的做法是不可取的，因?yàn)樗鼘?dǎo)致財(cái)政負(fù)擔(dān)過重，因此，某個(gè)國(guó)家在安排核武器生產(chǎn)的時(shí)候，為保證自身的安全，需要持有某一最少數(shù)量的核武器，即在受到敵方第一次核打擊后，仍有足夠

24、數(shù)量的核武器保存下來(lái)，以便給敵方致命回?fù)?。這樣，每個(gè)國(guó)家都要確定一個(gè)下界，當(dāng)它的核武器數(shù)超過這個(gè)下界時(shí)，它才是安全的，稱此下界為安全界。顯然安全界與其他國(guó)家的核武器數(shù)量有關(guān)?，F(xiàn)在的問題是，如果有兩個(gè)擁有核武器的敵對(duì)國(guó)，那么，是否存在一個(gè)下界，當(dāng)兩國(guó)的核武器都超過這個(gè)下界時(shí)，它們都是安全的？如若存在的話。稱它為穩(wěn)定界。我們能用數(shù)學(xué)模型方法說明，在一次打擊不可能摧毀對(duì)方的假定下，這樣的穩(wěn)定界是存在的。假設(shè)（1）雙方的核武器數(shù)當(dāng)作實(shí)數(shù)討論（因?yàn)楹宋淦鲾?shù)是很大的整數(shù)，所以這一假設(shè)引起的誤差是很小的）；（2）雙方每一件核武器具有相同的殺傷效果；（3）當(dāng)一方用其全部核武器打擊對(duì)方時(shí)，對(duì)方仍可剩余一些核武器

25、，被打擊一方的每件核武器能完好保存的概率都相同?，F(xiàn)以和分別表示甲、乙兩國(guó)的核武器數(shù)，顯然，甲方為了自身的安全，其擁有的核武器數(shù)要隨著乙方核武器數(shù)的增長(zhǎng)，因而它是的單調(diào)增加函數(shù)，記為。同樣道理，存在另一個(gè)單調(diào)增加函數(shù)。以表示曲線和軸的交點(diǎn)，以表示曲線和軸的交點(diǎn)。那么，由安全界的定義可知，當(dāng)乙國(guó)沒有核武器時(shí)，甲國(guó)的核武器數(shù)只要不少于，就可給乙國(guó)以致命打擊。也有同樣的意義。yxO圖3.3xM（）Oy圖3.2給出函數(shù)與的圖象，如圖3.2所示。由安全界的定義可知，在曲線的上方，乙國(guó)是安全的。如果這兩條曲線相交，那么就存在共同的安全界，如圖3.2所示。兩曲線的交點(diǎn) 稱為競(jìng)爭(zhēng)的平衡點(diǎn)。和 就是雙方都感到安全

26、時(shí)，甲、乙兩國(guó)分別擁有的最少核武器數(shù)?，F(xiàn)在證明，在我們的假設(shè)下，兩曲線一定相交，即雙方安全區(qū)一定存在。為此，只需證明曲線的斜率和曲線的斜率都是無(wú)限增加的。對(duì)于任意的常數(shù)0。直線上的點(diǎn)表示乙國(guó)的核武器數(shù)是甲國(guó)的倍。當(dāng)乙國(guó)的全部核武器打擊甲國(guó)后，由假設(shè)（3）知。甲國(guó)的核武器不會(huì)被全部摧毀，而且，每個(gè)核武器被完好保存的概率相同，設(shè)為。于是，甲國(guó)在經(jīng)過乙國(guó)的核攻擊后保留下件核武器，當(dāng)時(shí)，就可給乙國(guó)以致命的還擊。這說明此時(shí)的對(duì)甲國(guó)來(lái)說是安全的，即當(dāng)時(shí)上的都落在的右方，從而的斜率不會(huì)小于的斜率，如圖3.3所示。但是任意的正常數(shù)，即的斜率是無(wú)限增加的。同樣可以證明，y=g(x)的斜率也是無(wú)限增加的。因此，曲

