數(shù)學選修導數(shù)復習總結(jié)PPT學習教案

1、會計學1數(shù)學選修導數(shù)復習總結(jié)數(shù)學選修導數(shù)復習總結(jié) 由導數(shù)的意義可知由導數(shù)的意義可知,求函數(shù)求函數(shù)y=f(x)在點在點x0處的導數(shù)處的導數(shù)的基本方法是的基本方法是:);()()1(00 xfxxfy 求求函函數(shù)數(shù)的的增增量量;)()()2(00 xxfxxfxy 求求平平均均變變化化率率.lim)()3(00 xyxfx 取取極極限限，得得導導數(shù)數(shù)注意注意:這里的增量不是一般意義上的增量這里的增量不是一般意義上的增量,它可正也可負它可正也可負. 自變量的增量自變量的增量x的形式是多樣的的形式是多樣的,但不論但不論x選擇選擇 哪種形式哪種形式, y也必須選擇與之相對應的形式也必須選擇與之相對應的形

2、式.第1頁/共24頁xoyy=f(x)一、曲線的切線一、曲線的切線P(x0,y0)Q(x1,y1)當自變量從當自變量從x0變化到變化到x1時，時，相應的函數(shù)值從相應的函數(shù)值從f(x0)變化到變化到f(x1)y= f(x1)- f(x0)函數(shù)值的增量函數(shù)值的增量x= x1- x0自變量的增量自變量的增量Mxyy0=f(x0)， y1=f(x1)Q(x0+ x,y0+ y)y=f(x0+ x)-f(x0)第2頁/共24頁xoyy=f(x) 設曲線設曲線C是函數(shù)是函數(shù)y=f(x)的圖象的圖象，在曲線在曲線C上取一點上取一點P(x0,y0)及鄰近一及鄰近一點點Q(x0+x,y0+y),過過P,Q兩點作

3、兩點作割割線線，當點當點Q沿著曲線沿著曲線無限接近無限接近于點于點P點點P處的處的切線切線。即即x0時時, 如果割線如果割線PQ有一個有一個極極限位置限位置PT, 那么直線那么直線PT叫做曲線在叫做曲線在曲線在某一點處的切線的定義曲線在某一點處的切線的定義xyPQT第3頁/共24頁 設割線設割線PQ的傾斜角為的傾斜角為，切線切線PT的傾斜角為的傾斜角為 當當x0時，割線時，割線PQ的的斜率的極限斜率的極限，就是曲線在點，就是曲線在點P處的處的切線的斜率切線的斜率，即，即tan =Mxyxxfxxfxyxx)()(0000limlim曲線曲線在某一點處在某一點處的切線的斜率公式的切線的斜率公式x

4、 oyy=f(x)PQtan=xyxxfxxf)()(00第4頁/共24頁 k=xxfxxfxyxx)()(0000limlim【注注】求曲線求曲線y=f(x)在點在點P(x0,y0)處的切線處的切線的斜率的方法：的斜率的方法： (1)求求y=f(x0+ x)-f(x0)xy求)2(xykx0lim3）取極限，得斜率（第5頁/共24頁【注注】求過曲線求過曲線y=f(x)外點外點 P(x1,y1)的切線的方法：的切線的方法： )0k=f x)1010y -f(xx -x0解 x求切線00（x，設 點f(x切)）0()k xx0y-y第6頁/共24頁00(,()xfx0()kfx00(,()xfx

5、000()()()yf xfxxx第7頁/共24頁( , )a b(,)a b00(,()xfx0()kfx000()()()yf xfxxx(,)a b0 x第8頁/共24頁).(01為常數(shù)為常數(shù)公式公式CC )()(21Rnnxxnn 公公式式.cos)(sin3xx公式.sin)(cos4xx 公公式式第9頁/共24頁不需推導，但要注意符號的運算不需推導，但要注意符號的運算.aaaxxln)(5 公式公式xxee )(6公公式式axogaxln1)1(7 公公式式xnx1)1(8 公式公式記記 一一 記記第10頁/共24頁練習練習(1) 5x4 ;(2) 6x5 ;(3) cost ;(

