拉氏變換實用PPT學習教案

1、會計學1拉氏變換實用拉氏變換實用 )()()()(0)( dtetftuetfFtfLtjwt 引 言Fourier變換的限制:絕對可積在整個數軸上有定義指數衰減函數et (0)單位階躍函數u(t)演變?yōu)槔献儞Q雙邊拉氏變換: )()()( dtetftfLtjw 傅氏變換: )()( dtetftfLjwt第1頁/共29頁傅氏變換與拉氏變換的關系0)(0 tft當當0 )()()()( jsetutfFtfLt tjs雙邊拉氏變換tjs傅氏變換tjs0單邊拉氏變換第2頁/共29頁9.1 拉普拉斯變換的概念一、拉氏變換的定義 設函數f(t)當t0時有定義，而且積分 0)(dtetfst在s的某

2、一域內收斂(s是一個復參量) ，則由此積分決定的函數可寫為 0)()(dtetfsFst稱F(s)為f(t)的拉普拉斯變換(簡稱拉氏變換)或象函數，記為F(s)=Lf(t).又稱 f(t)為F(s)的拉普拉斯逆變換(簡稱為拉氏逆變換)或象原函數，即f(t)=L1F(s)第3頁/共29頁解: 由拉氏變換的定義有 0d1)(tetuLstsesst101 0d1)sgn(tetLsts1 0d11teLsts1 例1 分別求出單位階躍函數u(t),符號函數sgnt,以 及f(t)=1的拉氏變換(Res 0)(Res 0)(Res 0)例2 求出指數函數f (t) = e kt 的拉氏變換解: 0)

3、(0dd)(teteetfLtksstktks 1(Res Rek)第4頁/共29頁例3 求正弦函數f(t)=sinkt(k為實數)的laplace變換解: 根據定義有 0sin)(sindtktektLst 022)cossin(ktkktsksest0Re(s) 22 ksk同理可得0Re(s) cos22 kssktL二、拉氏變換的存在定理拉氏變換存在定理: 設函數f (t)滿足下列條件：第5頁/共29頁2f (t)在t0的任一有限區(qū)間上分段連續(xù)，間斷點的個數是有限個，且都是第一類間斷點；3f (t)是指數級函數(增長速度不超過指數函數)1當t0時，f (t)=0；則f (t)的拉氏變換

4、 0)()(dtetfsFst在半平面Re(s)c 一定存在，F(xiàn)(s)是解析函數。即存在常數M 0及c 0使| f(t)|Mect (0t (Res Re)第8頁/共29頁 0)(0)(tsttsese ss四、常用函數的拉氏變換公式 )0)(Re(,1)()1( sstuL )(Re(1)()3( stLd d )0)(Re(,cos)5(22 skssktL )0)(Re(,sin )4(22 skskktL)Re()(Re(,1 )2(kskseLkt 第9頁/共29頁(1) 線性性質)()(),()(sGtgLsFtfL 且且有有設a、為常數, ).()()()(2121sFsFtft

5、fL 則則有有9.2 拉氏變換的性質例1: 求常數A的Laplace變換. 0dtAest 0dteAstsA/ 例2: 求函數f(t)=A(1eat)的Laplace變換. 0)1()(dteeAtfLstta a解: 0)()(dtetftfLst解:第10頁/共29頁)11(a a ssA 00dteAedtAesttsta a 00dteAedtAesttsta a例3 求正弦函數f(t)=sinkt(k為實數)的laplace變換1121jksjksj 22ksk dteeejstjktjkt 0)(21 0sin)(dtktetfLst解:第11頁/共29頁例4 求余弦函數f(t)

6、=coskt(k為實數)的laplace變換dteeestjktjkt 0)(21(2) 相似性質(a為正實數) asFaatfL1設Lf(t)=F(s), 則當a為正實數時 0d)()(teatfatfLst證明： 0cos)(dtktetfLst解:1121jksjks 22kss 第12頁/共29頁，令令at 0d)()(aefatfLas 0d)(1 asefa asFa1(3)微分性質 推論： )(tfLn )0()0()(21fsfssFsnnn ),0()1( nf)0()()(fssFtfL 設Lf(t)=F(s), 則有證明： tetsfetftetfstststd)()(d

7、000 )0()(fssF 第13頁/共29頁sin1022wtwswsw 22wss 例5 求函數 f(t)=coswt 的拉氏變換例6 求函數 f(t) = t m 的拉氏變換解: 由于0)0()0()0(1 mfff!)(mtfm 而而故)()( !tfLstfLmLmm 根據線性性質有smLmmL!1 ! ! )(sin1costwdtdwLtwL 解:第14頁/共29頁故1! msmtLm(4)象函數微分性質 一般地，有 ,)1(sFdsdtftLnnnn )1(dd)(sstLtfL 21s 例7 求函數 f(t) = t 的拉氏變換解: 由于sL1)1( 故例8 求函數 f(t)

8、 = teat 的拉氏變換 )()(sFdsdttfL 設Lf(t)=F(s), 則第15頁/共29頁2)(1as (5)積分性質 )1(dd)(assteLtfLat 解: 由于aseLat 1)(故例9 求函數 f(t) = tsinkt 的拉氏變換222)(2ksks )(ddsin)(22kskskttLtfL 解: 由于22)(sinkskktL 故 sFsdttfLt10 設Lf(t)=F(s), 則第16頁/共29頁0)0()()( gtftg且且則則)(1d)(0sFsttfLt 即即推論: .1000sFsdttfdtdtLnnttt 次次證明：,d)()(0ttftgt 設

9、設),0()()(gtgsLtgL 由由微微分分性性質質有有例10 求函數 的拉氏變換 ttdtttf02sin)(2sin)()(0 ttdttLtfLsF解: 由拉氏變換積分性質有2sin1ttLs 第17頁/共29頁422sin2 stL由由于于由微分性質有222)4(4422sin sssttL22)4(4)( stfL故故(6)象函數積分性質 若Lf(t)=F(s)，則 sdssFtftL1 0)()(dtetfsFst證明：兩邊對s積分： sstsstetfssFdd)(d)(0第18頁/共29頁交換積分次序:tsetfIstsdd)(0 tettfstsd1)(0 tettfts

10、d)(0 次次nsssndssFdsdstftL 1推論:例11 求函數 f(t) = sint / t 的拉氏變換dssttLtfLs 11sin)(2解: 由于11)(sin2 stL則由象函數積分性質有= arccots)(ttfL 第19頁/共29頁sarcdtettstcotsin0 即即令s = 0得2sin0 dttt(7) 延遲性質 若t 0, b0, 求單位階躍函數1, t b/a,0, t tjwsdsesFjtfjjst 積分路線是平行于虛軸的直線Res=反演積分公式dsesFjtutfstjj )(21)()(第24頁/共29頁一、求解常微分方程(組)2.4 拉氏變換的

11、應用象原函數 (方程的解) 象函數 微分方程象函數的代數方程取Laplace變換取Laplace逆變換解代數方程例19 求解微分方程0)0()0(,cos2)(2)(2)( xxtetxtxtxt解: 設Lx(t)=X(s), 方程兩邊取拉氏變換第25頁/共29頁,1)1()1(2)(2)(2)(22 sssXssXsXs, 1)1()1(2)(22 sssX解此方程得:求拉氏逆變換得: 1)1()1(2)()(2211 ssLsXLtx)11(21 sLet1121 sLtetttetsin )1(2)(221 ssLetxt解:第26頁/共29頁,11)()( ssYsX解此方程組得:取拉氏逆變換得 x(t) = y(t) = et例20 求解微分方程組,)()()(tetytxtx . 1)0