27、線與必定相交，即如圖3.2所示的雙方安全區(qū)一定存在。M圖3.4再考慮，如果甲國(guó)對(duì)核基地采取加固措施，則增大，核武器可以減少，此時(shí)曲線左移（保持不動(dòng)），如圖3.4中所示。如果這時(shí)乙國(guó)感到要給對(duì)方以致命打擊，必須擁有比更多的核武器，則曲線將向上平移，如圖3.4中所示。于是平衡點(diǎn)從移向，又移向。此時(shí)核武器競(jìng)爭(zhēng)將進(jìn)一步升級(jí)。在核武器競(jìng)爭(zhēng)中，科學(xué)地制定對(duì)策十分重要。在60年代，蘇聯(lián)人重視發(fā)展億噸級(jí)氫彈，企圖以加強(qiáng)核武器威力的方式在競(jìng)爭(zhēng)中占據(jù)優(yōu)勢(shì)。此時(shí)美國(guó)進(jìn)行多次模擬爆炸試驗(yàn)，推導(dǎo)出一個(gè)經(jīng)驗(yàn)公式：其中為破壞力大小，為爆炸威力，為精確度。由此公式可以看出，若爆炸力提高到8倍，則破壞力增大到4倍；若精確度提高

28、8倍，則破壞力提高到64倍?；谶@個(gè)分析，美國(guó)采取了以提高精確度為主的對(duì)策，以后的事實(shí)證明，美國(guó)所采取的對(duì)策是正確的。 例3、市場(chǎng)平衡問題市場(chǎng)供求關(guān)系是非常復(fù)雜的，我們?cè)谧杂筛?jìng)爭(zhēng)的市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)條件下，討論市場(chǎng)的供求平衡問題。MSD圖3.5（A）MSD設(shè)某商品的數(shù)量為，單價(jià)為。站在消費(fèi)者的角度，價(jià)格低就愿意多買，即越小，就越大；反之，價(jià)格高就少買，即越大，就越小。兩者之間的關(guān)系可用圖3.5中的曲線表示，稱為需求曲線，它是單調(diào)下降的；另一方面，從生產(chǎn)者的角度來(lái)看，根據(jù)價(jià)格來(lái)決定生產(chǎn)數(shù)量越大也越大兩者這間的關(guān)系可用圖3.5中的曲線表示，稱為供應(yīng)曲線，它是單調(diào)上升的。曲線與曲線交點(diǎn)稱為供求平衡點(diǎn)，此時(shí)市場(chǎng)

29、處于供求平衡狀態(tài)。然而在實(shí)際情況中，由于各種因素的影響，生產(chǎn)與銷售往往會(huì)偏離平衡點(diǎn)，出現(xiàn)供求不平衡的狀況，我們要討論的是，能否通過調(diào)節(jié)價(jià)格的手段使之逐步趨向平衡點(diǎn)？如果需求曲線和供應(yīng)曲線如圖3.5（A）所示，曲線的斜率的絕對(duì)值大于曲線的斜率絕對(duì)值，從供求不平衡點(diǎn)出發(fā)，按需求曲線成交的價(jià)格是（消費(fèi)者認(rèn)為，東西多，價(jià)格應(yīng)便宜），即，而一旦價(jià)格降到，生產(chǎn)者就要將產(chǎn)量由降到，即，而對(duì)應(yīng)在需求曲線D上成交的價(jià)格是，即，這一變化過程，即 最后達(dá)到平衡點(diǎn)。在圖3.5（B）中，供應(yīng)曲線的斜率的絕對(duì)值小于需求曲線的斜率的絕對(duì)值，從供求不平衡點(diǎn)出發(fā)，變化發(fā)展方向，越來(lái)越遠(yuǎn)離平衡點(diǎn)，所以市場(chǎng)將出現(xiàn)紊亂。因此，平衡點(diǎn)

30、是穩(wěn)定的還是不穩(wěn)定的，取決于平衡點(diǎn)附近的曲線和曲線和斜率，當(dāng)時(shí)，能夠通過調(diào)整價(jià)格使市場(chǎng)穩(wěn)定；當(dāng) 時(shí)，市場(chǎng)不穩(wěn)定，此時(shí)可采取行政干預(yù)手段。如通過立法或發(fā)布行政命令價(jià)格使不得改變，于是=0，不管曲線的斜率如何，市場(chǎng)總是趨向穩(wěn)定的。用供應(yīng)曲線和需求曲線分析市場(chǎng)供求關(guān)系穩(wěn)定性的圖示法，在經(jīng)濟(jì)學(xué)中稱為蛛網(wǎng)模型。曲線和曲線可由一系列的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)近似得到，在圖3.5中，曲線由點(diǎn)構(gòu)成，曲線由點(diǎn) 構(gòu)成。因?yàn)閮r(jià)格是市場(chǎng)穩(wěn)定與否的主要因素，那么，應(yīng)該如何確定商品的價(jià)格？下面給出一個(gè)數(shù)學(xué)模型。假設(shè)（1）某商品的價(jià)格為，需求函數(shù)是的減函數(shù)，供應(yīng)函數(shù)是的增函數(shù)，是供求平衡點(diǎn)，如圖3.6所示；均為線性函數(shù)： 其中0，且有 把