6、4) -sin .;3)5(4x .31)6(32x第11頁/共24頁法則法則1:f(x) g(x) = f(x) g(x);法則法則2:)()()()()()(xgxfxgxfxgxf法則法則3:2)()()()()()()(xgxgxfxgxfxgxf第12頁/共24頁（1）求出函數(shù)）求出函數(shù)f（x）的定義域）的定義域 ；（2）求出函數(shù)）求出函數(shù) f（x）的導數(shù)）的導數(shù) ；)(xf （4）不等式組）不等式組 的解集為的解集為f（x）的單調(diào)減區(qū)間；）的單調(diào)減區(qū)間；()0 xAfx （3）不等式組）不等式組 的解集為的解集為f（x）的單調(diào)增區(qū)間；）的單調(diào)增區(qū)間；()0 xAfx 導數(shù)的應用一導

7、數(shù)的應用一:判斷單調(diào)性、求單調(diào)區(qū)間判斷單調(diào)性、求單調(diào)區(qū)間注、注、單調(diào)區(qū)間不單調(diào)區(qū)間不 以以“并集并集”出現(xiàn)。出現(xiàn)。 第13頁/共24頁1. 一般地一般地,求函數(shù)的極值的方法是求函數(shù)的極值的方法是: 解方程解方程f(x)=0.當當f (x0)=0時時. 如果在如果在x0附近的左側(cè)附近的左側(cè) 右側(cè)右側(cè) ,那么那么,f(x0) 是極大值是極大值;（左正右負極大左正右負極大） 如果在如果在x0附近的左側(cè)附近的左側(cè) 右側(cè)右側(cè) ,那么那么,f(x0) 是極小值是極小值.（左負右正極小左負右正極?。?)( xf0)( xf0)( xf0)( xf2.導數(shù)為零的點是該點為極值點的必要條件導數(shù)為零的點是該點為極

8、值點的必要條件,而不是充而不是充 分條件分條件.導數(shù)的應用二導數(shù)的應用二:求函數(shù)的極值求函數(shù)的極值第14頁/共24頁 設函數(shù)設函數(shù)f(x)的的圖象在圖象在a,b上是連續(xù)不斷的曲線上是連續(xù)不斷的曲線,那那么它必有最大值和最小值么它必有最大值和最小值在在a,b上的最大值與最小值的步驟如下上的最大值與最小值的步驟如下:求求y=f(x)在在(a，b)內(nèi)的極值內(nèi)的極值(極大值與極小值極大值與極小值); :將函數(shù)將函數(shù)y=f(x)的各極值與的各極值與f(a)、f(b)（即端點的（即端點的函數(shù)值）作比較函數(shù)值）作比較,其中最大的一個為最大值其中最大的一個為最大值,最小的一最小的一個為最小值個為最小值. 導數(shù)

9、的應用三導數(shù)的應用三：求函數(shù)的最值求函數(shù)的最值第15頁/共24頁三、綜合應用三、綜合應用:例例1:確定下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間確定下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間: (1)f(x)=x/2+sinx;解解:(1)函數(shù)的定義域是函數(shù)的定義域是R,.cos21)(xxf 令令 ,解得解得0cos21 x).(322322Zkkxk 令令 ,解得解得0cos21 x).(342322Zkkxk 因此因此,f(x)的遞增區(qū)間是的遞增區(qū)間是: 遞減區(qū)間是遞減區(qū)間是:);)(322 ,322(Zkkk ).)(342 ,322(Zkkk 第16頁/共24頁解解:函數(shù)的定義域是函數(shù)的定義域是(-1,+),.)1 ( 21112

10、1)(xxxxf (2)f(x)=x/2-ln(1+x)+1由由 即即 解得解得x1.10( ) 02(1),1 01xf xxxx 故故f(x)的遞增區(qū)間是的遞增區(qū)間是(1,+);由由 解得解得-1x1,故故f(x)的遞減區(qū)間是的遞減區(qū)間是(-1,1).( )010fxx 說明說明:函數(shù)的單調(diào)區(qū)間必定是它的函數(shù)的單調(diào)區(qū)間必定是它的定義域的子區(qū)間定義域的子區(qū)間,故故 求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間一定求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間一定首先要確定函數(shù)的定義首先要確定函數(shù)的定義 域域,在求出使導數(shù)的值為正或負的在求出使導數(shù)的值為正或負的x的范圍時的范圍時,要要與與 定義域求兩者的交集定義域求兩者的交集.第17頁/共24頁(3

11、);0()(2 axaxxxf解解:函數(shù)的定義域是函數(shù)的定義域是0,a,且當且當x0,a時時,有有:.2)43(2)2()(222xaxxaxxaxxaxxaxxf 由由 及及 解得解得0 x3a/4,故故f(x)的遞增區(qū)間的遞增區(qū)間是是(0,3a/4).), 0 (0)(axxf 由由 及及 解得解得3a/4x100,故故f(x)的遞減區(qū)間是的遞減區(qū)間是(100,+)., 0)( xf說明說明:(1)由于由于f(x)在在x=0處連續(xù)處連續(xù),所以遞增區(qū)間可以擴大所以遞增區(qū)間可以擴大 到到0,100)(或或0,100).(2)雖然在雖然在x=100處導數(shù)為零處導數(shù)為零,但在寫單調(diào)區(qū)間時但在寫單調(diào)

12、區(qū)間時, 都可以把都可以把100包含在內(nèi)包含在內(nèi).第19頁/共24頁例例3:當當x1時時,證明不等式證明不等式:.132xx 證證:設設 顯然顯然f(x)在在1,+)上連續(xù)上連續(xù),且且f(1)=0.,132)(xxxf ).11 (111)(2xxxxxxf 顯然顯然,當當x1時時, ,故故f(x)是是1,+)上的增函數(shù)上的增函數(shù).0)( xf所以當所以當x1時時,f(x)f(1)=0,即當即當x1時時,.132xx 第20頁/共24頁說明說明:利用函數(shù)的單調(diào)性證明不等式是不等式證明的利用函數(shù)的單調(diào)性證明不等式是不等式證明的一一 種重要方法種重要方法.其解題步驟是其解題步驟是:令令F(x)=f

13、(x)-g(x),xa,其中其中F(a)=f(a)-g(a)=0,從從而將要證明的不等式而將要證明的不等式“當當xa時時,f(x)g(x)”轉(zhuǎn)化轉(zhuǎn)化為證明為證明: “當當xa時時,F(x)F(a)”.練習練習2:已知已知 求證求證:.tan,20 xxx 第21頁/共24頁四、小結(jié)四、小結(jié):1.在利用導數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時在利用導數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時,首先要確定函數(shù)首先要確定函數(shù) 的定義域的定義域,解決問題的過程中解決問題的過程中,只能在函數(shù)的定義域內(nèi)只能在函數(shù)的定義域內(nèi), 通過討論導數(shù)的符號來判斷函數(shù)的單調(diào)區(qū)間通過討論導數(shù)的符號來判斷函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.2.在對函數(shù)劃分單調(diào)區(qū)間時在對函數(shù)劃分

14、單調(diào)區(qū)間時,除了必須確定使導數(shù)等于除了必須確定使導數(shù)等于 零的點外零的點外,還要注意在定義域內(nèi)的不連續(xù)點和不可導還要注意在定義域內(nèi)的不連續(xù)點和不可導 點點.3.注意在某一區(qū)間內(nèi)注意在某一區(qū)間內(nèi) ()0只是函數(shù)只是函數(shù)f(x)在該區(qū)間在該區(qū)間 上為增上為增(減減)函數(shù)的充分不必要條件函數(shù)的充分不必要條件.)(xf 第22頁/共24頁6.利用導數(shù)的符號來判斷函數(shù)的單調(diào)區(qū)間利用導數(shù)的符號來判斷函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,是導數(shù)幾何是導數(shù)幾何 意義在研究曲線變化規(guī)律的一個應用意義在研究曲線變化規(guī)律的一個應用,它充分體現(xiàn)了它充分體現(xiàn)了 數(shù)形結(jié)合的思想數(shù)形結(jié)合的思想.5.若函數(shù)若函數(shù)f(x)在開區(qū)間在開區(qū)間(a,b)上具有單調(diào)性上具有單調(diào)性.則當函數(shù)則當函數(shù)f(x) 時在閉區(qū)間時在閉區(qū)間a,b上連續(xù)上連續(xù),那么單調(diào)區(qū)