31、時(shí)間t分為若干相等的時(shí)段，設(shè)是時(shí)的商品價(jià)格，則時(shí)的商品需求量依賴于此時(shí)的商品價(jià)格，即；而商品供應(yīng)量依賴于時(shí)的價(jià)格，即。要使市場(chǎng)供求平衡，應(yīng)有 = 由，可得圖3.6pS（p）D（p）O即 是一階線性差分方程，利用遞推關(guān)系，可得若1，當(dāng)時(shí)即趨于平衡；若 1，當(dāng) 時(shí)，遠(yuǎn)離平衡點(diǎn)。利用式可合理制定時(shí)的價(jià)格。應(yīng)該注意，圖3.6中自變量是，而圖3-5中的自變量是，因此 與與 分別存在倒數(shù)關(guān)系，但當(dāng)時(shí)，它們趨向或不趨向平衡點(diǎn)的結(jié)論是一致的。例4“節(jié)水洗衣機(jī)”問題我國(guó)淡水資源有限，節(jié)約用水人人有責(zé)，洗衣在家庭用水中與有相當(dāng)大的份額，目前洗衣機(jī)已非常普及、節(jié)約洗衣機(jī)用水十分重要。假設(shè)在放入衣物和洗滌劑后洗衣機(jī)的

32、運(yùn)行過程為：加水漂洗脫水加水漂洗脫水加水漂洗脫水（稱“加水漂洗脫水”為運(yùn)行一輪），請(qǐng)為洗衣機(jī)設(shè)計(jì)一種程序（包括運(yùn)行多少輪、每輪加水量等），使在滿足一定洗滌效果的條件下，總用水量最少。 這個(gè)問題是實(shí)際生活中的優(yōu)化問題，我們不對(duì)洗衣的微觀機(jī)制（包括機(jī)械的、物理的、化學(xué)的、物理化學(xué)的）作討論，而僅僅從宏觀的層次去把握。洗衣的基本原理就是將吸附在衣物上的污物溶于水中，通過脫去污水而帶走污物?！叭芪畚锩撐畚铩笔怯蓛蓚€(gè)根本要素構(gòu)成的一個(gè)“元?jiǎng)幼鳌?，無(wú)論是如何精心設(shè)計(jì)的洗衣方式和程序都是以此為基礎(chǔ)的。洗衣的過程就是通過加水來(lái)實(shí)現(xiàn)上述“溶污物脫污水”動(dòng)作的反復(fù)執(zhí)行，使得殘留在衣物上的污物越來(lái)越少，直到滿意的程

33、度。通常洗衣要加入洗滌劑，它幫助衣物上原有的污物溶解。但應(yīng)注意的是，洗滌劑本身也是不希望留在衣物上的東西。因此“污物”應(yīng)是衣物上原有的污物與洗滌劑的總和。有了這種認(rèn)識(shí)之后，我們就可以統(tǒng)一地處理“洗滌”（即通常加洗滌劑以首輪洗衣）和“漂洗”（即通常的以后各輪洗衣，不再加洗滌劑，但水中還剩余洗滌劑），把二者都看作“溶污物”環(huán)節(jié)。立足于“溶污物脫污水”這種基本原理，我們可以找出“節(jié)水洗衣機(jī)”問題的基本要點(diǎn)如下：1、污物的溶解程度如何？我們將用“溶解特性”來(lái)刻劃。2、每輪脫去污水后污物減少情況如何？這將由系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)方程表示。3、如何設(shè)計(jì)由一系列“溶污物脫污水”構(gòu)成的節(jié)水洗衣程序？這將通過用水程序來(lái)反映。為建立模型，我們提出如下假設(shè)：1、僅考慮離散的洗衣方案，即“加水洗滌脫水”三個(gè)環(huán)節(jié)是分離的。這本三個(gè)環(huán)節(jié)構(gòu)成一個(gè)洗衣周期，稱為“一輪”2、每輪用水量是不能低于，否則洗衣機(jī)無(wú)法轉(zhuǎn)動(dòng)；用水量不能高于，否則會(huì)溢出，且。3、每輪的洗滌時(shí)間是足夠的，以便衣物上的污物充分溶入水中，從而使每輪所用的水被充分利用。4、每輪的脫水時(shí)間也是足夠的